方程的迭代解法与函数的迭代、混沌与分形实验
一、编写程序,对不同的λ进行迭代)1(1n n n x x x ?=+λ, 并用图形加以显示(收敛?发散?混沌？) 并特别讨论如下情况迭代的结果
4
546.3 46.34.3 32
26
.11=<<≤≤==λλλλλ）（）
（）
（）（）（
二、 编程生成如下雪花状分形图，具体步骤如下：将单位长度的一条线段三等分，将中间的一段去掉，代之以更小的等边三角形的两条边，如图（1），对每条边依次做下去，得到如图所示的的雪花状图形，如图（2）。
图（1） 图（2）
三、 炮弹发射视为斜抛运动，已知初速度为200m/s,问要击中水平距离300m,垂直距离160m 的目标，当忽略空气阻力时，发射角应为多大。如果只考虑水平方向的阻力时，且阻力与水平方向的速度成正比，比例系数为0.1，发射角又应该为多大？
实验六 迭代（方程求解） 一.实验目的：认识迭代数列，考察迭代数列的收敛性.并学会用Mathematica 系统对线性和非线性的方程组进行迭代求解. 二.实验环境：计算机，Mathematica 数学软件,Word 文档，课本。 三.实验的基本理论和方法： 给定迭代函数f(x)以及一个初值0x 利用1(),0,1,n n x f x n +==???迭代得到数列n x ，0,1,n =???.如果数列n x 收敛与某个* x ，则有**()x f x =.即* x 是方程 ()x f x =的解.由此用如下的方法求方程()0g x =的近似解。 将方程()0g x =改写为等价的方程()x f x =，然后选取一初值利用 1(),0,1,n n x f x n +==???做迭代.迭代数列n x 收敛的极限就是()0g x =的解.线 性方程组以及非线性方程组的求解与单变量的方程求解方法类似.实验内容和步骤 四.实验内容与结果 1.线性方程组 ⑴编写给定初值0x 及迭代函数()f x ，迭代n 次产生相应的序列. ⑵给函数()(2/)f x x x =+初值为0进行迭代80次所产生的迭代序列并显示. 输入程序： Iterate f_,x0_,n_Integer :Module t ,i,temp x0, AppendTo t,temp ; For i 1,i n,i ,temp f temp ;AppendTo t,temp ; t f x_: x 2x 2; Iterate f,1.,80 运行结果得：
1.,1.5,1.41667,1.41422,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421, 1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421,1.41421 输入程序： NTIterate g_,x0_,n_Integer : Module i,var x0,t ,h, h x_Dt g x ,x; For i 1,i n,i ,AppendTo t,var ; If h var0,var N var g var h var ,20, Print"Divided by Zero after",i, "'s iterations."; Break ; t g x_:x^32; NTIterate g,1,40 运行结果得：
函数方程与迭代 1.迭代法 先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x 个．第i 只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为i x 个，则14(1)5 i i x x -=-, 1,2,3,4,5i =.且0x x =．设44()(1)(4)455f x x x =-=+-．于是:14()(4)45 x f x x ==+-, 224(())()(4)45x f f x x ==+-,334((()))()(4)45 x f f f x x ==+-, 444(((())))()(4)45x f f f f x x ==+-,554((((()))))()(4)45 x f f f f f x x ==+-,由于剩下的桃子数都是整数,∴5 5|4x +．∴最小的x 为：5543121x =-=． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代． 一般地，设:f D D →是一个函数，对x D ?∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，…，(1)()()(())n n f x f f x +=，n N *∈，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代，并称n 为()()n f x 的迭代指数．反函数记为()()n f x -． 一些简单函数的n 次迭代如下： （1）若()f x x c =+，则()()n f x x nc =+； （2）若()f x ax =，则()()n n f x a x =； （3）若()a f x x =，则()()n n a f x x =； （4）若()1x f x ax = +，则()()1n x f x nax =+； （5）若()f x ax b =+（1a ≠），则()1()1n n n a f x a x b a -=+-； ()()n f x 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数学归纳法． 1．求迭代后的函数值 例1 自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且11()[()]n n f k f f k -=，求(11)n f （n N * ∈）的值域. 解：由条件可知： Λ;169)652()256()11(;256)961()169()11(; 169)94()49()11(;49)61()16()11(; 164)4()11(;4)11()11(21621521421321221=++===++===+===+======+=f f f f f f f f f f f
实验六：线性方程组迭代解法 1）实验目的 ? 熟悉Matlab 编程； ? 学习线性方程组迭代解法的程序设计算法 2）实验题目 1.研究解线性方程组Ax=b 迭代法收敛速度。A 为20阶五对角距阵 ??????????????? ?????????????????------------------=321 412132141412132141412132141 412132 141213 O O O O O A 要求： (1)选取不同的初始向量x 0 及右端向量b ，给定迭代误差要求，用雅可比迭代和高斯-赛 德尔迭代法求解，观察得到的序列是否收敛？若收敛，记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。 (2)用SOR 迭代法求解上述方程组，松弛系数ω取1< ω <2的不同值,在 时停止迭代.记录迭代次数，分析计算结果并得出你的结论。 2.给出线性方程组b x H n =，其中系数矩阵n H 为希尔伯特矩阵： ()n n ij n h H ??∈=，.,,2,1,,1n j i j i i h ij Λ=-+= 假设().,1,,1,1*x H b x n n T =?∈=Λ若取,10,8,6=n 分别用雅可比迭代法及SOR 迭代 （5.1,25.1,1=ω）求解，比较计算结果。 3）实验原理与理论基础 1.雅克比（Jacobi ）迭代法算法设计： ①输入矩阵a 与右端向量b 及初值x(1,i); ②按公式计算得 ),,2,1(1)(1)1(n i x a b a x k j n i j j ij i ii k i Λ=????? ??-=∑≠=+ 2.高斯――赛得尔迭代法算法设计： 1. 输入矩阵a 与右端向量b 及初值x(1,i).
专题-----函数迭代 利用了一个函数自身复合多次，这就叫做迭代。一般地，设f ：D →D 是一个函数，对任意的x ∈D ，记f (0)(x)=x ，f (1)(x)=f(x)f (2)(x)=f(f(x))，…，f (n+1)(x)=f(f (n)(x)).则称f (n)(x)为f(x)的n 次迭代，并称n 为f (n)(x)的迭代指数。 如果f (n)(x)有反函数，则记为f (-n)(x).于是迭代指数可以取所有整数. 对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的. 若f(x)=x+c ，则f (n)(x)=x+nc. 若f(x)=x 2 ，则f (n) (x)=x 2n . 若f(x)=ax+b ，则f(n)(x)=a n x+a a n --11b(a ≠). 函数的迭代的理论与方法在计算数学和微分动力系统等领域中有着很重要的应用。然而，由于它的一些方法和结果是初等的，又较有趣，因而在数学竞赛中屡有出现。 ⑴观查法 例1、设f(x)=3x+2，证明：存在正整数m ，使f (100)(m)能被1988整除。 证 因为f(x)=3x+2，所以 f (100)(x)=3100x+(399+398+…+3+1)·2， f (100)(m)=3100m+(399+398+…+3+1)·2. 由于（3，1988）=1，因此（3100，1988）=1.根据裴蜀恒等式，存在正整数u ，v ，使得：1988u-3100v=1. 记n=2(399+398+…+3+1)，那么由1988 3100v-1 ,知：1988 n(3100v+1). 因此，取m=nv ，则1988 3100m+n.从而命题得证。 注 裴蜀恒等式是：设（x ，y ）=1，则存在正整数u ，v,使得 ux-vy=1. 例2、 设).(.1 2)()(2 x f x x x f n 计算-= 答案： . 2 22()(1) n n n n x f x x x = -- ⑵不动点求函数迭代：把f(x)写成f(x)=-21(x-3π)+3 π ，则 f (2)(x)=(-21)2(x-3π)+3π,f (3)(x)=(-21)3(x-3π)+3π,f (n)(x)=(-21)n (x-3π)+3 π. 把f(x)变形，找到了一个较易求f n (x)r 表达式。一般地，若f （x ）=ax+b ，则把它成 f (x)=a(x- a b -1)+a b -1.
函数方程与函数迭代 函数方程问题一直是各国重大竞赛中的热点问题，以IMO 为例，在已进行的四十七届竞赛的试题中，有30多道是函数方程的试题，几乎是每届一题.在我国冬令营与国家集训队的测试题中，函数方程问题也是屡见不鲜的.究其原因，它往往是给出较弱的条件，却要从中得出甚强的结论（一般是要直接求出表达式）. 【基础知识】 表示某一类（或某一个）函数所具有的一定性质的关系式叫做函数方程（其中()f x 为未知函数）.如果一个函数对其定义域内变量的一切值均满足所给的方程，则称()f x 为这个函数方程的解.寻求函数方程的解或证明函数方程无解的过程，就是解函数方程. 我们粗略地归纳其典型的解题方法，主要可以分成以下几类： 1.换元法： 2.解方程（组）法 3.待定系数法 4.代值减元法 当所给的函数方程中变量不止一个时，和普通方程一样，求解时首先要设法减少变量个数，代值减元就是一种减少变量的方法，它通过适当地对自变量赋于特殊值，从而简化方程，逐步靠近未知结果，最终解决问题. 5.柯西法 先求出对于自变量取所有正整数的值时函数方程的解具有的形式，然后依次证明对自变量取整数值，有理数值以及取实数值时函数方程的解仍具有这种形式，从而得到方程的解.这里我们给出一个定理： 柯西函数方程的解定理：若()f x 是单调（或连续）函数，且满足()()()f x y f x f y +=+ (,),x y R ∈则()(1).f x xf =（我们将此定理的证明放于例题中进行讲解.） 6.递归法 借助数列对函数方程加以研究的方法.设()f n 是定义在R +上的函数，如果存在递推关系S 和初始条件1(1),f a =当知道(1),(2),,()f f f n 的值后，由S 可以惟一确定(1)f n +的值，我们称()f n 为递归函数.递推法主要解决递归函数问题. 7.不动点法 一般地，设函数()f x 的定义域为D ，若存在0x D ∈，使00()f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，或称00(,)x x 为函数()y f x =图象的不动点. 对于一些简单的函数，利用不动点，把函数变形后再迭代，最后利用数学归纳法证明，往往会使算法简单些. 【典例精析】 【例1】已知11()(),x x f x f x x --+=求().f x 〖分析〗令 1,x t x -=则1,1x t =-再令1 ,1y t =-则1,y t y -=因此可以将所得三个等式看成是关于11 (),(),()1x f x f f x x --的三个方程，便可解得().f x 解：设1,x t x -=则1,1x t =-代入原式，得11()(),11f f t t t +=--即11 ()()1,11f f x x x +=+-- ○ 1 设1,1t x = -则代入原式，得111()()1.1t t f f t t t --+=+-即1121()(),1x x f f x x x --+=- ○2 将○1○2与原方程联立，解得321 ().2(1) x x f x x x --+= - 〖说明〗如何换元才能将已知的函数方程转化为可以求解的方程组，是一个具有技巧性的问题，它需要分
实验五 解线性方程组的迭代法 【实验内容】 对1、设线性方程组 ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??-=???????????????? ?????????????????? ? ?--------------------------211938134632312513682438100412029137264 2212341791110161035243120 536217758683233761624491131512 013012312240010563568 0000121324 10987654321x x x x x x x x x x ()T x 2,1,1,3,0,2,1,0,1,1*--= 2、设对称正定系数阵线性方程组 ?? ? ????? ??? ? ? ??---=????????????? ??????????????? ??---------------------4515229 23206019243360021411035204111443343104221812334161 2065381141402312122 00240424 87654321x x x x x x x x ()T x 2,0,1,1,2,0,1,1*--= 3、三对角形线性方程组
?? ? ?? ? ????? ??? ? ? ??----=???????????????? ?????????????????? ??------------------5541412621357410000000014100000000141000000001410000000014100000000141000000001410000000014100000000 14100000000 1410987654321x x x x x x x x x x ()T x 1,1,0,3,2,1,0,3,1,2*---= 试分别选用Jacobi 迭代法，Gauss-Seidol 迭代法和SOR 方法计算其解。 【实验方法或步骤】 1、体会迭代法求解线性方程组，并能与消去法加以比较； 2、分别对不同精度要求，如54310,10,10---=ε由迭代次数体会该迭代法的收敛快慢； 3、对方程组2，3使用SOR 方法时，选取松弛因子ω=0.8，0.9，1，1.1，1.2等，试看对算法收敛性的影响，并能找出你所选用的松弛因子的最佳者； 4、给出各种算法的设计程序和计算结果。 程序： 用雅可比方法求的程序： function [x,n]=jacobi(A,b,x0,eps,varargin) if nargin==3 eps=1.0e-6; M=200;
1．函数迭代 ⑴ 函数迭代的定义 设:f D D '→（其中D D '?）是一个函数，对任意x D ∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =， (2)()(())f x f f x =，(3)((()))f f f f x =，……，(1)()()(())n n f x f f x +=，……， 则称()()n f x 是函数()f x 在D 上的n 次迭代，并称n 是()()n f x 的迭代指数． 如果()()n f x 有反函数，则记为()()n f x -，于是，迭代指数可取所有整数． ⑵ 简单的函数迭代 求一个函数的n 次迭代，是数学竞赛中的一种基本题型．对于一些简单的函数，它的n 次迭代是容易得到的． 若()f x x c =+，则()n f x nc =+，(1)()f x x c -=-，()()n f x x nc -=-． 若3 ()f x x =，则() 3()n n f x x =，1(1) 3 ()f x x -=，1 () 3()n n f x x -=． 若()f x ax b =+，则()()11n n b b f x a x a a ??=-+ ?--??，(1) 1()11b b f x x a a a -??=-+ ?--??， ()1()11n n b b f x x a a a -??= -+ ?--??． ⑶ 函数迭代的求法 ①数学归纳法 这里用到的是先猜后证的想法，即先对函数()f x 迭代几次，观察出其规律，然后猜测出 ()()n f x 的表达式，最后用数学归纳法证之．这种方法只适用于一些较为简单的函数． ②递归法 设()f x 是定义在D 上且取值于D 的函数，由此定义数列{}n a ：0a 已知，且0a D ∈， 2 函数迭代与函数方程
线性方程组的迭代法及程序实现 学校代码:11517 学号:200810111217 HENAN INSTITUTE OF ENGINEERING 毕业论文 题目线性方程组的迭代法及程序实现 学生姓名 专业班级 学号 系 (部)数理科学系 指导教师职称 完成时间 2012年5月20日河南工程学院 毕业设计(论文)任务书 题目:线性方程组的迭代法及程序实现专业:信息与计算科学学号 : 姓名一、主要内容: 通过本课题的研究,学会如何运用有限元方法来解决线性代数方程组问题,特别是Gaussie-Seidel迭代法和Jacobi迭代法来求解线性方程组。进一步学会迭代方法的数学思想,并对程序代码进行解析与改进,这对于我们以后学习和研究实际问题具有重要的意义。本课题运用所学的数学专业知识来研究,有助于我们进一步掌握大学数学方面的知识,特别是迭代方法。通过这个课题的研究,我进一步掌握了迭代方法的思想,以及程序的解析与改进,对于今后类似实际问题的解决具有重要的意义。
二、基本要求: 学会编写规范论文,独立自主完成。 运用所学知识发现问题并分析、解决。 3.通过对相关资料的收集、整理,最终形成一篇具有自己观点的学术论文,以期能对线性方程组迭代法的研究发展有一定的实践指导意义。 4.在毕业论文工作中强化英语、计算机应用能力。 完成期限: 2012年月指导教师签名:专业负责人签名: 年月日 目录 中文摘要....................................................................................Ⅰ英文摘要 (Ⅱ) 1 综述 1 2 经典迭代法概述 3 2.1 Jacobi迭代法 3 2.2 Gauss?Seidel迭代法 4 2.3 SOR(successive over relaxation)迭代法 4 2.4 SSOR迭代法 5 2.5 收敛性分析5 2. 6 数值试验 6 3 matlab实现的两个例题8 3.1 例1 迭代法的收敛速度8 3.2 例 2 SOR迭代法松弛因子的选取 12致谢16参考文献17附录19
§4.1 引 言 绪论中讲到方程求根得二分法，但二分法收敛速度慢，有必要掌握新的方法。 §4.1.1迭代法的思想 迭代法是一种逐次逼近法，使用某个固定公式（迭代公式）反复校正，逐步精确，直到满足精度。 迭代法求根分两步： 1） 猜测初值 2）迭代 如求解初值问题00' )(),,(y x y y x f y ==用梯形公式 111[(,)(,)2 n n n n n n h y y f x y f x y +++≈+ + （1） 看作关于1+n y 的函数方程，按欧拉公式提供猜测值),() 0(1n n n n y x hf y y +=+，代入（1）得 )],(),([2 ) 0(11) 1(1+++++ =n n n n n n y x f y x f h y y 若) 1(1+n y 仍不满足要求，则将它代入（1）式，继续得到校正值) 2(1+n y ，写成迭代公式 )],(),([2 ) (11) 1(1 k n n n n n k n y x f y x f h y y ++++++ = （2） 一般地，为了求一元非线性方程0)(=x f 的根，可以先将其转换为如下的等价形式 ()x x ?= （3） 式（3）中连续函数()x ?称为迭代函数，其右端含未知数，不能直接求解。先用根的某个猜测值0x 代入（3），构造迭代公式：()k k x x ?=+1。如果迭代值k x 有极限，则称迭代收敛，极限值k k x x ∞ →=lim * 就是方程（3）的根。 几何意义P127图4-1 为使迭代法有效，必须保证它的收敛行，()x ?满足什么条件，才能保证收敛？以最简单的线性迭代()d kx x +=?，可以看出收敛的充分必要条件()1' <=k x ?。几何意义P127 图4-2,3,4,5。 §4.1.3 压缩映像原理 设* x 是方程()x x ?=的根，则由微分中值定理 ))(()()(* '*1* k k k x x x x x x -=-=-+ε???，如果存在10<≤L ，使得 ],[b a x ∈有() k k x x L x x L x -≤-?≤+* 1*' ? ，则迭代误差0e L e k k ≤，由于10<≤L ， 故0→k e ，即迭代收敛。
绪论 在数学研究的许多领域中如代数学、几何学、概率论等都涉及函数方程问题，在计算机科学中迭代理论和方法也涉及函数方程问题，在航空技术、遥感技术、经济学理论、心理学理论等诸多方面也提出了许多函数方程模型.函数方程因此一直受到广泛关注，是当今数学研究的一个十分重要的课题.由于函数方程形式多样，涉及面广，难度大，需要大量的数学基础知识.尤其是在中学数学教学中，函数方程是最基本、最易出现的问题，也是历年高考的重点.在中学教学和国外数学竞赛中，经常遇到函数方程问题.这类题目一般是求解某一给定的函数方程，而数学上尚无一般方法可循.当然，较大一部分中学生在遇到这类问题时，常常没有比较清晰的解题思路.本文就着重以函数与方程的性质来讨论函数方程在中学数学中的应用，及解决问题的途径，并通过实际问题的求解过程来阐述. 首先，我们会给出函数方程的相关概念包括函数方程的定义、函数方程的解以及解函数方程. 其次，利用函数与方程的基本性质，就中学数学中常出现的方法进行归纳并结合相应的例题解析.当然由于中学数学中考查点的不同，我们的讨论也有所侧重.对常见的方法包括换元法（代换法）、赋值法、迭代周期法（递推法）、待定系数法等均会加重笔墨，尤其会给出一些较为典型的例题分析以及巧解的方法，而对于不常用的方法本文也会提到，以让读者了解到比较前全面的函数方程问题的解题策略. 最后，就种种方法进行总结归纳.“法无定法”，关键在于人们对问题的观察、分析，进而选择最优的方法来解决问题.很多情况下，由于解决的途径并不唯一，所以在解决问题的时候一般采用多种方法同步求解，以达到简化求解过程的目的. 1函数方程的一些相关概念 1.1函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程.如()() f x f x -=， =-，()() f x f x +=等，其中() f x即是未知函数. f x f x (1)() 1.2函数方程的解 设某一函数() f x对自变量在其定义域的所有值均满足某已知方程，那么把 f x就叫做函数方程的f x就叫做已知函数方程的解.即能使函数方程成立的() () 解.函数方程的解可能是一个函数，也可能是若干个函数或无穷多个函数或无解.如偶函数、奇函数、()1 =-分别是上述各方程的解. f x x 1.3解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程就称为解函数方程.即指的是在不给出具体函数形式，只给出函数的一些性质和一些关系式而要确定这个函数，
第六章线性方程组的迭代解法 2015年12月27日17:12 迭代法是目前求解大规模稀疏线性方程组的主要方法之一。包括定常迭代法和不定常迭代法，定常迭代法的迭代矩阵通常保持不变，包括有雅可比迭代法（Jacobi）、高斯-塞德尔迭代法（Gauss-Seidel）、超松弛迭代法（SOR） 1.雅可比迭代法（Jacobi） A表示线性方程组的系数矩阵，D表示A的主对角部分，L表示下三角部分，U表示上三角部分。 A=D+L+U 要解的方程变为Dx+Lx+Ux=b x=D^(-1)（b-（L+U）x） 所以Jocabi方法如下： Matlab程序 function [x,iter] =jacobi(A,b,tol) D=diag(diag(A)); L=D-tril(A); U=D-triu(A); x=zeros(size(b)); for iter=1:500 x=D\(b+L*x+U*x); error=norm(b-A*x)/norm(b); if(error 本讲主要讲述竞赛数学中六大模块之一的函数方程问题. 在联赛大纲中明确要求函数方程问题在联赛中不作过高要求，也就是说专业级的函数方程问题一般都在冬令营乃至集训队的考试中出现，在联赛中出现的函数方程问题一般难度不高.本讲的目标是能够解决联赛级别的函数方程问题. 函数迭代严格来说其实并不算函数方程的内容，联赛中涉及到的函数迭代问题一般来说也就是寻找迭代规律进而探求一般表达式这种类型，即确定()()((((()))n n f x f f f f x =??????1442443 的具体表达式； 函数方程，是指这样一种特殊的方程，它的解是某一个函数表达式.绝大部分函数方程的求解需要 用到高深的数学工具.能用初等数学方法求解的函数方程数量不多，且其方法往往非常独特巧妙，难以想到.因此函数方程问题成为高难度数学竞赛命题者青睐的对象，在2010年IMO 中第1、3题都是函数方程问题，每年的IMO 中也至少会出现一道函数方程问题. 联赛与高考中的函数方程问题很多并不要求求出函数解析式，而是要求根据给定的函数方程探究该函数的性质：对称性、奇偶性、单调性、周期性并进而证明某个相关命题或确定某个特定的函数值； 根据函数方程求解析式的方法一般有：1、赋值法；2、换元法；3、迭代解方程组法；4、柯西法等等. 本讲我们主要关注前面这些常规的解法，而对于柯西法以及函数方程的较专业的解法本讲只是略讲. 这里仅给出一些利用基本的找规律方法来解决的问题,而桥函数方法、不动点方法这里不涉及.实际上，如果我们令()()()01,,n n a x a f x a f x ===，那么函数迭代问题就变成了递归数列求通项问题，因此我们主要在以后的递归数列一讲讲述此类问题. 知识点睛 经典精讲 8.1函数迭代问题 本讲关键词 第8讲 函数迭代与函 数方程初步 解线性方程组的几种迭代算法 内容摘要: 本文首先总结了分裂法解线性方程组的一些迭代算法,在此基础上分别通过改变系数矩阵A的分裂形式和对SSOR算法的改进提出了两种新的算法,并证明了这两种算法的收敛性.与其它方法相比,通过改变系数矩阵A的分裂形式得到的新算法具有更好的收敛性,改进的SSOR算法有了更快的收敛速度.最后通过数值实例验证了这两种算法在有些情况下确实可以更有效的解决问题. 关键词: 线性方程组迭代法算法收敛速度 Several kinds of solving linear equations iterative algorithm Abstract: In this paper, we firstly summarize some Iterative algorithms of Anti-secession law solution of linear equations. Based on these, two new algorithms are put forward by changing the fission form of coefficient matrix A and improving the algorithm of SSOR, and the convergence of the two algorithms is demonstrated. Compared with other methods, the new algorithm acquired by changing the fission form of coefficient matrix A is possessed of a better convergence. And the improved SSOR algorithm has a faster convergence speed. Finally, some numerical examples verify that the two algorithms can solve problems more effectively in some cases. Key words: Linear equations Iteration method algorithm Convergence speed 第四讲函数方程和函数迭代问题 在国内外数学竞赛中函数方程和函数迭代问题备受命题者的青睐形式灵活多变，结构变化无穷，大致可分为如下三类：⑴探求函数的解析式;⑵探求函数的值⑶讨论函数的性质. 一. 探求函数的解析式 1,换元法 换元法的解题基本思想是:将函数方程中自变量适当代换成别的自变量(应注意力求不改变函数的定义域),得到一个或几个新的函数方程,然后将它们与原方程联立,通过消元求得原函数方程的解. 例1 解函数方程 f(x)+f(x x 1-)=1+x (x ≠0,x ≠1) 例2 设f(x)是定义在实数集上的实值函数,且满足af(x-1)+bf(1-x)=cx,其中a,b,c 为实常数,求f(x) 2.赋值法 赋值法基本思想是:对自变量多于一个的函数方程,将其中一个或几个自变量用一些特殊值赋进去代入原方程,从而简化函数方程,以达到求解的目的. 例3 已知定义在R 的函数满足 ⑴ f(x 1+x 2)+f(x 1-x 2)=2f(x 1)cos2x 2+4asin 2x 2 (x 1,x 2∈R,a 为常数) ⑵ f(0)=f( 4 π)=1 ⑶ 当x ∈[0, 4π]时,f(x)≤2 试求⑴函数f(x)的解析式; ⑵常数a 的取值范围. 例4 f(x)是定义于非负实数集上且取非负实数值的函数,求所有满足下列条件的f(x) ⑴ f[xf(y)]f(y)=f(x+y); ⑵ f(2)=0 ⑶ 当0≤x ＜2 f(x)≠0 3递推法 例5已知f(x)是定义在自然数集上的函数,满足f(1)=2 3,且对任意x,y ∈N,有 f(x+y)=(1+1 +x y )f(x)+(1+1+y x )f(y)+x 2y+xy+xy 2,求f(x) 4. 柯西法 柯西首先讨论了一个很重要的函数方程f(x+y)=f(x)+f(y)的解法,由此解决了一系列其他函数方程.他的方法是,依次求出所有自然数值,整数值,有理数值,直至所有实数值的函数方程的解 例6 设f(x) 是定义在有理数集上的函数,且对任意的有理数x,y 有 f(x+y)=f(x)+f(y), 试求f(x) 5, 待定系数法 这一方法的其本思想是:当f(x)是多顸式时,可设f(x)=a 0x n +a 1x n-1+….+a n (a 0≠0),代入函数方程的两端,然后比较方程两端x 最高次幂的指数和x 同次幂的系数,便可得出关于n 及a 0 a 1…a n .的方程组,解这个方程组便可确定n 及a 0 a 1…a n 的值,从而得到函数方程的解 函数方程 三、求解函数方程的几种方法： 一．代换法 1．解函数方程：x x x f x f +=-+1)1 ( )( (1) 解：令1,0,1 ≠-=y y y x ；则x y -=11，将此代入：y y y f y y f 1 2)11()1(-=-+- 或x x x f x x f 1 2)11()1(-=-+-。(2) 此时(1)及(2)并无法解出)(x f ；所以我们再令1,0,11≠-=z z x 此代入（1）式则可得z z z f z f --=+-12)()11(，即x f x f =+-)()11(将(1)，(2)及(3)联立，则可得到一个以)1(),11(),(x x f x f x f --一次方程组；我们利用消去法来解此问题． (1)+(3)： x x x x x x f 1212)1()(2----++=)1(21)(23---= ?x x x x x f 。 经检验是原函数方程的解． 2．（2007越南数学奥林匹克）设b 是一个正实数，试求所有函数R f :得 )3(3)()(1)(1)(y y f b x y f b b b x f y x f y y -+?=+-+-+对任意实数x 、y 均成立。 解：将原方程变形为：1 )(3))(()(-++?+=++y f b x y x y b x f b y x f ， (x , 令x b x f x g +=)()(，则①等价于1)(3)()(-?=+y g x g y x g ，(x , )R y ∈② 在②中令0=y 得1)0(3)()(-?=g x g x g )(R x ∈这表明1)0(0)(==g x g 或。 1）若0)(=x g )(R x ∈，则x b x f -=)(； 2）若1)0(=g ，在②式中令0=x 得：1)(1)(33)0()(--=?=y g y g g y g ，即 0)(31)(=--y g y g 。)(R y ∈③ 考虑函数t t h t -=-13)(，它的导函数13ln 3)('1-=-t t h ，则11)(l o g l o g 0)('33<+=?=e t t h ，于是可知0)(=t h 有两根11=t 和c t =2)10(< 第三讲 函数的方程迭代 主讲人：高云 1、函数迭代 定义和符号 设f(x)是定义在集合M 上并在M 上取值的函数，归纳地定义函数迭代如下： f (1)(x)=f(x) (x ∈M) f (n)(x)=f(f (n-1)(x)) (x ∈M) (n ≥2) f (n)(x)称为函数f(x)的n 次迭代。 有时还规定f (0)(x)=f(x) (x ∈M) 2、不定方程 有一个古老的传说：一个老人有11匹马，他打算把 21分给大儿子，41分给二儿子，61分给小儿子，应该怎样分呢？ 这个传说的另一个“版本”略有不同：一个老人有17头牛，他打算把21分给大儿子，31分给二儿子，9 1分给小儿子，应该怎样分呢？ 问题：一个老人有n 头马，他打算把a 1分给大儿子，b 1分给二儿子，c 1分给小儿子，并满足 A 线性方程组的直接法 直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。 线性方程组迭代法 迭代法就是用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法．该方法具有对计算机的存贮单元需求少，程序设计简单、原始系数矩阵在计算过程中不变等优点，是求解大型稀疏矩阵方程组的重要方法．迭代法不是用有限步运算求精确解，而是通过迭代产生近似解逼近精确解．如Jacobi 迭代、Gauss — Seidel 迭代、SOR 迭代法等。 1. 线性方程组的直接法 直接法就是经过有限步算术运算，无需迭代可直接求得方程组精确解的方法。 1.1 Cramer 法则 Cramer 法则用于判断具有n 个未知数的n 个线性方程的方程组解的情况。当方程组的系数行列式不等于零时，方程组有解且解唯一。如果方程组无解或者有两个不同的解时，则系数行列式必为零。如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则没有非零解。如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式必为零。 定理1如果方程组Ax b =中0D A =≠，则Ax b =有解，且解事唯一的，解为1212,,...,n n D D D x x x D D D ===i D 是D 中第i 列换成向量b 所得的行列式。 Cramer 法则解n 元方程组有两个前提条件： 1、未知数的个数等于方程的个数。 2、系数行列式不等于零 例1 a 取何值时，线性方程组 1231231 2311x x x a ax x x x x ax ++=??++=??++=?有唯一解。 解：2111111 11011(1)11001 A a a a a a a ==--=--- 所以当1a ≠时，方程组有唯一解。 定理2当齐次线性方程组0Ax =，0A ≠时该方程组有唯一的零解。 定理3齐次线性方程组0Ax =有非零解0A <=>=。 1.2 Gauss 消元法 Gauss 消元法是线性代数中的一个算法，可用来为线性方程组求解，求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。当用于一个矩阵时，高斯消元法会产生出一个“行梯阵式”。 1.2.1 用Gauss 消元法为线性方程组求解 eg ：Gauss 消元法可用来找出下列方程组的解或其解的限制： ()()()123283211223x y z L x y z L x y z L +-=??--+=-??-++=-? 这个算法的原理是：首先，要将1L 以下的等式中的x 消除，然后再将2L 以下的等式中的y 消除。这样可使整个方程组变成一个三角形似的格式。之后再将已得出的答案一个个地代入已被简化的等式中的未知数中，就可求出其余的答案了。 在刚才的例子中，我们将132 L 和2L 相加，就可以将2L 中的x 消除了。函数迭代与函数方程初步
解线性方程组的几种迭代算法
函数方程和函数迭代问题
函数方程的几种方法
数学竞赛专题讲座第三讲函数的方程与迭代
线性方程组的直接法和迭代法
相关主题
文本预览