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函数方程与迭代1.迭代法先看一个有趣的问题：李政道博士1979年4月到中国科技大学，给少年班的同学面试这样一道题： 五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡觉，明天再说．夜里一只猴子偷偷起来，把一个桃子吃掉后正好可以分成5份，收藏起自己的一份后又去睡觉了．第二只猴子起来后，像第一只猴子一样，先吃掉一个，剩下的又刚好分成5份，也把自己的一份收藏起来睡觉去了．第三、第四、第五只猴子也都是这样：先吃掉一个，剩下的刚好分成5份．问这堆桃子最少是多少个？ 设桃子的总数为x 个．第i 只猴子吃掉一个并拿走一份后，剩下的桃子数目为i x 个，则14(1)5i i x x -=-, 1,2,3,4,5i =.且0x x =．设44()(1)(4)455f x x x =-=+-．于是:14()(4)45x f x x ==+-, 224(())()(4)45x f f x x ==+-,334((()))()(4)45x f f f x x ==+-, 444(((())))()(4)45x f f f f x x ==+-,554((((()))))()(4)45x f f f f f x x ==+-,由于剩下的桃子数都是整数,∴55|4x +．∴最小的x 为：5543121x =-=． 上面的解法，我们利用了一个函数自身复合多次，这就叫迭代．一般地，设:f D D →是一个函数，对x D ∀∈，记(0)()f x x =，(1)()()f x f x =，(2)()(())f x f f x =，…，(1)()()(())n n f x f f x +=，n N *∈，则称函数()()n f x 为()f x 的n 次迭代，并称n 为()()n f x 的迭代指数．反函数记为()()n f x -．一些简单函数的n 次迭代如下：（1）若()f x x c =+，则()()n f x x nc =+； （2）若()f x ax =，则()()n n f x a x =；（3）若()a f x x =，则()()n n a f x x =； （4）若()1x f x ax =+，则()()1n x f x nax =+； （5）若()f x ax b =+（1a ≠），则()1()1nn na f x a xb a -=+-； ()()n f x 的一般解法是先猜后证法：先迭代几次，观察规律并猜测表达式，证明时常用数学归纳法．1．求迭代后的函数值例1 自然数k 的各位数字和的平方记为1()f k ，且11()[()]n n f k f f k -=，求(11)n f （n N *∈）的值域. 解：由条件可知： Λ;169)652()256()11(;256)961()169()11(;169)94()49()11(;49)61()16()11(;164)4()11(;4)11()11(21621521421321221=++===++===+===+======+=f f f f f f f f f f f所以(11)n f （n N *∈）的值域为{4,16,49,169,256}。
迭代·混沌·分形柴文斌(四川省遂宁中学校629000)一、课例背景在20世纪下半叶，计算机的“魔杖”不断制造出新的数学分支，它最拿手的迭代计算引出了“混沌学”，接着又导致了分形几何的产生. 分形的思想和方法在模式识别，自然图象的模拟，信息讯号的处理，以及金融模型，艺术的制作等领域都取得了极大的成功.二、教学目标①本课例按《新课标》的要求，通过分形为载体，引起学生深厚的兴趣，在探究过程中，浅介数学新思想、新发展，同时让学生发现数学美，激发他们勇敢地追求美，主动地创造美，从而陶冶他们的情操，培养他们创新的精神.②总结平常练习过的从迭代、分形为背景数学试题，让他们用联系、发展的眼光，体会“背景深刻，方法独到”高考压轴题设计意图，明白“基础扎实，能力到位”明确要求.三、教学重点①应用计算机让学生感受分形图之美妙及形成数学原理.②分析分形为背景数学试题，形成高观点下审视数学问题.四、教学难点①迭代、混沌、分形定义度的把握.②Julia集、Mandelbrot集及其特征.五、教学过程(一)美丽的分形图形运用多媒体展放《孔雀开屏》等11幅分形艺术作品.师：这些美丽图形自然而优美，纷繁而有序，放射出诱人的色彩，在绚丽的色彩变化背后有几分神秘，似乎没有人会对这些图形无动于衷，你们相信，这些美妙的图形是运用数学知识，通过计算机构造出来的吗？是如何构造的呢？我们还得从函数迭代说起！(二)函数的迭代问题1：计算：①x n n sin lim ∞→ ②=∞→x n n cos lim 问题2：211n n x x +=-11=x轨道：1，0，－1，0，－1，……5.02=x轨道：0.5，―0.75，―0.4375，―0.80859，…―1，0，―1，0，－1问题3：①有没有这样一个初态把它代入211-+=n n x x ，结果不变吗？· ·A B251- 251+ ②618.11=x 写出系统轨道③619.11=x 写出系统轨道问题4：二次函数2)(z z f =进行迭代 ①i z 211=，写出系统轨道 ②i z +=11，写出系统轨道问题5：2)(z z f =且1||0<z求证：1|)(|0<z f证明：i y x z 000+=且1||0<z|2||)(|0020200i y x y x z F +-=20022020)2()(y x y x +-=22020)(y x +=20||z = 因此，在区域1||00<<z 中，1|||)(|00<<z z F ，这就意味着2)(z z F =的每一次迭代，即21n n z z =+都会使z 向靠近0的方向移动，我们说z 向0收敛，或是z 的吸引号，若1||0>z 近似于上面的结论，会发现，经过迭代z 会趋向于∞.若1||0=z ，很明显，z 是平面上单位圆上的点. 于是我们发现复平面上可分为两个区域，一个区域便落在其中的点向0吸引与逼近，而另一个区域便落在其中的点∞逃逸，它们分界线便是1)(0=z F 的单位圆，就是Julia 集.(三)混沌①C z z f +=2)(，0≠C 时，其吸引子不再是0，而是一个区域被吸进去的点会遍整个区域，我们称这个区域为混沌区. 同时，分界线不再是1|)(|0=z F 的单位圆，它是一个不规则不光滑的分界线，就像一个孤岛的海岸线一样.②《三五历经》中说：“天地混沌如鸡子，盘古生其中，万人千岁，天地开辟，阳清为天，阴浊为地，盘古在其中，一日九变；神于天，圣于地. 天月高一丈，地日厚一丈，盘古月长一丈，如此万人千岁，天数极高，地数极深，盘古极长.”③宇宙起源的问题.(四)分形不使系统发散的那么初态的集合组成“内集”，其他的“初态”组成“外集”，内集与外集的边界叫做Julia 集.问题6：运用多媒体展示：i z z f 12.0765.0)(2+-=(一个完全不连通)i z z f +=2)((连通) 特点：处处不光滑，自相似性、精细结构②Mandelbrot 集我们看到，当C 在复平面变化时它的Julia 集也在复平面内变化，而且这些集合可以分成连通与不连通两类. 如果参数C 所对应的Julia 集是连通的，我们就将这个C 染成黑色，否则染上白色，这样得到的黑色集就叫做以参数C 为元素的Mandelbrot 集.问题7：运用多媒体展示Mandelbrot 集，可以看出它有非常复杂的结构，这一结构的明显特征是一个主要心形图与一系列圆盘形的“芽苞”连接在一起，并且，每一个芽苞又被一细节更细小的“芽苞”所环绕，以至无穷. 同时，这些精细的芽苞分支都带有与整体曼德布罗特集相似的微型拷贝.(五)试题研究问题8：将一个单位正三角形一分为四，且挖去中间一个小正三角形，然后再上面三个小三角形中重复上面的步骤. 设初始三角形的面积为1. C n 、S n 分别表示第n 次操作各图形的周长和面积.①求C n 、S n 的表达式.②n 趋于无穷时，C n 、S n 趋于什么？问题9：记P 0表示面积为1的等边三角形，P k+1是对P k 进行如下操作得到：将P k 的每条边三等份，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将它中间部分的线段去掉，记S n 为曲线P n 所围成图形的面积.①求数列S n 的通项公式.②n n S ∞→lim 问题10：一种树形图为：第一层是一条与水平线垂直的线段长度为1，第二层与第一层线段的前端作两条与线段都成135°角的线段，长度为其一半，第三层按第二层的方法滚动，在第二层线段前端生成两条线段，重复前面的作法，作图到第n 层，称水平线到第n 层最高点的距离为到树形图的第n 层高度，试求：①树形图的第三层及第四层总高度②树形图的第n 层总高度h n③n n h ∞→lim问题11：⎪⎩⎪⎨⎧-+)1(221)(x x x f 121210≤<≤≤x x 定义 *∈=N n x f f f x f n ))(()(①求)152(2007f ②]}1,0[,)(|{15∈==x x x f x B求证：B 中至少含有9个元素问题12：如右图是某计算机的程序框图.(I)求打印出来的x 的值；(II)求打印出来的z 的值；(III)若将程序框图中的语句(9)“n=2007？”改为“94≥z ?”，则张三同学说这是死循环(即一直无限算下去而没有结果)，而李四说不会是死循环，你认为哪个同学说的正确？并说出你的理由.问题13：用牛顿迭代法求根.17世纪，牛顿创立了一种依靠简单计算求解方程根的方法.假设你知道某一方程0)(=x f 的近似解为0x ，此0x 接近于你还不知道的真正解x ，从而可以计算出相应的0)(=x f 及其导数0)(0=x f 的值. 由于0x 接近于x ，所以导数)(0x f '可近似写成00)()(x x x f x f --. 又因为0)(=x f 所以此导数为：000)()(x x x f x f --='] 于是有 )()(000x f x f x x '-=-则修正一次后的近似解为)()(001x f x f x x '-= 重复这个过程得到序列数n x ，它会从极快的速度收敛于此方程的真正解.请你用上述方法 81)(3-=x x f 6.00=x 时①求2x ，3x ，4x . ②100001|21|<-n x 时，n 的范围. 问题14：用多媒体展示基于牛顿迭代法的01=-n z 迭代图形.问题15：(角谷猜想) 任给一个自然数，若它是偶数则将它除以2；若它是奇数，则将它乘3再加1，反复这样运算，经有限步之后其结果必为1. 问题16：分形几何上物理学是怎样？六、课例设计反思：1．数学≠数学题. 数学教育，我想不仅要让学生认识到数学是一门科学，数学是工具，数学是技术，而且应当让他们认识到：作为人类精神、智慧与理性的最高代表之一，数学不仅是文化的重要组成部分，还在文化发展中占据着举足轻重的地位，数学是美的，数学是有意思的.2．Shirley(1986)提出，数学分为形式和非形式，应用和纯粹的，我们平常看到多数中小学讲授的数学知识是形式纯数学，这对学生形成完善的数学的文化观有缺陷，新课标模块设计也充分考虑到这一缺陷,本课例对非形式化教学，研究性学习作些探讨.。
微分方程中的混沌理论研究混沌理论是20世纪70年代后期发展起来的重要学科，它主要研究非线性系统中的混沌现象。
而微分方程作为数学中一门重要的分支，也渗透了混沌理论的探索与研究。
本文将着重探讨微分方程中的混沌理论研究。
一、混沌现象的起源和定义混沌现象最早可以追溯到1800年代的天体力学领域。
之后，其他领域也发现了类似的混沌现象，比如流体力学、电路分析和生物学等。
混沌现象的定义可以简单地理解为对初始条件的微小扰动会引发系统近乎无法预测的行为。
混沌系统具备无序性、不可预测性和敏感依赖于初始条件等特征。
二、微分方程中的混沌现象微分方程是研究变化率和求解变化率的数学工具。
在微分方程中，一阶微分方程、二阶微分方程以及其他高阶微分方程的研究中，混沌现象被发现并引起了学者们的浓厚兴趣。
例如，一个简单的非线性微分方程可以描述一个摆的运动情况。
当摆的角度小于某个阈值时，系统表现为有序的周期运动；而当摆的角度超出这个阈值时，系统将表现出混沌行为，摆动的轨迹变得无法预测和重复。
三、混沌理论在微分方程中的应用混沌理论在微分方程中的应用十分广泛，涵盖了许多领域，比如机械振动、电路理论、流体力学、生物系统和经济学等。
在机械振动方面，混沌理论可以用于研究非线性振动系统的运动规律。
通过对非线性微分方程进行建模和仿真，可以揭示系统运动的混沌行为，进而对系统进行优化和控制。
在电路理论领域，混沌电路的设计和分析是一个重要研究方向。
通过巧妙构造非线性电路模型，可以实现具有混沌行为的电路系统。
这种电路系统对于信息加密等应用有着重要的作用。
流体力学是混沌理论应用最为广泛的领域之一。
在流体力学中，混沌现象的研究可以帮助解释流体运动的复杂性，并揭示其中的规律性。
例如，通过对湍流流动的混沌特性进行研究，可以改善天然气输送管道和空气动力学领域中的气流控制等问题。
此外，混沌理论还可以应用于生物系统和经济学等领域。
在生物系统中，混沌现象的研究有助于理解生命的底层机制，并促进对疾病等问题的诊断和治疗。
试验十二 分形、混沌——迭代一、试验目的：1、Koch 曲线、Sierpinski 三角形、Cantor 集的计算机实现2、掌握用迭代、递归生成分形3、用Matlab 观察分岔与混沌现象二、分形相关程序：1、从一条直线段开始，将线段中间的三分之一部分用一个等边三角形的两边代替，形成山丘形图形如下在新的图形中，又将图中每一直线段中间的三分之一部分都用一个等边三角形的两条边代替，再次形成新的图形如此迭代，形成Koch 分形曲线。
算法分析：考虑由直线段（2个点）产生第一个图形（5个点）的过程。
图1中，设1P 和5P 分别为原始直线段的两个端点，现需要在直线段的中间依次插入三个点2P ，3P ，4P 。
显然2P 位于线段三分之一处，4P 位于线段三分之二处，3P 点的位置可看成是由4P 点以2P 点为轴心，逆时针旋转600而得。
旋转由正交矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=)3cos()3sin()3sin()3cos(ππππA 实现。
算法根据初始数据（1P 和5P 点的坐标），产生图1中5个结点的坐标。
结点的坐标数组形成一个25⨯矩阵，矩阵的第一行为1P 的坐标，第二行为2P 的坐标……，第五行为5P 的坐标。
矩阵的第一列元素分别为5个结点的x 坐标，第二列元素分别为5个结点的y 坐标。
进一步考虑Koch 曲线形成过程中结点数目的变化规律。
设第k 次迭代产生的结点数为k n ，第1+k 次迭代产生的结点数为1+k n ，则k n 和1+k n 中间的递推关系为341-=+k k n n 。
实验程序及注释：p=[0 0;10 0]; %P 为初始两个点的坐标,第一列为x 坐标,第二列为y 坐标 n=2; %n 为结点数A=[cos(pi/3) -sin(pi/3);sin(pi/3) cos(pi/3)]; %旋转矩阵for k=1:4d=diff(p)/3; %diff 计算相邻两个点的坐标之差,得到相邻两点确定的向量%则d 就计算出每个向量长度的三分之一,与题中将线段三等分对应m=4*n-3; %迭代公式q=p(1:n-1,:); %以原点为起点,前n-1个点的坐标为终点形成向量p(5:4:m,:)=p(2:n,:); %迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p(2:4:m,:)=q+d; %用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标p(3:4:m,:)=q+d+d*A'; %用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标p(4:4:m,:)=q+2*d; %用向量方法计算迭代后处于4k 位置上的点的坐标 n=m; %迭代后新的结点数目endplot(p(:,1),p(:,2)) %绘出每相邻两个点的连线axis([0 10 0 10])实验数据记录：由上面的程序，可得到如下的Koch 分形曲线：2、由四边形的四个初始点出发，对于四边形的每条边，生成元如下：可得到火焰般的图形。
0,1称为(f、迭代法函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具，哪怕是对一个相当简单的函数进行迭代，都可以产生异常复杂的行为，并由此而衍生了一些崭新的学科分支，如分.同时，迭代在各种数值计算算法以及其它学科领域的诸多算法中处于核心的本实验的基本理论是分形几何学程序运行如下：练习2：利用迭代公式1(),0,1,...()n n g x x x n g x +=-=' 得到()^32g x x =-的迭代序列，其中01x =，10n =，程序运行如下：练习3：对给定的矩阵M ，数组f 和初始向量0x ，由迭代公式1n n x Mx f +=+得到的迭代序列如下：练习4：利用迭代公式11()x L D A X D b --=-+将方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++11111111.......................................b x a x a b x a x a n nn n n n 即Ax b =改成多种等价形式x Mx f =+做迭代，观察其收敛状况。
给定(){}1,2,2,(1,1,1),(2,2,1)A =-与(){}2,1,1,(1,1,1),(1,1,2)A =--，运行结果如下：练习5：同练习4，给定(){}1,2,2,(1,1,1),(2,2,1)A =-与(){}2,1,1,(1,1,1),(1,1,2)A =--，利用迭代公式111()()x I L Ux I L D b ---=-+-对方程组Ax b =做迭代。
程序运行如下：实验结果和结果分析：对于书上给出的例题程序，要实际上机亲自操作一次，从而了解不同命令的不同作用，对于相似的命令要区分明白他们的不同之处。
这一章小的命令比较多，也比较杂，需要分门别类区分开，并且分别运行一下。
书后的练习题离不开前面的例题，要在掌握好例题的情况下，多练习一些习题，加深记忆。
Mathematica 在迭代法解方程组非常方。
实验题目：用迭代法求解方程及线性方程组。
实验问题：函数的迭代是数学研究中的一个非常重要的思想工具。
哪怕是对一个相当简单的函数进行迭代，都可以产生异常复杂的行为，并由此而衍生了一些崭新的学科分支，如分形和混沌。
同时，迭代在各种数值计算算法以及其他学科领域的诸多算法中处于核心的地位。
首先，我们来探讨利用迭代求解方程的近似解。
实验目的：1. 学会基本Mathematica 语句并用其解决实际问题。
2. 了解Mathematica 系统 。
3. 用Mathematica 解决在求方程解的迭代过程。
1.方程求解给定实数域上光滑的实值函数f(x)以及初值0x 定义数列,,1,0),(1 ==+n x f x n n （1） ,,1,0, =n x n 称为f （x ）的一个迭代序列。
给定迭代函数f(x)以及一个初值0x 利用（1）迭代得到数列,,1,0, =n x n 如果数列n x 收敛于一个*x ，则有)(**x f x = （2） 即*x 是方程x=f(x)的解。
由此启发我们用如下的方法球方程g(x)=0的近似解。
将方程g(x)=0改写为等价的方程x=f(x), (3) 然后选取一初值利用（1）做迭代。
迭代数列n x 收敛的极限就是方程g(x)=0的解。
用上述方程求方程的根的一个首要问题是迭代是否收敛？经过试验我们知道，使得迭代序列收敛并尽快收敛到方程g(x)=0的某一解的条件是迭代函数f(x)在解的附近的导数的绝对值近两小。
这启发我们将迭代方程修改成x x f x h x )1()()(λλ-+== (4) 我们需要选取λ使得01)('|)('|=-+=λλx f x h得)('11x f -=λ 于是1)(')()(---=x f xx f x x h特别地，如果f(x)=g(x)+x ,则我们得到迭代公式.,1,0,)(')(1 =-=+n x x n n x g x g n n (5) 2.线性方程组的迭代求解给定一个n 元线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++n n nn nn n n b x a x a b x a x a 111111 （6）或写成距阵的形式Ax=b, (7)其中)(ij a A =是n 阶方程，T n x x x ),,(1 = 及T n b b b ),,(1 =均为n 维列向量。
迭代 混沌 分形§1 计算物理量的迭代方法中学中我们经常遇到的等差序列000,,2,...a a d a d ++和等比序列2000,,,...a a q a q这两个序列的共同之处是，自第二项开始，每一项都是对其前一项作同一种运算(或加d ，1n n x x d +=+；或乘以q ，1n n x qx +=)而得来的。
这种不断重复同一种运算的算法称为迭代法。
如果一个物理量的表达式中含有该物理量本身，即()x f x = (1.1.1)求解这个物理量时通常采用数学上的迭代法。
1.1 直接迭代法先设一个初值x 0，计算出f (x 0)＝x 1，再将x 1代入计算，得到f (x 1)＝x 2，f (x 2)＝x 3，于是每一步都是1()n n f x x += (1.1.2)的形式，等等。
一直到1n n x x += (1.1.3)实际计算中由于计算的步数是有限的，因此很难实现严格的相等，通常设定一个收敛系数ε， 当1n n nx x x ε+−≤ (1.1.4) 得到1n n x x +≈。
ε的数值可以是万分之一，或者千分之一或者百分之一，这由系统是否容易收敛而定。
如果系统容易收敛，可把ε的数值定小一些。
1.2 牛顿迭代法求根的方程的更为一般的形式是，()0g x = (1.2.1)(1.1.1)式是一个特例，形式为()()0g x f x x =−=。
设方程(1.2.1)的根为x 0，将方程在x 0的邻域内作Taylor 展开，取其一阶近似，即000()()()()0g x g x g x x x ′≈+−= (1.2.2)于是有000()()g x x x g x =−′ (1.2.3) 实际计算时同样先估计一个初值x 0，计算出0100()()g x x x g x =−′，再将x 1代入计算，得到1211()()g x x x g x =−′，2322()()g x x x g x =−′，…每一项都是对其前一项作相同的运算： 1()()n n n n g x x x g x +=−′ (1.2.4) 除相对误差精度ε外，牛顿迭代法还有另一个收敛系数，即绝对误差精度δ，需同时满足1|()|n g x δ+< (1.2.5)及(1.1.4)式，才能作为方程的根。
设计题四：求线性方程的根组员：鲁利萍章程冯山林班级：信息与计算科学081指导教师：吴梅君完成日期：12月12日目录实验二十四：迭代——方程求解、混沌 (3)一、实验指导书解读 (3)二、试验计划 (3)1、迭代序列 (3)2、方程求根 (5)3、线性方程组的迭代求解 (6)4、蜘蛛网 (6)5、Feigenbaum图 (7)6、Logistic映射 (8)7、“听一听”混沌 (8)三、实验过程与结果 (8)1、迭代序列 (8)2、方程求根 (13)3、线性方程组的迭代求解 (14)4、蜘蛛网 (15)5、Feigenbaum图 (16)6、Logistic映射 (19)7、“听一听”混沌 (20)四、实验总结： (20)实验二十四：迭代——方程求解、混沌实验报告一、实验指导书解读本实验主要做三方面的工作：一是通过若干个函数通过迭代利用计算机求函数的不动点的近似值，在有关程序中改变有关参数值、初值、函数而体会序列敛散性（速度），通过蛛网图利用函数在不动点的导数来刻画不动点的类型；二是对一个方程（组）或几个方程（组）利用迭代求根（解），观察初值对序列敛散性的影响，比较不同迭代所形成的序列的求解效果，思考或研究有效迭代的条件；三是通过Logistic迭代函数中参数a的不同取值利用计算机研究序列发散时出现的周期收敛，利用计算机进行不同次数的迭代对Feigenbaum图体会分形的层次性与自相似性。
二、试验计划1、迭代序列（1）研究函数f(x)=(25x-85)/(x+3)的蛛网图（2）给定初值1及迭代函数f(x)=x/2+1/x,迭代n次产生相应的序列（3）给定初值1，分别就f（x）=（-x+15）/（x+1），g（x）=sinx做迭代序列{Xn}实验思路改变有关参数值、初值、函数思考：观察序列的通项并判断其敛散性，通过蛛网图利用函数在不动点的导数来刻画不动点的类型。
2、方程求根用迭代序列求g（x）=x^3-2x+1的根实验思路：改变初值思考：观察实验结果，求出方程的根3、线性方程组的迭代求解对给定的矩阵M，数组f和初始向量x^0,由已知的迭代结果求出线性方程组的解实验思路改变初值思考：观察结果，求出线性方程组的解；研究矩阵M的特征值对迭代序列的收敛性有何关系。
实验十一 非线性混沌实验研究非线性科学和复杂系统的研究是二十一世纪科学研究的一个重要方向。
目前主要的研究方法是在给定的参量和初值后，依照一定的决定性关系用计算机按迭代法对其演变进行数值计算。
其相应的研究结论和成果在电子学、数学、物理学、气象学、生态学、经济学等领域得到了广泛应用。
长期以来，人们在认识和描述运动时，大多只局限于线性动力学描述方法，即确定的运动有一个完美确定的解析解。
但是自然界中最常见的运动形式，既不是完全确定的，也不是完全随机的，而是介于两者之间。
在相当多情况下，非线性现象却起着很大的作用。
1963年，美国气象学家Lorenz 在分析天气预报模型时，首先发现空气动力学中混沌现象，该现象只能用非线性动力学来解释。
于是，1975年“混沌”作为一个新的科学名词首先出现在科学文献中。
世界是有序的还是无序的？从牛顿到爱因斯坦，他们都认为世界在本质上是有序的，有序等于有规律，无序就是无规律，系统的有序有律和无序无律是截然对立的。
这个单纯由有序构成的世界图象，有序排斥无序的观点，几个世纪来一直为人们所赞同。
但是混沌和分形的发现，向这个单一图象提出了挑战，经典理论所描述的纯粹的有序实际上只是一个数学的抽象，现实世界中被认为有序的事物都包含着无序的因素。
混沌学研究表明，自然界虽然存在一类确定性动力系统，它们只有周期运动，但它们只是测度为零的罕见情形，绝大多数非线性动力学系统，既有周期运动，又有混沌运动，虽然并非所有的非线性系统都有混沌运动，但事实表明混沌是非线性系统的普遍行为。
混沌既包含无序又包含有序，混沌既不是具有周期性和其他明显对称性的有序态，也不是绝对的无序，而可以认为是必须用奇怪吸引子来刻划的复杂有序，是一种蕴涵在无序中的有序。
以简单的Logistic 映射为例，系统在混沌区的无序中存在着精细的结构，如倒分岔、周期窗口、周期轨道排序、自相似结构、普适性等，这些都是有序性的标志。
所以，在混沌运动中有序和无序是可以互补的。
混沌方程及其解法混沌现象是一种在数学和自然科学领域中出现的特殊现象。
混沌现象最早被科学家描述是在 19 世纪晚期，但是直到 20 世纪后期，混沌现象才被大众所熟知。
混沌现象具有非常复杂的特征，其规律性无法被简单的数学模型所描述，这导致了混沌现象在科学研究中的重要性。
混沌现象的出现是由一些小幅摆动及其微小变化而引起的。
这些小幅摆动产生的基础是能量，当该能量或力度达到某个阈值时，混沌现象就会发生。
混沌现象的复杂性会随着时间的增加而增加，在许多情况下，它们可能看起来是没有规律性或者是非常难以预测的。
混沌方程的概述混沌方程是研究混沌现象的一种数学工具，它们用于描述混沌系统中各个元素之间的相互作用。
混沌方程的形式很多，不同类型的混沌系统有不同的方程，这些方程是相互独立的，但它们具有相同的基本特征：非线性和高阶。
高阶非线性方程表示变化的速率是与其当前状态相关的，这种方式对于描述混沌系统的复杂性非常重要。
方程中的高阶项意味着系统具有非常强的复杂性，这种复杂性表现在系统之间的相互作用上。
混沌现象的本质是其高度复杂的动力学系统的结构和行为，这意味着混沌方程是一种用于描述不规则、无序行为的工具。
混沌方程的解法混沌方程的解法是通过对方程进行数值模拟来实现的。
数值解的计算相对简单，只需要解决计算机程序上的一系列方程即可。
数值模拟的过程中，需要使用不同的算法和方法来计算出想要的结果。
最常用的数值解法之一是欧拉法。
欧拉法本质上是运用简单数学公式来解决复杂问题的一种方法，如 f(x) = y。
欧拉法既可以用于解决线性方程，也可以用于解决非线性方程。
欧拉法的核心思路是将一个问题分解为数学模型和初始条件，并依次计算每一步的结果，直到实现提出要求的步骤。
另一种重要的数值解法是利用分形理论来解决混沌问题。
分形理论是一个描述自然现象的方法，它允许我们利用一组几何图形来表示非线性系统。
这些几何图形通常具有类似的分形特征，可以用来描述混沌系统中的各个部分，从而帮助我们更好地理解该系统的结构和行为。
数学作为一门学科，一直以来都扮演着解开自然界奥秘的工具和媒介的角色。
而迭代法作为数学中的一种重要工具，在数学的发展和应用中发挥着不可替代的作用。
从初等函数到混沌现象，我们可以通过迭代法的数学之旅，揭示出许多神奇而又令人着迷的现象。
初等函数是数学中最基础的函数类型之一，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
初等函数的特点是可以通过有限次的代数运算表达出来。
但是，通过迭代法，我们可以进一步拓展初等函数的应用范围。
迭代法是通过不断重复同一代数运算，得到一个数的序列。
例如，通过不断迭代$f(x)=ax(1-x)$，我们可以发现，对于不同的初值$x_0$，迭代结果会趋向于一个特定的值。
这种现象被称为“迭代收敛”，通过迭代法，我们可以求解一些非线性方程，如方程$f(x)=x$的根。
不仅如此，通过迭代法，数学家们还发现了一些非凡的现象，如“分岔现象”和“混沌现象”。
分岔现象是指当参数增加时，方程的解会从一个点变成两个点、四个点，甚至无穷多个点。
这种现象最早在简单的线性方程中被发现，而后也被应用于更为复杂的系统中。
而混沌现象则是指当参数增大到一定程度时，方程的解会变得非常敏感，微小的变动也会导致完全不同的结果。
混沌现象最早是由天体力学家勒夫布里（Henri Poincaré）在研究三体问题时发现的，后来被应用于气象学、生物学、经济学等领域。
迭代法的应用还远不止于此。
在图像处理中，迭代法可以用来对图像进行增强和去噪。
在机器学习中，迭代法常常用来求解最优解。
在金融领域中，迭代法可用于计算复利和模拟股票价格等。
可以说，迭代法贯穿了各个领域的数学应用。
通过迭代法，我们可以更深入地理解和探索数学中的种种现象。
从初等函数到混沌现象，我们可以看到数学的力量和美丽。
迭代法不仅是一种数学方法，更是一把打开自然之门的钥匙。
无论是解方程、研究科学现象，还是应用于实际问题的求解，迭代法都具有极其重要的作用。
通过迭代法的数学之旅，我们不仅可以领略到数学的魅力，还可以发现许多神奇而又令人着迷的现象。
迭代、混沌与分形讨论给定某个初值,反复作⽤以同⼀个函数的过程称为迭代.函数f(x)的迭代过程如下:x0,x1=f(x0),x2=f(x1),……..,x n=f(x n-1)…..,g它⽣成了⼀个序列{x n}迭代序列.许多由递推关系给出的数列,都是递推序列.例如数列.X0=1,x n=1+1/(1+x n-1) (n=1,2,…………..)是由函数f(x)=1+1/(1+x)=(2+x)/(1+x)取初值为1所得的迭代序列.1.2 迭代序列的收敛性定理设函数f(x)满⾜:(1)对任意x∈(a,b),f(x)∈(a,b);(2)f(x)在(a,b)内可导,且存在常数L使得|f(x)'|=L<1,则当初值x0∈(a,b)时,由f(x)⽣成的迭代序列收敛.在迭代函数f(x)连续的条件下,如果迭代数列收敛,则它⼀定收敛于⽅程x=f(x)的根.该⽅程的根也称函数f(x)的不动点.设x*为f(x)的不动点,f(x)'在x*的附近连续,若|f(x*)'|<1,则称不动点x*是稳定的;若f(x*)'=0,则称不动点x*是超稳定的.在超稳定点x*附近,迭代过程x n+1=f(x n)收敛到x*的速度是⾮常快的.1.3 Newton迭代法设函数g(x)具有⼀阶导数,且g(x)'≠0,则函数f(x)=x-g(x)/g(x)'的迭代称为Newton迭代,若函数f(x)存在不动点,则它⼀定是⽅程g(x)=0的根,故Newton迭代法可⽤来求⽅程g(x)=0的根.§2 实验内容与练习2.1 迭代的收敛对于函数迭代,最重要的问题是迭代序列的收敛性.⼀般说,迭代序列是否收敛取决于迭代函数与初值.作为⼀个例⼦，我们⽤来讨论⽤Newton迭代法求函数g（x）=（x-17）5/3（x-5）-2/3的根，其Mathematica程序为：Clear[g，x]；g[x_]：=（x-17）^(5/3)*(x-5)^(-2/3);f[x_]=Factor[x-g(x)]/D[g[x],x]];x0=5.5;n=20;For[i=1,i<=n,i++,x0=N[f[x0]];Print[i,”“,x0,”“,D[f[x],x]/.x->x0]]执⾏结果见表4.1.表4.1的结果说明迭代序列收敛于g(x)的零点17.我们注意到程序中取的迭代处值为5.5,如果其它的数作为初值,所得的迭代序列是否收敛于17呢?我们可以取其它初值做实验,结果得到表4.2(表中第三列是迭代序列的前6位有效数字⾸次为17.0000的步数).系不⼤.前⾯程序中使⽤的f(x)为g(x)的化简过的Newton迭代函数,⽤Mathematica命令可检查出它为(25x-85)/(x+3)(注意,这个式⼦扩充了原迭代函数在x=5,x=17处的定义),解⽅程f(x)=x.得到x=17,与x=5.即17和5是f(x)的两个不动点,有前⾯的讨论知这两个不动点是有区别的:对于17,不管初值取为多少(只要不为5),迭代序列总是收敛于它;⽽对于5,只要初值取为5时,迭代序列才以它为极限,这样⼀种现象在函数的迭代中普遍存在,为⽅便区分起见,我们给这样两种点各⼀个名称:像17这样的所有附近的点在迭代过程中都趋向于它的不动点,称为吸引点;⽽像5这样的所有附近的点在迭代过程中都远离它的不动点,称为排斥点.上⾯的f(x)=(25x-85)/(x+3)是⼀个分式线性函数,对于⼀般的分式线性函数,迭代序列是否总是收敛呢?练习1 编程判断函数f(x)=(x-1)/(x+1)的迭代序列是否收敛.在上节我们已经指出,如果迭代序列收敛,⼀定收敛到函数的某个不动点,这就是说,迭代函数存在不动点是迭代序列收敛的必要条件.那么如果迭代函数存在不动点,迭代序列是否⼀定收敛呢?练习2 先分别求出分式线性函数f1(x)=(x-1)/(x+3),f2(x)=(-x+15)/(x+1)的不动点,再编程判断它们的迭代序列是否收敛.运⽤上节的收敛定理可以证明:如果迭代函数在某不动点处具有连续的导数且导数值介于-1与1之间,那么取该不动点附近的点为初值所得到的迭代序列⼀定收敛到该不动点.练习3 你能否说明为什么17是f(x)=(25x-85)/(x+3)的吸引点,⽽5是f(x)的排斥点?尽量多找些理由⽀持这个结论.练习4 能否找到⼀个分式线性函数(ax+b)/(cx+d),使它产⽣的迭代序列收敛到给定的数?⽤这种办法计算2.2.2迭代的”蜘蛛图”对函数的迭代过程,我们可以⽤⼏何图象来直观地显⽰它.在xoy平⾯上,先作出函数y=f(x)与y=x的图象,对初值x0,在曲线y=f(x)上可确定⼀点p0,它以x0为横坐标,过p0引平⾏x轴的直线,设该直线与y=x交与点Ｑ1作平⾏于y轴的直线它与曲线y=f(x)的交点记为p1,重复上⾯的过程,就在曲线y=f(x)上得到点列p1,p2,……，如图４.１，不难知道，这些点的横坐标构成的序列x0,x1,x2,……，xn……就是迭代序列.若迭代序列收敛,则点列p1,p2,……趋向于y=f（x）与y=x的交点p*，因此迭代序列是否收敛，可以在图上观查出来，这种图因其形状像蜘蛛⽹⽽被称为“蜘蛛⽹”图。
方程的迭代解法与函数的迭代、混沌与分形实验
一、编写程序,对不同的λ进行迭代)1(1n n n x x x −=+λ, 并用图形加以显示(收敛?发散?混沌？) 并特别讨论如下情况迭代的结果
4
546.3 46.34.3 32
26
.11=<<≤≤==λλλλλ）（）
（）
（）（）（
二、 编程生成如下雪花状分形图，具体步骤如下：将单位长度的一条线段三等分，将中间的一段去掉，代之以更小的等边三角形的两条边，如图（1），对每条边依次做下去，得到如图所示的的雪花状图形，如图（2）。
图（1） 图（2）
三、 炮弹发射视为斜抛运动，已知初速度为200m/s,问要击中水平距离300m,垂直距离160m 的目标，当忽略空气阻力时，发射角应为多大。
如果只考虑水平方向的阻力时，且阻力与水平方向的速度成正比，比例系数为0.1，发射角又应该为多大？。
