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第四章 平稳时间序列模型的建立

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平稳时间序列建模步骤

平稳时间序列建模步骤

平稳时间序列建模步骤什么是时间序列建模时间序列建模是一种用于分析和预测时间序列数据的统计方法。

时间序列是按照时间顺序排列的一组连续观测值，例如每日销售额、每月气温、每年股票收益等。

通过建立时间序列模型，我们可以探索时间序列的内在规律和趋势，并做出相应的预测。

平稳时间序列建模是时间序列建模的一种常用方法，它假设时间序列的统计特性在时间上是不变的。

平稳时间序列具有恒定的均值、方差和自协方差，这使得我们可以应用各种经典的时间序列模型进行建模和预测。

以下是平稳时间序列建模的步骤：步骤一：数据收集和观察首先，我们需要收集要建模的时间序列数据。

可以从各种数据源获取时间序列数据，包括经济指标、物理测量、金融数据等等。

收集到数据后，我们需要对数据进行观察，检查数据的特点、趋势、异常值等，并做必要的数据清洗和准备工作。

步骤二：时间序列分解时间序列通常由趋势、季节性和随机因素组成。

为了更好地分析和建模时间序列，我们需要先对时间序列进行分解，将其拆分为这些组成部分。

常用的时间序列分解方法有加法模型和乘法模型。

加法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之和，而乘法模型假设时间序列是趋势、季节性和随机误差之积。

选择合适的分解模型可以根据时间序列的特点和趋势来确定。

步骤三：平稳性检验平稳性是时间序列建模的前提之一。

在进行建模之前，我们需要对时间序列的平稳性进行检验。

平稳性检验可以通过统计检验方法来进行，例如单位根检验、ADF检验等。

如果时间序列不平稳，我们需要进行差分处理，使其变成平稳序列。

步骤四：模型选择和拟合在确定时间序列的平稳性后，我们可以选择合适的时间序列模型进行拟合。

常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）等。

模型选择可以通过观察自相关图（ACF）和偏自相关图（PACF）来辅助判断。

ACF图可以显示序列之间的相关性，PACF图可以显示去除其他变量的直接相关性。

4第四章 平稳时间序列模型的建立

4第四章 平稳时间序列模型的建立
在实际估计模型时，可将θ0看作一个常数估计， 若θ0显著不为0，则µ≠0，此时θ0 、 µ 有如上关系。 若θ0显著为0，则可认为µ=0，在最终模型中将此常数 项去掉即可。 一般而言，后一种方法拟合的效果较好。
（三）关于平稳序列均值是否为零的检 验。 方法一 为检验µ =E(xt)=µ=0
可将样本均值 和均值的标准差 S x 进行比较， 若样本均值落在 的范围内，则可认为 0 ± 2S x 是零均值过程。 S x 的一般公式和几种特殊情况下的计算公 式.
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若序列xt的自相关函数ρk 在k>q以后截尾，即 ρ k>q 时， k = 0，而且它的偏自相关函数 φkk 拖尾，则可判断此序列是MA(q)序列。 若序列xt的自相关函数、偏相关函数都呈拖 尾形态，则可断言此序列是ARMA序列。 若序列的自相关函数和偏自相关函数不但都 不截尾，而且至少有一个下降趋势势缓慢或 呈周期性衰减，则可认为它也不是拖尾的， 此时序列是非平稳序列，应先将其转化为平 稳序列后再进行模型识别。
（二）样本自相关函数(SACF)和偏自 相关函数(SPACF)截尾性的判断。
ρ 前面模型识别方法中有关自相关函数 k 、 偏自相关函数φkk 截尾性的判断仅是理 ˆ 论上的，实际上的样本自相关函数 ρk ˆ φkk 仅是理论上的一 和样本偏自相关函数 个估计值，由于样本的随机性，免不了 有误差。因此需要根据SACF和SPACF 对ACF和PACF的截尾性作一判断。
1. 样本自相关函数截尾性的判断方法 理论上证明：若序列xt为MA(q)序列， ˆ ρk 渐 则k>q后，序列的样本自相关函数 近服从正态分布，即：
1 2 ˆ ˆ ρk ~ N (0, (1 + 2∑ ρl )) n l =1

实验报告-时间序列

实验报告-时间序列

实验报告----平稳时间序列模型的建立08经济统计I60814030王思瑶一．实验目的从观察到的化工生产过程产量的70个数据样本出发，通过对模型的识别、模型的定价、模型的参数估计等步骤建立起适合序列的模型。

以下是化工生产过程的产量数据：obs BF obs BF1 47 36582 64 37453 23 38544 71 39365 38 40546 64 41487 55 42558 41 43459 59 445710 48 455011 71 466212 35 474413 57 486414 40 494315 58 505216 44 513817 80 525918 55 535519 37 544120 74 555321 51 564922 57 573423 50 583524 60 595425 45 604526 57 616827 50 623828 45 635029 25 646030 59 653931 50 665932 71 674033 56 685734 74 695435 50 7023可以明显看出序列均值显著非零，所以用样本均值作为其估计对序列进行零均值化。

obs BF 零均值化后的数据Y obs BF零均值化后的数据Y1 47 -4.12857 3658 6.871432 64 12.87143 3745-6.128573 23 -28.12857 3854 2.871434 71 19.87143 3936-15.128575 38 -13.12857 4054 2.871436 64 12.87143 4148-3.128577 55 3.87143 4255 3.871438 41 -10.12857 4345-6.128579 59 7.87143 4457 5.8714310 48 -3.12857 4550-1.1285711 71 19.87143 466210.8714312 35 -16.12857 4744-7.1285713 57 5.87143 486412.8714314 40 -11.12857 4943-8.1285715 58 6.87143 50520.8714316 44 -7.12857 5138-13.1285717 80 28.87143 52597.8714318 55 3.87143 5355 3.8714319 37 -14.12857 5441-10.1285720 74 22.87143 5553 1.8714321 51 -0.12857 5649-2.1285722 57 5.87143 5734-17.1285723 50 -1.12857 5835-16.1285724 60 8.87143 5954 2.8714325 45 -6.12857 6045-6.1285726 57 5.87143 616816.8714327 50 -1.12857 6238-13.1285728 45 -6.12857 6350-1.1285729 25 -26.12857 64608.8714330 59 7.87143 6539-12.1285731 50 -1.12857 66597.8714332 71 19.87143 6740-11.1285733 56 4.87143 6857 5.8714334 74 22.87143 6954 2.8714335 50 -1.12857 7023-28.12857二．实验步骤1.模型识别零均值平稳序列的自相关函数与偏相关函数的统计特性如下：模型 AR(n) MA(m) ARMA(n,m)自相关函数拖尾截尾拖尾偏自相关函数截尾拖尾拖尾所以，作零均值化后数据的自相关函数与偏自相关函数图Date: 04/25/11 Time: 22:35Sample: 2001 2070Included observations: 70Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob***| . | ***| . | 1 -0.382 -0.382 10.638 0.001. |** | . |** | 2 0.325 0.209 18.444 0.000**| . | . | . | 3 -0.193 -0.018 21.234 0.000. |*. | . | . | 4 0.090 -0.049 21.857 0.000.*| . | .*| . | 5 -0.162 -0.126 23.900 0.000. | . | .*| . | 6 0.014 -0.094 23.916 0.001. | . | . | . | 7 0.012 0.065 23.928 0.001.*| . | .*| . | 8 -0.085 -0.079 24.519 0.002. | . | . | . | 9 0.039 -0.051 24.644 0.003. | . | . |*. | 10 0.033 0.080 24.736 0.006. |*. | . |*. | 11 0.090 0.125 25.426 0.008.*| . | . | . | 12 -0.077 -0.054 25.942 0.011. | . | . | . | 13 0.063 -0.045 26.291 0.016. | . | . |*. | 14 0.051 0.134 26.524 0.022. | . | . |*. | 15 -0.006 0.079 26.528 0.033. |*. | . |*. | 16 0.126 0.145 28.016 0.031.*| . | . | . | 17 -0.090 -0.040 28.792 0.036. | . | .*| . | 18 0.017 -0.084 28.820 0.051.*| . | . | . | 19 -0.099 -0.017 29.795 0.054. | . | . | . | 20 0.006 -0.036 29.798 0.073. | . | . | . | 21 0.015 0.055 29.820 0.096. | . | . | . | 22 -0.037 -0.015 29.968 0.119. | . | . | . | 23 0.013 -0.051 29.985 0.150. | . | . | . | 24 0.010 0.010 29.997 0.185. | . | . | . | 25 0.015 -0.016 30.023 0.223. | . | . | . | 26 0.036 0.023 30.172 0.261. | . | . | . | 27 -0.016 -0.036 30.202 0.305. | . | . | . | 28 0.033 0.030 30.335 0.347. | . | . | . | 29 -0.057 -0.015 30.735 0.378. | . | . | . | 30 0.051 -0.003 31.064 0.412.*| . | . | . | 31 -0.070 -0.053 31.706 0.431. | . | . | . | 32 0.057 -0.003 32.141 0.460由上图可知Autocorrelation与Partial Correlation序列均有收敛到零的趋势，可以认为Y的自相关函数与偏自相关函数均是拖尾的，所以初步判断该序列适合ARMA模型。

平稳时间序列模型

平稳时间序列模型

（1）一个平稳的时间序列总可以找到生成它
的平稳的随机过程或模型； （2）一个非平稳的随机时间序列通常可以通 过差分的方法将它变换为平稳的，对差分后平稳 的时间序列也可找出对应的平稳随机过程或模型。
（六） 中国GDPP的 ARMA(p,q)模型
ARMA(1,1) ARMA(2,2)
ARIMA(8,2,7)非对称
p阶自回归模型,简记为AR(p)：
xt 0 1 xt 1 2 xt 2 p xt p t 2 E ( ) 0 ， Var ( ) t t , E ( t s ) 0, s t
0 且 1 1 2 p , Var( x ) t
（二）向量自回归模型定义 VAR（Vector AutoRegression，向量自回归）
•1980年Sims提出向量自回归模型（vector autoregressive model）。 •VAR模型是自回归模型的联立形式，所以称向量自回归 模型。
q 阶移动平均模型，
xt t 1 t 1 2 t 2 q t q q 0 2 E ( t ) 0，Var ( t ) , E ( t s ) 0, s t
特别当
0
时，称为中心化
MA(q) 模型
二、自回归模型
（一） AR模型的定义 1阶自回归模型,记为AR(1)： xt=0+1xt-1+t (1) E(t)=0,Var(t)=2, E(ts)=0, st 若序列是弱平稳的,则 E(xt)=, Var(xt)=0, Cov(xt, xt-k)=k 由(1)可得 E(xt)=0+1E(xt-1) 0 因此

时间序列建模过程

时间序列建模过程

时间序列建模是根据一系列按时间顺序排列的观测值来预测未来的数值或者分析过去的趋势和模式的一种方法。

下面将介绍时间序列建模的相关参考内容。

1.数据收集与预处理：时间序列的建模首先需要收集数据。

数据的收集可以通过调查统计、传感器监测、数据库查询等方式来获得。

收集到的数据需要经过预处理，包括数据清洗、去除异常值或噪声、处理缺失值等。

常用的预处理方法包括平滑处理、插值填补、异常检测和修正等。

2.数据可视化和描述统计分析：在时间序列建模之前，可以通过绘制时序图、箱线图、自相关图、偏自相关图等可视化手段来观察数据的特征和趋势。

此外，还可以计算数据的基本统计量，如均值、方差、偏度、峰度等，以了解数据的分布和特征。

3.时间序列模型选择：根据数据的特点和趋势，选择适合的时间序列模型。

常用的时间序列模型包括平稳时间序列模型（AR、MA、ARMA、ARIMA模型）、非平稳时间序列模型（趋势模型、季节模型、指数平滑模型、ARIMA模型的扩展模型等）和面板数据模型。

4.参数估计和模型检验：对选择的时间序列模型，需要对模型的参数进行估计。

常用的参数估计方法有最小二乘估计、最大似然估计、贝叶斯估计等。

同时，还需要对模型进行检验，如检验模型的残差序列是否平稳、白噪声检验、残差的正态性检验等，以评估模型的拟合程度和有效性。

5.模型预测和评估：根据已建立的时间序列模型，进行未来数值的预测。

可以使用模型自身进行预测，或者结合外部因素进行预测。

在预测的过程中，需要选择合适的预测准则和评估标准，如均方误差（MSE）、平均绝对误差（MAE）、预测精度（APE）等，来衡量模型的预测能力和准确性。

6.模型应用和结果解释：经过以上步骤的时间序列建模，得到的模型可以应用于实际预测或分析中。

根据模型的结果，可以解释时间序列数据的趋势、周期性、季节性等特征，为决策提供依据。

除了以上的步骤和参考内容，还可以结合具体的案例和实践经验，进行时间序列建模。

此外，还可以使用一些统计软件（如R、Python中的statsmodels、MATLAB中的Econometrics Toolbox等）或时间序列分析平台（如EViews、SAS、SPSS等）来辅助进行时间序列建模。

平稳时间序列模型的建立概述

平稳时间序列模型的建立概述

平稳时间序列模型的建立概述平稳时间序列模型是一种常用的时间序列分析方法，用于描述和预测时间序列数据的变化模式。

该模型假设时间序列数据的统计特性在时间上保持不变，即均值和方差不随时间发生明显的变化。

以下是平稳时间序列模型的建立概述。

第一步是数据的预处理。

在建立平稳时间序列模型之前，需要对原始时间序列数据进行一些预处理，包括去除趋势、季节性和周期性等。

去趋势可以采用差分方法，即对时间序列数据进行一阶差分，得到的差分序列不再具有明显的趋势性。

去除季节性和周期性可以使用季节性差分或移动平均方法。

第二步是对预处理后的序列进行统计特性分析。

这包括计算序列的均值、方差、自相关函数和偏自相关函数等统计指标。

通过分析这些指标，可以了解序列的平稳性、周期性和相关性等统计特性。

第三步是根据统计分析结果选择适合的时间序列模型。

常用的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）、移动平均模型（MA）和季节性自回归移动平均模型（SARIMA）等。

选择模型的原则是使模型具有较好的拟合效果并具有良好的预测性能。

第四步是模型参数的估计与诊断。

对于选定的时间序列模型，需要估计模型的参数。

这可以通过最大似然估计或最小二乘估计等方法进行。

估计得到模型参数之后，需要对模型进行诊断检验，判断模型是否合理。

常用的诊断方法包括残差平稳性检验、残差序列的白噪声检验和残差的自相关函数和偏自相关函数检验等。

第五步是模型预测与评估。

通过已建立的平稳时间序列模型，可以对未来的序列数据进行预测。

预测的准确性可以通过计算预测误差和拟合优度等指标进行评估。

若模型的预测效果较好，则可应用该模型进行实际预测。

总之，平稳时间序列模型的建立过程包括数据的预处理、统计特性分析、模型选择、参数估计与诊断以及模型预测与评估等步骤。

通过这些步骤的实施，可以建立一个合理且具有较好预测效果的平稳时间序列模型。

平稳时间序列模型的建立概述（续）第一步是数据的预处理。

平稳时间序列模型的建立

第三章 平稳时间序列模型的建立
第三章 平稳时间序列模型的建立
第一节 时间序列的采集 直观分析和特征分析 第二节 时间序列的相关分析 第三节 平稳时间序列的零均值处理 第四节 平稳时间序列的模型识别 第五节 平稳时间序列模型参数的矩估计 第六节 平稳时间序列模型的定阶 第七节 平稳时间序列模型的检验 第八节 平稳时间序列模型的建模方法
检验后面s个回归因子对因变量的影响是否显著
H 0 :r s 1 r s 2 r 0
设样本容量为N;上述两个模型的残差平方和分别是Q0与
Q1;则检验统计量为 FQ1Q0 s Fs,Nr
Q0 Nr
F检验定阶法
FQ1Q0 s Q0 Nr
Fs,Nr
M1: y1X12X2 rXr M2: y1X12X2 X rs rs H0: rs1 rs2 r 0
Et0, vart2, Est0,st EXst0, st
非中心化ARMAp;q模型
X t 0 1 X t 1 2 X t 2 p X t p t 1 t 1 2 t 2 q t q
ARMA模型：自回归移动平均模型
中心化ARMAp;q模型
X t1X t 12X t 2pX tpt1t 12t 2qt q X t1 1 1 1 B B 2 2B B 2 2 q p B B q p t
数据图检验法
以时间为横轴;变 量Xt的取值为纵轴
平稳的特点
无明显的趋势性或 周期性
在一直线附近做小 幅波动
1990年12月19日2008年11月6日上 证A股指数日数据除去节假日;共 4386个数据
数据图检验法
1994年1995年香港环境数 据序列
a 表示因循环和呼吸问题 前往医院就诊的人数；

平稳时间序列模型概述

平稳时间序列模型概述平稳时间序列模型是一种常见的时间序列分析方法，用于对事物在一定时间范围内的变化进行建模和预测。

平稳时间序列模型假设时间序列的均值和方差在任意时刻都保持不变，即不受时间的影响。

平稳时间序列模型有许多不同的形式，其中最常见的是自回归移动平均模型（ARMA）和季节性自回归移动平均模型（SARMA）。

ARMA模型由自回归（AR）部分和移动平均（MA）部分组成，描述了时间序列的自相关和滞后误差，可以用来预测未来的观测值。

SARMA模型在ARMA模型的基础上加入了季节性因素，适用于存在明显季节性变化的时间序列。

ARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} + \epsilon_t -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项。

SARMA模型的一般形式为：\[ X_t = c + \phi_1X_{t-1} + \dots + \phi_pX_{t-p} -\theta_1\epsilon_{t-1} - \dots - \theta_q\epsilon_{t-q} + \gammaX_{t-m} + \phi_1\gamma X_{t-m-1} + \dots + \phi_p\gammaX_{t-m-p} + \epsilon_t \]其中，\( X_t \)是时间序列在时刻\( t \)的观测值，\( c \)是常数，\( \phi_1, \dots, \phi_p \)是自回归系数，\( X_{t-1}, \dots, X_{t-p} \)是过去的观测值，\( \epsilon_t \)是误差项，\( \theta_1, \dots,\theta_q \)是移动平均系数，\( \epsilon_{t-1}, \dots, \epsilon_{t-q} \)是过去的误差项，\( \gamma \)是季节性系数，\( X_{t-m},\dots, X_{t-m-p} \)是过去的季节性观测值。

趋势平稳的的时间序列

趋势平稳的的时间序列趋势平稳的时间序列是指在一段时间内，其数据呈现出相对稳定的发展趋势，即没有明显的上升或下降趋势。

在统计学中，趋势平稳的时间序列对于分析和预测具有重要意义。

趋势平稳的时间序列的特征主要有以下几个方面：1. 均值稳定性：趋势平稳的时间序列的均值在不同的时间段内保持相对稳定。

也就是说，数据的整体平均水平没有明显的增长或降低趋势。

2. 方差稳定性：趋势平稳的时间序列的方差在不同时间段内保持相对稳定。

也就是说，数据的波动性没有明显的增加或减少趋势。

3. 自相关性：趋势平稳的时间序列的不同时刻的观测值之间存在一定的自相关性。

也就是说，当前时刻的观测值与前一时刻（或者前几个时刻）的观测值相关联。

这种自相关性是由于时间序列中的某种内在规律性或者周期性导致的。

4. 缺乏季节性或周期性：趋势平稳的时间序列在一段时间内不具备明显的季节性或周期性变化。

也就是说，数据的变化主要是由整体趋势所引起的，而非季节性或周期性因素所导致。

趋势平稳的时间序列分析和预测相对比较简单，因为在其基础上可以应用一些经典的时间序列分析方法。

以下是几种常见的分析和预测方法：1. 移动平均法：移动平均法是一种通过计算相邻时间段内的数据均值来平滑时间序列的方法。

在趋势平稳的时间序列中，由于数据的整体趋势相对稳定，因此移动平均法可以有效降低数据的随机波动，提取出数据的主要趋势，从而更好地分析和预测。

2. 指数平滑法：指数平滑法是一种通过加权平均计算当前时刻的观测值的方法，其中对不同时刻的观测值赋予不同的权重。

在趋势平稳的时间序列中，指数平滑法可以根据当前时刻的观测值和先前时刻的预测值来计算最新的预测值，从而更好地捕捉到数据的趋势性。

3. 自回归移动平均模型(ARIMA)：ARIMA模型是一种常用的时间序列模型，可以将时间序列分解为自回归(AR)部分、差分(I)部分和滑动平均(MA)部分。

在趋势平稳的时间序列中，ARIMA模型可以通过拟合数据的自回归部分和滑动平均部分来进行预测，从而更好地反映数据的整体趋势。

平稳时间序列模型的性质概述

平稳时间序列模型的性质概述平稳时间序列模型是一种描述时间序列数据的统计模型，它的核心假设是数据在时间上的统计特性不发生变化。

具体而言，平稳时间序列模型具有以下性质：1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值不随时间变化而变化，即序列的均值是恒定的。

这意味着序列的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。

2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差不随时间变化而变化，即序列的方差是恒定的。

这意味着序列的波动性是稳定的，不存在明显的波动增长或缩减。

3. 自协方差稳定性：平稳时间序列的自协方差（序列任意两个时间点之间的协方差）仅依赖于时间点之间的间隔，而不依赖于特定的时间点。

这意味着序列的相关性结构是稳定的，不存在明显的季节性或周期性变化。

4. 纯随机性：平稳时间序列被认为是纯随机的，没有系统性的模式或规律可寻。

这意味着序列的未来值无法通过过去的观察值来准确预测。

根据这些性质，我们可以使用平稳时间序列模型来进行时间序列的建模和预测。

常见的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA 模型）以及季节性模型等。

总而言之，平稳时间序列模型具有均值稳定性、方差稳定性、自协方差稳定性和纯随机性等性质，这使得它们成为分析和预测时间序列数据的常用工具。

通过运用这些模型，我们可以揭示序列的短期和长期特征，提供数据的统计属性并进行未来值的预测。

平稳时间序列模型是时间序列分析中非常重要的方法之一，它能够帮助我们理解和预测一系列观测值之间的关系。

在实际应用中，平稳时间序列模型常被用于金融市场分析、经济学研究、气象预测等领域。

首先，均值稳定性是平稳时间序列模型的一个重要性质。

这意味着序列的长期平均水平是恒定的，不随时间变化而变化。

例如，在金融市场中，股票价格的均值稳定性意味着股票价格的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。

通过建立平稳时间序列模型，我们可以更好地理解价格的平均水平，并预测未来的价格走势。

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4、最佳准则函数定阶法
• 最佳准则函数法，即确定出一个准则函数 ，该函数既要考虑某一模型拟合时对原始 数据的接近程度，同时又要考虑模型中所 含待定参数的个数。 • 建模时，使准则函数达到极小的是最佳模 型。
4.1 赤池的AIC准则和BIC准则 4.1.1 AIC 准则(Akaike iformationcriterion) AIC准则是1973年由赤池（Akaike）提出， 此准则是对FPE准则(用来判别AR模型的阶 数是否合适)的推广，用来识别ARMA模型的 阶数。
2、假设条件
• 原假设：延迟期数小于或等于 m期的序列 值之间相互独立
H 0：1 2 m 0, m 1
• 备择假设：延迟期数小于或等于 m 期的 序列值之间有相关性
H1：至少存在某个 k 0, m 1 k m ，
3、检验统计量 • Q统计量
ˆ n k2 ~ 2 (m)
–检验1949年——1998年北京市每年最高气温 序列的平稳性
例1 时序图
例1 自相关图
例2 时序图
例2 自相关图
例3 时序图
例3 自相关图
二、纯随机性检验
（一）纯随机序列的定义
• 纯随机序列也称为白噪声序列，它 满足如下两条性质
(1) EX t , t T , t s (2) (t , s ) , t , s T 0, t s
12 (m) 分位点，或该统计 –当检验统计量小于 量的P值大于 时，则认为在 1 的置信水
平下无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列 为纯随机序列的假定
5、应用举例
例4、标准正态白噪声序列纯随机性检验
样本自相关图
检验结果
延迟 延迟6期
QLB 统计量检验
QLB 统计量值
2.36
P值
0.8838
模型定阶的经验方法
– 如果样本(偏)自相关系数在最初的p阶明显 大于两倍标准差范围，而后几乎95％的自 相关系数都落在2倍标准差的范围以内，而 且通常由非零自相关系数衰减为小值波动 的过程非常突然.这时，通常视为(偏)自相 关系数截尾.截尾阶数为p.
例1
⑴上海延中实业股票数据识别（一阶差分后） ⑵平均每日生产汽车废品数据的识别(n=45)
延迟12期
5.35
0.9454
由于P值显著大于显著性水平 ，所以该序列 不能拒绝纯随机的原假设.
例5、对1950年—1998年北京市城乡居民定期储
蓄所占比例序列的平稳性与纯随机性进行检验
自相关图
白噪声检验结果
LB统计量检验 延迟阶数 6 12 LB检验统计 量的值 75.46 82.57 P值 <0.0001 <0.0001
• 序列的非平稳包括均值非平稳和方差非 平稳. • 均值非平稳序列平稳化的方法：差分变 换. • 方差非平稳序列平稳化的方法：对数变 换、平方根变换等. • 序列平稳性的检验方法和手段主要有： 序列趋势图、自相关图、单位根检验、 非参数检验方法等等.
一、平稳性检验—图检验方法
（一）时序图检验
–根据平稳时间序列均值、方差为常数的性 质，平稳序列的时序图应该显示出该序列 始终在一个常数值附近随机波动，而且波 动的范围有界、无明显趋势及周期特征.
三、计算样本相关函数
• 样本自相关函数 • 样本偏自相关函数
ˆ k
(x
t 1
nk
t
x )(xt k x )
( xt x ) 2
t 1
n
ˆ Dk ˆ kk ˆ D
四、关于非零均值的平稳序列
非零均值的平稳序列有两种处理方法： 设xt为一非零均值的平稳序列，且有E(xt)=μ • 方法一: 用样本均值 x 作为序列均值μ的估 计，建模前先对序列作如下处理： 令
（二）自相关图检验
– 平稳序列通常具有短期相关性.该性质用自 相关函数来描述就是随着延迟期数的增加， 平稳序列的自相关函数会很快地衰减向零.
例题
• 例1
– 检验1964年——1999年中国纱年产量序列的 平稳性
• 例2
–检验1962年1月——1975年12月平均每头奶牛 月产奶量序列的平稳性
• 例3
（2）残差方差的估计公式
模型的剩余平方和 ˆ 实际观察值的个数 模型的参数个数
2 a
注：式中 “实际观察值个数”是指拟合模型时实际使用 的观察值项数，即经过平稳化后的有效样本容量。 设原序列有n个样本，若建立的模型中有含有自回归AR部分, 且阶数为p，则实际观察值个数为n-p个。若没有AR部分，则 实际观察值个数即为n个。 模型的参数个数指模型中所含的参数个数，如：若是不 带常数项的ARMA(p,q)模型，参数个数为p+q个，若带有 常数项，则参数个数为p+q+1个。
• 用Eviews建立ARMA模型后，可直接得到 剩余平方和SSE(Sum squared resid) • 输出结果中也可直接得到残差标准差： S.E.of regression ，此项的平方即为 残差方差。因此，对不同的模型残差方 差进行比较，直接比较此项既可。
例：以磨轮剖面数据为例，分别建立适应性模 型，输出结果见图示，从中选择最佳模型。
表1 延中股票的样本自相关和样本偏自相关函数值
⑵美国女性失业月数据识别（差分后）
美国1961年1月至1985年12月间女性失业月人 数时间序列
⑶
⑷
⑸
2、残差方差图定阶法
（1）基本思想 • 如果拟合的模型阶数与真正阶数不符合，则模型 的残差平方和SSE必然偏大，残差方差将比真正 模型的残差方差大。 • 如果是不足拟合，那么逐渐增加模型阶数，模型 的残差方差会渐减少，直到残差方差达到最小。 • 如果是过度拟合，此时逐渐少模型阶数，模型残 差方差分逐渐下降，直到残差方差达到最小。
选择模型 AR(P)
kk
P阶截尾
q阶截尾
拖尾
拖尾
拖尾
MA(q)
ARMA(p,q)
• 零均值平稳序列模型识别的主要根据是 序列的自相关函数(ACF)和偏自相关函数 (PACF)的特征. • 若序列xt的偏自相关函数 kk 在k>p以后截 尾，即k>p 时， kk 0，而且它的自相关 函数 k 拖尾，则可判断此序列是AR(p)序 列.
wt xt x
然后对零均值平稳序列wt建模.
• 方法二
在模型识别阶段对序列均值是否为零不予考 虑，而在参数估计阶段，将序列均值作为一 个参数加以估计. 以一般的ARMA(p,q)为例说明如下：
设平稳序列xt的均值为 , 其适应性模型为 ARMA( p, q),即 : ( xt ) 1 ( xt 1 ) p ( xt p ) at 1 at 1 2 at 2 q at q
3、F检验定阶法 基本思想（以一般情形和ARMA(p,q)模型为例） • 先对数据拟合ARMA(p,q)模型(假设不含常数项) ，设其残差平方和为Q0，再对数据拟合 较低阶 的模型ARMA(p-m,q-s)，设其残差平方和为Q1。 • 建立原假：
p m1 0, p m 2 0 p 0 q s 1 0, q s 2 0 q 0
• 若序列xt的自相关函数 k 在k>q以后截尾，即 k>q 时， k 0，而且它的偏自相关函数 kk拖 尾，则可判断此序列是MA(q)序列. • 若序列xt的自相关函数、偏相关函数都呈拖 尾形态，则可断言此序列是ARMA序列. • 若序列的自相关函数和偏自相关函数不但都 不截尾，而且至少有一个下降趋势势缓慢或 呈周期性衰减，则可认为它也不是拖尾的， 此时序列是非平稳序列，应先将其转化为平 稳序列后再进行模型识别.
k 1 m
• LB统计量
LB n(n 2) (
k 1 m
ˆ k2 nk
) ~ 2 (m)
4、判别原则 • 拒绝原假设
12 (m) 分位点，或该统计 –当检验统计量大于 量的P值小于 时，则可以以 1 的置信水
平拒绝原假设，认为该序列为非白噪声序列
• 接受原假设
在原假设成立的条件下有：
(Q1 Q0 ) ms F ~ F ( m s, ( n p ) p q ) Q0 (n p) p q
于是计算统计量F，在给定的显著性水平下α。 若F>F α，则拒绝原假设，说明两模型差异是显著的， 此时模型阶数存在升高的可能性。 若F<F α，此不能拒绝原假设，说明两模型差异不显著， 此时模型阶数存在降低的可能性。 注：F检验定阶法的应用条件：两模型中有一个为合适模型。
三个模型残差方差比较
³ Ó Ë à Ô Ð ­ ò p ² Ê Î ý ×Ó Ô É ² ² Ð î ² ² Ð î ½ ·º Æ ½ Í Ð ³ È Á ¤¶ ö Ê ¸ ý È ¶ ½ î ·² ê ¼ î ±×² 1473.726 1539.468 1522.27 250 250 250 2 0 1 2 2 2 246 248 247 5.990756 6.207532 6.1630364 2.45 2.49 2.48
流程图
平 稳 非 白 噪 声 序 列 计 算 样 本 相 关 系 数
模型 识别
参数 估计
N
模型 检验
Y
模 型 优 化
序 列 预 测
第一节
时间序列的预处理
一、平稳性检验 二、纯随机性检验 三、计算样本自相关函数 四、关于非零均值的平稳序列
• 本章所介绍的是对零均值平稳序列建 立ARMA模型，因此，在对实际的序 列进行模型识别之前，应首先检验序 列是否平稳，若序列非平稳，应先通 过适当变换将其化为平稳序列，然后 再进行模型识别.
2
（二）纯随机性检验