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计算机图形学课件--地质大学 第二章 二维基本图形的生成

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02-计算机图形学基础(第二版)PPT课件

02-计算机图形学基础(第二版)PPT课件

透镜组
光 孔
触钮开关
导线
笔体 光导纤维
图2.3 光笔的结构
2021/7/22
7
图形输入设备
触摸屏(touch screen) 当用手指或者小杆触摸屏幕时，触点位置
便以光学的（红外线式触摸屏）、电子的（电 阻式触摸屏和电容式触摸屏）或声音的（声音 探测式）方式记录下来。
2021/7/22
8
图形输入设备
随机扫描（random-scan）的图形显示器中电 子束的定位和偏转具有随机性，即电子束的扫 描轨迹随显示内容而变化，只在需要的地方扫 描，而不必全屏扫描。
2021/7/22
31
随机扫描的图形显示器
2
Y
2
3
1
1
3
t
1
X
2
3
图2.16 随机扫描图形显示器的工作原理
2021/7/22
32
随机扫描的图形显示器
2021/7/22
52
2.4 显示子系统
光栅扫描图形显示子系统的结构 绘制流水线 相关概念
2021/7/22
53
光栅扫描图形显示子系统的结构
CPU
系统 主存
显示 控的光栅图形显示子系统
2021/7/22
54
光栅扫描图形显示子系统的结构
CPU
系统 主存
帧缓存
2021/7/22
41
液晶显示器——原理
液晶分子的排列在微弱的外部电场、磁场或者 应力、温度变化等作用下非常容易改变。当液 晶分子的某种排列状态在电场作用下变为另一 种状态时，液晶的光学性质随之改变，这种产 生光被电场调制的现象称为液晶的电光效应。
2021/7/22

计算机图形学ppt课件 第二章基本图形的生成与计算

计算机图形学ppt课件 第二章基本图形的生成与计算

for (x=x0; xx1, x++) drawpixel (x, int(y+0.5), color); y=y+k;



例：画直线段P0(0,0)--P1(5,2)
int(y+0.5) 0 0 1 1 2 2 y+0.5 0+0.5 0.4+0.5 0.8+0.5 1.2+0.5 1.6+0.5 2.0+0.5
角度DDA法
显然，确定x,y的初值及d值后，即可以增量方 式获得圆周上的坐标，然后取整可得象素坐标。 但要采用浮点运算、乘法运算、取整运算。
中点画圆法
利用圆的对称性，只须讨论1/8圆。第二个8分 圆 P（Xp ，Yp ）
P1
M P2
P为当前点亮象素，那么，下一个点亮的象素可 能是P1（Xp+1，Yp）或P2（Xp +1，Yp +1)。
pi 2 xi dy 2 yi dx 2dy (2b 1)dx
（2.4）
在1a象限内，dx总大于0，所以pi可以判断d1d2的符号。Pi+1为
pi 1 2 xi 1dy (2 yi 1 2 yi 2 yi )dx 2dy (2b 1)dx
2( xi 1)dy (2 yi 1 2 yi 2 yi )dx 2dy (2b 1)dx
本算法是Bresenham在1965年提出。
设直线起点（x1，y1）终点（x2，y2），直 线可表示为 y mx b
y2 y1 dy b y1 m x1 , m x2 x1 dx
此处讨论先将直线方向限于1a象限，当
xi 1 xi 1

2020年整理二维基础图形生成2汇编PPT课件

2020年整理二维基础图形生成2汇编PPT课件
if (fabs(x2-x1)>=fabs(y2-y1)) length=fabs(x2-x1);
else length=fabs(y2-y1);
deltx=(x2-x1)/length; delty=(y2-y1)/length;
02.11.2020
x=x1; y=y1; k=1;
while(k<=length) {
SetPixel(hdc,x,y, RGB(0,0,0)); x=x+deltx; y=y+delty; k=k+1; Sleep(50); } }
16
画线中点算法
n 目标：消除DDA算法中的浮点运算（浮点数取整
运算，不利于硬件实现； DDA算法，效率低）
n 条件：
w同DDA算法
w斜 率： m[0,1]
n 直线段的隐式方程（(x0,y0)(x1,y1)两端点） F(x,y)=ax+by+c=0 式中 a=y0-y1,b=x1-x0,c=X0Y1-X1Y0
02.11.2020
1
扫描转换直线段
• DDA算法 • 中点画线法 • Bresenham算法
圆弧、椭圆弧扫描转换
• 中点算法 • Bresenham算法 • 内接多边形迫近法* • 等面积多边形逼近法*
02.11.2020
2
1 简单的二维图形显示流程
02.11.2020
3
图形显示前需要：扫描转换+裁剪 ● 裁剪 ---〉扫描转换：最常用，节约计算时间。 ● 扫描转换 ---〉裁剪：算法简单； ● 扫描转换到画布 --〉位块拷贝：算法简单，但耗时耗
w斜率：my/x
x x 1 x 0 , y y 1 y 0

二维基本图形生成

二维基本图形生成
直线段的隐式方程（(x0,y0)(x1,y1)两端点） F(x,y)=ax+by+c=0 式中 a=y0-y1,b=x1-x0,c=X0Y1-X1Y0
2021/7/11
17
画直线段的过程中，当前象素点为(xp, yp)，一个象素点有 两种可选择点p1(xp+1, yp)或p2(xp+1, yp+1)。若M=(xp+1, yp+0.5)为p1与p2之中点，Q为理想直线与x=xp+1垂线的交 点。当M在Q的下方，则P2 应为下一个象素点；M在Q的上 方，应取P1 为下一点。就是中点画线法的基本原理。
直线方程：ym•xB
直接求交算法：
划分区间[x0,x1]: x 0 ,x 1 , ,x n ,其 x i 1中 x i 1 计算纵坐标： yi m•xi B
取整：{(xi, yi)}in0
{(xi, yi,r)}in0
yi,rro(u yi) n (idn yi t0 .)5 )(
2021/7/11
2021/7/11
24
举例 用中点画线方法扫描转换连接两点P0（0,0）和P1 （5,2）的直线段
a=y0-y1=-2; b=x1-x0=5; d0=2*a+b=1; d1=2*a=-4; d2=2*(a+b)=6 xy d 00 1 1 0 -3 d1 2 1 3 d2 3 1 -1 d1 4 2 5 d2 52 1
while(k≤lenght)
putpixel(x,y) x﹦x﹢△x y﹦y﹢△y k﹦k﹢1
endwhile
end
2021/7/11
15
DDA直线绘制的C++实现 void DDA直线绘制(HDC hdc) {

计算机图形学-基本图形的生成与显示

计算机图形学-基本图形的生成与显示
其中，因为P0（x0，y0）在直线上，所以
y0 kx0 b 0
则： d 0 0.5 k
(x0+1,y0+0.5) (x0,y0)
中点算法的改进——整数化判别式
改进：用2dΔx代替d, 令D＝2dΔx 则：
D0 2 xd 0 2 x (0.5 k ) x 2 y di 0 Di 0 Di +1 2 xd i 1 2 x ( d i 1 k ) 2 xd i 2 x 2 y Di 2 x 2 y di 0 Di 0
12
中点画线算法
直线与空间的关系
y F(x,y)=0 F(x,y)>0 x F(x,y)<0 F(x,y)=0 F(x,y)>0 y
F(x,y)<0
x
图3 直线将平面分为三个区域
13
假定0≤k≤1，即0≤Δy/Δx≤1，x是最大位移方向 当前点 P 的下一点只能取 Pu 或 Pd，可用中点与直线 的位置关系来判定，中点偏差判别式
中点偏差判别式的初始值 直线的起点坐标为P0（x0，y0），x为主位移方向。 因此，第一个中点是（x0＋1，y0＋0.5），相应 的d的初始值为：
d 0 F ( x0 1, y0 0.5) y0 0.5 k ( x0 1) b
y 0 kx0 b k 0.5
Pu(xi+1,yi+1) Q M(xi+1,yi+1/2) P(xi,yi) Pd(xi+1,yi)
图4 中点算法生成直线的原理
中点M坐标为（xi+1, yi+0.5）, 判别式：
d F ( xM , yM ) F ( xi 1, yi 0.5) yi 0.5 k ( xi 1) b

第二章绘制基本二维图形PPT课件

第二章绘制基本二维图形PPT课件
用自动追踪画线时的注意事项：
1 将极轴、对象捕捉、对象追踪都打开。 2 在工具/选项/草图中将自动追踪设置全部选上，在 工具/选项/用户配置中将输入的优先级选为键盘输入。
3 作图过程中仔细观察自动追踪工具栏的提示，按
照提示要求从键盘输入数据。
*正交偏移捕捉
正交偏移捕捉（不太方便）的操作：启 动直线命令后，出现line 指定第一点：输入 from回车，出现基点：光标在基点处点击， 出现偏移：再输入相对直角坐标值后回车。 见书P38图3-6。
移动鼠标指示直线方向，输入直线长度值回 即可。
课堂练习
1 作一个200×100的矩形。（分别用三种方法） 2 2 作图3-3（见书P37）
2.1.2 使用对象捕捉精确画线
单击状态栏中“对象捕捉”按钮可打开对象捕捉 模式，再次单击该按钮可关闭对象捕捉模式。对象 捕捉的快捷键是（F3）键。
功能： 可以保证你迅速准确地作图，它让鼠标智能地捕捉
二、自动追踪
在使用自动追踪功能时，必须打开对象捕捉。 AutoCAD首先捕捉一个几何点作为追踪参考点， 然后按水平、垂直方向或设定的极轴方向进行追 踪，再用键盘输入数据后回车即可。(任意角度斜线 上的追踪要用捕捉到延长线。先点直线再点捕捉到延 长线。光标移动到斜线的一端并沿斜线移动，当斜线 变为虚线时,从键盘输入距离值后回车。）
注意：选定修剪边界后，欲修剪去的那部分，必须是与修 剪边界相交的，而不是相接的。
相交
相接
小窍门：若点击修剪按钮后就点确定，则可以直接选择要
剪去的线段。
偏移复制对象（ Offset）
1 功能：作平行直线或对圆及圆弧作同心拷 2 贝。
2 调用方法 （1）菜单：修改 →偏移 ； （2）工具栏图标 ； （3）命令：Offset

第二章二维基本图形的生成与二维区域的填充课件


2019y/12i+/41)作为下一个象素点。
23
2.1.2 生成直线的Bresenham算法
• 因此只要利用(d1-d2)的符号就可以决定下 一个象素点的选择。为此，我们进一步定义一 个新的判别式：
• pi=△x×(d1-d2)=2△y·xi-2△x·yi+c (2－11) 式(2-11)中的△x=(x2-x1)>0，因此pi与(d1-
三、直线Bresenham算法思想之二
•
由于象素坐标的整数性，数学点(xi，yi)与所
取象素点(xi，yir)间会引起误差(εi)，当xi列上已用
象素坐标(xi，yir)表示直线上的点(xi，yi)，下一直
线点B(xi+1，yi+1)，是取象素点C(xi+1，yir )，还是
2019D/12(/4xi＋1，y(i+1)r)呢？
(2－12)
将式(2-12)减去(2-11)，并利用xi+1=xi+1，
可得：
• pi+1= pi+2△y-2△x·(yi+1-yi) (2－13)
• 再假设直线的初始端点恰好是其象素点的 坐标，即满足：
• y1=mx1+b
(2－14)
2019/12/4
25
2.1.2 生成直线的Bresenham算法
我们知道，一幅图是由点、直线、曲线、多 边形填充区域以及字符串等组成。下面将讨论这 些基本图元的生成技术和算法。
2019/12/4
4
2.1 直线的扫描转换
一、数学直线 在数学上，理想的直线是一条由无穷多个无
限小的连续的点组成。
数学直线
2019/12/4

《计算机图形学》02 基本图形生成


直线裁剪的情况：
D
C A B
端点编码的9种结果：
1010
1000
0110
0100
0101
直线编码裁剪算法处理步骤：
若两个端点的编码均为0，则两个端点均位于窗口内，线段全显 示，结束；
将两个端点的编码的编码按位与，若结果不为0，则线段必然位 于某条边线之外，线段全不显示，结束；
（这时，某个端点必然存在为1的位，且另一个端点相应的位为0， 线段将部分显示或全不显示）则，对任一个存在1位的端点，用1 位所对应的边，将直线段分割为两段，舍弃位于边线外的段，对 边线内的段再按本规则进行处理。
作业： 用窗口(5,10,25,30)，对直线(0,40)-(30,15)进行裁剪，写出处理过 程及结果。
例2 (1,1)-(9,6)直线的点阵
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
例3 (1,1)-(6,9)直线的点阵
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
例4 (2,3)-(8,7)直线的点阵
数值微分法计算步骤：
对给定的两个直线端点(x1, y1)，(x2, y2)， 有：x2≥x1，|x2－x1|＞|y2－y1|。 (1)求得两点连线的斜率：k＝(y2－y1)/ (x2－x1) (2) px1＝x1，py1＝y1，得直线上的点(px1, py1)；令i＝1； (3)若pxi＝x2，则计算结束；否则，继续； (4)pxi+1＝pxi＋1， pyi+1＝pyi＋k， 得直线上的点( pxi+1, int(pyi+1+0.5) )； (5)令i＝i＋1，转到(3)。

计算机图形学完整ppt课件


工业设计
利用计算机图形学进行产品设计、仿 真和可视化，提高设计效率和质量。
建筑设计
建筑师使用计算机图形学技术创建三 维模型，进行建筑设计和规划。
计算机图形学的相关学科
计算机科学
计算机图形学是计算机科学的一个重 要分支，涉及计算机算法、数据结构、 操作系统等方面的知识。
物理学
计算机图形学中的很多技术都借鉴了 物理学的原理，如光学、力学等，用 于实现逼真的渲染效果和物理模拟。
02
03
显示器
LCD、LED、OLED等，用 于呈现图形图像。
投影仪
将计算机生成的图像投影 到大屏幕上，用于会议、 教学等场合。
虚拟现实设备
如VR头盔，提供沉浸式的 3D图形体验。
图形输入设备
键盘和鼠标
最基本的图形输入设备，用于操 作图形界面和输入命令。
触摸屏
通过触摸操作输入图形指令，常 见于智能手机和平板电脑。
多边形裁剪算法
文字裁剪算法
判断一个多边形是否与另一个多边形相交， 如果相交则求出交集部分并保留。
针对文字的特殊性质，采用特殊的裁剪算法 进行处理，以保证文字的完整性和可读性。
05
光照模型与表面绘制
光照模型概述
光照模型是计算机图形学中用于模拟光线与物体表面交互的数学模型。
光照模型能够模拟光线在物体表面的反射、折射、阴影等效果，从而增强图形的真 实感。
二维纹理映射原理
根据物体表面的顶点坐标和纹理坐标，计算出每个像素点对应的纹 理坐标，从而确定像素点的颜色值。
二维纹理映射实现方法
使用OpenGL中的纹理映射函数，将纹理图像映射到物体表面。
三维纹理映射技术
三维纹理坐标
定义在三维空间中的坐标，表示纹理图像上的位置。

《计算机图形学》基本图形生成-精PPT28页

《计算机图形学》基本图形生成-精
•
46、寓形宇内复几时，曷不委心任去 留。•47源自采菊东篱下，悠然见南山。•
48、啸傲东轩下，聊复得此生。
•
49、勤学如春起之苗，不见其增，日 有所长 。
•
50、环堵萧然，不蔽风日；短褐穿结 ，箪瓢 屡空， 晏如也 。
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
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第二章二维基本图形的生成重 点：掌握二维图元直线、圆、区域填充、字符的生成算法。

难 点：理解二维图元生成的算法思想并且用C语言进行算法的实现。

课时安排：授课8学时（直线、圆：3学时；区域填充：4学时；字符：1学时）；上机8学时（直线、圆：4学时；区域填充：4学时）。

图元生成算法的要求：准确、亮度均匀、速度快。

前面已经知道，矢量显示（随机扫描显示器）和光栅显示是两种完全不同的图形显示技术。

目前，光栅显示技术占主要地位。

在这一章里，主要介绍在光栅输出设备上，根据物体的坐标描述构造二维几何图形的方法。

我们知道，一幅图是由点、直线、曲线、多边形填充区域以及字符串等组成。

下面将讨论这些基本图元的生成技术和算法。

2.1 直线的扫描转换一、数学直线在数学上，理想的直线是一条由无穷多个无限小的连续的点组成。

二、光栅平面显示的直线但在光栅显示平面上，我们只能用二维光栅格网上尽可能靠近这条直线的象素点的集合来表示它。

每个象素具有一定的尺寸，是显示平面上可被访问的最小单位，它的坐标x和y只能是整数，也就是说相邻象素的坐标值是阶跃的而不是连续的。

三、直线的扫描转换直线的扫描转换，就是要找出显示平面上最佳逼近理想直线的那些象素的坐标值，并将这些象素置成所要求的颜色。

由于一幅图中可能包含成千上万条直线，所以要求绘制算法应该：1、最接近数学上的直线；2、沿着线段分布的象素应均匀；不均匀的例子如下图所示，对同样长的线段，如果进行图中的扫描转换，就会因为斜率的不同，产生的象素个数不相等，这样将导致象素亮度分布不均匀。

3、画线速度尽可能的快。

本节我们介绍两个常用的直线生成算法：数值微分法（DDA）和Bresenham算法。

2.1.1 生成直线的DDA算法数值微分法即DDA法(Digital Differential Analyzer)，是一种基于直线的微分方程来生成直线的方法。

一、直线DDA算法描述：设(x1，y1)和(x2，y2)分别为所求直线的起点和终点坐标，由直线的微分方程得可通过计算由x方向的增量△x引起y的改变来生成直线：x i+1=x i+△x (2－2)y i+1=y i+△y=y i+△x·m (2－3) 也可通过计算由y方向的增量△y引起x的改变来生成直线：y i+1=y i+△y (2－4)x i+1=x i+△x=x i+△y/m (2－5) 式(2－2)至(2－5)是递推的。

二、直线DDA算法思想：选定x2－x1和y2－y1中较大者作为步进方向(假设x2－x1较大)，取该方向上的增量为一个象素单位(△x=1)，然后利用式(2－1)计算另一个方向的增量(△y=△x·m=m)。

通过递推公式(2－2)至(2－5)，把每次计算出的(x i+1，y i+1)经取整后送到显示器输出，则得到扫描转换后的直线。

之所以取x2－x1和y2－y1中较大者作为步进方向，是考虑沿着线段分布的象素应均匀，这在下图中可看出。

另外，算法实现中还应注意直线的生成方向，以决定Δx及Δy是取正值还是负值。

三、直线DDA算法实现：1、已知直线的两端点坐标：(x1，y1)，(x2，y2)2、已知画线的颜色：color3、计算两个方向的变化量：dx=x2－x1dy=y2－y14、求出两个方向最大变化量的绝对值：steps=max(|dx|，|dy|)5、计算两个方向的增量(考虑了生成方向)：xin=dx/stepsyin=dy/steps6、设置初始象素坐标：x=x1,y=y17、用循环实现直线的绘制：for(i=1；i<=steps；i++){ putpixel(x，y，color)；/*在(x，y)处，以color色画点*/x=x+xin；y=y+yin；}四、直线DDA算法演示：五、直线DDA算法特点：该算法简单，实现容易，但由于在循环中涉及实型数的运算，因此生成直线的速度较慢。

六、直线DDA算法程序：下面给出考虑不同斜率、不同方向直线的DDA画线算法程序：2.1.2 生成直线的B resenham算法从上面介绍的DDA算法可以看到，由于在循环中涉及实型数据的加减运算，因此直线的生成速度较慢。

在生成直线的算法中，B resenham算法是最有效的算法之一。

B resenham算法是一种基于误差判别式来生成直线的方法。

一、直线Bresenham算法描述：它也是采用递推步进的办法，令每次最大变化方向的坐标步进一个象素，同时另一个方向的坐标依据误差判别式的符号来决定是否也要步进一个象素。

我们首先讨论m=△y/△x，当0≤m≤1且x1<x2时的B resenham算法。

从DDA直线算法可知这些条件成立时，公式(2-2)、(2-3)可写成：x i+1=x i+1 (2－6)y i+1=y i+m(2－7)有两种B resenham算法思想，它们各自从不同角度介绍了B resenham算法思想，得出的误差判别式都是一样的。

二、直线B resenham算法思想之一：由于显示直线的象素点只能取整数值坐标，可以假设直线上第i个象素点坐标为(x i，y i)，它是直线上点(x i，y i)的最佳近似，并且x i=x i(假设m<1），如下图所示。

那么，直线上下一个象素点的可能位置是(x i+1，y i)或(x i+1，y i+1)。

由图中可以知道，在x=x i+1处，直线上点的y值是y=m(x i+1)+b，该点离象素点(x i+1，y i)和象素点(x i+1，y i+1)的距离分别是d1和d2：d1=y-y i=m(x i+1)+b-y i(2－8)d2=(y i+1)-y=(y i+1)-m(x i+1)-b (2－9) 这两个距离差是d1-d2=2 y -2y i -1=2m(x i+1)-2y i＋2b-1 (2－10)我们来分析公式(2-10)：(1)当此值为正时，d1>d2，说明直线上理论点离(x i+1，y i+1)象素较近，下一个象素点应取(x i+1，y i+1)。

(2)当此值为负时，d1<d2，说明直线上理论点离(x i+1，y i)象素较近，则下一个象素点应取(x i+1，y i)。

(3)当此值为零时，说明直线上理论点离上、下两个象素点的距离相等，取哪个点都行，假设算法规定这种情况下取(x i+1，y i+1)作为下一个象素点。

因此只要利用(d1-d2)的符号就可以决定下一个象素点的选择。

为此，我们进一步定义一个新的判别式：p i=△x×(d1-d2)=2△y·x i-2△x·y i+c (2－11)式(2-11)中的△x=(x2-x1)>0，因此p i与(d1-d2)有相同的符号；这里△y=y2-y1，m=△y/△x；c=2△y+△x(2b-1)。

下面对式(2-11)作进一步处理，以便得出误差判别递推公式并消除常数c。

将式(2-11)中的下标i改写成i+1，得到：p i+1=2△y·x i+1-2△x·y i+1+c (2－12)将式(2-12)减去(2-11)，并利用x i+1=x i+1，可得：p i+1= p i+2△y-2△x·(y i+1-y i) (2－13) 再假设直线的初始端点恰好是其象素点的坐标，即满足：y1=m x1+b (2－14) 由式(2-11)和式(2-14)得到p1的初始值：p1=2△y-△x (2－15) 这样，我们可利用误差判别变量，得到如下算法表示：初始p1=2△y-△x (2－16)当p i≥0时：y i+1=y i+1,x i+1=x i+1，p i+1=p i+2(△y-△x)否则：y i+1=y i,x i+1=x i+1，p i+1=p i+2△y从式(2-16)可以看出，第i+1步的判别变量p i+1仅与第i步的判别变量p i、直线的两个端点坐标分量差△x和△y有关，运算中只含有整数相加和乘2运算，而乘2可利用算术左移一位来完成，因此这个算法速度快并易于硬件实现。

三、直线B resenham算法思想之二：由于象素坐标的整数性，数学点(x i，y i)与所取象素点(x i，y ir)间会引起误差(εi)，当x i列上已用象素坐标(x i，y ir)表示直线上的点(x i，y i)，下一直线点B(x i+1，y i+1)，是取象素点C(x i+1，y ir )，还是D(x i＋1，y(i+1)r)呢？设A为CD边的中点，正确的选择：若B点在A点上方，选择D点；否则，选C点。

用误差式描述为：ε(x i+1)=BC-AC=(y i+1-y ir)-0.5 (2－8') 求递推公式：ε(x i+2)=(y i+2-y(i+1)r)-0.5 = y i+1+m-y(i+1)r-0.5 (2－9') 当ε(x i+1)≥0时，选D点，y(i+1)r = y ir+1ε(x i+2)= y i+1+m-y ir-1-0.5=ε(x i+1)+m-1 (2－10') 当ε(x i+1)﹤0时，选C点，y(i+1)r = y irε(x i+2)= y i+1+m－y ir-0.5=ε(x i+1)+m(2－11')初始时：)ε(x s+1)=BC-AC=m-0.5 (2－12'为了运算中不含实型数，同时不影响不等式的判断，将方程两边同乘一正整数。

令方程两边同乘2·Δx，即d=2·Δx·ε，则：初始时：d = 2·Δy-Δx (2－13')递推式：当d≥0时：{ d=d+2·(Δy－Δx)；y++；x++；(2－14')}否则：{ d=d+2·Δy；x++；}四、直线B resenham算法实现：条件：0≤m≤1且x1<x21、输入线段的两个端点坐标和画线颜色：x1，y1，x2，y2，color；2、设置象素坐标初值：x=x1，y=y1；3、设置初始误差判别值：p=2·Δy-Δx；4、分别计算：Δx=x2-x1、Δy=y2-y1；5、循环实现直线的生成：for(x=x1；x<=x2；x++){ putpixel(x,y,color) ；if(p>=0){ y=y+1；p=p+2·(Δy-Δx)；}else{ p=p+2·Δy；}}五、直线B resenham算法完善：现在我们修正(2-16)公式，以适应对任何方向及任何斜率线段的绘制。

如下图所示，线段的方向可分为八种，从原点出发射向八个区。

由线段按图中所示的区域位置可决定x i+1和y i+1的变换规律。

容易证明：当线段处于①、④、⑧、⑤区时，以|△x|和|△y|代替前面公式中的△x和△y，当线段处于②、③、⑥、⑦区时，将公式中的|△x|和|△y|对换，则上述两公式仍有效。