1.4 两条直线的交点
问题导学
1．两条直线的相交判断及交点坐标问题
活动与探究1
(1)判断直线l 1：2x －y ＋4＝0与l 2：x －y ＋5＝0是否相交？若相交，求出它们的交点坐标．
(2)若直线5x ＋4y －2m －1＝0与2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求m 的取值范围．
迁移与应用
1．直线3x ＋5y －1＝0与4x ＋3y －5＝0的交点是( )． A ．(－2,1) B ．(－3,2) C ．(2，－1) D ．(3，－2)
2．下列直线中，与直线3x －2y ＝0相交的是( )． A ．2x ＋3y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋2＝0 C ．－6x ＋4y ＝0 D ．y ＝3
2
x －1
1．判断两条直线是否相交，具体方法如下：
(1)当两条直线的斜率都存在时，只要两斜率不相等，则它们相交； (2)当两条直线中有一条斜率存在，另一条不存在时，它们一定相交； (3)当两条直线的斜率均不存在时，它们一定不相交．
2．求两条直线的交点坐标，即是解由两条直线的方程组成的方程组，这体现了用方程的思想研究直线交点的问题，用代数思想研究几何问题的思想方法．
2．三线共点问题
活动与探究2
设三条直线x －2y ＝1,2x ＋ky ＝3,3kx ＋4y ＝5交于一点，求k 的值．
迁移与应用
试求三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0.l 2：x ＋ay ＋1＝0.l 3：x ＋y ＋a ＝0构成三角形时a 满足的条件．
1．求解三线共点问题的一般方法是：先求出其中两条直线的交点，然后令该交点在第三条直线上．
2．给出三条直线方程，方程中含有参数，且三条直线构成三角形，求参数满足的条件，可以先找构不成三角形的条件，然后求其反面．
3．过两直线交点的直线系问题
活动与探究3
求过两条直线l1：x＝－2与l2：2x＋y＝－3的交点P且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程．
迁移与应用
1．过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且与直线4x＋2y＋3＝0平行的直线方程是__________．
2．已知直线方程为(2a＋1)x＋(3a－2)y－18a＋5＝0，求证：无论a为何实数值，直线必过定点，并求出该定点的坐标．
1．求经过两已知直线交点的直线方程时，通常有两种方法：一是直接求出两条直线的交点，然后结合其他条件求出直线方程；另一种方法是利用直线系方程设出所求直线的方程(含有参数λ)，然后根据另外的条件求出参数λ的值，即得所求直线的方程．2．研究方程中含参数的直线过定点问题，可通过变形，将直线方程化为f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0的形式，那么直线l1：f1(x，y)＝0和l2：f2(x，y)＝0的交点就是该直线系所经过的定点．
当堂检测
1．下列直线中，与直线2x－y＋3＝0相交的是()．
A．4x－2y－6＝0 B．y＝2x－1
C．y＝2x＋5 D．y＝－2x－3
2．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为()．
A．(3,2) B．(2,3) C．(－2，－3) D．(－3，－2)
3．直线2x＋y＋m＝0和x＋2y＋n＝0的位置关系是()．
A．平行
B．垂直
C．相交但不垂直
D．不能确定，与m，n取值有关
4．三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为__________．
5．(1)求经过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线l的方程；
(2)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
课前预习导学 预习导引
(1)斜率 相交 (2)这两条直线上 方程组 方程组 坐标 交点 公共解
预习交流1 提示：设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则当方程
组?????
A 1x ＋
B 1y ＋
C 1＝0，
A 2x ＋
B 2y ＋
C 2＝0
无解时，l 1∥l 2；方程组有唯一解时，l 1与l 2相交；方程组有无穷多解时，l 1与l 2重合．
预习交流2 提示：经过．因为l 1与l 2交于P (x 0，y 0)，所以A 1x 0＋B 1y 0＋C 1＝0，A 2x 0
＋B 2y 0＋C 2＝0，于是(A 1x 0＋B 1y 0＋C 1)＋λ(A 2x 0＋B 2y 0＋C 2)＝0＋λ×0＝0，故直线(A 1x ＋B 1y ＋C 1)＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0必过点P ，该方程就是经过两相交直线交点的直线系方程．
课堂合作探究 问题导学
活动与探究1 思路分析：(1)分析比较两条直线的斜率关系，若两斜率不相等，则它们相交，然后解方程求得交点坐标；
(2)先通过解方程组求出交点坐标，然后令横坐标大于零，纵坐标小于零，建立关于m 的不等式组求得m 的取值范围．
解：(1)由于1l k ＝2，2l k ＝1，1l k ≠2l k ， ∴两直线相交．
解方程组????? 2x －y ＋4＝0，x －y ＋5＝0，得?????
x ＝1，y ＝6.
∴两条直线的交点坐标为(1,6)．
(2)由方程组?
????
5x ＋4y －2m －1＝0，
2x ＋3y －m ＝0，
解得???
??
x ＝2m ＋3
7，y ＝m －27.
∴两条直线的交点坐标为? ??
??
2m ＋37，m －27.
∵此交点在第四象限， ∴?????
2m ＋37>0，m －27<0，
解得－3
2
＜m ＜2.
故所求m 的取值范围是???
?－3
2，2. 迁移与应用 1．C 解析：由????? 3x ＋5y －1＝0，4x ＋3y －5＝0，得?????
x ＝2，
y ＝－1.
∴交点为(2，－1)．
2．A 解析：选项A 中的直线斜率与直线3x －2y ＝0斜率不相等，两直线相交．B 和D 选项中的直线与3x －2y ＝0平行．选项C 中的直线与3x －2y ＝0重合．
活动与探究2 思路分析：先求出两条直线的交点，然后代入第三条直线方程求出k 的值．
解：解方程组?
????
x －2y ＝1，
2x ＋ky ＝3，
得?
??
??
x ＝k ＋6
k ＋4，y ＝1k ＋4.即前两条直线的交点为? ??
??
k ＋6k ＋4，1k ＋4. 因为三条直线交于一点，所以第三条直线必过此交点，故有3k ·k ＋6k ＋4＋4
k ＋4＝5，解得k
＝1或k ＝－16
3
.
迁移与应用 解：为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．
①若l 1，l 2，l 3交于一点，由????? x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得?????
x ＝－a －1，
y ＝1，
将l 2，l 3的交点(－a
－1,1)代入l 1的方程，解得a ＝1，或a ＝－2.
②若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1. 当a ＝1时，l 1，l 2重合．
③若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1. 当a ＝1时，l 2，l 3重合．
④若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1. 当a ＝1时， l 1，l 3重合． 综上，a ＝1时，l 1，l 2，l 3重合； 当a ＝－1时，l 1∥l 2；
a ＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1，且a ≠－2.
活动与探究3 思路分析：所求直线经过两条已知直线的交点且在两坐标轴上的截距相等，故可以求出两直线的交点坐标，再利用截距相等分直线过原点和不过原点分类讨论求解．也可以设出过交点的直线系方程，分别求出在x 轴，y 轴上的截距，再利用在两坐标轴上的截距相等，求待定系数．
解：(方法1)由????? x ＝－2，2x ＋y ＝－3，得?????
x ＝－2，
y ＝1，
∴P (－2,1)．
由题意知，所求直线存在斜率， 设直线l ：y －1＝k (x ＋2)．
令x ＝0，得y ＝1＋2k ；令y ＝0，得x ＝－2－1
k .
由1＋2k ＝－2－1k ，得k ＝－1或k ＝－1
2
.
故所求直线方程为x ＋y ＋1＝0或x ＋2y ＝0. (方法2)设所求直线方程为 x ＋2＋λ(2x ＋y ＋3)＝0， 即(1＋2λ)x ＋λy ＋2＋3λ＝0，(※) 令x ＝0，得y ＝－2＋3λ
λ；
令y ＝0，得x ＝－2＋3λ
1＋2λ.
由题意得－2＋3λ1＋2λ
＝－2＋3λ
λ，
得λ＝－2
3或λ＝－1.代入(※)式得所求直线方程为x ＋2y ＝0或x ＋y ＋1＝0.
迁移与应用 1．2x ＋y －8＝0
解析：依题意设所求直线方程为(2x －y ＋4)＋λ(x －y ＋5)＝0，即(λ＋2)x －(λ＋1)y ＋(4＋5λ)＝0，而直线4x ＋2y ＋3＝0与所求直线平行，所以有2(λ＋2)＝－4(λ＋1)，解得λ＝－43，于
是所求直线方程为23x ＋13y －8
3
＝0，即2x ＋y －8＝0.
2．解：原方程可化为x －2y ＋5＋a (2x ＋3y －18)＝0，它表示过直线x －2y ＋5＝0与直线2x ＋3y －18＝0交点的直线系(不包括直线2x ＋3y －18＝0)，无论a 取何值它都过两直线
的交点，由????? x －2y ＋5＝0，2x ＋3y －18＝0，解得?
????
x ＝3，
y ＝4.所以直线必过定点(3,4)．
当堂检测
1．D 2． B 3．C 4．－1
5．解：(1)∵?????
2x －3y －3＝0，
x ＋y ＋2＝0????
x ＝－3
5
，
y ＝－75，
∴交点为????－35
，－75. ∵l 与直线3x ＋y －1＝0平行，
∴直线l 的斜率为－3，∴所求方程为y ＋7
5
＝－3????x ＋35，
即15x ＋5y ＋16＝0.
(2)解方程组?
????
x －2y ＋4＝0，
x ＋y －2＝0，可以得到P (0,2)．
∵l 3 的斜率为3
4，
∴直线l 的斜率为－4
3，
∴l 的方程为y ＝－4
3x ＋2.