一、任意角
例1 写出终边符合下列要求的角集:
(1)在x 轴上;_________________________________________. (2)在y 轴上;_________________________________________. (3)在坐标轴上;_________________________________________. (4)在直线y = x 上;_________________________________________. (5)在直线y = x 或y = - x 上._________________________________. 例2 写出终边符合下列要求的角集:
(1)在第四象限;_________________________________________. (2)在第一、三象限;_________________________________________. 例3 写出终边符合下列条件的两角的关系:
(1)α与β终边重合;_________________________________________. (2)α与β终边在同一条直线上;_______________________________________. (3)α与β终边关于x 轴对称;_________________________________________. (4)α与β终边关于y 轴对称;_________________________________________. (5)α与β终边关于原点对称;_________________________________________. (6)α与β终边关于直线x y =对称;____________________________________. (7)α与β终边关于直线x y -=对称;___________________________________. 1. 已知角α是小于?
180的正角,如果角α7的终边与角α的终边重合,试求α的值. 2. 扇形区域区域周期为?
360,即每旋转一周恰好一次覆盖该区域;而对角形区域的周期为?
180,即每旋转一周恰好两次覆盖该区域. 3. 若集合????
??∈+±
==Z k k M ,6ππ
αα,()?
?????∈+?-==Z k k N k ,61ππαα,则集合
N M ,的关系为___________. N M =
4. 若将时钟拨慢5分钟,则时针转了__________度,分针转了_________度.
5. 已知α与β终边关于直线x y -=对称,若3
π
α-=,则_______=β
6. 已知点)4
3
cos ,43(sin
ππP 落在角θ的终边上,且[)πθ2,0∈,则θ的值为_______ 变:角α(πα20<≤)的终边过点ππ5
3
cos ,53(sin P ),则______=α
二、弧度制
1. 已知圆上的一段弧长等于等于该圆内接正三角形的边长,则这段弧所对圆周角的弧度数为__________.
2
3
2. 已知扇形的周长为cm 16,则其面积的最大值为________2
16cm 拓展:(通常用半径作为自变量构建函数模型)
(1)当扇形的周长为定值C 时,当且仅当扇形所对应的圆心角为rad 2时,可取得扇形面
积的最大值为16
2C ;
(2)当扇形的面积为定值S 时,当且仅当扇形所对应的圆心角为rad 2时,可取得周长的最小值为S 4; 3.(旋转问题)
(1)在直径为cm 10的轮子上有一长为cm 6的弦,P 是弦的中点,轮子每秒转rad 5,则经过s 5后点P 转过的弧长为_________ cm 100
(2)已知相互齿合的两个齿轮,大轮有50齿,小轮有20齿.
(1)当大轮转动一周时,求小轮转动的角的弧度数的大小(不考虑方向); (2)如果大轮的转速为min /180r (转/分),小轮的半径为cm 10,试求小轮圆周上一点s 1转过的弧长. ;5π小轮转速为min /5.7r ;cm π150
(3)已知x 轴的正半轴上一点A 绕着原点依逆时针方向做匀速圆周运动,已知点A 每分钟转过θ角(πθ≤<0),经过2分钟到达第三象限,经过14分钟回到原来的位置,那
么θ是多少弧度? π74或π7
5 4. 若2
2
π
βαπ
<
<<-
,则βα-的取值范围是________
5. 扇形的面积为2
1cm ,它的周长为cm 4,求圆心角的弧度数和弧长. 6. 已知扇形的圆心角为π3
2
,半径为6,则扇形所含的弓形面积为_______ 7. 已知rad 1的圆心角所对的弦长为2,求 (1)这个圆心角所对的弦长;
2
1sin 1
(2)这个圆心角所在扇形的面积.
1
cos 11
-
8.
,宽为1dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚,翻滚到第三面 时被一小木板挡住,使木块底面与桌面成30的角,则点A 走过的弧的总长为 _ dm
.
π6
3
29+ 三、任意角的三角函数
1. 当ααsin sin =时,角α的终边位于____________
2. 已知角θ的终边经过点)0)(,3(≠-m m P ,且m 4
2
sin =θ,试判断角θ所在的象限,并求θcos 和θtan 的值. 5±=m
3. 如果rad 2角的终边上一点P 到坐标原点的距离为1,则P 点的坐标为_______
4. 已知角α的终边落在直线3y x =上,求ααtan ,sin 的值.
5. 已知角α的终边经过点)0)(3,4(≠a a a P ,则2sin cos αα+的值为_______
6. 已知点M 在角α的终边的反向延长线上,且1=OM ,则点M 的坐标为_______
7. 若点)2,93(+-a a P 在角α的终边上,且0sin ,0cos >≤αα,则实数a 的取值范围是________.
8. 角α的终边上有一点)2,(-x P 且3
cos x
=
α,则=αsin _______ -1或-2/3 9. 若βαsin sin =,则α和β满足的条件是__________
())(1Z n n n ∈+-=πβα
10. 若βαcos cos =,则α和β满足的条件是__________ )(2Z n n ∈+±=πβα 11. 若βαtan tan =,则α和β满足的条件是__________ )(Z n n ∈+=πβα 12. 利用单位圆中的三角函数线,完成下列问题: (1)确定下列各角的取值范围:1tan ;2
3cos ;21sin >≥<
ααα (2)已知α为锐角,证明:2
cos sin 1π
αα<
+<(利用面积或周长都可以)
(3)已知α与β均为第二象限角,且tan tan αβ>,则s i n ,s i n α
β的大小关系为______
(4)作出符合下列条件的角的终边:1
1cos ;tan 42
θα=-=
(5)求函数的定义域:lgsin y x =
变式1、函数的定义域为lg(2sin 1)y x =-
变式2、函数的定义域为y 变式3、集合{}
2,,403A x
k x k k Z B x x ππππ??
=+≤<+∈=-≥????
,则A B =
变式4、函数y =
(6)若α为锐角,试比较,sin ,tan ααα之间的大小关系
13、函数sin cos tan sin tan cos x
x
x y x x x
=
-+
的值域为______
变式、函数2cos tan sin sin y αα
αα
=-
的值域为______ {}1,5,5,1-- 14、若23
cos 4x x
α-=
-,又α是第二、三象限角,则x 的取值范围是______ 15、A,B 是单位圆上的两个质点,B 点的初始坐标为(1,0),3
B
O A π
∠=
,质点A 以的角
速度按逆时针方向在单位圆上运动;质点B 以1rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动,过点A 作1AA y ⊥轴于点1A ,过点B 作1BB y ⊥轴于点1B (1)求经过1s 后,BOA ∠的弧度数;23
BOA π
∠=
+ (2)求质点A,B 在单位圆上第一次相遇所用的时间;5
6
s π
(3)设点1A 与1B 间的距离为y ,请写出y 关于时间t 的函数关系式并求出最值
6t π??+ ???
变式、若点P 从(1,0)出发,沿单位圆221x y +=按逆时针方向匀速运动,且角速度是
6
π
ω=
rad/s ,t s 钟运动到Q 点
(1) 当t=4,求Q 点的坐标;(2)当[]0,6t ∈时,求弦PQ 的长(用t 表示)
解:(1)1,22?-
??
;(2)2sin 12t π
(余弦定理、两点间距离公式、垂径定理)
16、若角α的终边上有一点(4,)P a -,且sin cos αα?=
,则 a 的值为______
17、已知角α的终边在直线y kx =上,若sin α=且c o s 0α<,则实数k =______
可利用斜率解决 得结果为2
18、若tan sin x x <,则角x 所在象限为 ______ 二或四
19、已知点()sin cos ,tan P ααα=-在第一象限,在[]0,2π内角α的取值范围是______
20、若,αβ是关于x 的二次方程()222cos 1cos 0x x θθ+++=两根,且αβ-≤则θ角的范围是______ ()2,33k k k Z ππ
ππ??
++∈????
四、同角三角函数基本关系式
1、试用单位圆法和定义法证明同角三角函数的基本关系式;
2、化简下列三角函数式:tan
3、证明下列三角恒等式:(弦切互化,1的代换)
(1)2222
12sin cos cos sin cos sin 12sin cos θθθθ
θθθθ
--=-+ (2)
2
222
1112tan sin cos tan x x x x +-=+ (3)cos sin 2(cos sin )
1sin 1cos 1sin cos x x x x x x x x
--=++++
4、已知1
sin cos 5
αα-=,且()0,απ∈,求下列各式的值:
(1)sin cos αα?;(2)sin cos αα+;(3)3
3
12791
sin cos ;;255125
αα+;
5、已知1sin cos ,,842ππααα??
?=
∈ ???
,则cos sin αα-= 变式1、已知1,0,sin cos 25πααα??
∈-
+= ???
,
(1)求sin cos αα-的值;(2)求2sin 22sin 1tan αα
α
+-的值
变式2、设()sin
cos ,n
n f n n N αα*=+∈,且()1,f a a =<(1)求sin cos αα? ;(2)求()()()2;3;4f f f
变式3
、已知11,,2sin cos πθπθθ??∈+=
???,则1sin 232
πθ?
?+=
??
?
变式4、设(sin cos )sin cos f x x x x +=,则6f π??
???
=______ 变式5、已知()51
sin 5sin 25
ππθθ??---=
??? (1) 求sin cos θθ的值;(2);求3
3
sin cos θθ-的值 (3)当0πθ-<< 时,求tan θ
6、已知
sin cos 3sin cos x x
x x +=-,求tan x 和222sin (sin cos )x x x +-的值
变式:
22sin cos ;sin sin cos cos sin cos a x b x
m x n x x p x c x d x
+++-的值(齐次分式的求值问题) 变:已知cos 2sin 22ππαα???
?+=- ? ?????,则()()3s i n c o s 575cos 3sin 22πααπππαα+++????-+- ? ?????
的值为______
7
2tan x =,求角x 的取值范围______
222,22x x k k x k k Z ππππππ??=+-<<+∈????或
变式:化简 8
、若sin cos cos 1θθ=-,则θ在第______ 象限;四
9、化简66441cos sin 1cos sin x x
x x
----
10、已知sin ,cos αα是方程2
86210x kx k +++=的两个实数根,则实数k 的值为______
11. 求值:
=--?-?
?10
cos 110sin 10cos 10sin 212
_________ -1
12. (1)已知17
8
cos -=α,求αsin 和αtan 的值; (2)已知?
?
?
??∈2,
0πα,且511cos 2sin =+αα,求αtan 的值; (3)已知m =αtan ,求αsin 和αtan 的值; 解:若α角位于第一、四象限或x 轴的正半轴时,2
1sin m
m +=
α,2
11cos m
+=
α
若α角位于第二、三象限或x 轴的负半轴时,2
1sin m
m +-=
α,2
11cos m
+-=
α
13. 已知2tan 1tan -=+
x x ,则=+x
x n
n tan 1
tan _________(*N n ∈)2或2- 五、三角函数的诱导公式
1. 已知31)sin(=
+απ,??? ?
?
--∈2,ππα,则=-)cos(πα_______
232 2. 3
1)15cos(-=-?
x ,则=+?
)165cos(x _______
3
1
3. 已知2
1
)tan(=+απ,()0,πα-∈,则=-)tan(
απ_______;=+-)sin(απ______ 4. 求下列各式的值
(1))437
tan(585cos 611tan )1200sin(3ππ---??
2
2
3- (2)5
4cos 53cos 52cos
5
cos
ππππ
+++ 0 5. 化简:
)
cos()sin(]
)1cos[(])1sin[(απαπαπαπ+--+++k k k k -1
6. 已知31)75cos(=
+?
x ,x 为第三象限角,则=-?
)105sin(x _______
23
2 7. 在ABC ?中,若)sin(2)2sin(B A --=-ππ,)cos(2)2cos(3B A +-=-ππ,则ABC ?的三个内角分别是____________
12
7;6;4π
ππ
8. m =+)5tan(απ,则
=+---+-)
cos()sin()
cos()3sin(απααππα________.
9. 化简:?
??
?++790
cos 250sin 110cos 470sin 21=________ -1 10. 已知a =
165cos ,则_______195tan =
a
a 2
1--
11. 若53)6
sin(=
+
π
α,则______)3
cos(=-απ
12. 已知3cos()cos(2)sin()
22()3sin()sin()
2
f ππαπαααπ
παα+?-?-+=
--?+ (i )化简()f α;
(ii )若α是第三象限角,且31
cos()25
πα-=,求()f α的值. 13. 已知3sin()cos(2)sin()
2()3cos()cos()
2
f π
παπαααπ
παα-?-?-+=
--?-+ (1)求31()3f π
-的值; (2)若3
()5
f α=,求sin ,tan αα的值.
(3)若2()()2f f ππαα+=+,求
2sin cos cos sin cos αα
ααα++-的值; 14. 如果53)4sin(=-πα,则=+)4
cos(π
α_________
15. 化简: (1))2
sin(
)2
tan(
)2
cos(απ
απ
π
α+--+=_______ α
sin 1
-
(2))4(
cos )4(
cos 22
x x ++-π
π
(3)))(4
1
4cos()414cos(Z n n ∈--+++ααπαπ
16. 在ABC ?中,求证:12
cos 2cos 22
=++C
B A
总结ABC ?中的一些三角结论:正弦、余弦、正切关系?半角关系如何? 拓展:已知D C B A ,,,顺次为圆内接四边形的四个内角,则 (1)4sin 4cos
D C B A +=+;(2))2
cos()2sin(D C
D A -=+; 17. 判断下列函数的奇偶性:
(1))
2
3
cos()23sin(1
cos sin )(44x x x x x f -+-+=ππ
(2))tan()2
cos(
)(x b x a x f -++=ππ
18. 如果x x f 2cos )(sin =,则_______)(cos =x f
19. 已知??
???>--<=1,1)1(1
,2
cos )(x x f x x x f π
,则=)31(f ________ 20. 若43)2sin(-=+
π
α,παπ
<<-2
,则)tan(απ-=________ 21. 函数)(3
cos
)(Z x x x f ∈=π
的值域为________
22. 已知2tan =α,求
)sin()tan()
23sin()2cos()sin(αππαπ
ααπαπ----+
---的值;
23. 已知1
c o s (75),180903
αα+=
-<<-
其中,求
sin(105)cos(375)αα-+-的值.
六、三角函数的周期性
1. 若函数()cos()(0)6
f x x π
ωω=-
>的最小正周期是
5
π
,则ω的值为 .
2. 若3
sin
)(x
x f π=,则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++=_
3. 已知π
()3sin(2)6
f x x =-,若存在(0,π)α∈,使()()f x f x αα+=-对一切实数x 恒成立,则α=________
4. 已知函数)0,)(4
sin()(>∈+
=w R x wx x f π
的最小正周期为π,将)(x f y =的图像向
左平移||?个单位长度,所得图像关于y 轴对称,则?的一个值是 5. 设0≠a ,则函数)cos(π+=ax y 的最小正周期为_________ 6. 定义在R 上的函数)(x f y =,满足)
(1
)2(x f x f -
=+,则它的一个周期为_______ 7. 已知)(x f y =是定义在R 上的以3为周期的偶函数,且0)2(=f ,则方程0)(=x f 在区间()6,0内解的个数的最小值为________. 8. 已知函数)(x f 满足:)
(1)
(1)1(x f x f x f -+=
+,求证:)(x f 是周期函数.
9. 已知函数)(x f 是定义在R 上的周期为4的奇函数. (1)求)4(f 的值;(2)若12-≤<-x 时,12
sin )(+=x x f π
,求32≤≤x 时,)
(x f 的解析式.
10. 定义在R 上的函数)(x f 满足)()6(x f x f =+,当[)1.3--∈x 时,2)2()(+-=x x f ,
当[)3,1-∈x 时,x x f =)(,则_____)2012
()3()2()1(=++++f f f f 338 11. 设函数??
??∈=Q
x Q
x x D ,0,1)(,则下列结论错误命题的序号为_______3
(1))(x D 的值域为{}1,0;(2))(x D 为偶函数;(3))(x D 不是周期函数 (4))(x D 不是单调函数
12. 已知)2()(x x x g -=,10<≤x ,0)1(=g ,再设函数)(x f y =,R x ∈是以2为周
期的奇函数,且在[]1,0上)()(x g x f =,画出)(x f y =)22(≤≤-x 的图象并求其解析式.
解:????
???????≤<-=<≤-<<-+-=-<≤-+-=.
21),2(,1,0,10),2(,
01),2(,1,0,
22),2()(x x x x x x x x x x x x x x x f
13.()f x 是定义在R 上且周期为2的函数,在区间[11]-,上,0111()201x x ax f x bx x <+-??
=+??+?≤≤≤,
,,,
其中a b ∈R ,
.若1322f f ????
= ? ?????
,则3a b +的值为 ______ -10 14. 函数y =f (x )是定义在R 上的周期函数,周期T =5,函数y =f (x )(-1≤x ≤1)是奇函数, 又知y =f (x )在[0,1]上是一次函数,在[1,4]上是二次函数,且在x =2时函数取得最小值-5. (1)证明:f (1)+f (4)=0;(2)求y =f (x ),x ∈[1,4]的解析式;(3)求y =f (x )在[4,9]上的解析式. 解:(2)41,5)2(2)(2
≤≤--=x x x f
(3)???≤<--≤≤+-=9
6,7)7(2,
64,153)(2
x x x x x f 15. 已知函数R x x x f ∈=,3
cos
)(π
(1)求函数的最小正周期;
(2)求)2012
(2012)3(3)2(2)1(1f f f f ++++ 的值. 2
2009
16. 定义在R 上的奇函数)(x f 满足)3()3(x f x f -=+,若当()3,0∈x 时,x
x f 2)(=,则当()3,6--∈x 时,则)(x f 的解析式为________ 6
2)(+-=x x f
17. 已知函数)(x f 在区间[]2,1上的表达式为x x f =)(,若对于任意R x ∈,
)2()2(x f x f -=+,且)1()3(x f x f +=+,则______29=??
?
??f . 23
七、三角函数的图象与性质
1. 已知函数a x x x f ++-=sin sin )(2,若4)(1≤≤x f 对一切实数R x ∈恒成立,则实数a 的取值范围是________. ??
?
???415,3 2. 函数1)6
2tan(≤-
π
x ,则x 的取值范围是________
变:使3
3
tan ≤
x 成立的角x 的范围是__________ 3. 已知函数)0)(sin(2)(>+=ω?ωx x f 图像与直线1=y 的交点中距离最近的两点间的距离为
,3
π
则_______=ω 2 4. 对于函数()2sin 23f x x π??
=+ ??
?
给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线12
x π
=
成轴对称;③图象可由函数2sin 2y x =的图象向左平移
3
π
个单位得到;④图象向左平移
12
π
个单位,即得到函数2cos 2y x =的图象。其中正确结论是_______ 5. 函数x x f ωsin 2)(=在??
?
???4,0π上为增函数,且在这个区间上的最大值为,3则正数ω值为__________
6. 已知k 为正实数,kx x f sin 2)(=在??
?
???-4,3ππ上为增函数,则k 的取值范围为_____ 7. 函数)6
56
(
3sin 2π
π
≤
≤=x x y 与函数y=2的图象围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是____________
8. 设x ∈[0,
2
π],若关于x 的方程a x =+)32sin(3π
有两解,则a 的取值范围是_______
9. 关于函数),)(3
2sin(4)(R x x x f ∈+=π
,有下列命题:
(1) 由0)()(21==x f x f ,得21x x -必是π的整数倍;
(2) y=f(x)的表达式可改写成)6
2cos(4π
-=x y ;
(3) y=f(x)的图象关于点)0,6
(
π
对称;
(4) y=f(x)的图象关于直线6
π
-
=x 对称
其中正确命题的序号是_____________(注:把你认为正确的命题的序号都填上)
10. 已知函数()sin()(0)3f x x ωωπ
=+>,若()()64f f ππ=,且()f x 在区间(,)64
ππ内有
最大值,无最小值,则=ω . 20,5
52
,54 11. 已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ω?ω?π=+>><<在12
x π
=时取得最大值4,
在同一周期中,在512
x π
=
时取得最小值4-. (1)求函数()f x 的解析式; (2)求函数()f x 的单调增区间;
(3)若2
()23
12
f π
α+=,(0,)απ∈,求α的值. 解:(1)依题意,4A =;---------------------------------------------1分 5
12123πππ-=,∴ 23T π=,∴223
T ππω==,∴3ω=;-----------------4分 将(
,4)12π代入()4sin(3)f x x ?=+,得sin()14
π
?+=,0?π<<,∴4
π
?=
,
∴()4sin(3)4
f x x π
=+.-------------------------------------------------6分
(2)由2322
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+
+
≤≤?
2234312
k k x ππππ
-+≤≤,---------9分 即函数()f x 的单调增区间为22[
,]34312
k k ππππ
-+,k ∈Z .-------------------10分 (2) 由2()2312f πα+=?4sin(2)22πα+=?1
cos 22
α=,--------------13分
(0,)απ∈,∴2
3πα=或523πα=,∴6πα=或56
π
α=.------------------15分
(1)1
sin 1
y x =+ (2)lgsin y x =
12. 函数()[]π2,0,sin 2sin ∈+=x x x x f 的图象与直线k y =有且仅有两个不同的交点,则k 的取值范围是 。 13. 若)2,0(),4
sin()(ππ
∈+
=x x x f ,并且关于x 的方程m x f =)(有两个不等实根21,x x ,
则21x x +值为
14. (2009全国卷Ⅰ理)如果函数()cos 2y x φ=3+的图像关于点43π??
???
,0中心对称,那么||?的最小值为 15. (2009湖北卷理)函数cos(2)26
y x π
=+
-的图象F 按向
量a 平移到'
F ,'
F 的函数解析式为(),y f x =当()y f x =为奇函数时,向量a 可以等于
16. 函数()sin()f x A x ω?=+(A ,ω,?是常数,0A >,
0ω>)的部分图象如图所示,(0)f 的值是 _____
17. 函数[)π?ω?ω2,0,0,0)(sin()(∈>>+=A x A x f ) 的图像如图所示,则______=?
18. 将函数π2sin 3y x =的图象上每一点向右平移1个单位,再将所得图象上每一点的横坐
标扩大为原来的π3倍(纵坐标保持不变),得函数()y f x =的图象,则()f x 的解析式为
_______
19. 要得到函数cos()2
4
x y π=-的图象,只需把函数sin
2
x
y =的图象向_ _平移_ _个单位; 20. 将函数72sin(2)13
y x π
=-
+图像,按向量a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一?若唯一,求出a ;若不唯一,求出模最小的向量
21. (2009全国卷Ⅱ理)若将函数()tan 04y x πωω?
?
=+> ??
?
的图像向右平移
6
π
个单位长度后,与函数tan 6y x πω??=+
?
?
?
的图像重合,则ω的最小值为
变式:(2011全国卷)设函数)0(cos )(>=ωωx x f ,将)(x f y =的图象向右平移
3
π
个单位长度后,与原图象重合,则ω的最小值为 ;若所得图象与原图象关于x 轴对称,则ω的最小值为 ;若所得图象为偶函数,则ω的最小值为 22. 3
2sin(π
-
-=x y 的递减区间是______;12
34
x y log cos(
)π
=+的递减区间是_______ 23. 0ω>,函数()sin(4f x x π
ω=+
在(,)2
π
π上单调递减, ω的取值范围是_________ 24. 若关于x 的方程满足πππ≤≤-=-x m x ,)4
3cos(2,则方程有两个不同实数解的
m 的取值范围是_________
25. 有一种波,其波形为函数x y 2
sin
π
=的图象,若在区间[]t ,0上至少有2个波峰(图象
的最高点),则正整数t 的最小值为_________
26. 已知函数()()3sin 06f x x πωω?
?=-> ??
?和()()()2cos 20g x x ??π=+<<的图
象的对称轴完全相同,则3g π??
???
的值是 27. 函数()2sin()f x x ω?=+(其中0ω>,22
π
π
?-
<<
)的图象
如图所示,若点A 是函数()f x 的图象与x 轴的交点,点B 、D 分 别是函数()f x 的图象的最高点和最低点,点C (,0)12π
是点B 在
x 轴上的射影,则AB BD ?=
28.
函数ππ4
2y x ??
=- ???的部分图象如右图所示,则
()OA OB AB +?= .
29. 函数x x f ωtan )(=在???
?
?-
2,2ππ内是减函数,那么ω的取值范围是_____ [)0,1- 30. 函数x y sin =的对称轴方程是__________ 31. 已知函数)0(2
sin
>=a x a y π
在区间()1,0内至少取得两次最小值,且至多取得三次最大值,则a 的取值范围是______________ (]13,7 32. 定义在??
?
??2,
0π上的函数x y cos 2=的图象与x y sin =的图象的交点为P ,则点P 到x 轴的距离为________.
5
5
2 33. 求下列函数的定义域:
(1)1sin 2+=x y ;(2)x x y cos 162-+-= (3)x x y cos sin -=;(4)?
?? ?
?
-+=
42tan 11
x y (5)3tan 3-=x y ;(6))tan 1lg(x y -=;
(7)x x y tan log 22
1++=
; []4,2,0ππ ???
??
34. 画出下列函数的图象,并根据图象判断函数的周期性 (1)x y sin =;(2))cos (cos 21x x y +=
;(3)2
1sin )(+=x x f ; (4)x y tan =(写出单调区间);(5))tan (tan 2
1
x x y +=
(单调递增区间)
35. 判断下列函数的奇偶性: (1))4
cos()4
sin()(π
π
+
++
=x x x f
(2)1sin 21sin 2)(--+=x x x g
36. 函数)65
4(
2cos ππ
≤≤=x x y 的值域为________ 37. (1)比较23cos 与4
7
cos -的大小;
(2)在锐角三角形ABC 中,比较A cos 与B sin 的大小关系; 38. 求下列函数的值域
(1)??
?
???∈+-=43,4,1sin cos 2
ππx x x y ;
(2)3cos 3cos +-=x x y ; (3)1sin 5022-+=
x x s c y ;
(4)x x y sin 21sin 3-+= 39. 已知函数x x x f sin 21sin 2)(+-= (1)作出函数)(x f y =的图象;
(2)由函数)(x f 的图象求出)(x f 的最小正周期、值域和单调递增区间.
40. 已知函数x y tan =在区间??
?
??-
ππ2,3a a 上单调递增,则实数a 的取值范围是_______ (]1,0
41. 给定性质:a 最小正周期为π;b 图象关于直线x =π
3对称.则下列四个函数中,同时具
有性质ab 的是________.
①y =sin(x 2+π6) ② y =sin(2x +π6) ③y =sin|x | ④y =sin(2x -π
6)
42. 已知a 是实数,则函数f (x )=1+a sin ax 的图象不可能是________.4
43. 如图是函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,-π<φ<π),x ∈R 的部分图象,则下列命题中,正确命题的序号为________.
①函数f (x )的最小正周期为π
2;
②函数f (x )的振幅为23;
③函数f (x )的一条对称轴方程为x =712π;
④函数f (x )的单调递增区间为[π12,7
12π];
⑤函数的解析式为f (x )=3sin(2x -2
3
π).
44. 已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=________.
解析:由图可知,T
2=2π-3
4π,
∴T =52π,∴2πω=52π,∴ω=4
5,
∴y =sin(45x +φ).
又∵sin(45×3
4π+φ)=-1,
∴sin(35
π+φ)=-1,
45. 已知函数y =sin(ωx +φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则φ=________.
解析:由图象知T =2(2π3-π
6
)=π.
∴ω=2πT =2,把点(π6,1)代入,可得2×π6+φ=π2,φ=π6
.
答案:π6
46. 已知函数f (x )=sin(ωx +π
4)(x ∈R ,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g (x )=cos ωx
的图象,只要将y =f (x )的图象________.
解析:∵f (x )=sin(ωx +π
4)(x ∈R ,ω>0)的最小正周期为π,
∴2πω=π,故ω=2.又f (x )=sin(2x +π4)∴g (x )=sin[2(x +π8)+
π4]=sin(2x +π2)=cos2x . 答案:向左平移π
8
个单位长度 47. 已知函数f (x )=A cos(ωx +φ) 的图象如图所示,f (π2)=-2
3
,则f (0)=________.
解析:T 2=1112π-712π=π3,∴ω=2π
T =3.
又(7
12
π,0)是函数的一个上升段的零点, ∴3×712π+φ=3π2+2k π(k ∈Z ),得φ=-π4+2k π,k ∈Z ,
代入f (π2)=-23,得A =223,∴f (0)=23. 答案:23
48. 当0≤x ≤1时,不等式sin πx
2
≥kx 恒成立,则实数k 的取值范围是________.
解析:当0≤x ≤1时,y =sin πx
2的图象如图所示,y =kx 的图象在[0,1]之间的部分应位于
此图象下方,当k ≤0时,y =kx 在[0,1]上的图象恒在x 轴下方,原不等式成立. 当k >0,kx ≤sin πx
2
时,在x ∈[0,1]上恒成立,k ≤1即可.
故k ≤1时,x ∈[0,1]上恒有sin πx
2
≥kx .答案:k ≤1
49. 已知函数f (x )=A sin(ωx +φ),x ∈R (其中A >0,ω>0,0<φ<π
2)的周期为π,且图象上一个
最低点为M (2π
3
,-2).
(1)求f (x )的解析式;(2)当x ∈[0,π
12
]时,求f (x )的最值.
解:(1)由最低点为M (2π3,-2)得 A =2.由T =π得ω=2πT =2π
π
=2.
1.已知函数f(x)=sin(ωx)﹣2sin2+m(ω>0)的最小正周期为3π,当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0. (1)求函数f(x)的表达式; (2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A﹣C),求sinA的值. 解:(Ⅰ). 依题意:函数. 所以. , 所以f(x)的最小值为m.依题意,m=0. . (Ⅱ)∵,∴ .. 在Rt△ABC中,∵, ∴. ∵0<sinA<1,∴. 2.已知函数(其中ω>0),若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为. (I)求y=f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足(2b﹣a)cosC=c?cosA,则f(B)恰是f(x)的最大值,试判断△ABC的形状. 【解答】解:(Ⅰ)∵ , =, ∵f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为,
∴T=π,∴,∴ω=1,∴. ∵得:, ∴函数f(x)单调增区间为; (Ⅱ)∵(2b﹣a)cosC=c?cosA,由正弦定理, 得(2sinB﹣sinA)cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C), ∵sin(A+C)=sin(π﹣B)=sinB>0,2sinBcosC=sinB, ∴sinB(2cosC﹣1)=0,∴,∵0<C<π,∴,∴, ∴.∴, 根据正弦函数的图象可以看出,f(B)无最小值,有最大值y max=1, 此时,即,∴,∴△ABC为等边三角形. 3.已知函数f(x)=sinωx+cos(ωx+)+cos(ωx﹣)﹣1(ω>0),x∈R,且函数的最小正周期为π: (1)求函数f(x)的解析式; (2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若f(B)=0,?=,且a+c=4,试求b的值. 【解答】解:(1)f(x)=sinωx+cos(ωx+)+cos(ωx﹣)﹣1 ==. ∵T=,∴ω=2. 则f(x)=2sin(2x)﹣1; (2)由f(B)==0,得. ∴或,k∈Z. ∵B是三角形内角,∴B=. 而=ac?cosB=,∴ac=3.
1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异 于原点),它与原点的距离 是0r =>,那么sin ,cos y x r r αα== , ()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:2 222 1 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换
4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成 απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 5.特殊角的三角函数值
三角函数、解三角形 1.弧长公式:r l α= 扇形面积公式:22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式: 平方关系:1cos sin 2 2 =+αα 商数关系:sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式(把角写成απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如: x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理: 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径) 8.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc =+-A ,2 2 2 2cos b a c ac =+-B ,2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222 cos 2a b c C ab +-=.
高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1.【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A.B. C.D. 【答案】D 【解析】由,得是奇函数,其图象关于原点对称,排除A.又,排除B,C,故选D. 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答本题时,先判断函数的奇偶性,得是奇函数,排除A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案. 2.【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间(,)单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④B.②④ C.①④D.①③ 【答案】C 【解析】为偶函数,故①正确.当时,,它在区间单调递减,故②错误. 当时,,它有两个零点:;当时,
,它有一个零点:,故在有个零点:,故③错误.当时,;当时, ,又为偶函数,的最大值为,故④正确.综上所述,①④正确,故选C. 【名师点睛】本题也可画出函数的图象(如下图),由图象可得①④正确. 3.【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中,以为周期且在区间(,)单调递增的是A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1,知其不是周期函数,排除D; 因为,周期为,排除C; 作出图象如图2,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递增,A正确; 作出的图象如图3,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递减,排除B,故选A. 图1
图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养,画出各函数图象,即可作出选择.本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半; ②不是周期函数. 4.【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα= A. B. C.D. 【答案】B 【解析】,, ,又,,又,,故选B. 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查,中等难度,判断正余弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答本题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案. 5.【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论: ①在()有且仅有3个极大值点 ②在()有且仅有2个极小值点
学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度:高、中、低命题指数:☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中,AB=6,∠A=75°,∠B=45°,则 AC=________. 2.(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c.若a=2,c=2 3,c os A= 3 2 且b<c,则b=________. 3.(2015·北京高考)在△ABC中,a=3,b=6,∠A= 2π 3 ,则∠B= ________. 4.(2015·福建高考)若△ABC中,A C=3,A=45°,C=75°,则 BC=________. 5.(2015·全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边, sin2B=2sin A sin C. (1)若a=b,求cos B;[来源:学科网ZXXK] (2)设B=90°,且a=2,求△ABC的面积. 教 学 效 果 分 析
教学过程 6.(2015·山东高考)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知cos B= 3 3 ,sin(A+B)= 6 9 ,ac=23,求sin A和c的值. 7.(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD= 2DC. (1)求 sin B sin C ; (2)若∠BAC=60°,求∠B. 8.(2015·浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,已知tan ? ? ?? ? π 4 +A=2. (1)求 sin 2A sin 2A+cos2A 的值; (2)若B= π 4 ,a=3,求△ABC的面积.[来源:学科 教 学 效 果 分 析
专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式: 定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 第一定义:设是任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则 第二定义:设 是任意角,它的终边上的任意一点 P(x,y),则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上,则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式:(1)已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ,且5 4 cos - =α,则m 的值为 . (2)在直角坐标系中,O 是原点,A (3,1),将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点,则B 点坐标为__________. (3)4tan 3cos 2sin 的值( ) A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120,则扇形的弧长为 面积为 . 变式:已知在半径为10的圆O 中,弦AB 的长为10,则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ,α所在的扇形弧长 为 ,弧所在的弓形的面积S 为 .
二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角,且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值; (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来,并求其值. 变式:1、已知α是三角函数的内角,且3 1 tan -=α,求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α(1)求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值;(2)求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α+2sin α=-5,则tan α=________.
课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零;偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1,又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:1、化为求得值域; ,引入辅助角,化为求解方法同类型。 2、化为关于(或)得二次函数式; ,设,化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数,)、 ) ②y=tanx图象得对称中心(,0) (二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出)周期 3、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间,重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为,值域为,求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 3、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ)求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、
7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x)得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,, ②,, ③== ④ (4)面积公式:S=ab*sinC=bc*sinA=ca*sinB 课堂练习: 1、在中,角得对边分别为,已知,则( ) A、1 ?B.2 C、???D、 2、在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上得高为( ) A、B、 C、D、 3、在ΔABC中,已知a=,b=,B=45°,求角A,角C得大小及边c得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则() A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,,,则__________ 6、在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_______、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?A、75°?B、60° ?C、45°D、30° 8、在△中,若,则等于、 9、在中,已知,则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 10、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形,就就是等腰直角三角形,∠=,交于,、 ?(1)求∠得得值; (2)求、 12、在中,角A、B、C所对得边分别为a,b,c,且满足
必修四三角函数与解三角形综合测试题 (本试卷满分150分,考试时间120分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分) 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若点P 在3 2π的终边上,且OP=2,则点P 的坐标( ) A .)3,1( B .)1,3(- C .)3,1(-- D .)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则( ) A .47 B .169- C .329- D .32 9 3.下列函数中,最小正周期为 2 π的是( ) A .)32sin(π-=x y B .)32tan(π-=x y C .)62cos(π+=x y D .)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=( ) A .924- B .924 C .9 7- D .97 5.函数y =sin (π4 -2x )的单调增区间是 ( ) A.[kπ-3π8 ,kπ+π8 ](k ∈Z ) B.[kπ+π8 ,kπ+5π8 ](k ∈Z ) C.[kπ-π8 ,kπ+3π8 ](k ∈Z ) D.[kπ+3π8 ,kπ+7π8 ](k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位,得到)4sin(?+=x y 的图象,则?等于( ) A .12π- B .3π- C .3 π D .12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A .3 B .33 C .33- D .3- 8.在△ABC 中,sinA >sinB 是A >B 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 9.ABC ?中,π= A ,BC =3,则ABC ?的周长为( )
三角函数与解三角形 一、 y=Asin (ωx+φ)函数的图像与性质重难点突破 二、经验分享 【知识点1 用五点法作函数y=Asin (ωx+φ)的图象】 用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图,主要是通过变量代换,设z x ω?=+,由z 取3 0,,,,222 π πππ来求出相应的x ,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin (ωx+φ)的图象】 1.振幅变换: sin y A x x R =∈,(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0≠,且的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1 ω 倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换: 函数()sin y x x R ?=+∈,(其中0?≠)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当?>0时)或向右(当?<0时)平行移动?个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向:“左加右减”). 一般地,函数()sin()0,0y A x A x R ω?ω=+>>∈,的图象可以看作是用下面的方法得到的: (1) 先把y=sinx 的图象上所有的点向左(?>0)或右(?<0)平行移动?个单位; (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的 1 ω 倍(纵坐标不变); (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 1. 任意角的三角函数的定义: 设〉是任意一个角,p (x, y )是〉的终 边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin : cos : tan : 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式(把角写成2 …形式,利用口诀:奇变偶不变,符 (2)商数关 系: tan-E 屮一、 cos 。(用于切化弦) (1)平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限) sin (2k .亠 x ) = sin x cos (2k ■亠 x ) = cosx [)tan (2k ,亠 x )二 tanx sin ( -x ) - - sin x cos (-x ) =cosx H )tan (-x ) - - tanx m ) |sin (,亠 x ) = -sin x cos (m ) = - cosx tan (二 x ) IV ) Sin (兀 _x ) =sin x cos (兀—x ) = —cosx tan (兀一 sin (— -〉)= cos ..z sin (二:)=cos : V ) -?) = sin : 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.(2019浙江18)设函数()sin ,f x x x =∈R . (1)已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数,求θ的值; (2)求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析(1)因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数,所以,对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+, 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+, 故2sin cos 0x θ=, 所以cos 0θ=. 又[0,2π)θ∈,因此π2θ= 或3π2 . (2)2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?. 因此,函数的值域是[1- +. 27.(2018江苏)已知,αβ为锐角,4 tan 3 α= ,cos()5αβ+=-. (1)求cos2α的值; (2)求tan()αβ-的值. 【解析】(1)因为4tan 3α= ,sin tan cos ααα=,所以4 sin cos 3 αα=. 因为22sin cos 1αα+=,所以29 cos 25 α= , 因此,27cos22cos 125 αα=-=- . (2)因为,αβ为锐角,所以(0,π)αβ+∈. 又因为cos()αβ+=,所以sin()αβ+=, 因此tan()2αβ+=-. 因为4tan 3α=,所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--, 因此,tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+. 28.(2018浙江)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过 点3 4(,)55 P --. (1)求sin()απ+的值; (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ,求cos β的值. 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-, 所以4 sin()sin 5απα+=-=. (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-, 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-. 29.(2017浙江)已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R . (Ⅰ)求2( )3 f π 的值; (Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 【解析】(Ⅰ)由2sin 32π=,21 cos 32 π=-, 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin B sin C; (2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 4.已知函数f(x)=4tan x sin cos. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.解(1)由角α的终边过点P, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α= (2)由角α的终边过点P,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β= 2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B, ∴sin B= 由正弦定理,得, ∴sin A= ∵B,∴A,∴A= (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A= 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7, ∴AC边上的高为 3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B= 由正弦定理得sin C sin B= 故sin B sin C= (2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-, 即cos(B+C)=- 所以B+C=,故A= 由题设得bc sin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+ 三角函数与解三角形 1.已知函数f (x )=sin x -23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )在区间??????0,2π3上的最小值. 2.(2019·济南调研)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a sin A =4b sin B ,ac =5(a 2-b 2-c 2). (1)求cos A 的值; (2)求sin(2B -A )的值. 3.已知函数f (x )=sin 2x -cos 2x +23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f (A )=2,c =5,cos B =1 7,求△ABC 中线AD 的长. 4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )=cos x (cos x +3sin x ). (1)求f (x )的最小值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若f (C )=1,S △ABC =334,c =7,求△ABC 的周长. 5.已知△ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =(2sin B ,-3),n =(cos 2B ,2cos 2B 2-1),B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小; (2)如果b =2,求S △ABC 的最大值. 6.(2019·信阳二模)已知a ,b ,c 分别是△ABC 内角A ,B ,C 的对边,且满足(a +b +c )(sin B +sin C -sin A )=b sin C . (1)求角A 的大小; (2)设a =3,S 为△ABC 的面积,求S +3cos B cos C 的最大值. 三角函数及解三角形知识点 总结 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意 一点(异于原点),它与原点的距离是0r =>,那么 sin ,cos y x r r αα= =,()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:22221 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成 απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)??? ??=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形单元综合检测 (三)理 一、选择题(每小题5分,共45分) 1sin,则2sin2-1=() A.B.-C.D.± 1.B【解析】由已知得cos θ=,所以2sin2-1=-cos θ=-. 2.已知cos 31°=a,则sin 239°·tan 149°的值是() A.B.C.D.- 2.B【解析】sin 239° tan 149°=sin(270°-31°)tan(180°-31°)=(-c os 31°)(-tan 31°)=sin 31°=. 3y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ∈[0,2π))的部分图象如图所示,则 φ=() A.B. C.D. 3.D【解析】由题可知=3-1?T=8,所以ω=.由函数图象过点(1,1),将其代入函数式,解得 φ=. 4a,b,c为三角形ABC三边,a≠1,b 5.D【解析】由f(x)=cos 2x向左平移个单位得到的是g(x)=cos 2,则g=cos 2=cos π=-1. 6.已知tan(π-α)=-2,则=() A.-3 B. C.3 D.- 6.D【解析】根据tan(π-α)=-2可得tan α=2,从而 =-. 7.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C,则A的取值范围是() A.B.C.D. 7.B【解析】利用正弦定理化简sin2A≤sin2B+sin2C-sin B sin C得a2≤b2+c2-bc,变形得b2+c2-a2≥bc,∴cos A=,又∵A为三角形的内角,∴A的取值范围是. 8ABC中,AB=,AC=1,∠B=30°,△ABC的面积为,则C= () A.30° B.45° C.60° D.75° 8.C【解析】∵△ABC中,∠B=30°,AC=1,AB=,由正弦定理可得,∴sin ∠C=,∴∠C=60°或120°,当∠C=60°时,∠A=90°;当∠C=120°时,∠A=30°.当∠A=90°时,∴△ABC的面积为·AB·AC=;当∠A=30°时,∴△ABC的面积为·AB·AC·sin ∠A=,不满足题意,则∠ C=60°. 9.已知f(x)=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ(θ∈R)的图象关于y轴对称,则sin 2θ+cos 2θ的值为() A.B.2 C.D.1 9.D【解析】∵f(x)=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ(θ∈R)的图象关于y轴对称,∴y=f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x),∴(-x)2+(sin θ-cos θ)(-x)+sin θ=x2+(sin θ-cos θ)x+sin θ,∴sin θ-cos θ=0,即sin θ=cos θ,∴sin 2θ+cos 2θ=2sin2θ+cos2θ-sin2θ=sin2θ+cos2θ=1. 二、填空题(每小题3分,共15分) 10ABC中,已知角C=,a2+b2=4(a+b)-8,则边c=. 10.2【解析】由a2+b2=4(a+b)-8得(a-2)2+(b-2)2=0,所以a=2,b=2,由余弦定理得 c2=a2+b2-2ab cos=4+4-2×2×2×=4,所以c=2. 11.已知tan α=2,tan(α+β)=,则tan β的值为. 专题 三角函数及解三角形 1.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )= 在[,]-ππ的图像大致为 A . B . C . D . 2.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论: ①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间( 2 π,π)单调递增 ③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A .①②④ B .②④ C .①④ D .①③ 3.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中,以2 π为周期且在区间( 4 π, 2 π)单调递增的是 A .f (x )=|cos2x | B .f (x )=|sin2x | C .f (x )=cos|x | D .f (x )=sin|x | 4.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0, 2 π),2sin2α=cos2α+1,则sin α= A . 15 B . 5 C 3 D 5 5.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin (5 x ωπ + )(ω>0),已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点,下述四个结论: ①()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②()f x 在(0,2π)有且仅有2个极小值点 2 sin cos ++x x x x ③()f x 在(0, 10 π )单调递增 ④ω的取值范围是[1229 510 ,) 其中所有正确结论的编号是 A .①④ B .②③ C .①②③ D .①③④ 6.【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ω?ω?=+>><π是奇函数,将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图象对应的函数为()g x .若()g x 的最小正周期为2π ,且4g π?? = ???38f π??= ??? A .2- B . C D .2 7.【2019年高考北京卷理数】函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是__________. 8.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π 6,2,3 b a c B === ,则ABC △的面积为_________. 9.【2019年高考江苏卷】已知 tan 2π3tan 4αα=-??+ ?? ?,则πsin 24α? ?+ ???的值是 ▲ . 10.【2019年高考浙江卷】在ABC △中,90ABC ∠=?,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若 45BDC ∠=?,则BD =___________,cos ABD ∠=___________. 11.【2019年高考全国Ⅰ卷理数】ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设 22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-. (1)求A ; (2 2b c +=,求sin C . 12.【2019年高考全国Ⅲ卷理数】△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin sin 2 A C a b A +=. (1)求B ; 三角函数及解三角形练习题 一.解答题(共16小题) 1.在△ABC中,3sinA+4cosB=6,4sinB+3cosA=1,求C的大小. 2.已知3sinθtanθ=8,且0<θ<π. (Ⅰ)求cosθ; (Ⅱ)求函数f(x)=6cosxcos(x﹣θ)在[0,]上的值域. 3.已知是函数f(x)=2cos2x+asin2x+1的一个零点. (Ⅰ)数a的值; (Ⅱ)求f(x)的单调递增区间. 4.已知函数f(x)=sin(2x+)+sin2x. (1)求函数f(x)的最小正周期; (2)若函数g(x)对任意x∈R,有g(x)=f(x+),求函数g(x)在[﹣,]上的值域. 5.已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π.(1)求ω的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,﹣≤φ<)的图象关于直线x=对称,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (Ⅰ)求ω和φ的值; (Ⅱ)若f()=(<α<),求cos(α+)的值. 7.已知向量=(cosx,sinx),=(3,﹣),x∈[0,π]. (1)若∥,求x的值; (2)记f(x)=,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值. 8.已知函数的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; (2)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若(2a﹣c)cosB=bcosC,求的取值围. 9.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与y轴交于点F(0,),与x轴交于点B,C,且△MBC的面积为π. (Ⅰ)求函数f(x)的解析式; (Ⅱ)若f(α﹣)=,求cos2α的值. 10.已知函数. (Ⅰ)求f(x)的最大值及相应的x值; (Ⅱ)设函数,如图,点P,M,N分别是函数y=g(x)图象的零值点、最高点和最低点,求cos∠MPN的值. 11.设函数f(x)=sin(ωx﹣)+sin(ωx﹣),其中0<ω<3,已知f ()=0.最新解三角形知识点归纳(附三角函数公式)
三角函数及解三角形知识点总结
高考真题:三角函数及解三角形综合
高考专题; 三角函数、解三角形综合问题
解三角形与三角函数专题
三角函数及解三角形知识点总结
2019-2020年高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形单元综合检测(三)理
专题 三角函数及解三角形(解析版)
三角函数与解三角形练习题