1.如图1、2是两个相似比为1 :2的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合． （1）在图3中，绕点D 旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC 、BC 交于点E 、F ，如图4．
求证：AE 2
＋BF 2
＝EF 2
；
（2）若在图3中，绕点C 旋转小直角三角形，使它的斜边和CD 延长线分别与AB 交于点E 、F ，如图5，此时结论AE 2＋BF 2＝EF 2
是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，满足△CEF 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，AE 、AF 分别与对角线BD 交于M 、N ，试问线段BM 、MN 、DN 能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由． ；
B 图2 A
C B 图3 A C
D 图1 B 图4 A C D E
F B 图5 A C
D
E F A D
F
M
N
解：（1）如图4，由于AD ＝BD ，将△AED 绕点D 旋转180°，得△BE ′D
则AE ＝BE ′，ED ＝E ′D ，连接E ′F
∵∠FBE ′＝∠ABC ＋∠ABE ′＝∠ABC ＋∠CAB ＝90°
∴在Rt △BE ′F 中有BE ′ 2＋BF 2＝E ′F 2
又∵FD 垂直平分EE ′，∴EF ＝E ′F
∴AE 2
＋BF 2
＝EF 2
························································ 6分
（2）如图5，由于AC ＝BC ，将△AEC 绕点C 旋转90°，得△BE ′C 则AE ＝BE ′，CE ＝CE ′，连接E ′F
∵∠FBE ′＝∠ABC ＋∠CBE ′＝∠ABC ＋∠CAB ＝90°
∴在Rt △BE ′F 中有BE ′ 2＋BF 2＝E ′F 2
∵∠E ′CF ＝∠E ′CB ＋∠BCF ＝∠ACE ＋∠BCF
＝90°－∠ECF ＝90°－45°＝45°＝∠ECF
CE ＝CE ′，CF ＝CF
∴△CEF ≌△CE ′F ，∴EF ＝E ′F
∴AE 2
＋BF 2
＝EF 2
······································································································ 12分 （3）将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°，得△ABG ，且FD ＝GB ，AF ＝AG
B
图5
A
C
D
E
F
E ′
因为△CEF 的周长等于正方形ABCD 的周长的一半，所以 CE ＋EF ＋CF ＝CD ＋CB ＝CF ＋FD ＋CE ＋BE ∴EF ＝FD ＋BE ＝GB ＋BE ＝GE
从而可得△AEG ≌△AEF ，∴∠EAG ＝∠EAF 又∵∠EAG ＝∠EAB ＋∠BAG ，∠BAG ＝∠DAF
∴∠EAF ＝∠EAB ＋∠DAF ，而∠EAB ＋∠EAF ＋∠DAF ＝90° ∴∠EAF ＝45°
由（2）知BM 2
＋DN 2
＝MN
2
∴由勾股定理的逆定理知：线段BM 、MN 、DN 能构成直角三角形 ······················· 18分 2．（1）操作发现·
如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB
AD
的值； （3）类比探究
保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求
AB
AD
的值． 解：（1）同意．连接EF ，则∠EGF ＝∠D ＝90°，EG ＝AE ＝ED ，EF ＝EF
∴Rt △EGF ≌Rt △EDF ，∴GF ＝DF ············································································ 3分 （2）由（1）知GF ＝DF ，设DF ＝x ，BC ＝y ，则有GF ＝x ，AD ＝y ∵DC ＝2DF ，∴CF ＝x ，DC ＝AB ＝BG ＝2x
A
C
D
F
M
N
∴BF ＝BG ＋GF ＝3x
在Rt △BCF 中，BC 2
＋CF 2
＝BF 2
，即y 2
＋x 2
＝(3x )2
∴y ＝22x ，∴
AB AD ＝x
y 2＝2 ············································· 6分 （3）由（1）知GF ＝DF ，设DF ＝x ，BC ＝y ，则有GF ＝x ，AD ＝y ∵DC ＝n ·DF ，∴DC ＝AB ＝BG ＝nx ∴CF ＝(n －1)x ，BF ＝BG ＋GF ＝(n ＋1)x
在Rt △BCF 中，BC 2
＋CF 2
＝BF 2
，即y 2
＋[(n －1)x ]2
＝[(n ＋1)x ]2
∴y ＝n 2x ，∴
AB AD
＝nx y ＝n n 2（或n
2） ·························································· 10分
3．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上．
（1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ；
（3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o．
求
DF
FC
的值．
解：（1）∵∠BCD ＝75o，AD ∥BC ，∴∠ADC ＝105o ·························································· 1分
A
B C D
E 图1 A
B C D
E 图2
F
由等边△DCE可知：∠CDE＝60o，故∠ADE＝45o
由AB⊥BC，AD∥BC可得：∠DAB＝90o，∴∠AED＝45o ·························· 3分（2）方法一：由（1）知：∠AED＝45o，∴AD＝AE，故点A在线段DE的垂直平分线上∴AC就是线段DE的垂直平分线，即AC⊥DE ··········································· 5分
连接AC，∵∠AED＝45o，∴∠BAC＝45o
又∵AB⊥BC，∴AB＝BC ··················································7分
方法二：过D点作DH⊥BC于H，则DH＝AB ················4分
易证△DHC≌△CBE，∴DH＝BC····································6分
∴AB＝BC···········································································7分
（3）∵∠FBC＝30o，∴∠ABF＝60o
连接AF，设BF、AD的延长线相交于点G
∵∠FBC＝30o，∠DCB＝75o，∴∠BFC＝75o，故BC＝BF
由（2）知：BA＝BC，故BA＝BF
∵∠ABF＝60o，∴AB＝BF＝F A，
又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴∠F AG＝∠G＝30o
∴FG＝F A＝FB ············································ 10分
∵∠G＝∠FBC＝30o，∠DFG＝∠CFB，FB＝FG
∴△BCF≌△GDF ········································11分
∴DF＝CF，即点F是线段CD的中点
∴DF
FC＝1 ········································································································· 12分
A
B C
D
E
图1
H
A
B C
D
E
F
G
4.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发
生改变，但面积始终．．为10cm 2
．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值；
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积．
解：（1）y ＝2 ·························································································································· 2分
（2）由等腰梯形的性质得BE ＝EF ＝FC ＝2
∵S △BEP ＋S 梯形PEFQ ＋S △FCQ ＝S 图形M
∴
21×2x ＋21(
x ＋y )×2＋21
×2y ＝10 ∴y ＝－x ＋5 ···································································································· 4分 由?
????0≤x
≤40≤－x ＋5
≤4 得1≤x
≤4 ····································································· 5分 （3）若图形M 为等腰梯形（如图①），则EP ＝FQ
A B C
D
E
F
（备用图）
A B C D E F Q
P
图①
即x ＝－x ＋5，解得x ＝2
5 ∴当x ＝
2
5
时，图形M 为等腰梯形 ······························································ 6分 若图形M 为三角形，分两种情形：
①当点P 、Q 、C 在一条直线上时（如图②），EP 是△BPC 的高 ∴21BC ·EP ＝10，即21×6x ＝10，解得x ＝3
10
············································· 7分
②当点B 、P 、Q 在一条直线上时（如图③），FQ 是△BQC 的高 ∴
21BC ·FQ ＝10，即21×6×(
－x ＋5
)＝10，解得x ＝3
5 ····························· 8分 ∴当x ＝310或3
5
时，图形M 为三角形
A
B
C D
E
F
Q
P
图③
A B
C
D E
F Q
P
图①
A B
C
D
E
F
Q
P
图②
C
图④
（4）3cm 2 ·············································································································· 10分
评分说明：（4）中不写单位不扣分，线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域为图④中的阴影部分
5．（贵州省铜仁地区）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，CD ⊥AB 交AB 于点E ，且CD ＝AC ，DF ∥BC 分别与AB 、AC 交于点G 、F ．
（1）求证：GE ＝GF ； （2）若BD ＝1，求DF 的长．
解：（1）证明：∵DF ∥BC ，∠ACB ＝90°，∴∠CFD ＝
∵CD ⊥AB ，∴∠AEC ＝90° 在Rt △AEC 和Rt △DFC 中，
∵∠AEC ＝∠CFD ＝90°，∠ACE ＝∠DCF ，DC ＝AC ∴Rt △AEC ≌Rt △DFC ·········································· 3分 ∴CE ＝CF
在Rt △AEC 中，∵∠A ＝30°，∴CE ＝21AC ＝2
1
DC ∴DE ＝AF
又∠DGE ＝∠AGF ，∠DEG ＝∠AFG ＝90° ∴Rt △DEG ≌Rt △AFG
D
∴GE ＝GF ·························································· 6分
（2）解：∵CD ⊥AB ，CE ＝ED ，∴BC ＝BD
又∠EDB ＝∠ECB ＝∠A ＝30°，∠DEB ＝90°，BD ＝1 ∴DE ＝
23BD ＝2
3
···················································································· 8分 ∴CD ＝2DE ＝3 ························································································ 10分 ∵DF ∥BC ，∴∠CDF ＝∠ECB ＝30°
∴DF ＝
23CD ＝2
3
6．（山东省威海市）如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1．
（1）将△ABC ，△A 1B 1C 1如图②摆放，使点A 1与B 重合，点B 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交BB 1于点E ．求证：∠B 1C 1C ＝∠B 1BC ．
图 ①
A B
C A 1
B 1
C 1
C 1 1 B (A 1) E
图 ②
（2）若将△ABC ，△A 1B 1C 1如图③摆放，使点B 1与B 重合，点A 1在AC 边的延长线上，连接CC 1交A 1B 于点F ．试判断∠A 1C 1C 与∠A 1BC 是否相等，并说明理由．
解：（1）证明：由题意，知△ABC ≌△A 1B 1C 1
∴AB ＝A 1B 1，BC 1＝AC ，∠2＝∠7，∠A ＝∠1 ∴∠3＝∠A ＝∠1 ····································· 1分 ∴ C 1∥AC
∴四边形ABC 1C 是平行四边形 ··············· 2分 ∴AB ∥CC 1
∴∠4＝∠7＝∠2 ····················································································· 3分 ∵∠5＝∠6
∴∠B 1C 1C ＝∠B 1BC ················································································ 4分 （2）∠A 1C 1C ＝∠A 1BC ···················································································· 5分
理由如下：由题意，知△ABC ≌△A 1B 1C 1 ∴AB ＝A 1B 1，BC 1＝BC ，∠1＝∠8，∠A ＝∠2 ∴∠3＝∠A ，∠4＝∠7 ···························· 6分
C 1
1 B (A 1)
E
图 ②
1
2
3
4
5
6
7
C 1
C A 1 B (B 1)
F
图 ③
1 8
7 5
6
4
2 3
C 1 1 B (B 1) F 图 ③
∴∠1＋∠FBC ＝∠8＋∠FBC
∴∠C 1BC ＝∠A 1BA ·································· 7分
∵∠4＝21(180°－∠C 1BC )，∠A ＝2
1
(180°－∠A 1BA )
∴∠4＝∠A ······························································································· 8分 ∴∠4＝∠2 ∵∠5＝∠6
∴∠A 1C 1C ＝∠A 1BC ················································································ 8分
7．（山东省淄博市）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC ）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD ）的斜边恰好重合．已知AB ＝32，P 是AC 上的一个动点．
（1）当点P 运动到∠ABC 的平分线上时，连接DP ，求DP 的长； （2）当点P 在运动过程中出现PD ＝BC 时，求此时∠PDA 的度数；
（3）当点P 运动到什么位置时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上？求出此时□DPBQ 的面积．
解：（1）如图（1），作DF ⊥AC 于F
在Rt △ABC 中，∵AB ＝32，∠BAC ＝30°，∴BC ＝3，AC ＝3
在Rt △ACD 中，∵AD ＝CD ，∴DF ＝AF ＝CF ＝23
∵BP 平分∠ABC ，∴∠PBC ＝30°
A B
C D
∴CP ＝BC ·tan30°＝1，∴PF ＝2
1
∴DP ＝22PF DF
＋＝
2
10 ······································································ 3分
（2）当P 点位置如图（2）所示时，根据（1）中结论，DF ＝
2
3
，∠ADF ＝45° 又PD ＝BC ＝3，∴cos ∠PDF ＝
PD
DF ＝23，∴∠PDF ＝30°
∴∠PDA ＝∠ADF －∠PDF ＝15° ································································ 5分 当P 点位置如图（3）所示时，同（2）可得∠PDF ＝30°
∴∠PDA ＝∠ADF ＋∠PDF ＝75° ································································ 7分
（2）
（1）
（3）
（4）
（3）当CP ＝
2
3
时，以D ，P ，B ，Q 为顶点的平行四边形的顶点Q 恰好在边BC 上 理由如下：
如图（4），在□DPBQ 中，∵BC ∥DP ，∠ACB ＝90°，∴DP ⊥AC 根据（1）中结论可知，DP ＝CP ＝2
3
························································ 8分 ∴S □DPBQ
＝DP ·CP ＝
4
9 ············································································· 10分 8．如图1，已知矩形ABED ，点C 是边DE 的中点，且AB ＝2AD ． （1）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）保持图1中ABC 的固定不变，绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图2中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的同侧），试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明；
（3）保持图2中△ABC 的固定不变，继续绕点C 旋转DE 所在的直线MN 到图3中的位置（当垂线段AD 、BE 在直线MN 的异侧）．试探究线段AD 、BE 、DE 长度之间有什么关系？并给予证明．
A
B
C D E 图1
A
B
C
D E 图3
N M A
B
C D
E 图2
N
M
解：（1）△ABC 为等腰直角三角形 ····················································································· 1分
如图1，在矩形ABED 中
∵点C 是边DE 的中点，且AB ＝2AD ∴AD ＝DC ＝CE ＝EB ，∠D ＝∠E ＝90?
∴Rt △ADC ≌Rt △BEC ····································· 2分 ∴AC ＝BC ，∠1＝∠2＝45? ∴∠ACB ＝90?
∴△ABC 为等腰直角三角形 ········································································ 3分 （2）DE ＝AD ＋BE ································································································ 4分
如图2，在Rt △ADC 和Rt △CEB 中 ∵∠1＋∠CAD ＝90?，∠1＋∠2＝90? ∴∠CAD ＝∠2
又∵AC ＝CB ，∠ADC ＝∠CEB ＝90?
∴Rt △ADC ≌Rt △CEB ····································· 6分 ∴DC ＝BE ，CE ＝AD
∴DC ＋CE ＝BE ＋AD ，即DE ＝AD ＋BE ····················································· 7分 （3）DE ＝BE －AD ································································································ 8分
如图3，Rt △ADC 和Rt △CEB 中 ∵∠1＋∠CAD ＝90?，∠1＋∠2＝90?
A
B
C D
E
图1
1
2
A
B
C
D
E 图2 N
M 1 2
A
B C
D E
图3
N
M 1 2
∴∠CAD ＝∠2
又∵∠ADC ＝∠CEB ＝90?，AC ＝CB
∴Rt △ADC ≌Rt △CEB ··································· 10分 ∴DC ＝BE ，CE ＝AD ∴DC －CE ＝BE －AD
即DE ＝BE －AD ························································································· 11分
9．如图1，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD ＝CD ，∠BAD ＝120°，∠MAN ＝60°，将图1中的∠MAN 绕点A 按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜120°），边AM 、AN 分别交直线BC 、CD 于E 、F 两点． （1）当0°＜α≤60°时，其他条件不变，如图2、如图3所示．
①如图2，判断线段BE 、DF 、EF 的数量关系，并直接写出结论；
②如图3，①中的结论是否依然成立？若成立，请利用图3证明；若不成立，说明理由． （2）当60°＜α＜120°时，其他条件不变，请在图4中画出一个．．符合条件的图形，直接写出所画图形中线段BE 、DF 、EF 的数量关系．
图1 A
B C D
M
N 图2 A
B
C D
M
N
E F
图3
A
B
C
D M F
E
N
图4
A
B
C
D
解：（1）①BE ＋DF ＝EF ······································································································ 4分
②①中的结论依然成立 ················································································ 6分 证明：延长CD 到点G ，使得DG ＝BE ，连接AG 、EG ，交AN 于点H ，如图3 ∵∠B ＝∠ADG ＝60°，AB ＝AD ，BE ＝DG ∴ABE △≌ADG ，∴AE ＝AG ，∠BAE ＝∠DAG 又∵∠BAE ＋∠F AD ＝60°，∴∠DAG ＋∠F AD ＝60° 即∠F AG ＝∠MAN ＝60° ∴AH 垂直且平分EG ∴GF ＝EF ，即GD ＋DF ＝EF
∴BE ＋DF ＝EF ····························································································· 8分 （2）如图4，BE －DF ＝EF ······································································· 12分
图3
A
B
C
D M F
E
N
G
H
图4
A
B
C D
M
F E
N
10．如图，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 上的一点，以AD 为边作等边△ADE ，过点C 作CF ∥DE 交AB 于点F ． （1）若点D 是BC 边的中点（如图①），求证：EF ＝CD ； （2）在（1）的条件下直接写出△AEF 和△ABC 的面积比； （3）若点D 是BC 边的任意一点（除B 、C 外如图②），那么，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
解：（1）证明：∵△ABC 是等边三角形，D 是BC 边的中点
∴AD ⊥BC ，且∠DAB ＝2
1
∠BAC ＝30°
∵△AED 是等边三角形 ∴AD ＝AE ，∠ADE ＝60° ∴∠EDB ＝30°
∵ED ∥CF ，∴∠FCB ＝∠EDB ＝30°
∵∠ACB ＝60°，∴∠ACF ＝∠BAD ＝30° ························································ 2分 又∵∠B ＝∠F AC ＝60°，AB ＝CA
∴△ABD ≌△CAF ································································································ 3分 ∴AD ＝CF
∵AD ＝ED ，∴ED ＝CF ，又∵ED ∥CF
F E
A
B C
D 图① F
E A B C D 图②
∴四边形EDCF 是平行四边形
∴EF ＝CD ············································································································ 4分 （2）S △AEF :
S △ABC
＝1 :
4 ······························································································ 6分
（3）成立 ······················································································································ 7分
证明：∵ED ∥FC ，∴∠EDB ＝∠FCB ∴∠ACF ＝∠ACB －∠FCB ＝60°－∠FCB
△ABD 中，∠BAD ＝180°－∠B －∠EDB －∠ADE ＝60°－∠EDB ∴∠ACF ＝∠BAD ················································ 9分 又∵∠B ＝∠F AC ＝60°，AB ＝CA
∴△ABD ≌△CAF ·············································· 10分 ∴AD ＝FC
∵AD ＝ED ，∴ED ＝CF ，又∵ED ∥CF ∴四边形EDCF 是平行四边形
∴EF ＝DC ·········································································································· 12分
11．如图1，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，BC ＜AB ＜2BC ．在AB 边上取一点M ，使AM ＝BC ，过点A 作AD ⊥AB 且AD ＝BM ，连接DC ，再过点A 作AN ∥DC ，交直线CM 、CB 于点E 、N ． （1）求证：∠AEM ＝45°；
（2）若将题中的条件“BC ＜AB ＜2BC ”改为“AB ＞2BC ”，其它条件不变，请在图2中画出图形，此时（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请说明理由；若不成立，请猜想∠AEM 的度数，并说明理由．
F
E
A
B
C
D 图②
N E
D C
A
B
M 图1
C A
B
图2
解：（1）证明：连接DM ，如图1
∵AD ⊥AB ，∴∠DAM ＝∠B ＝90° ∵AD ＝BM ，AM ＝BC ，∴△ADM ≌△BMC ∴∠ADM ＝∠BMC ，DM ＝MC
∵∠ADM ＋∠AMD ＝90°，∴∠BMC +∠AMD ＝90° ∴∠DMC ＝90°
∴△DMC 是等腰直角三角形 ∴∠DCM ＝45° ∵AN ∥DC
∴∠AEM ＝∠DCM ＝45° ····················································································· 5分 （2）画出图形，如图2 ································································································ 7分
不成立．∠AEM ＝135° ························································································ 8分 连接DM
由（1）知∠DCM ＝45°
∵AN ∥DC ，∴∠AEM ＋∠DCM ＝180°
∴∠AEM ＝135° ················································· 10分
N E D
C
A B M 图1
C
A
B 图2
N
D
E
M
12．在△ABC 中，BA ＝BC ，∠BAC ＝α，M 是AC 的中点，P 是线段BM 上的动点，将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ． （1）若α＝60°且点P 与点M 重合（如图1），线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ，请补全图形，并写出∠CDB 的度数； （2）在图2中，点P 不与点B ，M 重合，线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，猜想∠CDB 的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P 在线段BM 上运动到某一位置（不与点B ，M 重合）时，能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ，且PQ ＝QD ，请直接写出α的范围．
解：（1）补全图形，见图1；∠CDB ＝30° （2）猜想：∠CDB ＝90°－α 证明：如图2 ，连结AD ，PC
∵BA ＝BC ，M 是AC 的中点，∴BM ⊥AC
∵点D ，P 在直线BM 上，∴P A ＝PC ，DA ＝DC 又∵DP 为公共边，∴△ADP ≌△CDP ∴∠DAP ＝∠DCP ，∠ADP ＝∠CDP 又∵P A ＝PQ ，∴PQ ＝PC
∴∠DCP ＝∠PQC ，∠DAP ＝∠PQC
图1
A B C Q M (P ) 图2
A
B
C Q P
M 图1
A B
C Q
M (P )
D
九年级数学几何模型压轴题专题练习（解析版） 一、初三数学 旋转易错题压轴题（难） 1．已知：如图①，在矩形ABCD 中，3,4,AB AD AE BD ==⊥，垂足是E .点F 是点 E 关于AB 的对称点，连接A F 、BF ． （1）求AF 和BE 的长； （2）若将ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为m (平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度)．当点F 分别平移到线段AB AD 、上时，直接写出相应的m 的值． （3）如图②，将ABF 绕点B 顺时针旋转一个角1(080)a a ?<
1．（1）操作发现· 如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，且点G 在矩形ABCD 内部．小明将BG 延长交DC 于点F ，认为GF ＝DF ，你同意吗？说明理由． （2）问题解决 保持（1）中的条件不变，若DC ＝2DF ，求AB AD 的值； （3）类比探究 保持（1）中的条件不变，若DC ＝n ·DF ，求 AB AD 的值． 2．如图1所示，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，∠DCB ＝75o，以CD 为一边的
等边△DCE 的另一顶点E 在腰AB 上． （1）求∠AED 的度数； （2）求证：AB ＝BC ； （3）如图2所示，若F 为线段CD 上一点，∠FBC ＝30o． 求 DF FC 的值． 3.如图①，在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AE ⊥BC 于点E ，DF ⊥BC 于点F ．AD ＝2cm ，BC ＝6cm ，AE ＝4cm ．点P 、Q 分别在线段AE 、DF 上，顺次连接B 、P 、Q 、C ，线段BP 、PQ 、QC 、CB 所围成的封闭图形记为M ．若点P 在线段AE 上运动时，点Q 也随之在线段DF 上运动，使图形M 的形状发生改变，但面积始终．． 为10cm 2．设EP ＝x cm ，FQ ＝y cm ，A B C D E 图1 A B C D E 图2 F
解答下列问题： （1）直接写出当x ＝3时y 的值； （2）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当x 取何值时，图形M 成为等腰梯形？图形M 成为三角形？ （4）直接写出线段PQ 在运动过程中所能扫过的区域的面积． 4．如图①，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片△ABC ，△A 1B 1C 1． A B C D E F （备用图） A B C D E F Q P 图① 图 ① A C A 1 B 1 C 1
第8章 第1节 一、选择题 1．(2010·崇文区)“m ＝－2”是“直线(m ＋1)x ＋y －2＝0与直线mx ＋(2m ＋2)y ＋1＝0相互垂直”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m ＝－2时，两直线－x ＋y －2＝0、－2x －2y ＋1＝0相互垂直；两直线相互垂直时，m(m ＋1)＋2m ＋2＝0，∴m ＝－1或－2，故选A. 2．(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0 D ．x ＋2y －1＝0 [答案] A [解析] 解法1：所求直线斜率为12，过点(1,0)，由点斜式得，y ＝12(x －1)，即x －2y －1＝0. 解法2：设所求直线方程为x －2y ＋b ＝0， ∵过点(1,0)，∴b ＝－1，故选A. (理)设曲线y ＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝( ) A ．1 B.12 C ．－12 D ．－1 [答案] A [解析] y′＝2ax ，在(1，a)处切线的斜率为k ＝2a ， 因为与直线2x －y －6＝0平行，所以2a ＝2，解得a ＝1. 3．点(－1,1)关于直线x －y －1＝0的对称点是( ) A ．(－1,1) B ．(1，－1) C ．(－2,2) D ．(2，－2) [答案] D [解析] 一般解法：设对称点为(x ，y)，则
????? x －12－y ＋12－1＝0 y －1x ＋1＝－1，解之得????? x ＝2y ＝－2， 特殊解法：当直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的系数满足|A|＝|B|＝1时，点A(x0，y0)关于l 的对称 点B(x ，y)的坐标，x ＝－By0－C A ，y ＝－Ax0－C B . 4．(2010·惠州市模考)在平面直角坐标系中，矩形OABC ，O(0,0)，A(2,0)，C(0,1)，将矩形折叠，使O 点落在线段BC 上，设折痕所在直线的斜率为k ，则k 的取值范围为( ) A ．[0,1] B ．[0,2] C ．[－1,0] D ．[－2,0] [答案] D [解析] 如图，要想使折叠后点O 落在线段BC 上，可取BC 上任一点D 作线段OD 的垂直平分线l ，以l 为折痕可使O 与D 重合，故问题转化为在线段CB 上任取一点D ，求直线OD 的斜率的取值范围问题， ∵kOD≥kOB ＝12，∴k ＝－1kOD ≥－2，且k<0， 又当折叠后O 与C 重合时，k ＝0，∴－2≤k≤0. 5．(文)已知点(3,1)和点(1,3)在直线3x －ay ＋1＝0的两侧，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，10) B ．(10，＋∞) C.??? ?－∞，43∪(10，＋∞) D.??? ?43，10 [答案] D [解析] 将点的坐标分别代入直线方程左边，所得两值异号，∴(9－a ＋1)(3－3a ＋1)<0，∴43 2013中考数学压轴题动态几何题型精选解析（三） 例题如图1，在直角坐标系中，已知点A（0，2）、点B（﹣2，0），过点B和线段OA的中点C作直线BC，以线段BC为边向上作正方形BCDE． （1）填空：点D的坐标为，点E的坐标为． （2）若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过A、D、E三点，求该抛物线的解析式． （3）若正方形和抛物线均以每秒个单位长度的速度沿射线BC同时向上平移，直至正方形的顶点E落在y 轴上时，正方形和抛物线均停止运动． ①在运动过程中，设正方形落在y轴右侧部分的面积为s，求s关于平移时间t（秒）的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围． ②运动停止时，求抛物线的顶点坐标． 思路分析： （1）构造全等三角形，由全等三角形对应线段之间的相等关系，求出点D、点E的坐标； （2）利用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）本问非常复杂，须小心思考与计算： ①为求s的表达式，需要识别正方形（与抛物线）的运动过程．正方形的平移，从开始到结束，总共历时秒，期间可以划分成三个阶段：当0＜t≤时，对应图（3）a；当＜t≤1时，对应图（3）b；当1＜t≤时，对应图（3）c．每个阶段的表达式不同，请对照图形认真思考； ②当运动停止时，点E到达y轴，点E（﹣3，2）运动到点E′（0，），可知整条抛物线向右平移了3个单位，向上平移了个单位．由此得到平移之后的抛物线解析式，进而求出其顶点坐标． 解：（1）由题意可知：OB=2，OC=1． 如图（1）所示，过D点作DH⊥y轴于H，过E点作EG⊥x轴于G． 易证△CDH≌△BCO，∴DH=OC=1，CH=OB=2，∴D（﹣1，3）； 同理△EBG≌△BCO，∴BG=OC=1，EG=OB=2，∴E（﹣3，2）． ∴D（﹣1，3）、E（﹣3，2）． （2）抛物线经过（0，2）、（﹣1，3）、（﹣3，2）， 则 解得 中考数学几何选择填空压轴题精选 一．选择题（共13小题） 1．（2013?蕲春县模拟）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连接DF交BE 的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（） ①OH=BF；②∠CHF=45°；③GH=BC；④DH2=HE?HB． A．1个B．2个C．3个D．4个 2．（2013?连云港模拟）如图，Rt△ABC中，BC=，∠ACB=90°，∠A=30°，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连结BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连结BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点E4、E5、…、E2013，分别记△BCE1、△BCE2、△BCE3、…、△BCE2013的面积为S1、S2、S3、…、S2013．则S2013的大小为（） A．B．C．D． 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，，∠ABC=45°，AE⊥BC于点E，BF⊥AC于点F，交AE于点G，AD=BE，连接DG、CG．以下结论：①△BEG≌△AEC；②∠GAC=∠GCA；③DG=DC；④G为AE中点时，△AGC的面积有最大值．其中正确的结论有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 4．如图，正方形ABCD中，在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论： ①EC=2DG；②∠GDH=∠GHD；③S△CDG=S?DHGE；④图中有8个等腰三角形．其中正确的是（） A．①③B．②④C．①④D．②③ 5．（2008?荆州）如图，直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AD∥BC，BC=CD，E为梯形内一点，且∠BEC=90°，将△BEC绕C点旋转90°使BC与DC重合，得到△DCF，连EF交CD于M．已知BC=5，CF=3，则DM：MC的值为（） A．5：3B．3：5C．4：3D．3：4 6．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点02，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（） A．B．C．D． 7．如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（） A．B．6C．D．3 8．（2013?牡丹江）如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，则下列结论：①PM=PN；②；③△PMN为等边三角形；④当∠ABC=45°时，BN=PC．其中正确的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 9．（2012?黑河）Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论： ①（BE+CF）=BC； ②S△AEF≤S△ABC； ③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF； ⑤AD与EF可能互相平分， 其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个 平面解析几何初步测试题 一、选择题:(包括12个小题，每题5分,共60分) １．已知直线l 过（１,2),（１，3),则直线l 的斜率（) A. 等于0 B ． 等于1 C ． 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是( ） Ａ．1 B ．-1 C ．０ D.７ 3. 已知A （x 1，y 1)、Ｂ（ｘ2,y 2）两点的连线平行y 轴,则｜ＡB ｜=（ ) Ａ、｜x 1－x 2|B 、|y 1-y 2|Ｃ、 x 2-ｘ1D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <,直线0ax by c ++=不通过( ) A.第三象限Ｂ.第一象限 Ｃ．第四象限Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3,９）、（-1，1）的直线在ｘ轴上的截距为（) A.23- B ．32- C ．32 D ．２ 6.直线2x －y=７与直线３ｘ+2ｙ-7＝0的交点是（ ） A (3,-１) B (－１，3) C (-3，-1) D (３,１) 7．满足下列条件的1l 与2l ,其中12l l //的是（ ） (1)1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，; （２)1l 经过点(33)P ，,(53)Q -，,2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点; (３)1l 经过点(10)M -，，(52)N --，,2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． A.(1)（2)B ．(２)(３) Ｃ.(1)(3)D.(１）(２）（3) ８．已知直线01:1=++ay x l 与直线22 1:2+=x y l 垂直,则a 的值是( ) Ａ 2 B －２ Ｃ．21 D ．2 1- ９. 下列直线中,与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1y x =- 几何图形变换压轴题中考整理 1（黑龙江省哈尔滨市）已知：△ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F．（1）如图l，若△ABC为锐角三角形，且∠ABC＝45°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，求证：FG＋DC＝AD； （2）如图2，若∠ABC＝135°，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G，则FG、DC、AD之间满足的数量关系是____________________________________； （3）在（2）的条件下，若AG＝2 5，DC＝3，将一个45°角的顶点与点B重合并绕点B旋转，这个角的两边分别交线段FG于M、N两点（如图3），连接CF，线段CF分别 3，求线段PQ的长． 与线段BM、线段BN相交于P、Q两点，若NG＝ 2 （湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC 的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论． （2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由． （3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值． 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测 量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长 线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 3．在△ABC 中，点P 为BC 的中点． （1）如图1，求证：AP ＜ 2 1 （AB +BC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥ 2 1 DE ． 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－ 1 A ( G ) B ( E ) C O D ( F ) 中考数学几何压轴题（2） 1．如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D、E分别是边BC、AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α． （1）问题发现 ①当α=0°时，= ；②当α=180°时，= ． （2）拓展探究 试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明． （3）问题解决 当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长． 2．已知直线m∥n，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点． （1）操作发现：直线l⊥m，l⊥n，垂足分别为A、B，当点A与点C重合时（如图①所示），连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：． （2）猜想证明：在图①的情况下，把直线l向上平移到如图②的位置，试问（1）中的PA 与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． （3）延伸探究：在图②的情况下，把直线l绕点A旋转，使得∠APB=90°（如图③所示），若两平行线m、n之间的距离为2k．求证：PA?PB=k?AB． 3．【问题提出】 如图①，已知△ABC是等腰三角形，点E在线段AB上，点D在直线BC上，且ED=EC，将△BCE绕点C顺时针旋转60°至△ACF连接EF 试证明：AB=DB+AF 【类比探究】 （1）如图②，如果点E在线段AB的延长线上，其他条件不变，线段AB，DB，AF之间又有怎样的数量关系？请说明理由 （2）如果点E在线段BA的延长线上，其他条件不变，请在图③的基础上将图形补充完整，并写出AB，DB，AF之间的数量关系，不必说明理由． 中考数学几何专题知识点总结78点中考数学 几何压轴题 1 同角或等角的余角相等 2 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 3 过两点有且只有一条直线 4 两点之间线段最短 5 同角或等角的补角相等 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补 15 定理三角形两边的和大于第三边 16 推论三角形两边的差小于第三边 17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18 推论1 直角三角形的两个锐角互余 19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23 角边角公理有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24 推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25 边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等 26 斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27 定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等 31 推论1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 2021年新高考数学总复习第九章《平面解析几何》 复习试卷及答案解析 一、选择题 1．已知椭圆C ：16x 2＋4y 2＝1，则下列结论正确的是( ) A ．长轴长为12 B ．焦距为34 C ．短轴长为14 D ．离心率为 32 答案 D 解析 由椭圆方程16x 2＋4y 2＝1化为标准方程可得 x 2116＋y 214 ＝1，所以a ＝12，b ＝14，c ＝34 ， 长轴2a ＝1，焦距2c ＝32，短轴2b ＝12， 离心率e ＝c a ＝32 .故选D. 2．双曲线x 23－y 2 9 ＝1的渐近线方程是( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±13x C ．y ＝±3x D ．y ＝±33 x 答案 C 解析 因为x 23－y 2 9 ＝1， 所以a ＝3，b ＝3，渐近线方程为y ＝±b a x ， 即为y ＝±3x ，故选C. 3．已知双曲线my 2－x 2＝1(m ∈R )与抛物线x 2＝8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±3x B ．y ＝±3x C ．y ＝±13 x D ．y ＝±33x 答案 A 解析 ∵抛物线x 2＝8y 的焦点为(0,2)， ∴双曲线的一个焦点为(0,2)，∴1m ＋1＝4，∴m ＝13 ， ∴双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，故选A. 4．(2019·河北衡水中学模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)和直线l ：x 4＋y 3 ＝1，若过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，则椭圆C 的离心率为( ) A.45 B.35 C.34 D.15 答案 A 解析 直线l 的斜率为－34，过C 的左焦点和下顶点的直线与l 平行，所以b c ＝34 ， 又b 2＋c 2＝a 2?????34c 2＋c 2＝a 2?2516c 2＝a 2， 所以e ＝c a ＝45 ，故选A. 5．(2019·洛阳、许昌质检)若双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1至多有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．[2，＋∞) C ．(1，3] D ．[3，＋∞) 答案 A 解析 双曲线x 2－y 2 b 2＝1(b >0)的一条渐近线方程是bx －y ＝0，由题意圆x 2＋(y －2)2＝1的圆心(0,2)到bx －y ＝0的距离不小于1，即 2b 2＋1≥1，则b 2≤3，那么离心率e ∈(1,2]，故选A. 6．(2019·河北武邑中学调研)已知直线l ：y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若|F A |＝2|FB |，则k 等于( ) A.13 B.23 C.23 D.223 答案 D 解析 由????? y ＝k (x ＋2)，y 2＝8x ，消去y 得 k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， Δ＝(4k 2－8)2－16k 4>0，又k >0，解得0 第三课时 几何代数综合题1.已知：如图①，在矩形ABCD 中，AB=5，AD=320 ,AE ⊥BD ，垂足是 E.点F 是点E 关于AB 的对称点，连接 AF 、BF. （1）求AE 和BE 的长； （2）若将△ABF 沿着射线BD 方向平移，设平移的距离为 m （平移距离指点B 沿BD 方向所经过的线段长度）.当点F 分别平移到线段AB 、AD 上时，直接写出相应的m 的值. （3）如图②，将△ABF 绕点B 顺时针旋转一个角（0°＜＜180°），记旋转中的△ABF 为△A ′BF ′，在旋转过程 中，设A ′F ′所在的直线与直线 AD 交于点P.与直线BD 交于点Q.是否存在这样的P 、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时DQ 的长；若不存在，请说明理由 . 解：（1）在Rt △ABD 中，AB=5，AD = ，由勾股定理得：BD === ． ∵S △ABD =BD?AE =AB?AD ， ∴AE===4． 在Rt △ABE 中，AB=5，AE=4，由勾股定理得： BE=3．（2）设平移中的三角形为△ A ′ B ′F ′，如答图2所示：由对称点性质可知，∠ 1=∠2．由平移性质可知，AB ∥A ′B ′，∠4=∠1，BF=B ′F ′=3． ①当点F ′落在AB 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠3=∠4，∴∠3=∠2， ∴BB ′＝B ′F ′=3，即m=3； ②当点F ′落在AD 上时，∵AB ∥A ′B ′， ∴∠6=∠2，∵∠1=∠2，∠5=∠1， ∴∠5=∠6，又易知A ′B ′⊥AD ， ∴△B ′F ′D 为等腰三角形， ∴B ′D=B ′F ′=3， ∴BB ′＝B D ﹣B ′D =﹣3=，即m=． （3）存在．理由如下： 1. 如图，在△ABC中，∠ABC=45°，C D⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，F 为BC的中点.BE 与D F、DC分别交于点G、H, 连接AG. （1）求证：BH=AC; （2）若AB=BC,求证：AG=BG. 2 将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB= ∠DEB=90 °，∠ A= ∠D=30 °，点 E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点 F. (1)求证：AF+EF=DE ； (2)若将图①中的△DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其它条件不变，如图②，请直接写出你在（1）中猜想的结论是否仍然成立； （3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其它条件不变，如图③. 你认为（1）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出AF、EF与DE之间的关系，并说明理由. 3 已知：如图，点E在△ABC的边AC上，且∠AEB=∠ABC. (1) 求证：∠ABE=∠C； (2) 若∠BAE的平分线AF交BE于F，F D∥BC交AC于D，设AB=6，AC=10，求DC的长； (3) 若BE平分∠ABC，AF平分∠BAC，且F D∥B C交AC于点D，连接 F C，则△DFC是什么三 角形？为什么？ 4．如图①，在△ABC 中，∠BAC= 90°，AB = AC ，∠ABC= 45°．MN 是经过点 A 的直线，BD MN 于D，CE MN 于E． （1）求证：BD = AE． （2）若将MN 绕点A 旋转，使MN 与BC 相交于点G (如图②)，其他条件不变，求证：BD = AE． （3）在(2)的情况下，若CE 的延长线过AB 的中点 F （如图③），连接GF， 求证：1= 2． N A N A F 1 N E 2E A D E B C G D M B C B C G D M M 26 题图①26 题图②26 题图③ 直线测试题 一．选择题（每小题5分共40分） 1. 下列四个命题中的真命题是（ ） A.经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示； B.经过任意两个不同的点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2，y 2）的直线都可以用方程 （y －y 1）·（x 2－x 1）=（x －x 1）（y 2－y 1）表示； C.不经过原点的直线都可以用方程 1=+b y a x 表示； D.经过定点A （0， b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示。 【答案】B 【解析】A 中过点P 0（x 0，y 0）与x 轴垂直的直线x =x 0不能用y －y 0=k （x －x 0）表示，因为其斜率k 不存在；C 中不过原点但在x 轴或y 轴无截距的直线y =b （b ≠0）或x =a （a ≠0）不能用方程b y a x +=1表示；D 中过A （0， b ）的直线x =0不能用方程y =kx +b 表示. 评述：本题考查直线方程的知识，应熟练掌握直线方程的各种形式的适用范围. 2. 图1中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ） A.k 1＜k 2＜k 3 B.k 3＜k 1＜k 2 C.k 3＜k 2＜k 1 D.k 1＜k 3＜k 2 【答案】D 【解析】直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2、α3 均为锐角， 且α2＞α3，所以k 2＞k 3＞0，因此k 2＞k 3＞k 1，故应选D. 3. 两条直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件是（ ） A. A 1A 2＋B 1B 2＝0 B.A 1A 2－B 1B 2＝0 C.12121-=B B A A D.2 121A A B B =1 【答案】A 【解析】法一：当两直线的斜率都存在时，－ 11B A ·（2 2B A -）＝－1，A 1A 2＋B 1B 2＝0. 当一直线的斜率不存在，一直线的斜率为0时，???==???==0 001221B A B A 或， 中考数学压轴题(几何综合题） 1、如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4厘米，BC＝6厘米，D是BC的中点．点E从A 出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿AC匀速向点C运动，点F同时以1厘米/秒的速度从C出发，沿CB匀速向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，过点E作AC的垂线，交AD于点G，连接EF，FG．设它们运动的时间为t秒（t＞0）．（1）当t＝2时，△ECF∽△BCA，求a的值； （2）当a＝1 2 时，以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，求t的值； （3）当a＝2时，是否存在某个时间，使△DFG是直角三角形？若存在，请求出t的值； 若不存在，请说明理由． 解：（1）∵t＝2，∴CF＝2厘米，AE＝2a厘米， ∴EC＝(4－2a ) 厘米． ∵△ECF∽△BCA．∴EC CF CB AC = ∴422 64 a - =．∴ 1 2 a=． （2）由题意，AE＝1 2 t厘米，CD＝3厘米，CF＝t厘米． ∵EG∥CD，∴△AEG∽△ACD．∴EG AE CD AC =， 1 2 34 t EG =．∴EG＝ 3 8 t． ∵以点E、F、D、G为顶点的四边形是平行四边形，∴EG＝DF． 当0≤t＜3时，3 3 8 t t =-， 24 11 t=． 当3＜t≤6时，3 3 8 t t=-， 24 5 t=． 综上 24 11 t=或 24 5 （3）由题意，AE＝2t厘米，CF＝t厘米，可得：△AEG∽△ACD AG＝5 2 t厘米，EG＝ 3 2 t，DF＝3－t厘米，DG＝5－ 5 2 t（厘米）． G D B A C F E （第27题） D B A C 备用图 图1 在矩形ABCD中，点E为BC边上的一动点，沿AE翻折，△ABE与△AFE重合，射线AF与直线CD交于点G。 1、当BE：EC=3：1时，连结EG，若AB=6，BC=12，求锐角AEG的正弦值。 2、以B为原点，直线BC和直线AB分别为X轴、Y轴建立平面直角坐标系，AB=5,BC=8，当点E从原点出发沿X正半轴运动时，是否存在某一时刻使△AEG成等腰三角形，若存在，求出点E的坐标。 1、2 a b m b a-+b+3=0=14. ABC A S 如图，已知（0，），B（0，），C（，）且（4）， o y= DC FD ADO ⊥∠∠ ∠ （1）求C点坐标 （2）作DE，交轴于E点，EF为AED的平分线，且DFE90。 求证：平分； （3）E在y轴负半轴上运动时，连EC，点P为AC延长线上一点，EM平分∠AEC，且PM⊥EM,PN⊥x轴于N点，PQ平分∠APN，交x轴于Q点，则E在运动过程中， MPQ ECA ∠∠的大小是否发生变化，若不变，求出其值。 2、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1 (1)证明∠FEC=∠FCE; (2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，并证明。 图1 图2 3、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A 的度数。 B C B C B C （2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D,E 若∠1=110°，∠2=130°，求∠ A 的度数。 A C 4、如图，∠ABC+∠ADC=180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系为？ F A B 5、已知∠A=∠C=90°. (1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关 2020各地中考几何综合压轴题汇总 一．解答题（共50小题） 1．（2020?天水）性质探究 如图（1），在等腰三角形ABC中，∠ACB＝120°，则底边AB与腰AC的长度之比为． 理解运用 （1）若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2 ，则它的面积为； （2）如图（2），在四边形EFGH中，EF＝EG＝EH，在边FG，GH上分别取中点M，N，连接MN．若∠FGH＝120°，EF＝20，求线段MN的长． 类比拓展 顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为．（用含α的式子表示） 2．（2020?青海）在△ABC中，AB＝AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G． 特例感知： （1）将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC重合，另一条直角边恰好经过点B．通过观察、测量BF与CG的长度，得到BF＝CG．请给予证明． 猜想论证： （2）当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边重合，另一条直角边交BC 于点D，过点D作DE⊥BA垂足为E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系，并证明你的猜想． 联系拓展： （3）当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，请你判断（2）中的猜想是否仍然成立？（不用证明） 3．（2020?河北）如图1和图2，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tan C ．点K在AC边上，点M，N分别在AB，BC上，且AM＝CN＝2．点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动，到达点N时停止；而点Q在AC边上随P移动，且始终保持∠APQ＝∠B． （1）当点P在BC上时，求点P与点A的最短距离； （2）若点P在MB上，且PQ将△ABC的面积分成上下4：5两部分时，求MP的长； （3）设点P移动的路程为x，当0≤x≤3及3≤x≤9时，分别求点P到直线AC的距离（用含x的式子表示）； （4）在点P处设计并安装一扫描器，按定角∠APQ扫描△APQ区域（含边界），扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒．若AK ，请直接写出点K被扫描到的总时长． 4．（2020?襄阳）在△ABC中，∠BAC═90°，AB＝AC，点D在边BC上，DE⊥DA且DE＝DA，AE交边BC于点F，连接CE． （1）特例发现：如图1，当AD＝AF时， ①求证：BD＝CF； ②推断：∠ACE＝°； （2）探究证明：如图2，当AD≠AF时，请探究∠ACE的度数是否为定值，并说明理由；（3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，当 时，过点D作AE的垂线，交AE于点P，交AC 于点K，若CK ，求DF的长． 5．（2020?牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题： 平面解析几何初步测试题 一、选择题：（包括12个小题，每题5分，共60分） 1．已知直线l 过（1，2），（1，3），则直线l 的斜率（ ） A. 等于0 B. 等于1 C. 等于21 D. 不存在 2. 若)0,(),4,9(),2,3(x C B A --三点共线，则x 的值是（ ） A ．1 B ．-1 C ．0 D ．7 3. 已知A （x 1,y 1）、B （x 2，y 2）两点的连线平行y 轴，则|AB|=（ ） A 、|x 1-x 2| B 、|y 1-y 2| C 、 x 2-x 1 D 、 y 2-y 1 4. 若0ac >，且0bc <，直线0ax by c ++=不通过（ ） Ａ．第三象限 Ｂ．第一象限 Ｃ．第四象限 Ｄ．第二象限 5. 经过两点（3，9）、（-1，1）的直线在x 轴上的截距为（ ） A ．23 - B ．32- C ．32 D ．2 6．直线2x-y=7与直线3x+2y-7=0的交点是（ ） A (3,-1) B (-1,3) C (-3,-1) D (3,1) 7．满足下列条件的1l 与2l ，其中12l l //的是（ ） （１）1l 的斜率为２，2l 过点(12)A ，，(48)B ，； （２）1l 经过点(33)P ，，(53)Q -，，2l 平行于x 轴，但不经过P ，Q 两点； （３）1l 经过点(10)M -，，(52)N --，，2l 经过点(43)R -，，(05)S ，． Ａ．（１）（２） Ｂ．（２）（３） Ｃ．（１）（３） Ｄ．（１）（２）（３） 8.已知直线01:1=++ay x l 与直线221 :2+=x y l 垂直，则a 的值是（ ） A 2 B －2 C ．21 D ．21 - 9. 下列直线中，与直线10x y +-=的相交的是 A 、226x y += B 、0x y += C 、3y x =-- D 、1 y x =- 近年来中考数学压轴题大集合 【一】函数与几何综合的压轴题 1.〔2004安徽芜湖〕如图①，在平面直角坐标系中，AB 、CD 都垂直于x 轴，垂足分别为B 、D 且AD 与B 相交于E 点.：A (-2,-6),C (1,-3) (1) 求证：E 点在y 轴上； (2) 假如有一抛物线通过A ，E ，C 三点，求此抛物线方程. (3) 假如AB 位置不变，再将DC 水平向右移动k (k >0)个单位，如今AD 与BC 相交于E ′点， 如图②，求△AE ′C 的面积S 关于k 的函数解析式. [解]〔1〕 〔本小题介绍二种方法，供参考〕 方法一：过E 作EO ′⊥x 轴，垂足O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴,EO DO EO BO AB DB CD DB ' '''== 又∵DO ′+BO ′=DB ∴1EO EO AB DC ' ' += ∵AB =6，DC =3，∴EO ′=2 又∵DO EO DB AB ' '=，∴2 316 EO DO DB AB ''=?=?= ∴DO ′=DO ，即O ′与O 重合，E 在y 轴上 方法二：由D 〔1，0〕，A 〔-2，-6〕，得DA 直线方程：y =2x -2① 再由B 〔-2，0〕，C 〔1，-3〕，得BC 直线方程：y =-x -2② 联立①②得 2 x y =?? =-? ∴E 点坐标〔0，-2〕，即E 点在y 轴上 〔2〕设抛物线的方程y =ax 2+bx +c (a ≠0)过A 〔-2，-6〕，C 〔1，-3〕 E 〔0，-2〕三点，得方程组426 32a b c a b c c -+=-?? ++=-??=-? 解得a =-1,b =0,c =-2 ∴抛物线方程y =-x 2-2 〔3〕〔本小题给出三种方法，供参考〕 由〔1〕当DC 水平向右平移k 后，过AD 与BC 的交点E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为F 。 同〔1〕可得：1E F E F AB DC ''+=得：E ′F =2 图① 中考数学超好几何证明压 轴题大全 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020. 1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2. (1)求证：DC=BC; (2)E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论； (3)在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值. 2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延 长线于G ． （1）求证：△ADE ≌△CBF ； （2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什 么特殊四边形并证明你的结论． 3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋 转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或 测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； （2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。 （1）若，求CD 的长； （2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留 ）。 5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G. （1）求证：点F 是BD 中点； （2）求证：CG 是⊙O 的切线； （3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径． 6、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3）， ⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动． （１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标； （２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由. 7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ， DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线， 垂足为点C . 求证：∠ACB=31∠OAC . E B F C D A 图13－2 E A B D G F O M N C 图13－3 A B D G E F O M N C 图13－1 A ( E ) C O D F C A B D O E中考数学压轴题动态几何题型精选解析
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