河北定州中学2016-2017学年第一学期高三数学期末考试试题
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
(1)已知全集{}
{}2,|20,,1,0,1,2U z A x x x x Z B ==--<∈=-,则图中阴影部分所表示的集合等于( )
A .{}12-,
B .{}1-,0
C .{}0,1
D .{}12, (2)复数z 满足21i
z i
-=
-,则z 对应的点位于复平面的( ) A .第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D .第四象限
(3)已知()f x 满足对()(),0x R f x f x ?∈-+=,且0x ≥时,()x
f x e m =+(m 为常数),则
()ln5f -的值为( )
A .4
B .-4
C .6
D .-6
(4)如图,在空间四边形()
,,C,D ABCD A B 不共面中,一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于,,,E F G H (不含端点)
,则下列结论错误的是( )
A .若::AE BE CF BF =,则//AC 平面EFGH
B .若,,,E F G H 分别为各边中点,则四边形EFGH 为平行四边形
C .若,,,E F G H 分别为各边中点且AC B
D =,则四边形EFGH 为矩形
D .若,,,
E
F
G
H 分别为各边中点且AC BD ⊥,则四边形EFGH 为矩形 (5)等差数列{}n a 中,n S 是其前n 项和,
97
19,297
S S a =--=,则10S =( ) A . 0 B . -9 C . 10 D .-10
(6)设,a b R ∈,则“()20a b a -≥”是“a b ≥”的( )
A .充分不必要条件
B . 必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件 (7).如图是一个空间几何体的三视图,则该空间几何体的表面积是( )
A .()825π+
B .()925π+
C .()1025π+
D .()
823π+
(8)已知,x y 满足约束条件11493
x y x y x y ≥??≥-?
?+≤??+≤?,目标函数z mx y =+,若z 的最大值为()f m ,则当
[]2,4m ∈时,()f m 的最大值和最小值之和是( )
A .4
B .10
C .13
D .14
(9)在边长为1的正ABC ?中,,D E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近于点B ),则AD AE 等于( ) A .
16 B .29 C .1318 D .1
3
(10)已知函数()()()sin 0f x x ω?ω=+>的图象关于直线32
x π
=
对称且032f π??
-
= ???
,如果存在实数0x ,使得对任意的x 都有()()008f x f x f x π?
?
≤≤+ ??
?
,则ω的最小值是( ) A .4 B .6 C .8 D .12
(11)已知边长为23ABCD 中,060A ∠=,现沿对角线BD 折起,使得二面角A BD C
--
为120°,此时点,,,A B C D 在同一个球面上,则该球的表面积为( ) A .20π B .24π C .28π D .32π
(12)已知方程ln 1x kx =+在()
30,e 上有三个不等实根,则实数k 的取值范围是( ) A .320,
e ?? ??? B .3232,e e ?? ??? C .3221,e e ?? ???
D .3221,e e ??
???? 第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分 .
(13)命题“000,sin cos 2x R a x x ?∈+≥”为假命题,则实数a 的取值范围是____________. (14)已知22
cos 63πθ??-=
???
,则cos 3πθ??+= ???__________. (15)已知正实数,b a 满足4a b +=,则
11
13
a b +
++的最小值为___________. (16)已知函数()()02x
f x f e x '=-+,点P 为曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线l 上的一点,点Q 在曲线x
y e =上,则PQ 的最小值为____________. 三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分10分)
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且对任意正整数n ,都有3
24
n n a S =+成立. (1)记2log n n b a =,求数列{}n b 的通项公式; (2)设1
1
n n n c b b +=
,求数列{}n c 的前n 项和n T . (18)(本小题满分12分)
已知ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且sin sin 1sin sin sin sin B C
A C A B
+=++.
(1)求角A ;
(2)若3a =b c +的取值范围. (19)(本小题满分12分)
在如图所示的三棱锥111ABC A B C -中,,D E 分别是11,BC A B 的中点.
(1)求证://DE 平面11ACC A ;
(2)若ABC ?为正三角形,且1,AB AA M =为AB 上的一点,1
4
AM AB =
,求直线DE 与直线1A M 所成角的正切值.
(20)(本小题满分12分) 已知函数(),0x
f x e ax a =->.
(1)记()f x 的极小值为()g a ,求()g a 的最大值; (2)若对任意实数x 恒有()0f x ≥,求()f a 的取值范围. (21)(本小题满分12分)
如图,在四棱锥P ABCD -中,ABC ?为正三角形,,,,AB AD AC CD PA AC PA ⊥⊥=⊥平面
ABCD .
(1)若E 为棱PC 的中点,求证PD ⊥平面ABE ; (2)若3AB =,求点B 到平面PCD 的距离. (22)(本小题满分12分) 已知()sin cos f x x x ax =--. (1)若()f x 在,22ππ??
-????
上单调,求实数a 的取值范围; (2)证明:当2
a π
=
时,()1f x ≥-在[]0,x π∈上恒成立.
参考答案
一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D
B
C
A
B
A
D
C
C
C
C
二、填空题
13. ()
3,3- 14. 13± 15.1
2
16.2 三、解答题
17.解:(1)在3
24
n n a S =
+中令1n =得18a =.
...................1分 因为对任意正整数n ,都有324n n a S =+成立,所以113
24
n n a S ++=+,
两式相减得113
4
n n n a a a ++-=,所以14n n a a +=,.........................3分
又10a ≠,所以数列{}n a 为等比数列,所以121842n n n a -+==,所以21
2log 221n n b n +==+.....5
分 (2)()()1
111212322123n c n n n n ??
==- ?++++??
,
....................7分 所以
()111111
11112355721232323323n n T n n n n ??????????=
-+-++-=-= ? ? ? ?
??++++????????
??...........10分
又23B C π+=,所以2318sin 8sin 8sin cos sin 322b c B B B B B π????
+=+-=++ ? ? ?????
33318sin cos 83sin cos 8322226B B B B B π????
?=+=+=+ ?? ? ???????
,............9分
因为203B π<<
,所以5666B πππ<+<,所以1sin 126B π?
?<+≤ ??
?,所以
4383sin 836B π?
?<+≤ ??
?,
即b c +的取值范围是(
43,83??
...........................12分
19.解:(1)
取AB 的中点F ,连接,DF EF ..................1分 在ABC ?中,因为,D F 分别为,BC AB 的中点,
所以//,DF AC DF ?平面11,ACC A AC ?平面11ACC A , 所以//DF 平面11ACC A ...............................3分 在矩形11ABB A 中,因为,F E 分别为11,A B AB 的中点,
所以1//,EF AA EF ?平面 111,ACC A AA ?平面11ACC A ,所以//EF 平面11ACC A ..........4分 因为DF
EF F =,所以平面//DEF 平面11ACC A .
...................5分 因为DE ?平面DEF ,所以//DE 平面11ACC A ..............6分 (2)因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,所以平面ABC ⊥平面11ABB A ,
连接CF ,因为ABC ?为正三角形,F 为AB 中点,所以CF AB ⊥,所以CF ⊥平面11ABB A , 取BF 的中点G ,连接,DG EG ,可得//DG CF ,故DG ⊥平面11ABB A , 又因为1
4
AM AB =
,所以1//EG A M , 所以DEG ∠即为直线DE 与直线1A M 所成角.........................9分
设4AB =,在Rt DEG ?中,1
3,161172
DG CF EG =
==+=, 所以351
tan 17
17DEG ∠=
=
........................12分 20.解:(1)函数()f x 的定义域是(),-∞+∞,()x f x e a '=-, 令()0f x '>,得ln x a >,所以()f x 的单调递增区间是()ln ,a +∞;
令()0f x '<,得ln x a <,所以()f x 的单调递减区间是(),ln a -∞,函数()f x 在ln x a =处取极小值,
()()()ln ln ln ln a g a f x f a e a a a a a ===-=-极小值.
......................3分 ()()11ln ln g a a a '=-+=-,当01a <<时,()()0,g a g a '>在()0,1上单调递增;
当1a >时,()()0,g a g a '<在()1,+∞上单调递减,
所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点,也是最大值点,所以()()max 11g a g ==.
................................6分 (2)当0x ≤时,0,0x
a e ax >-≥恒成立,..............................7分
当0x >时,()0f x ≥,即0x
e ax -≥,即x e a x
≤.........................8分
令()()()()22
1,0,,x
x x x e x e e x e h x x h x x x x --'=∈+∞==, 当01x <<时,()0h x '<,当1x >时,()0h x '>,故()h x 的最小值为()1h e =, 所以a e ≤,故实数a 的取值范围是(]0,e ..................10分
()(]2,0,a f a e e a e =-∈,()2a f a e a '=-,由上面可知20a e a -≥恒成立,
故()f a 在(]0,e 上单调递增,所以()()()2
01e
f f a f e e e =<≤=-,
即()f a 的取值范围是(
2
1,e e e ?-?.
.........................12分 21.解:(1)因为PA ⊥平面,ABCD CD ?平面ABCD ,所以PA CD ⊥, ∵,AC CD PA
AC A ⊥=,所以CD ⊥平面PAC ,而AE ?平面PAC ,∴CD AE ⊥.
....2
分
∵,AC PA E =是PC 的中点,∴AE PC ⊥,又PC
CD C =,所以AE ⊥平面PCD ,
而PD ?平面PCD ,∴AE PD ⊥...................4分 ∵PA ⊥底面ABCD ,∴平面PAD ⊥平面ABCD ,又AB AD ⊥, 由面面垂直的性质定理可得BA ⊥平面,PAD AB PD ⊥,又∵AB AE A =,∴PD ⊥平面
ABE .
...............6分 (2)因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA AC ⊥,所以32PC =, 由(1)的证明知,CD ⊥平面PAC ,所以CD PC ⊥,
因为,AB AD ABC ⊥?为正三角形,所以0
30CAD ∠=,因为AC CD ⊥,所以
0tan 303CD AC ==.................7分
设点B 的平面PCD 的距离为d ,则116
32332B PCD V d d -=????=......8分 在BCD ?中,0
150BCD ∠=,所以01113
33sin1503332224
BCD S ?=??=???=.
....9分 所以133
333344
P BCD V -=
??=.
...........................10分 因为B PCD P BCD V V --=,所以
6334d =,解得32
4d =, 即点B 到平面PCD 的距离为
32
........................12分 22.解:(1)()cos sin 2sin 4f x x x a x a π?
?'=+-=
+- ??
?................... 1分
若()f x 在,22ππ??-
????上单调递增,则当,22x ππ??
∈-????
,()0f x '≥恒成立, 当,22x ππ??∈-????时,32,,sin ,1,2sin 1,2444424x x x πππππ???????
???+∈-+∈-+∈-?? ? ?????????????
, 此时1a ≤-;............................4分 若()f x 在,22ππ??
-
????
上单调递减,同理可得2a ≥.................5分
所以a 的取值范围是(])
,12,?-∞-+∞?
..............................6分
(2)2
a π
=
时,()()2
2sin cos ,4f x x x x f x x πππ?
?'=--
=+- ???
............7分 当[]0,x π∈时,()f x '在0,
4π??????上单调递增,在,4ππ??
????
上单调递减, ()()2
2
010,10f f x π
π
''=-
>=--
<.
......................9分 ∴存在0,4x ππ??
∈
???
,使得在[)00,x 上()0f x '>,在(]0,x π上()0f x '<, 所以函数()f x 在[)00,x 上单调递增,在(]0,x π上单调递减...................11分 故在[]0,π上,()()(){}min min 0,1f x f f
π==-,所以()1f x ≥-在[]0,x π∈上恒成
立.......................................12分