7.1 二元一次方程组和它的解
教学目的
1．使学生了解二元一次方程，二元一次方程组的概念。
2．使学生了解二元一次方程；二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。
3．通过引例的教学，使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性。
重点、难点
1．重点：了解二元一次方程。二元一次方程组以及二元一次方程
组的解的含义，会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。
2．难点；了解二元一次方程组的解的含义。
教学过程
一、复习提问
1．什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎样检验一
个数是否是这个方程的解?
2．列方程解应用题的步骤。
二、新授
问题1：暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分。
比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得。分，勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场?又平了几场呢?
这个问题可以用算术方法来解，也可以列一元一次方程来解，请同学们选一种方法试一试。
解后反思：既然是求两个未知量，那么能不能同时设两个未知数?
学生尝试设勇士队胜了x场，平了y场。
让学生在空格中填人数字或式子：
（略）（见教科书）
那么根据填表结果可知
x十y=7 ①
3x+y=17 ②
这两个方程有什么共同的特点?
(都含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1)
这里的x、y要同时满足两个条件：一个是胜与平的场数和是7场；另一个是这些场次的得分一共是17分，也就是说，两个未知数x、y
必须同时满足方程①、②。因此，把两个方程合在一起，并写成
x+y＝7 ①
3x+y=17 ②
上面，列出的两个方程与一元一次方程不同，每个方程都有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程，叫做二元一次方程。把这两个二元一次方程①、②合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。
用算术方法或通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场，
平了2场，即x=5，y＝2
这里的x＝5，与y=2既满足方程①即5十2＝7
又满足方程②，即3×5十2＝17
我们就说x＝5与y＝2是二元一次方程组的解。
一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两
个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。
二元一次方程组的解的检验范例。
三、巩固练习
1．教科书第25页问题2。
2．补充练习。
四、小结
1．什么是二元一次方程，什么是二元一次方程组?
2．什么是二元一次方程组的解?如何检验一对数是不是某个方程组的解?
五、作业
教科书第26页习题7.1全部。
咖的创作经 验，经过创 作、审核、 优化、发布 等环节，最 终形成了本 作品。本作 品为珍贵资 源，如果您 现在不用， 请您收藏一 下吧。因为 下次再搜索 到我的机会 不多哦！ 学科 课题北京市窦店中学七年级数学 课型新授日期下册 6.1二元一次方程和它 的解教案北京课改版 学习重点二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念 学习难点二元一次方程的解的不定性和相关性。 教具学具多媒体 教学方法讨论法、类比法
教学过程 教学内容学生活动一、复习引入 提问：1.什么是一元一次方程？ 2.一元一次方程的解的定义是什么？ （学生回答） 引入： 本节课我们来学习一种新的方程形式——二 元一次方程。首先我们来看一道题。 在新年联欢会上同学们组织了猜谜活动，并 采取积分方法计分，每答对1题要得分，每答错1 题要扣分。在猜谜活动中，王强答对了7道题， 答错了3道题，共获得50分；李翔答对了8道题， 答错了1道题，共获得 教学内容学生活动
教学过程62分。问答对1道题得多少分，答错1道题扣多少分？ 从前我们在解应用题的时候都是只设一个未知数就可以列出方程求出解，那么我来看一下这道题如果只设一个未知数的话是否可以列出方程求出解？（让学生思考） 我们发现只用一个未知数是没有办法列出本题的方程的，那我们就再多设一个未知数，看一看能不能对解题有所帮助。 如果设答对1道题得x分，答错1道题扣y分,那么根据x、y之间的关系，我们可以得到下面两个方程： 7x-3y=50, 且8x-y=62 二、探索新知 （一）二元一次方程的定义 1.观察上面这个方程和一元一次方程有什么相同点和不同 点？ 2.引导学生总结出二元一次方程的定义 二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数是一次，像这样的方程就叫做二元一次方程。 引导学生总结出以下三个特点： （1）含有两个未知数。 （2）未知数的项的次数都是一次. （3）等号两边的代数式是整式。 下面我们来看一道题。 3.练习：判断下列方程哪些是二元一次方程？哪些不是？（1）3x+y=1 （2）y+2x=3 （3） x+y+z=1（5） 2x-1=7 （4） y= 1 1 x 4.前面我们已经复习了一元一次方程解的概念：使一个一 元一次方程左右两边相等的未知数的值叫一元一次方程的解。 思考一下，和它类似的我们能不能得出二元一次方程 的解的概念？（找学生总结） （二）二元一次方程的解：使一个二元一次方程左右
二元一次方程组的解的情况（教案） 教学目标 1、理解二元一次方程组的解的三种情况 2、会判断二元一次方程组的解的情况 3、通过引导，以及学生之间的合作交流，让学生学会对知识进行 归纳总结，从而激发学生自主学习的兴趣。 重点难点 重点：二元一次方程组的解的三种情况；会判断二元一次方程组的解 的情况 难点：理解二元一次方程组解的情况的判定方法 教学过程 一、复习引入： 什么叫做方程的解？能使方程两边相等的未知数的取值。如x 20的解是 x 2 思考：是不是所有的一元一次方程都是只有一个解呢？ 解下列一元一次方程 （1）（2）（3） 22( x1) 2 x 2 x 1x2x12x 解： 2x x 2 1解： x x21解： 2x22x2 x30300有唯一解无解有无穷多解 结论：并不是所有的一元一次方程都是只有一个解。有的可能没有解，可能只有一个解，也有的有无数个解。 那二元一次方程组的解又有几种情况呢？（引入课题：二元一次方程
组的解的情况） 二、新课讲解 先让学生计算下列三个题： （1）2x 5y17（）x 3 y 2 ①（）x 3y 2①2x3y922x 6y 5②32x 6 y 4 ② 解得：x 6①× 2+②得 0=9①× 2+②得：0=0 y1 让学生根据前面一元一次方程的解的情况，讨论出上述三个方程组的 解的情况： （1）有唯一解（2）无解（3）有无穷多解从而得出二元一次方程组的解也有三种情况。下面让学生小组讨论： 分别在什么样的情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解？ （在学生讨论时教师给予提示：注意观察上述三个方程组中，每个方程组中的对应未知数的系数之间的关系。必要时把它们乘一乘或者除 一除。） （1）中25（2）中1 3 2（3）中 1 3 2 23265264（注：在（ 2）、（3）两个方程组中也要注意观察方程中个常数项的关 系）由上我们可以猜想：若方程组中 x, y 两个未知数的系数比不相等，则方程组有唯一解；若方程组中x, y 两个未知数的系数比相等但与常数项的比值不等，则方程组无解；若方程组中x, y 两个未知数的系数比以及常数项的比值都相等，则方程组有无穷多解。为了验证一下我们的猜想，请同学们自己随便写出几个满足期中任一条件的方程组出来，然后再看看它的解是否和我们的猜想一致呢？
二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2）9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11 ∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2=
当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2 将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac ≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a) ∴原方程的解为x1=,x2=. 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程：
7.1 二元一次方程组和它的解 教学目的 1．使学生了解二元一次方程，二元一次方程组的概念。 2．使学生了解二元一次方程；二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。 3．通过引例的教学，使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性。 重点、难点 1．重点：了解二元一次方程。二元一次方程组以及二元一次方程 组的解的含义，会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。 2．难点；了解二元一次方程组的解的含义。 教学过程 一、复习提问 1．什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎样检验一 个数是否是这个方程的解? 2．列方程解应用题的步骤。 二、新授 问题1：暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛，勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分。 比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得。分，勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场?又平了几场呢? 这个问题可以用算术方法来解，也可以列一元一次方程来解，请同学们选一种方法试一试。 解后反思：既然是求两个未知量，那么能不能同时设两个未知数? 学生尝试设勇士队胜了x场，平了y场。 让学生在空格中填人数字或式子： （略）（见教科书） 那么根据填表结果可知 x十y=7 ① 3x+y=17 ② 这两个方程有什么共同的特点? (都含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1) 这里的x、y要同时满足两个条件：一个是胜与平的场数和是7场；另一个是这些场次的得分一共是17分，也就是说，两个未知数x、y 必须同时满足方程①、②。因此，把两个方程合在一起，并写成 x+y＝7 ① 3x+y=17 ② 上面，列出的两个方程与一元一次方程不同，每个方程都有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程，叫做二元一次方程。把这两个二元一次方程①、②合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。
《二元一次方程和它的解》教案 教学目标： 使学生认识二元一次方程. 使学生能找出二元一次方程的解. 教学重难点： 教学重点：二元一次方程的认识. 教学难点：探求二元一次方程的解. 教学过程： （一）情境导入 在新年联欢会上，同学们组织了猜谜活动，并采取积分方法记分，每答对1题得分，每打错1题扣分.在猜谜活动中，王强答对了7道题，答错了3道题，共获得50分；李翔答对了8道题，答错了1道题，共获得62分.问答对1道题得多少分，答错一道题扣多少分. 思考：1.如果我们用方程的知识来解决上述问题，首先要先想清楚问题中都涉及了哪些数量，这些数量中哪些是已知量，哪些是未知量. 2.是否可以设两个未知数，列出含有这两个未知数的方程来求解呢？ （二）新课介绍 师：如果设答对1道题得x分，答错1道题扣y分，那么根据x，y之间的关系，我们可以得到下面两个方程： 7x-3y=50；8x-y=62. 概念：上面的两个方程中，每一个方程都含有两个未知数x，y，并且含有未知数的项的次数都是1，我们把这样的方程叫做二元一次方程. 使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解. 例如，当x=1，y=1时，方程3x+8y=11左右两边的值相等，我们就把x=1，y=1叫做方程3x+8y=11的一个解，记作x=1, y=1. 思考：怎样确定二元一次方程ax+by=c（其中a，b，c是已知数，且a≠0，b≠0）的一个解？
学生们纷纷讨论. 师：只要我们给出x（或y）的一个值，把它代入方程中，就可以将方程转化为含有另一个未知数y（或x）的一元二次方程，从而求出相应的y（或x）的一个值.这样的一对x，y的值就是这个二元一次方程的一个解. （三）例题解析 例1：已知：2x+5y=7，用含y的代数式表示x. 例2：求出二元一次方程3x+2y+4=0的任意3个解. 实践：请填写下表，并指出二元一次方程3x+2y=17的所有自然数解. 通过填表我们知道，二元一次方程3x+2y=17的自然数解为： x=1，x=3，x=5， y=7；y=4；y=1. 课堂总结： 本节课你学会了什么？
7.1 二元一次方程组和它的解 授课者：周培红 授课时间：2016年3月8日 地点：初一（4）班 知识技能目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义； 2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 过程性目标 1.在运用数据比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣. 2.为学生创设学数学、用数学的情境，让学生体验用数学知识解决实际问题的方法． 教学过程设计 一、创设情境 问题的提出：某中学初一年级组织了“我们学姚明”篮球赛. 初一年（14）班在第一轮比赛中共赛9场, 得17分. 比赛规定胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分. 勇士队在这一轮中只负了2场, 那么这个队胜了几场? 又平了几场呢? 二、探索归纳 问 能否用我们已经学过的知识来解决这个问题? 答 可以用一元一次方程来求解. 设初一年（14）班胜了x 场, 因为它共赛了9场, 并且负了2场, 所以它平了(9-x -2) 场. 根据得分规则和它的得分, 我们可以列出一元一次方程: 17)29(3=--+x x . 解这个方程可得5=x . 所以初一年 （14）班胜了5场, 平了2场. 由上面解答可知, 这个问题可以用一元一次方程来求解, 而我们很自然地会提出这样一个问题: 既然要求胜的场数和负的场数，这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢? 师生共同探讨: 不妨就设初一年（14）班胜了x 场, 负了y 场. 在下表的空格中填入数字或式子. 根据填表的结果可知: 7=+y x ① 和 173=+y x ② 引导学生观察方程①、②的特点, 并与一元一次方程作比较, 可知: 这两个方程都含有两个未知数, 并且未知数的次数都是1. 我们把上面这样的方程, 即把含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程(linear equation with two unknowns ).
二元一次方程组和它的解教学设计及学生主体地位二元一次方程组和它的解 教学目的 1．使学生了解二元一次方程，二元一次方程组的概念。 2．使学生了解二元一次方程；二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是不是它们的解。 3．通过引例的教学，使学生进一步使用代数中的方程去反映现实世界中的等量关系，体会代数方法的优越性。 重点、难点 1．重点：了解二元一次方程。二元一次方程组以及二元一次方程 组的解的含义，会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。 2．难点；了解二元一次方程组的解的含义。 教学过程 一、复习提问 1．什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎样检验一 个数是否是这个方程的解? 2．列方程解应用题的步骤。 二、新授 问题1：工厂里，工人用34小时的时间加工出了18件产品。 根据工厂现有技术，加工一件A产品耗时3小时，加工一件B产品耗时1小时，那该工人一共加工了产品A、B各多少件呢？ 针对以上的问题，同学们可以应用以前学习过的算术方法来解，也可以列一元一次方程来解，请同学们选一种方法试一试。 解后反思：请同学们思考一下，既然是求两个未知量，那么能不能同时设两个未知数? 引导同学们尝试设加工了ｘ件A、ｙ件B。
叫同学在一下表格中填空： A B 合计 产品数 X Y 耗时 那么根据填表结果可知 X+y=18 ① 3x+y=34 ② 请同学们思考一下：这两个方程有什么共同的特点?（抽学生回答，并同学生们一起探讨，引导学生们一起概括：都含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1） 这里的x、y要同时满足两个条件：一个是加工的产品总数是18；另一个是总耗时数是34，也就是说，两个未知数x、y 必须同时满足方程①、②。因此，把两个方程合在一起，并写成 x+y＝18 ① 3x+y=34 ② 上面，列出的两个方程与一元一次方程不同，每个方程都有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程，叫做二元一次方程。把这两个二元一次方程①、②合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 结合一元一次方程，二元一次方程对“元”和“次”作进一步的解释；“元”与“未知数”相通，几个元是指几个未知数，“次”指未知数的最高次数。
初中数学竞赛：二元一次方程组解的讨论 【知识精读】 1． 二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2． 方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3． 求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3） 【分类解析】 例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解 解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解 解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。 解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解， 即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。 例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？ 解：把a 作为已知数，解这个方程组
得???????-=-=23152331a y a x ∵???>>00y x ∴???????>->-02 31502331a a 解不等式组得??? ????><531331a a 解集是6311051<>+->-07020200027300k k k 解得??? ????>><0.10.9100k k k （k 是整数）
二元一次方程和它的解教案 教学目标： 知识目标：认识二元一次方程〔组〕的意义； 明白得二元一次方程〔组〕的解的含义。 能力目标：培养自主探究咨询题的能力。 情感目标：培养学生积极主动的情感。 教学过程: 一、引入新课〔三张足球图片〕 咨询：那么一样足球联赛的得分规那么是什么呢？〔请爱好足球的学生回答〕 胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。 ? 甲队胜2场，平2场，负一场，那么甲队共赛几场？得几分？ ? 甲队共赛5场，胜3场，负一场，那么甲队平了几场？又得了几分？ ? 甲队共赛9场，得17分，负2场，那么甲队胜了几场，又平了几场？〔胜５场， 平场〕 二、师生合作教学： １、提出咨询题１: 暑假里，?新晚报?组织了〝我们的小世界杯〞足球邀请赛。勇士队在 第一轮竞赛中共赛9场，得17分。 竞赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。勇士队在这一轮中只负了2场，那么那个队胜了几场？又平了几场呢？ ２、列表： 设勇士队胜了? ??=+=+437y x y x ３、二元一次方程组的有关定义 咨询：上面所列方程各含有几个未知数? 2个未知数 含有未知数的项的次数是多少? 次数是1 定义：含有两个未知数,同时所含未知数的项的次数差不多上 1 的方程叫做二元一次方程. 课内练习：比一比看谁快 (1) x+y+z=9 (2) x=6 (3) 2x+6y=14 (4) xy+y=7 (5) 7x+6y+4=16 (6) x2+y=6 议一议 咨询：方程 x ＋y ＝7 和 x ＋3y ＝17中，x 的含义相同吗？y 呢？ 定义：把这两个二元一次方程合在一起,就组成了一个二元一次方程组. (方程组各方程中同一字母必须代表同一个量) 定义：满足一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做那个二元一次方程的一个解 例如 x=3,y=4确实是方程 x+y=7的一个解，我们把它记作：???==4 3y x
7.1 二元一次方程组和它的解 一课时 教学内容：二元一次和它的解，二元一次方程组和解的意义. 检验一对数是否是方程的解.教材P24—26页的内容. 教学目标：1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义. 2. 会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 重点、难点：重点是二元一次方程、二元一次方程组及其解的意义. 难点：列二元一次方程组 教学过程： （一）新课引入 “我们的小世界杯”足球赛规定： 胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．“勇士”队赛了9场，共得17分．已知这个队只输2场，那么胜了几场?又平了几场呢? 这就要研究有两个未知数的问题了！ 让我们来看导图中的问题. （二）探究新知 1、解答问题1 暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛.勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分. 比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场呢？ 这个问题可以算术方法来解，也可以列一元一次方程来解. 思考：问题中有两个未知数，如果分别设为x 、y 又会怎样呢？ 探索：在下表的空格中填入数字或式子. 设勇士队胜了x 场，平了y 场，那么根据填表的结果可知 x ＋y ＝7， ① 和 3x ＋y ＝17. ② 由题意可知，比赛场数x 、y 要满足两个要求：一个是胜与平的场数，一共是7场；另一个是这些场次的得分，一共是17分.也就是说，两个未知数x 、y 必须同时满足①、②这两个方程.因此，把两个方程合在一起，并写成 ???=+=+.173,7y x y x ① ② 上面我们列出的这两个方程与一元一次方程不同.每个方程都有两个未知数，并且未知项的次数都是1.像这样的方程，我们把它叫做二元一次方程.把这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 用算术方法或者通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场，平了2场，即x =5,y =2.
7.1 二元一次方程组和它的解 知识技能目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义； 2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 过程性目标 1.在运用数据比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣. 2.为学生创设学数学、用数学的情境，让学生体验用数学知识解决实际问的方法． 重点、难点 1．重点：了解二元一次方程。二元一次方程组以及二元一次方程组的解的含义，会检验一对数是否是某个二元一次方程组的解。 2．难点；理解二元一次方程组的解的含义。 教学过程设计 复习提问 1．什么叫一元一次方程?什么叫一元一次方程的解?怎样检验一个数是否是这个方程的解? 2．说说列方程解应用题的步骤。 一、创设情境 问题的提出：暑假里, 《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛. 勇士队在第一轮比赛中共赛9场, 得17分. 比赛规定胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分. 勇士队在这一轮中只负
了2场, 那么这个队胜了几场? 又平了几场呢? 二、探索归纳 问:能否用我们已经学过的知识来解决这个问题? 答:可以用一元一次方程来求解. 设勇士队胜了x场, 因为它共赛了9场, 并且负了2场, 所以它平了(9-x-2) 场. 根据得分规则和它的得分, 我们可以列出一元一次方程: 17 )2 9( 3= - - +x x. 解这个方程可得5 = x. 所以勇士队胜了5场, 平了2场. 由上面解答可知, 这个问题可以用一元一次方程来求解, 而我们很自然地会提出这样一个问题: 既然要求胜的场数和负的场数，这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢? 师生共同探讨: 不妨就设勇士队胜了x场, 负了y场. 在下表的空格中填入数字或式子. 根据填表的结果可知: 7 = +y x①和17 3= +y x②引导学生观察方程①、②的特点, 并与一元一次方程作比较, 可知: 这两个方程都含有两个未知数, 并且未知数的次数都是1. 我们把上面这样的方程, 即把含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程(linear equation with two unknowns). 由题意可知两个未知数必须同时满足①、②这两个方程. 因此,
二元一次方程组解三种情形 教学目标 1、理解二元一次方程组得解得三种情况 2、会判断二元一次方程组得解得情况 3、通过引导,以及学生之间得合作交流,让学生学会对知识进行归 纳总结,从而激发学生自主学习得兴趣。 重点难点 重点:二元一次方程组得解得三种情况;会判断二元一次方程组得解得情况 难点:理解二元一次方程组解得情况得判定方法 教学过程 一、复习引入: 什么叫做方程得解？能使方程两边相等得未知数得取值。如得解就是思考:就是不就是所有得一元一次方程都就是只有一个解呢？ 解下列一元一次方程 (1) (2) (3) 解: 解: 解: 有唯一解无解有无穷多解 结论:并不就是所有得一元一次方程都就是只有一个解。有得可能没有解,可能只有一个解,也有得有无数个解。 那二元一次方程组得解又有几种情况呢？(引入课题:二元一次方程组
得解得情况) 二、 新课讲解 先让学生计算下列三个题: (1) (2) (3) 解得: ①×2+②得0=9 ①×2+②得:0=0 让学生根据前面一元一次方程得解得情况,讨论出上述三个方程组得解得情况: (1)有唯一解 (2)无解 (3)有无穷多解 从而得出二元一次方程组得解也有三种情况。下面让学生小组讨论:分别在什么样得情况下方程组有唯一解、无解、有无数个解？ (在学生讨论时教师给予提示:注意观察上述三个方程组中,每个方程组中得对应未知数得系数之间得关系。必要时把它们乘一乘或者除一除。) (1)中 (2)中 (3)中 (注:在(2)、(3)两个方程组中也要注意观察方程中个常数项得关系)由上我们可以猜想:若方程组中两个未知数得系数比不相等,则方程组有唯一解;若方程组中两个未知数得系数比相等但与常数项得比值不等,则方程组无解;若方程组中两个未知数得系数比以及常数项得比值都相等,则方程组有无穷多解。为了验证一下我们得猜想,请同学们自己随便写出几个满足期中任一条件得方程组出来,然后再瞧瞧它得解就是否与我们得猜想一致呢？ 在学生交流讨论过后,引导学生得出以下结论: ① ② ① ②
课题名称：二元一次方程组和它的解 教师姓名：纪月波学校：牛山第二中学 指导思想与理论依据 新课标指出，概念教学要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程。因此，引入数学概念就要以具体的典型的材料和实例为基础。揭示概念形成的实际背景，要创设好的问题情境，帮助学生完成由材料感知认识的过程，并引导学生把背景材料与原有认知结构建立起实质性联系。因此，在本节课的教学中，我用鸡兔同笼问题引出本节课，促进学生对概念的理解，提高学生的学习兴趣。在教学过程中，我尽量为学生创造自主学习，合作交流的机会，促使他们自主探索，积极探究，进而提高学生数学学习中的发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的方法和策略。 教学背景分析 （一）教学内容分析 方程是重要的数学模型之一，它在现实生活中的应用很广泛，在义务教育阶段的数学课程中占有重要地位。在本届课之前学生已经学习了方程、方程的解、一元一次方程、一元一次方程的解、二元一次方程、二元一次方程的解。本节课主要学习二元一次方程组和它的解，是对前面学习内容的深化和应用，又是今后用二元一次方程组解决生活中的实际问题的预备知识，为以后学习一次函数、二次函数、平面几何等内容的学习奠定基础，建模的思想方法对学生今后的发展有引导作用，因此本节课具有承上启下的作用。本节课通过一个与生活关系密切的趣味性问题来引入二元一次方程组的概念，意在让学生经历一个实际背景。由浅入深、由易到难，以激发他们的学习兴趣，引导学生通过自己去分析、探索、认识二元一次方程组，初步体会用二元一次方程组来刻画实际问题中的数量关系。 （二）学生情况分析 本节课的授课班级学生思维活跃，大部分学生能够积极参与到课堂教学中，有强烈的求知欲。他们在数学上的计算能力、阅读理解能力等方面都有较好的发展。在本节课之前，学生已经学习了二元一次方程和它的解的概念，这为过渡到本节课的学习起到了铺垫的作用。本节课的内容，在生活中的适用性较强，学生必然会产生浓厚的学习兴趣。对于实际问题，有些学生还总习惯用小学的算术方法和上学期学习的一元一次方程的知识来解决，本节课的学习学生会体会到二元一次方程组在解决实际问题中的作用。
任意一个一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）均可配成 (x+b/2a)^2=b^2-4ac/4a^2，因为a≠0，由平方根的意义可知，b^2－4ac 的符号可决定一元二次方程根的情况． b^2－4ac叫做一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式，用“△”表示(读做delta)，即△=b^2－4ac． 根的情况判别 1 一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的情况判别 （1）当△>0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当△=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当△<0时，方程没有实数根． （1）和（2）合起来：当△≥0时，方程有两实数根． 上面结论反过来也成立．可以具体表示为： 在一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）中， ①当方程有两个不相等的实数根时，△>0； ②当方程有两个相等的实数根时，△=0； ③当方程没有实数根时，△<0。 注意根的判别式是△=b^2－4ac，而不是△=sqrt(b^2－4ac) 。(sqrt 指根号) 一元二次方程求根公式： 当Δ=b^2-4ac≥0时，x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a 当Δ=b^2-4ac<0时，x={-b±[(4ac-b^2)^(1/2)]}/2a(i是虚数单位) 一元二次方程配方法： ax^2+bx+c=0(a,b,c是常数) x^2+bx/a+c/a=0 (x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2 x+b/2a=±(b^2-4ac)^(1/2)/2a x=[-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/2a 判别式的应用 2 一元二次方程的判别式的应用 （1）不解方程，判别一元二次方程根的情况． 它有三种不同层次的类型： ①系数都为数字； ②系数中含有字母； ③系数中的字母人为地给出了一定的条件．
二元一次方程解法大全
二元一次方程解法大全 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解二元一次方程的方法。用直接开平方法解形如 (x-m)2=n(n≥0)的方程，其解为x=±根号下 n+m. 例1．解方程（1）(3x+1)2=7（2） 9x2-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)2，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(3x+1)2=7× ∴(3x+1)2=5 ∴3x+1=±(注意不要丢解) ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= （2）解：9x2-24x+16=11
∴(3x-4)2=11 ∴3x-4=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2= 2．配方法：用配方法解方程ax2+bx+c=0(a ≠0) 先将常数c移到方程右边：ax2+bx=-c 将二次项系数化为1：x2+x=- 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x2+x+()2=-+()2 方程左边成为一个完全平方式：(x+)2= 当b^2-4ac≥0时，x+=± ∴x=(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程3x^2-4x-2=0(注：X^2是X的平方） 解：将常数项移到方程右边3x^2-4x=2
将二次项系数化为1：x2-x= 方程两边都加上一次项系数一半的平方： x2-x+()2=+()2 配方：(x-)2= 直接开平方得：x-=± ∴x= ∴原方程的解为x1=,x2=. 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b ±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a),(b^2-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程2x2-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x2-8x+5=0 ∴a=2,b=-8,c=5 b^2-4ac=(-8)2-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±(b^2-4ac)^(1/2)]/(2a)
二元一次方程组 【学习重点与难点】 1．重点：准确熟练地解二元一次方程组 2．难点：（1）二元一次方程有无数个解；二元一次方程组一般只有一个解，在特殊情况下，二元一次方 程组也存在无数个解或无解的情况。 （2）正确地运用二元一次方程解决实际应用问题 【知识讲解】 1. 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1?的整式方程叫做二 元一次方程． 例1．关于x 、y 的方程3x m-2－2y 2n －1=7 (1) 当m 、n 为何值时，是一元一次方程？（2）当m 、n 为何值时，是二元一次方程？ 2. 二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般 地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解． 例1： 已知21x y =??=?是方程组2(1)21 x m y nx y +-=??+=?的解，求（m+n ）的值． 例2.在解方程组278ax by cx y -=??+=?时，一同学把c 看错而得到22x y =-??=?，正确的解应是32 x y =??=?，那么 错误的C 是多少，正确的C 又是多少，并把a,b 的值求出来。 3.二元一次方程组的解法一般有二种：（1）代入消元法（2）加减消元法，无论是“代入消元法”还是“加减消元法”其基本思想都是“消元”，即都是化“二元方程”为“一元方程” 例1. 已知||()x y x y -++-212与互为相反数，求x y 、的值。 例2. 若4360270x y z x y z --=+-=，，则522310222 222x y z x y z +---等于（ ） A. -12 B. -192 C. -15 D. -13
课时1 二元一次方程组和它的解 课型：新授执笔：陈亚霞审核：初一数学组时间：07年2月 一、教学目的和要求 1、从学生感兴趣的实际问题引入，激发学生合作、交流和探究的热情。 2、引导学生通过自己的分析，理解二元一次方程、二元一次方程组的意义，体会二元一次方 程组在刻画多个未知量间相等关系中的作用。 3、理解二元一次方程组的解的含义、会检验一对数值是否是一个二元一次方程组的解。 4、尊重学生已有经验，让他们在对一元一次方程的认识的基础上来发展对二元一次方程和二 元一次方程组的认识。 二、本课重点和难点 1、重点：二元一次方程的概念、二元一次方程组及其二元一次方程组的解的意义。 2、难点：弄懂二元一次方程组的解的含义。 三、教学过程 复习回顾：什么叫方程（一元一次方程）？什么叫方程的解？ 预备问题1： 暑假里，《新晚报》组织了“我们的小世界杯”足球邀请赛。勇士队在第一轮比赛中共赛9场，得17分。 比赛规定胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。勇士队在这一轮中只负了2场，那么这个队胜了几场？又平了几场呢？ 这个问题可以算术方法来解，也可以列一元一次方程来解. 思考 问题中有两个未知数，如果分别设为x、y又会怎样呢？ 探索 在下表的空格中填入数字或式子. 设勇士队胜了x场，平了y场，那么根据填表的结果可知 x＋y＝7，① 3x＋y＝17. ② 由题意可知，比赛场数x、y要满足两个要求：一个是胜与平的场数，一共是7场；另一个是这些场次的得分，一共是17分。也就是说，两个未知数x、y必须同时满足①、②这两个方程.因此，把两个方程合在一起，并写成
?? ?=+=+.173,7y x y x ① ② 上面我们列出的这两个方程与一元一次方程不同.每个方程都有两个未知数，并且未知项的次数都是1。像这样的方程，我们把它叫做二元一次方程（linear equation with two unknowns ）。把这两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。 用算术方法或者通过列一元一次方程都可以求得勇士队胜了5场，平了2场，即x =5，y =2. 这里的x =5与y =2既满足方程①，即 5＋2＝7； 又满足了方程②，即 3×5＋2＝17. 我们就说x ＝5与y ＝2是二元一次方程组???=+=+.173,7y x y x 的解，并记作???==. 2, 5y x 一般地，使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解. 预备问题2 某校现有校舍20000m 2，计划拆除部分旧校舍，改建新校舍，使校舍总面积增加30%.若建造新校舍的面积为被拆除的旧校舍面积的4倍，那么应该拆除多少旧校舍，建造多少新校舍？（单位为m 2） 做一做 如图7.1.1，画出示意图.若设应拆除旧校舍xm 2，建造新校舍ym 2，请你根据题意列一个方程组. 例题 1.下列方程是否是二元一次方程？(已知x ,y ,z 都是未知数) （1）2x –8=3 （2）4x+5=y (3)2x+3y –5z=4 (4) y +x 1=5 (5)x+xy=3 (6)X (X-1)= x 2 2.求二元一次方程3x+2y=21的所有非负整数解。 3．已知方程（a+4）x a 3 ||-+( b - 3) y 5 |2|-b =5是关于x,y 的二元一次方程，求出a, b 的值，并 确定这个二元一次方程。 图7.1.1
二元一次方程组和它的解 学习目标 1．了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念． 2．会判断一对数是不是某个二元一次方程组的解． 3．根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程或二元一次方程组，体会 二元一次方程组是刻画现实世界数量关系的有效模型． 学习探究 问题1．足球赛规定：胜一场的3分，平一场的1分，负一场的0分，某队 赛了9场，共得17分．已知这个对只负了2场，那么胜了几场？又平了几场呢？ 【思路导航】 1．题中的等量关系有两个：胜的场数+平的场数=29-， 胜的积分+平的积分=17． 2．如果设胜了x 场，可列一元一次方程： ． 你选择的是哪个等量关系来列的方程？ 【思考】 1．问题中有两个未知数，如果设胜了x 场，平了y 场，你能用方程把上面 的等量关系表示出来吗？ ，① ．② 2．方程①、②有什么共同的特点？ ， ．这样的方程叫二元一次方程． 3．比赛场数必须同时满足两个等量关系，即未知数x 、y 必须同时满足①、②这两个方程，把这两个方程合在一起，写成?????.,就组成了一个 二元一次方程组． 4．方程组? ??=+=+173,7y x y x 有几个不同的未知数？相同的未知数表示相同的量吗？ 【设计理由】以足球比赛为背景来设计问题，是因为多数学生比较熟悉，让 学生对这一问题有兴趣，有亲切感；思路导航的设计目的是让学生用已学过的知 识来解决，为与列方程组来解决形成比较，让学生体会到列方程组解决实际问题 的优点；思考的设计目的是让学生了解二元一次方程、二元一次方程组的概念。 【使用说明】思路导航的环节根据学生实际可以不用，直接让学生完成思考 的几个问题；思考的几个问题建议学生独立完成，思考第二题可以让学生展开交
先阅读,再做题: 1.一元一次方程ax b 的解由a b 、的值决定: ⑴若0a ,则方程ax b 有唯一解b x a ; ⑵若0a b ,方程变形为00x ,则方程ax b 有无数多个解; ⑶若0,0a b ,方程变为0x b ,则方程无解. 2.关于x y 、的方程组111 222 a x b y c a x b y c 的解的讨论可以按以下规律进行 : ⑴若11 22 a b a b ,则方程组有唯一解; ⑵若111 222 a b c a b c ,则方程组有无数多个解; ⑶若111 222 a b c a b c ,则方程组无解. 1、若关于x,y 的方程组无解，则a 的值为（） A 、－6 B 、6 C 、9 D 、30 2、方程组81043y x x m my mx 有唯一的解，那么m 的值为: 3、方程组6 2 31 31 y x y x 有无数多个解…………（） 4、与已知二元一次方程5x-y=2组成的方程组有无数多个解的方程是（） （A ）15x-3y=6 （B ）4x-y=7 （C ）10x+2y=4 （D ）20x-4y=3 5、已知方程组135b y ax y x 有无数多个解，则a 、b 的值等于（） （A ）a=-3,b=-14 （B ）a=3,b=-7 （C ）a=-1,b=9 （D ）a=-3,b=14 6、已知方程组m y x ay x 2643 2有无数多解，则a=______，m=______； 7、已知关于x y 、的方程组312y kx b y k x 分别求出k,b 为何值时, 方程组的解为 : ⑴有唯一解; ⑵有无数多个解; ⑶无解?
二元一次方程组的常见解法 二元一次方程组中含有两个未知数，所以解二元一次方程组的主要思路就是消元，即消去一个未知数，使其转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后设法求另一个未知数.常见的消元方法有两种：代入消元法和加减消元法. 一、代入法即由二元一次方程中的一个方程变形，将一个未知数用含另一 个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程中，实现消元，进而求解?一般情况下用代入法解方程组时，选择变形的方程要尽可能的简单，表示的代数式也要尽可能的简单，以利于计算. 2x+5y=—21 ① 例1、解方程组Y -x+3y=8 ② 解由②得：x=8 —3y③ 把③代入①得2 (8 —3y) +5y= —21 解得：y=37 把y=37 代入③得：x=8 —3 X37= —103 < x= —103 所以这个方程组的解是w L y=37 二、整体代入法当方程组中的两个方程存在整数倍数关系时，用代入法解可将整数倍数关系数中较小的一个变形，用另一个字母代数式表示它后代入另一个方程. '3x —4y=9 ① 例2、解方程组Y .9x —10y=3 ② 解由①得3x=4y+9③ 把③代入②得3(4y+9) —10y=3 解得y= -12
把y=- 12 代入③得3x=4X( —12)+9 解得x= —13 :x=—13 所以方程组的解是y ~y=—12 三、加减消元法即方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数相等时，让两个方程相减.如果方程组中两个二元一次方程中的同一个未知数的系数互为相反数时则让两个方程相减?消去一个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫加减消元法. 广2x+3y=14 ① 例3、解方程组w -4x—5y=6 ② 解由①>2得4x+6y=28 ③ ③—②得：11y=22 解得y=2 把y=2代入②得4x —5 X2=6 解得x=4 厂x=4 所以方程组的解为Y ? y=2 四、整体运用加减法即当两个二元一次方程中的某一部分完全相同或符号相反时，可以把这两个方程两边相加或相减，把相同的部分整体消去. '3(x+2)+(y —1)=4 ① 例4解方程组Y <3(x+2)+(1 —y)=2 ② 解①一②得(y —1)—(1 —y) —4 —2 整理得2y=4 解得y=2 把y=2 代入①得3(x+2)+(2 —1)=4