2017学思教育中考数学专题复习资料汇总
第一讲填空选择题专项训练
第二讲6分、8分、9分题专项训练
第三讲化归思想专项训练
第四讲分类讨论专项训练
第五讲函数问题专项训练
第六讲代数几何综合题专项训练
第七讲动点问题专项训练
第八讲存在性问题专项训练
第九讲定义型、阅读型新题型
第十讲方案设计型问题专项训练
第十一讲数学思想方法（方程、函数、数形结合）
第十二讲2016中考模拟试题选讲
第一讲、填空选择题专项训练
Ⅰ、专题精讲
复习后阶段，学习方法、思维和生活学习习惯相对有所固定，成绩也相对稳定，于是就认为自己也许就是这个水平，孰不知，只要讲究应试技巧与策略，就能把分数提高一个档次。
一、整体上安排要坚持“两先两后”
1、先览后做，平时训练和模拟考试中，有的同学便急急忙忙“偷偷”做题，加重了自己的心理紧张程度，就有可能影响发挥，而正确的做法就是应是先统览试卷，摸清“题情”。对题型和难度作总体了解，在头脑中寻找解决这部分题的知识内容。
2、先易后难，部分学生善“钻研”，先做难题，无功后返，以致该得的分没得到，还浪费了宝贵的时间，造成总分较低。
二、解题中要坚持“两快两慢”
1、审题要慢，答题要快。所谓“成在审题，败在审题”，要咬文嚼字，抓住“题眼”，观察分析抓“特征”，深刻挖掘其隐含的内在联系；
2、计算要慢，书写要快，平时练习就要养成这种习惯，否则计算失误，后面就是“赔了夫人又折兵”了。
三、不同题型，区别对待
1、选择题灵活做，选择题一定坚持“小题小做”原则，采用间接、直接、特殊值代入法、排除法等各种方法并用，在确保无误的情况下提高解题效率；
2、填空题仔细做，一类是定性的概念判断填空，一类是定量的推理计算填空，适当提高运算速度，但解题过
程要确保“百分之百”；
Ⅱ、典型例题剖析
填空题解题方法：
例1根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（）
x -2 0 1
y 3 p 0
A．1 B．-1 C．3 D．-3
例2．（若y=(a+1)x a2-2是反比例函数，则a的取值为（）
A．1 B．-l C．±l D．任意实数
例3、（扑克牌游戏）小明背对小亮按下列四个步骤操作：
第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；
第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；
第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；
第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆。
这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数，你认为中间一堆牌现有的张数是____________.
二、特殊化法
例5、填空题：已知a＜0，那么，点P（－a2－2，2－a）关于x轴的对称点是在第_______象限．
例6、无论m为任何实数，二次函数y＝x2＋（2－m）x＋m的图像都经过的点是 _______.
三、数形结合法
例7、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，，则S1＋S2＋S3＋S4＝_______。
例8、如图，由10块相同的长方形地砖拼成的一块长方形地面图案（地砖间隙不计），如果图案的宽为75cm，那么图案的长为_______cm．
四、等价转化法
例9、若是方程x2-3x-5=0的两个根，
则的值是________.
例10、如图6，在中，E为斜边AB上一点，AE=2，EB=1，四边形DEFC为正方形，则阴影部分的面积为________．
选择题解题方法：
一. 直接法
例1. 若有意义，则 （ ）。
二. 特例法
例2. 若a<0，-1 三. 检验法 例3. 方程 的解是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D.3/7 四. 排除法 例4. 关于x 的一次函数12 ++=k kx y 的图像可能是（ ） Ⅲ、同步跟踪配套试题： — 选择题 1.负数的引入是数学发展史上的一大飞跃, 使数的家族得到了扩张, 为人们认识世界提供了更多的工具,最早使用负数的国家是（ ） A: 中国 B: 印度 C: 英国 D: 法国 2．下列运算正确的是( ) A ：a 2+a 3=a 5 B ：4=±2 C ：(2a)3=6a 3 D ：(-3x-2)(3x-2)=4-9x 2 3. ） A:圆锥 B: 正三棱柱 C ：正三棱锥 D ：圆柱 4. 下列说话正确的是（ ） A 、要调查人们对“低碳生活”的了解程度，宜采用普查方式 B 、一组数据3，4，4，6，8，5的众数和中位数都是3 C 、必然事件的概率是100%，随机事件的概率是50% D 、若甲组数据的方差S 2甲 =0.128 ，乙组数据的方差S 2 乙 =0.036，则乙组数据比甲组数据稳定 5.下列四句话的文字有三句具有对称规律，其中没有这种规律的一句是（ ） A 、上海自来水来自上海 B 、有志者事竟成 C 、清水池里池水清 D 、蜜蜂酿蜂蜜 6.小芳家房屋装修时，选中了一种漂亮的正八边形地砖，建材店老板告诉她，只用一种八边形地砖是不能密铺地面的，便向她推荐了几种形状的地砖，里认为要使地面密铺，小芳应选择另一种形状的地砖是（ ） A D C F E A B D C 7.如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使C点落在E处，BE与AD相交于点F，下列结论： ① BD=AD2+AB2, ②△ABF≌△EDF, ③ DE AB= EF AF, ④AD=BD·COS45°( ) A：①②B：②③C：①④D：③④ 8.如图，边长都是1的正方形好正三角形，其一边在同一水平线上，三角形沿该水平线自左向右匀速穿过正方形，设穿过的时间为t，正方形与三角形重合部分的面积为S（空白部分），那么S关于t的函数大致图像应为（） 二、填空题 9.函数y= 1 x+3中自变量x的取值范围是____________ 10.分解因式：a4-1=____________ 11今年3月7日，岳阳市人民政府新闻发布会发布，2010年全市经济增长14.8％，岳阳市GDP达到1539.4亿元。1539.4亿元用科学记数法表示为____________亿元。（保留两位有效数字） 12.不等式组 ? ? ?6x－7≤0 3x＜5x+2 的解集是____________。 13.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD把等腰梯形分成了四个小三角形，任意选取其中两个小三角形是全等三角形的概率是____________。 ① ② ③ ④ A D B C A D B C P E A C D 14.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为____________ 15.将边长分别为2,22,32,42.…的正方形的面积分别记作S1,S2,S3,S4…,计算S2－S1, S3－S2,S4－S3,…,若边长为n2（n为正整数）的正方形面积记为S n，根据你的计算结果，猜想S N+1－S N=_____。 16.如图，在顶角为30°的等腰△ABC中，AB=AC，若过点C作CD⊥AB于点D，则∠BCD=15°，根据图形计数tan15°=____________ 压轴体验： 孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线2(0) y ax a =<的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：（1）若测得22 OA OB ==1），求a的值； （2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF x ⊥轴于点F，测得1 OF=， y x B A O 图 F E y x B A O 图 写出此时点B 的坐标，并求点A 的横坐标．．． ； （3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O 旋转任意角度时惊奇地发现，交点A 、B 的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标． 第二讲、6分、8分、9分题专项训练 Ⅰ、专题精讲 长沙中考数学试题题型改革，六分题两个，八分题两道，依去年中考的题型看，六分题和八分题题目难度不大，考查基础知识和基本计算能力，主要的内容包括：实数的计算、整式的加减乘除运算及化简求值、数据整理分析与概率、解方程和不等式、解直角三角形及应用、几何证明与推论、圆及其相关计算、一次函数反比例函数的图像性质等等。 中档题认真做，高档题分解做。中档题一般学生都能做，主要缺点是“会而不对，对而不全”，所以对这类题要仔细审题，减少纰漏； 高档题也不过是低档题的综合与迭加，所以只要分解开了，他可能就变成许多简单的问题，这样去分析、解题，就能尽可能得分。 Ⅱ、典型例题剖析 一、计算： 1．计算：-1 1+4cos60|3|92o ?? --+ ??? ． 2、计算： 二、求值: 3．已知1x －1＝1，求2 x －1＋x －1的值． 零花钱数额（元） 学生人数（个） 0 5 10 15 20 图（九） 4、先化简，再求值：0 (x y)(x y)x(x y)2xy x (3),2y π+--++=-=，其中 三、几何推理证明： 5． 如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠ABC=60°，对角线AC 、BD 相交于点O ，将对角线AC 所在的直线绕点O 顺时针旋转角α（0°<α<90°）后得直线l ，直线l 与AD 、BC 两边分别相交于点E 和点F 。 （1）求证：△AOE ≌△COF ； （2）当α=30°时，求线段EF 的长度。 四、数据分析与图表： 6．某教师为了对学生零花钱的使用进行教育指导，对全班50名学生每人一周内的零花钱数额进行了调查统计，并 零花钱数额（元） 5 10 15 20 学生人数（个） a 15 20 5 （1）求a 的值； （2）求这50名学生每人一周内的零花钱数额的众数和平均数． 五、图形变换及作图： 7、在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′； （3）写出点B′的坐标． 六、解直角三角形： 8、莲城中学九年级数学兴趣小组为测量校内旗杆高度，如图，在C点测得旗杆顶端A的仰角为30°，向前走了6米到达D点，在D点测得旗杆顶端A的仰角为60°（测角器的高度不计）． （1）AD=米； （2）求旗杆AB的高度． 七、解方程和不等式： 9、解不等式组 八、概率： 10、在1个不透明的口袋里，装有红、白、黄三种颜色的乒乓球（除颜色外，其余都相同），其中有白球2个，黄球1个，若从中任意摸出一个球，这个球是白色的概率为0.5． （1）求口袋中红球的个数； （2）若摸到红球记0分，摸到白球记1分，摸到黄球记2分，甲从口袋中摸出一个球，不放回，再找出一个画树状图的方法求甲摸的两个球且得2分的概率． 九、函数的图形及其性质： 一、方程与不等式： 1、某学校为开展“阳光体育”活动，计划拿出不超过3000元的资金购买一批篮球、羽毛球拍和乒乓球拍，已知篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价比为8：3：2，且其单价和为130元． （1）请问篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别是多少元？ （2）若要求购买篮球、羽毛球拍和乒乓球拍的总数量是80个（副），羽毛球拍的数量是篮球数量的4倍，且购买乒乓球拍的数量不超过15副，请问有几种购买方案？ 二、解直角三角形及应用： 2、如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i=1：（指坡面的铅直高度与水平宽度的比），且AB=20m．身高为1.7m的小明站在大堤A点，测得髙压电线杆顶端点D的仰角为30°．已知地面CB宽30m，求髙压电线杆CD 的髙度（结果保留三个有效数字，≈1.732）． 三、圆及其相关计算 3、如图，△ABC内接于⊙O，CA=CB，CD∥AB且与OA的延长线交于点D． （1）判断CD与⊙O的位置关系并说明理由； （2）若∠ACB=120°，OA=2．求CD的长． 四、二次函数应用问题（最值）： 4、（随州）我市某镇的一种特产由于运输原因，长期只能在当地销售．当地政府对该特产的销售投资收益为：每 投入x 万元，可获得利润P=．当地政府拟在“十二?五”规划中加快开发该特产的销售，其规划方案为：在规划前后对该项目每年最多可投人100万元的销售投资，在实施规划5年的前两年中，每年都从100万元中拨出50万元用于修建一条公路，两年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后的3年中，该特产既在本地销售，也在外地销售．在外地销售的投资收益为：每投入x 万元，可获利润（万元）． （1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？ （2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？ （3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？ 压轴体验：如图，抛物线bx ax y +=2 经过点A （—4，0）、B （—2，2），连接OB 、AB ， （1）求该抛物线的解析式. （2）求证：△OAB 是等腰直角三角形. （3）将△OAB 绕点O 按逆时针方向旋转135°，得到△OA′B′，写出A′B′的中点P 的坐标，试判断点P 是否在此抛物线上. . 资料答案 一、选择题。 B D C D D D D B C A 二、填空题。 11、(x+3)(x-3) 12、(1，-2) 13、0和-2 14 （0,4） 15、大于2 16、2.5cm 17、1 18、4.5 三、解答题 19、1 20、 化简：1/（x-2）平方 求值：0.5 四、21、解：（1）30度 （2） 22、（1）50 （2）10 （3）72 （4）160 五、解答题 23、（1）240人，5辆车。 （2）租6辆45座的车合算。 24、（1）AE=ED,BF=GF ，GF=ED,推出AE=BF. (2)2/3cm. 六、解答题 25．解： （1）设直线AB 的解析式为b kx y += 由题意，得???=+=086b k b ，解得????? = - =6 43b k ∴直线AB 的解析式为：64 3 +- =x y （2）由OA ＝6， OB ＝8得AB ＝10 ∴t AP =，t AQ 210-= 当AOB APQ ∠=∠时，APQ ?∽AOB ?10 2106t t -= ，解得1130 =t （秒）． 当AOB APQ ∠=∠时，AQP ?∽AOB ?6 21010t t -= ，解得1150 =t （秒）． ∴当1130=t 或13 50 =t 时，APQ ?与AOB ?相似 （3）过点O 作AO QE ⊥于点E ∵5 4 sin === ∠AB OB AQ QE BAO ∴t T BAO AQ QE 5 88)210(54sin -=-=∠= ∴5)25(54454)588(21212 2+---=+-=-=?=?t t t t t QE AP S APQ ∴当2 5 =t 时，△APQ 的面积最大，最大面积是5个平方单位 26．提示： （1）A （6．0），B （0，－6），∴C （3．3） 设3)3(2 +-=x a y ，将A （6，0）得：3 1-=a ∴x x x y 23 13)3(3 12 2 +- =+--= （2）由A （6，0），B （0，－6）得OA ＝OB ＝6 ∵OD OA OB ?=2 ． ∴OB OA OD ===6 ∴?=∠90ABD ，∴DB 是⊙C 的切线 （3）设存在点P （x ，y ）连结OC ∵AC ＝BC ．OA ＝OB ．∴AB OC ⊥，∴?=∠90ACO 要使以P 、O 、C 、A 为顶点的四边形为直角梯形，?=∠90CAP 或?=∠90COP 若?=∠90CAP 则OC ∥AP ∵OC 的解析式为：x y = 设AP 的解析式为：b x y +=，把A （6，0）代入．得6-=b ，∴6-=x y 解方程组?? ? ??+-=-=x x y x y 2316 2得???==0611y x （舍去），???-=-=9322y x ，∴)9,3(1--P 若?=∠90COP 则AC ∥OP ，同理可求：)9,9(2-P ∴存在点)9,3(1--P ，)9,9(2-P 满足题意。 两点之间线段最短关系密切．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法． 类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 如图所示，AB 是一条河流，要铺设管道将河水引到C ，D 两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为E ，F ，沿CE ，DF 铺设管道；方案二：连接CD 交AB 于点P ，沿PC 、PD 铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？ 【思路点拨】 方案一管道长为CE ＋DF ，方案二管道长为PC ＋PD ，利用垂线段最短即可比较出大小． 本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点． 1．如下左图，点A 的坐标为(－1，0)，点B(a ，a)，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(22，－22) C ．(－22，－22) D ．(－12，－12 ) 2．在直角坐标系中，点P 落在直线x －2y ＋6＝0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.352 B ．3 5 C.655 D.10 3．如上中图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y ＝kx －3k ＋4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为________． 4．如上右图，平原上有A ，B ，C ，D 四个村庄，为解决缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； (2)计划把河水引入蓄水池H 中，怎样开渠最短并说明根据． 类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题 (1)如图1，直线同侧有两点A ，B ，在直线MN 上求一点C ，使它到A 、B 之和最小；(保留作图痕迹不写作法) (2)知识拓展：如图2，点P 在∠AOB 内部，试在OA 、OB 上分别找出两点E 、F ，使△PEF 周长最短；(保留作图痕迹不写作法) (3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE 中，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小；(保留作图痕迹不写作法) 中考数学中的“新定义” 近年来的中考试题中，“新定义”的题目频频出现．此类题目的解决，可以很好地体现学生的临场发挥能力和知识的迁移能力．现结合具体题目加以分析． 一、定义新符号 例l (2014·新疆维吾尔自治区)规定用符号[ ]表示一个实数的整数部分，例如[3．69]=3， ]=l ，按此规定1]= 分析及解答本题涉及到无理数的估算，∵9<13<16，∴3<<4，∴1<3， ∴1]=2．故应填2． 二、定义新数 例2 (2010·杭州市)定义[,,a b c ]为函数2y ax bx c =++的特征数．下面给出特征数为 [2m ，1一m ，一1一m ]的函数的一些结论： ①当m = 一3时，函数图象的顶点坐标是(18,33 )； ②当m >0时，函数图象截x 轴所得线段的长度大于 32； ③当m <0时，函数在x > 14 时，y 随x 的增大而减小； ④当m ≠O 时，函数图象经过同一个点．其中正确的结论是 ( )． A ．①②③④ B ．①②④ C ．①③④ D ．②④ 分析及解答不妨把m = 一3代入知道，a = 一6，b =4，C =2， 22186426()33y x x x =-++=--+ ，所以函数图象的顶点坐标是(18,33 )．①正确排除选项D ；由于当m <0时，对称轴124b m x a m -=-=-大于14 ，所以③错误，排除A 、C ．综上可知，故选B ． 三、定义新图形 (1)定义新点 例3 (2014·北京市)在平面直角坐标系xOy 中，对于点P (,)x y ，我们把点P (1,1)y x -++叫做点P 的伴随点．已知点1A 的伴随点为2A ，点2A 的伴随点为3A ，点3A 的伴随点为4A ，… 中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练 1．某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（） A．7队B．6队C．5队D．4队 考点二：特例法 运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好. 专题讲座(数学思想方法与初中数学教学) 数学活动的机会，帮助学生在自主探索和合作交流的过程中，真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。学生只有领会了数学思想方法，才能有效地应用知识，形成能力，从而为解决数学问题、进行数学思维起到很好的促进作用。因此，在初中数学教学中，教师必须重视对学生进行数学思想方法的渗透与培养。 二、几种常见的数学思想方法在初中数学教学中的应用 （一）渗透转化思想，提高学生分析解决问题的能力 所谓“转化思想”是指把待解决或未解决的问题，通过转化，归结到已经解决或比较容易解决的问题中去，最终使问题得到解决的一种思想方法。转化思想是初中数学中常见的一种数学思想，它的应用十分广泛，我们在数学学习过程中，常常把复杂的问题转化为简单的问题，把生疏的问题转化为熟悉的问题。数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，转化是化繁为简，化难为 易，化未知为已知的有力手段，是解决问题的一种最基本的思想，对提高学生分析解决问题的能力有积极的促进作用。 我们对转化思想并不陌生，中学数学中常用的化高次为低次、化多元为一元，都是转化思想的体现。在具体内容上，有加减法的转化、乘除法的转化、乘方与开方的转化、数形转化等等。例如：初中数学“有理数的减法”和“有理数的除法”这两节教学内容中，教材是通过“议一议”的形式，使学生在自主探究和合作交流的过程中，经历把有理数的减法转化为加法、把有理数的除法转化为乘法的过程，“减去一个数等于加上这个数的相反数”，“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，这个地方虽然很简单，但却充分体现了把“没有学过的知识”转化为“已经学过的知识”来加以解决，学生一旦掌握了这种解决问题的策略，今后无论遇到多么难、多么复杂的问题，都会自然而然地想到把“不会的”转化为“会的”、“已经掌握的”知识来加以解决，这符合学生原有认知规律，作为教师，我们不能因为简单而忽视它的教学，实践告诉我们，往往是越简单、越浅显的例子，越能引起学生的认同， 最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总 近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题． 最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）. 我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。 数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。 （1）去伪存真。刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。 （2）科学选择。捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。 （3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。 （4）怎么求值？几何变换成了“两折线”或“三折线”后，根据“两点之间线段最 课件园https://www.doczj.com/doc/3a17227129.html, - 1 - 2014年中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2012年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2012?白银）方程的解是（ ） A ．x=±1 B ． x =1 C ． x =﹣1 D ． x =0 思路分析： 观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x 2﹣1=0， 即（x+1）（x ﹣1）=0， 解得：x 1=﹣1，x 2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B ． 点评： 此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 对应训练 1．（2012?南宁）某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（ ） A ．7队 B ．6队 C ．5队 D ．4队 考点二：特例法 运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特例法解选择题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好. 例2 （2012?常州）已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且 a c b d ，给出下列四个不等式： 2019年中考数学最值问题专题卷（含答案） 一、单选题 1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，M是BC的中点，P是A'B' 的中点，连接PM．若BC=2，∠BAC=30°，则线段PM的最大值是（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 2.如图，点A（a，3），B（b，1）都在双曲线y= 上，点C，D，分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为（） A. B. C. D. 3.如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE最小，则这个最小值为（） A. B. 2 C. 2 D. 二、填空题 4.如图，四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为________ ． 5.如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为________． 6.如图，正方形ABCD的边长为1，中心为点O，有一边长大小不定的正六边形EFGHIJ绕点O可任意旋转，在旋转过程中，这个正六边形始终在正方形ABCD内（包括正方形的边），当这个正六边形的边长最大时，AE的最小值为________． 7.如图，AB是⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°．若点M，N分别是AB，BC的中点，则MN长的最大值是________ 三、综合题 8.如图，将边长为6的正三角形纸片ABC按如下顺序进行两次折叠，展平后，得折痕AD，BE（如图①），点O为其交点． （1）探求AO到OD的数量关系，并说明理由； （2）如图②，若P，N分别为BE，BC上的动点． （Ⅰ）当PN+PD的长度取得最小值时，求BP的长度； （Ⅱ）如图③，若点Q在线段BO上，BQ=1，则QN+NP+PD的最小值= ． 【典例1】如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC 边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连结B′D，则B′D的最小值是（）． B.6 C. D.4 A． 【解析】∵AE＝BE，BE＝B′E，由圆的定义可知，A、B、B′在以点E为圆心， AB长为直径的圆上，如图所示. B′D的长最小值= DE =. 22故选A． 【启示】此题属于动点（B′）到一定点（E）的距离为定值（“定点定长”），联想到以E为圆心，EB′为半径的定圆，当点D到圆上的最小距离为点D到圆心的距离－圆的半径.当然此题也可借助三角形三边关系解决，如B D DE B E '' ≤-，当且仅当点E、B′、D三点共线时，等号成立. 【典例2】如图，E、F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连结BE交AG于点H，若正方形的边长是2，则线段DH长度的最小值是 . 【思路探究】根据正方形的轴对称性易得∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆上.取AB中点O，当D、H、O三点共线时，DH的值最小，此时DH＝OD－OH，问 题得解. 【解析】由△ABE≌△DCF，得∠ABE＝∠DCF，根据正方形的轴对称性，可得∠DCF＝∠DAG，∠ABE＝∠DAG，所以∠AHB＝90°，故点H在以AB为直径的圆弧上.取AB中点O，OD交⊙O于点H，此时DH最小，∵OH＝1 AB=，OD＝，∴DH的最 1 2 小值为OD－OH 1. 【启示】此题属于动点是斜边为定值的直角三角形的直角顶点，联想到直径所对圆周角为直角（定弦定角），故点H在以AB为直径的圆上，点D在圆外，DH的最小值为DO－OH.当然此题也可利用DH OD OH ≤-的基本模型解决. 【针对训练】 1. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1，点A，C分别在x轴，y轴上，当点A在x轴正半轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为（）. B．1．3 A 2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是矩形内部的一个动点，且AE⊥BE，则线段CE的最小值为（）. B. C. D.4 A．3 3. 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的运点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是（）. 几何最值 一、选择题 1．（2020·泰安）如图，点A ，B 的坐标分别为A （2，0），B （0，2），点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，点M 为线段AC 的中点，连接OM ，则OM 的最大值为（ ） A ． 2 ＋1 B ． 2 ＋1 2 C ．2 2 ＋1 D ．2 2 —1 2 {答案} B {解析}本题考查了圆的概念、勾股定理、三角形中位线的性质以及动点运动最值问题，因为点C 为坐标平面内一点，BC ﹦1，所以点C 在以点B 为圆心、1长为半径的圆上，在x 轴上取OA ′=OA=2，当A ′、B 、C 三点共线时，A ′C 最大，则A ′C=2 2 ＋1，所以OM 的最大值为 2 ＋1 2 ，因此本题选B ． 2．（2020·无锡）如图，等边△ABC 的边长为3，点D 在边AC 上，AD ＝12，线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1 2， 有下列结论： ①CP 与QD 可能相等； ②△AQD 与△BCP 可能相似； ③四边形PCDQ 面积的最大值为31316； ④四边形PCDQ 周长的最小值为3＋37 2. 其中，正确结论的序号为（ ） A ．①④ B ．②④ C ．①③ D ．②③ {答案} D {解析}设AQ ＝x ，则BP ＝5 2 —x ①如图1，当点P 与B 重合时，此时QD 为最大，过点Q 作QE ⊥AC ，∵AQ ＝52，∴AE ＝54，QE ＝53 4，∴DE ＝ 34，∴此时QD ＝212，即0≤QD ≤212；而33 2≤CP ≤3，两个范围没有交集，即不可能相等；①错误 ②若△AQD ∽△BCP ，则AD BP ＝AQ BC ，代入得2x 2—5x +3＝0，解得x 1＝1，x 2＝3 2，∴都存在，∴②正确； ③如图2，过点D 作DE ⊥AB ，过点P 作PF ⊥BC ，S 四边形PCDQ =S △ABC —S △AQD —S △BPC ＝ 34×32－12?x ?34－1 2 ×3 × D Q P C B A 专题最值问题—— 1（几何模型） 一、归于几何模型，这类模型又分为以下情况： 1. 归于“两点之间的连线中，线段最短”。 凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。 2.归于“三角形两边之差小于第三边”。 凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。 3.利用轴对称知识（结合平移）。 4. 应用“点到直线的距离，垂线段最短。”性质。 5. 定圆中的所有弦中，直径最长；以及直线与圆相切的临界位置等等。 二、基础知识模型 （一）“将军饮马”问题 1.如图1,将军骑马从A出发，先到河边a喝水，再回驻地B，问将军怎样走路程最短？ 2.如图,一位将军骑马从驻地M出发，先牵马去草地OA吃草，再牵马去河边OB喝水，最后回到驻地M，问：这位将军怎样走路程最短? 图1 图2 3. 如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵马，先到草地一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。 （二）“造桥选址”问题（选自人教版七年级下册） 1. 如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河两岸1l、l2平行,桥MN 与河岸垂直） 练习: 1. 如图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点， 连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 1题图2题图 2.已知点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点， 若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为__________. 3.如图3，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,请在x轴上找到一点P，使PA+PB最小，并求出此时P点的坐标和PA+PB的最小值。 中考压轴题突破：几何最值问题大全（将军饮马、造桥选址、胡 不归、阿波罗尼斯圆等） 一、基本图形 所有问题的老祖宗只有两个：①[定点到定点]：两点之间，线段最短；②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。 由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。 余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。 已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。 证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别最小、最大值。(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。 上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。 二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。 （一）直接包含基本图形 例1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。 简析：由∠B=30°知弧AD一定，所以D是定点，C是直线AC上的动点，即为求定点D到定线AC的最短路径，求得当CD⊥AC时最短为3。 （二）动点路径待确定 例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。 简析：A是定点，B'是动点，但题中未明确告知B'点的运动路径，所以需先确定B'点运动路径是什么图形，一般有直线与圆两类。此题中B'的路径是以C为圆心，BC为半径的圆弧，从而转化为定点到定圆的最短路径为AC-B'C=1。 例3.在△ABC中，AB=AC=5，cos∠ABC=3/5，将△ABC绕点C顺时针旋转，得到△A'B'C，点E是BC上的中点，点F为线段AB上 2020中考数学复习微专题：最值（“胡不归”问题） 突破与提升策略 【故事介绍】 从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”） 而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？ 【模型建立】 如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1 即求BC +kAC 的最小值． 【问题解决】 构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，CH /AC =k ，CH =kAC ． 将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小． 【模型总结】 在求形如“P A +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“P A +kPB ”型问题转化为“P A +PC ”型． 而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段． M M 1.如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一 个动点，则CD + 的最小值是_______． 【分析】本题关键在于处理 ”，考虑tan A =2，△ABE 三边之比为1:2 sin ∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则DH =． 问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此 时 CD DH CH BE +===． 【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下： 则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在． A B C D E H E D C B A A B C D E H E D C B 中考数学几何模型11：阿氏圆最值模型 名师点睛拨开云雾开门见山在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P点轨迹是直线，而当P点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题． 【模型来源】 “阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”. B P O 【模型建立】 如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=2 5 OB， 连接PA、PB，则当“PA+2 5 PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？ 解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=2 5 R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有 2 5 PB=PC。 故本题求“PA+2 5 PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、 P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。 【技巧总结】 计算PA k PB +g的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形 问题：在圆上找一点P使得PA k PB +g的值最小，解决步骤具体如下： 1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB 2. 计算出这两条线段的长度比 OP k OB = 3. 在OB 上取一点C ，使得OC k OP =，即构造△POM ∽△BOP ，则PC k PB =，PC k PB =g 4. 则=PA k PB PA PC AC ++≥g ，当A 、P 、C 三点共线时可得最小值 典题探究 启迪思维 探究重点 例题1. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12 PA PB +的最小值为__________． E A B C D P 【分析】这个问题最大的难点在于转化12 PA ，此处P 点轨迹是圆，注意到圆C 半径为2，CA=4， 抛物线与几何问题 【知识纵横】 抛物线的解析式有下列三种形式：1、一般式：2y ax bx c =++(a ≠0)；2、顶点式：y =a(x —h) 2-＋k ；3、交点式：y=a(x —x 1)(x —x 2 ) ，这里x 1、x 2 是方程ax 2 +bx+c=0 的两个实根。 解函数与几何的综合题，善于求点的坐标，进而求出函数解析式是解题的基础；而充分发挥形的因素，数形互动，把证明与计算相结合是解题的关键。 【典型例题】 【例1】 (浙江杭州) 在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）。平移二 次函数2 tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B ，C 两点（∣OB∣<∣OC∣），连结A ，B 。 （1）是否存在这样的抛物线F ， OC OB OA ?=2 ？请你作出判断，并说明理由； （2）如果AQ∥BC，且tan∠ABO=2 3 ，求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【思路点拨】（1）由关系式OC OB OA ?=2 来构建关于t 、b 的方程；(2)讨论 t 的取值范围，来求抛物线F 对应的二次函数的解析式。 【例2】(江苏常州)如图,抛物线2 4y x x =+与x 轴分别相交于点B 、O,它的顶点为A,连接AB,把AB 所的直线沿y 轴向上平移,使它经过原点O,得到直线l,设P 是直线l 上一动点. （1）求点A 的坐标; （2）以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形中,有菱形、等 腰梯形、直角梯形,请分别直接写出这些特殊四边形的顶点P 的坐标; （3）设以点A 、B 、O 、P 为顶点的四边形的面积为S, 点P 的横坐标为x,当462682S +≤≤+时,求x 的取值范围. 【思路点拨】（3）可求得直线l 的函数关系式是y=-2x ，所以应讨论①当点P 在第二象限时，x<0、 ②当点P 在第四象限是，x>0这二种情况。 【例3】（浙江丽水）如图，在平面直角坐标系中，已知点A 坐标为（2，4），直线2=x 与x 轴相交于点B ，连结OA ，抛物线2 x y =从点O 沿OA 方向平移，与直线2=x 交于点 P ，顶点M 到A 点时停止移动． （1）求线段OA 所在直线的函数解析式； （2）设抛物线顶点M 的横坐标为m , ①用m 的代数式表示点P 的坐标； ②当m 为何值时，线段PB 最短； （3）当线段PB 最短时，相应的抛物线上是否存在点Q ，使△QMA 的面积与△PMA 的面积相等，若存在，请求出点Q 的 坐标；若不存在，请说明理由． 【思路点拨】（2）构建关于PB 的二次函数，求此函数的最小值；（3）分当点Q 落在直线OA 的下方时、当点Q 落在直线OA 的上方时讨论。 【例4】（广东省深圳市）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数 )0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝3 1 ． （1）求这个二次函数的表达式． （2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ， 使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在， y B O A P M x 2x = 专题讲座——初中数学复习策略 近几中考试题都体现了“立足基础、考查能力、加强应用”的中考指导思想，大致有以下特点：一是知识考查基础化；二是题材选择生活化；三是能力要求层次化；四是思维模式开放化；五是试卷结构格式化。这就要求我们必须扎实有序的开展复习工作，提高数学总复习的质量和效益。下面就初三数学总复习的有关问题谈一点个人的看法和体会： 第一轮复习全面复习基础知识，加强基本技能训练。 这个阶段的复习目的是让学生全面掌握初中数学基础知识，提高基本技能，掌握基本方法，做到全面、扎实、系统，形成知识网络，是总复习的重点。 在这一阶段复习中要充分体现“习、练、透”。 １．习，即温习。在每单元的复习之前，让学生事先依据要求进行温习，例如：要求他们根据考试大纲，温习所学过的知识，整理复习提纲，编写复习资料，各自编写单元或综合试题，互相考查，互相研究解题答卷的技巧，互评试卷的优劣性等等。同时，运用“讲演法”，让学生对现阶段复习进行回顾、思考及提高，以便指导下阶段的复习。所谓的“讲演法”不只是用语言表述，更主要是对复习的总结。 ２．练，就是在复习的基础上，通过教师的归纳总结、讲解，在每一个单元设计一些针对性强，有典型性和代表性的练习，进行数学思维的训练，形成严格又精确的思维习惯。运用数字化的处理方 式，进行建模训练，学会用数学知识方法解决实际问题；培养学生学会抓住事物表象之下的数量关系，提出带普遍意义的数学问题，达到强化、巩固复习效果。 ３．透，就是注重知识的内在联系，培养思维的深刻性，并贯穿复习的始终。在全面复习的基础上对各知识点之间的联系区别进行归纳总结。引导学生将繁杂的知识简约化，零散的知识系统化，交叉的知识立体化，横纵的知识网络化。这样才能循序渐进，逐步提高。学生按这个层次结构，挖掘知识的内涵和外延，能有效地提高学生复习质量和效 第二轮复习：综合运用知识，加强能力培养。 这个阶段的复习目的是构建初中数学知识结构，从整体上把握数学内容，侧重提高学生分析能力、解决问题的能力，是第一轮复习的延伸和提高。这一轮采取专题讲座、综合训练等形式。 分类复习，一一击破 分类复习的依据为内容分类和题型分类两种形式。根据不同要求，对相关内容分门别类的进行综合比较讲解等。下面谈谈题型分类复习中应注意的几点问题。 １．注重数学思想方法的概括，提高思维的灵活性。在复习课中，特别是在解题教学中，很多内容含有丰富的数学思想和方法，教师有意识地加以概括，对培养学生的思维能力会起到重要的作用。例如在分析一道综合题推理运算论证时，有意识展示数学思想方法的优越性，在哪里体现了数形结合，使问题得到转化，哪里体现方 关于圆的最值问题练习以及解答 1．如图，⊙O 的直径为4，C 为⊙O 上一个定点，∠ABC=30°，动点P 从A 点出发沿半圆弧AB 向B 点运动（点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点． （1）在点P 的运动过程中，线段CD 长度的取值范围为 ； （2）在点P 的运动过程中，线段AD 长度的最大值为 . 解答： (1)是AB ⊙O 的直径, 90 ACB 60309090 ABC A P A , 都是弧BC 所对的圆周角 60 A P 在Rt 中，PCD CD=CP 3 42 CP 3432 CP (2) 中，PCD 30,90CPD PCD 点D 在已CB 为弦的圆⊙O ′（红弧线上）运动 当A,O ′,D 三点共线时AD 最长 连接CO ′,BO ′ CO ′B 是等边三角形 在直角ABC 中， 90 ACB AB=4, ∠ABC=30° 3230 ? COS AB BC BO ′=DO ′=BC=32 D O C B A ∠ABC=30°,∠CBO ′=60° ∠ABO ′=90°′ 72)32(42222 BO AB AO A,O ′,D 三点共线时AD 最长 AD 最长为3272 2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD 的中点，在D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是 . 解答：作AB 的中点E ，连接CE,EM,AD 在直角ABC 中， 90 ACB AC=4,BC=3 522 BC AC AB E 是AB 的中点 5.221 AB CE M 是DB 的中点 EM 是ADM 的中位线 12 1 AD EM EM CE CM CEM EM -CE 中， 在点D 运动过程中，点A,D,B 三点共线时，CM 取得最小或最大值 EM CE CM EM -CE 15.215.2 CM J 即5.35.1 CM A M D 2020年中考数学总复习满分方法技巧解读专题讲座（共十三个专题） 2020年中考数学专题讲座一：选择题解题方法 一、中考专题诠释 选择题是各地中考必考题型之一，2019年各地命题设置上，选择题的数目稳定在8～14题，这说明选择题有它不可替代的重要性. 选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养. 二、解题策略与解法精讲 选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做. 解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效. 三、中考典例剖析 考点一：直接法 从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础. 例1 （2019?白银）方程的解是（） A．x=±1 B．x=1 C．x=﹣1 D．x=0 思路分析：观察可得最简公分母是（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 解：方程的两边同乘（x+1），得 x2﹣1=0， 即（x+1）（x﹣1）=0， 解得：x1=﹣1，x2=1． 检验：把x=﹣1代入（x+1）=0，即x=﹣1不是原分式方程的解； 把x=1代入（x+1）=2≠0，即x=1是原分式方程的解． 则原方程的解为：x=1． 故选B． 点评：此题考查了分式方程的求解方法．此题难度不大，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根． 2009中考数学专题讲座解选择题的策略 概述： 1．选择题在中考中占的比例较大，题比较基础，做题时要细心认真，?失分很不合算，因为它只要一个答案，并不看你的解答过程，若在某个细节上出问题，全题就一分不得． 2．解选择题的方法大致有以下几种：综合法、分析法、验算法、?排除法（筛选法）等．典型例题精析 例1．在下列计算中，正确的是（） （A）（ab2）3=ab6（B）（3xy）3=9x3y3 （C）（-2a2）2=-4a4（D）（-2）-2=1 4 解：宜用排除法．（A）中，没有3次方，（B）中32≠9，（C）中（-2）2≠4． ∴应选D． 例2．二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则△ABC的面积为（） （A）6 （B）4 （C）3 （D）1 解：宜用综合法，令x2-4x+3=0，得x1=1，x2=3， ∴│AB│=│3-1│=2，令x=0得y=3．? ∴C（0，3），即△CAB中，AB边上的高为3， ∴S△ABC=1 2 ×2×3=3 故选（C）． 例3．若m 方法技巧专题九 最值法解析 探究平面内最短路径的原理主要有以下两种：一是“垂线段最短”，二是“两点之间，线段最短”．立体图形上的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题．求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段． 一、立体图形最值问题： 【例题】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是 25 尺． 【分析】这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出． 【解答】解：如图，一条直角边（即枯木的高）长20尺， 另一条直角边长5×3=15（尺）， 因此葛藤长为=25（尺）． 故答案为：25． 【点评】本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解． 【同步训练】 如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 25 ． 考点：平面展开-最短路径问题． 分析：先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 解答：解：如图所示， ∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x， 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得：x=25． 故答案为25． 点评：本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 二、三角形内最值问题： 【例题】（2016·广西百色·3分）如图，正△ABC的边长为2，过点B的直线l⊥AB，且△ABC与△A′BC′关于直线l对称，D为线段BC′上一动点，则AD+CD的最小值是（ ）中考数学专题复习最值问题
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