函数的奇偶性
一、函数奇偶性的定义
设函数y=f（x），x属于D，对任意的x属于D都有f（-x）=f（x）则f（x）为偶函数；若对任意的x属于D，都有f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数
（1）奇偶函数的必要条件：定义域关于原点对称；
（2）函数为奇函数且在x=0处有定义，则f（0）=0
（3）偶函数的图像对称关系:奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称
二．判断函数奇偶性的一般方法
（1）先判断定义域是否关于原点对称
（2）若定义域关于原点对称
1.定义判断f（-x）=f（x）则f（x）为偶函数；f（-x）=-f（x），则f（x）是奇函数。
2.等价形式判断：f（-x）-f（x）=0，则f（x）为偶函数；f（-x）+f（x）=0 则f（x）
是奇函数。或者
()
1
()
f x
f x
=±
-，等于1 时f（x）为偶函数，等于-1时 f（x）为奇函数
三．函数奇偶性的应用
（1）.应用方面：1.利用奇偶性求有关函数值；
2.利用奇偶性求有关函数的奇偶性；
3.利用奇偶性研究函数的其他性质
（2）常用结论：1.函数奇偶性满足下列性质：奇+/-奇=奇；偶+/-偶=偶；奇乘以奇=偶；
偶乘以偶=偶；奇乘以偶=奇
2.奇函数在对称区间单调性相同，偶函数则相反。
（3）任意一个定义域关于原点对称的函数f（x）均可以写成一个奇函数g（x）与一个偶
函数h（x）和的形式，则g（x）= [f（x）-f（-x）]/2， h（x）=[f（x）+f（-x）]/2
四．常见题型
题型一：判断函数的奇偶性
（1）f(x)=
2
21
1x
x-
?
-; (2)f(x)=log
2(x+
1
2+
x) (x∈R).
题型二：函数的奇偶性的应用
已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，f(x)=-xlg(2-x),求f(x)的解析式.
函数奇偶性练习题
一、 单选题
1. 函数f (x) = x 4-x 2在区间[a ，b](a≠-b)上（ ）
A ．是偶函数但不是奇函数
B ．是奇函数但不是偶函数
C ．既不是奇函数又不是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
2. 若f (x) = (m-1)x 2+2mx+3(x ∈R)为偶函数，那么在(0，+ ∞)内f(x)是（ ）
A ．增函数
B ．部分是增函数，部分是减函数
C ．减函数
D ．不能确定增减性
3. 函数f(x)是周期为4的偶函数，且当x ∈[2，4]时，f(x)=4-x ，则f(-7.4)等于( )
A ．11.4
B ．0.4
C ．0.6
D ．-3.4
4. 设函数f （x ）是定义在R 上且以3为周期的奇函数，若f （2）=1，f （1）=a ，则( )
A. a =2
B. a =－2
C. a =1
D. a =－1
5. 设函数)(x f 是奇函数，当),0(+∞∈x 时，1)(-=x x f ，则使不等式x x f 的0)(>的取值范围是（ ）
A ．1>x
B ．001><<-x x 或
C ．x<-1或0 D ．101><<-x x 或 6. 定义在R 上的函数f （x ）不是常数函数，且满足f （x －1）＝f （x ＋1）， f （x ＋1）＝f （1－ x ），则f （x ）（ ） A ．是奇函数也是周期函数 B ．是偶函数也是周函数 C ．是奇函数但不是周期函数 D ．是偶函数但不是周期函数 7. 已知偶函数f (x )在区间[0,+∞)单调递增，则满足)3 1()12(f x f <-的x 取值范围是（ ） )32,31.(A )32,31.[B )32,21.(C )3 2,21.[D 8. 函数①y=2（x-1）2-1 ②y=x 2-3|x|+4 ③y=x ④y=x x 中即非奇函数也非 偶函数的是（ ） A 、①②③ B 、①③④ C 、①③ D 、① 9. 下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②奇函数的图象一定通过 原点；③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数、又是偶函数的函数一定是).(0)(R x x f ∈=其 中正确的命题的个数是 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 10. )(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且0)2(=f 在区间（0，6）内解 的个数的最小值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 11. 给出下列函数：①3x x y -=，②x x x y cos sin +?=，③ x x y cos sin ?=，④x x y -+=2 2，其中是偶函数的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 二、 填空题 1. 已知f(x)为偶函数，当x ＜0时，f(x)=2x-3，那么当x ＞0时， f(x)=_______． 2. 函数f(x)是偶函数，且在(-∞，0)上表达式是f(x)=x 2+2x+5，则在(0，＋∞)上表达式为_______． 3. 偶函数f(x)在区间[2，4]上是减函数，则f (-3)_____f (3.5)． 4. 若函数f(x)=x 3+bx 2+cx 是奇函数，函数g(x)=x 2+(c －2) x+5是偶函数，则b=______，c=_______． 5. 已知f(x)=x 5+ax 3+bx －8，且f(－2)=10，那么f(2)=________． 6. 若1()21 x f x a =+-是奇函数，则a = ． 三． 解答题 1. 已知y =f (x )是定义域为[-6，6]的奇函数，且当x ∈[0，3]时是一次函数，当x ∈[3，6]时是二次函数，又f (6)=2，当x ∈[3，6]时，f (x )≤f (5)=3。求f (x )的解析式。 2. 是否存在实数a .使函数2()2f x x ax a =-+的定义域为[1,1]-.值域为[2,2]-. 若存在.求a 的值;若不存在.说明理由 3. 设a ＞0,f(x)= x x a a e e +是R 上的偶函数.（1）求a 的值；（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数
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