2015-2016学年吉林省松原市油田高中高二（下）开学数学试卷
（文科）
一、选择题：（本大题共12小题，每题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（）
A．a2＜ab＜b2B．b2＜ab＜a2C．a2＜b2＜ab D．ab＜b2＜a2
2．设P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于
（）
A．22 B．21 C．20 D．13
3．下列说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．若命题p：?x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题?p：?x∈R，x2﹣2x﹣1＜0
C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
4．已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）
A．B．
C．D．
5．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3和a4成等比数列，则a1可以等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
6．已知命题p：?x∈R，cosx=2；命题q：?x∈R，x2﹣x+1＞0，则下列结论中正确的是（）
A．p∨q是假命题B．p∧q是真命题
C．（￢p）∧（￢q）是真命题D．（￢p）∨（￢q）是真命题
7．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间上最大值与最小值分别是（）
A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16
8．=（）
A．B．C．D．
9．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A．2 B．C．3 D．1
10．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于
A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）
A．B．
C．D．
11．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，1）
12．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若
＜0，则y0的取值范围是（）
A．B．C．
D．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．曲线以点（1，﹣）为切点的切线的倾斜角为______．
14．若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是______．
15．在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=______．
16．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为______．
三、解答题：（本大题共4小题，共36分，其中17、18题各8分，19、20题各10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．
18．等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．
19．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）是否存在a，使f（x）在（﹣2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直
线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．
2015-2016学年吉林省松原市油田高中高二（下）开学数
学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设a＜b＜0，下列不等式一定成立的是（）
A．a2＜ab＜b2B．b2＜ab＜a2C．a2＜b2＜ab D．ab＜b2＜a2
【考点】不等式的基本性质．
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴a2＞ab，ab＞b2，
即a2＞ab＞b2，
故选：B．
2．设P是椭圆上一点，F1、F2是椭圆的焦点，若|PF1|等于4，则|PF2|等于
（）
A．22 B．21 C．20 D．13
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】由已知条件，利用|PF1|+|PF2|=2a，能求出结果．
【解答】解：∵P是椭圆上一点，
F1、F2是椭圆的焦点，|PF1|等于4，
∴|PF2|=2﹣|PF1|=26﹣4=22．
故选A．
3．下列说法正确的是（）
A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”
B．若命题p：?x∈R，x2﹣2x﹣1＞0，则命题?p：?x∈R，x2﹣2x﹣1＜0
C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题
D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
【考点】四种命题．
【分析】A，写出它的否命题，即可判定真假；
B，写出命题p的否定￢p；
C，判定原命题的真假性，即可得出它的逆否命题的真假性；
D，由“x=﹣1”得出“x2﹣5x﹣6=0”成立，判定命题是否正确．
【解答】解：对于A，否命题是“若x2≠1，则x≠1”，∴A错误；
对于B，命题p的否定￢p：?x∈R，x2﹣2x﹣1≤0，∴B错误；
对于C，命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，∴它的逆否命题是真命题，∴C正确；
对于D，“x=﹣1”时，“x2﹣5x﹣6=0”，∴是充分条件，∴D错误；
故选：C．
4．已知双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（）
A．B．
C．D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据已知条件，利用双曲线的焦点坐标，设出双曲线的标准方程，再由双曲线的渐近线方程，求出双曲线的标准方程．
【解答】解：∵双曲线的中心为原点，F（3，0）是双曲线的﹣个焦点，
∴设双曲线方程为，a＞0，
∵是双曲线的一条渐近线，
∴=，解得a2=4，
∴双曲线方程为．
故选D．
5．已知等差数列{a n}的公差为2，若a1，a3和a4成等比数列，则a1可以等于（）A．﹣4 B．﹣6 C．﹣8 D．﹣10
【考点】等差数列的性质．
【分析】依题意，（a1+2d）2=a1?（a1+3d），可求得a1．
【解答】解：∵等差数列{a n}的公差d=2，a1，a3和a4成等比数列，
∴（a1+2d）2=a1?（a1+3d），
∴a1d+4d2=0，∴a1=﹣8，
故选：C．
6．已知命题p：?x∈R，cosx=2；命题q：?x∈R，x2﹣x+1＞0，则下列结论中正确的是（）
A．p∨q是假命题B．p∧q是真命题
C．（￢p）∧（￢q）是真命题D．（￢p）∨（￢q）是真命题
【考点】复合命题的真假．
【分析】利用余弦函数的性质说明命题p为真命题，利用配方法求得x2﹣x+1的范围，说明命题q为假命题，然后利用符合命题的真值表加以判断即可得到答案．
【解答】解：由x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，所以命题q：?x∈R，x2﹣x+1＞0，为真命题；
由cosx≤1，可知命题p：?x∈R，cosx=2是假命题．
故由以上可知：
￢p是真命题；q是真命题；pⅤq是真命题；命题“p∧q”是假命题；命题（￢p）∨（￢q）是真命题．
故选：D．
7．函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间上最大值与最小值分别是（）
A．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】对函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5求导，利用导数研究函数在区间上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间上最大值与最小值位置，求值即可
【解答】解：由题意y'=6x2﹣6x﹣12
令y'＞0，解得x＞2或x＜﹣1
故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）减，在（2，3）上增
又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4
故函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间上最大值与最小值分别是5，﹣15
故选A
8．=（）
A．B．C．D．
【考点】数列的求和．
【分析】根据分式的性质，有=（1﹣），=（﹣），…=（﹣）成立，则可得原式=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣），化简可得答案．
【解答】解：原式=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）==（1﹣）=；
故选A．
9．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）
A．2 B．C．3 D．1
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，由的几何意义，即可行域内的动点与定点M（0，1）连线的斜率求得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
的几何意义为可行域内的动点与定点M（0，1）连线的斜率，
联立，解得A（﹣1，﹣1），
∴的最大值为．
故选：A．
10．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）
A．B．
C．D．
【考点】椭圆的标准方程．
【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得
．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计
算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利
用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），
代入椭圆方程得，
相减得，
∴．
∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．
∴，
化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．
∴椭圆E的方程为．
故选D．
11．函数f（x）=x2﹣2lnx的单调减区间是（）
A．（0，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣1，1）
【考点】函数的单调性及单调区间．
【分析】求出函数的导数，令导数小于0，注意函数的定义域，解不等式即可得到单调减区间．
【解答】解：函数f（x）=x2﹣2lnx（x＞0）的导数为
f′（x）=2x﹣，
令f′（x）＜0，解得0＜x＜1．
即有单调减区间为（0，1）．
故选A．
12．已知M（x0，y0）是双曲线C：=1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若
＜0，则y0的取值范围是（）
A．B．C．
D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用向量的数量积公式，结合双曲线方程，即可确定y0的取值范围．
【解答】解：由题意，=（﹣x0，﹣y0）?（﹣﹣x0，﹣y0）=x02﹣3+y02=3y02﹣1＜0，
所以﹣＜y0＜．
故选：A．
二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）
13．曲线以点（1，﹣）为切点的切线的倾斜角为45°．
【考点】导数的几何意义．
【分析】根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，得到切线的斜率，从而求出切线的倾斜角．
【解答】解：y′=x2，当x=1时，y′=1，从而切线的倾斜角为45°，故答案为45°．
14．若正实数x，y满足2x+y+6=xy，则xy的最小值是18．
【考点】基本不等式．
【分析】首先左边是xy的形式右边是2x+y和常数的和的形式，考虑把右边也转化成xy的形式，使形式统一．可以猜想到应用基本不等式．转化后变成关于xy的方程，可把xy看成整体换元后求最小值．
【解答】解：由条件利用基本不等式可得，
令xy=t2，即t=＞0，可得．
即得到可解得．
又注意到t＞0，故解为，
所以xy≥18．
故答案应为18．
15．在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B=．
【考点】正弦定理．
【分析】由正弦定理可得sinB，再由三角形的边角关系，即可得到角B．
【解答】解：由正弦定理可得，
=，
即有sinB===，
由b＜a，则B＜A，
可得B=．
故答案为：．
16．已知抛物线y2=2px（p＞0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为x=﹣1．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】先假设A，B的坐标，根据A，B满足抛物线方程将其代入得到两个关系式，再将两个关系式相减根据直线的斜率和线段AB的中点的纵坐标的值可求出p的值，进而得到准线方程．
【解答】解：设A（x1，y1）、B（x2，y2），则有y12=2px1，y22=2px2，
两式相减得：（y1﹣y2）（y1+y2）=2p（x1﹣x2），
又因为直线的斜率为1，所以=1，
所以有y1+y2=2p，又线段AB的中点的纵坐标为2，
即y1+y2=4，所以p=2，
所以抛物线的准线方程为x=﹣=﹣1．
故答案为：x=﹣1．
三、解答题：（本大题共4小题，共36分，其中17、18题各8分，19、20题各10分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，．
（1）若△ABC的面积等于，求a，b；
（2）若sinB=2sinA，求△ABC的面积．
【考点】解三角形；三角形中的几何计算．
【分析】（1）由c及cosC的值，利用余弦定理列出关于a与b的关系式a2+b2﹣ab=4，再由已知三角形的面积及sinC的值，利用三角形的面积公式得出ab的值，与a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解即可求出a与b的值；
（2）利用正弦定理化简sinB=2sinA，得到b=2a，与（1）得出的a2+b2﹣ab=4联立组成方程组，求出方程组的解得到a与b的值，再由sinC的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（1）∵c=2，cosC=，
∴由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC得：a2+b2﹣ab=4，
又△ABC的面积等于，sinC=，
∴，
整理得：ab=4，
联立方程组，
解得a=2，b=2；
（2）由正弦定理，把sinB=2sinA化为b=2a，
联立方程组，
解得：，，
又sinC=，
则△ABC的面积．
18．等差数列{a n}中，a2=4，a4+a7=15．
（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）设b n=2+n，求b1+b2+b3+…+b10的值．
【考点】等差数列的性质．
【分析】（Ⅰ）建立方程组求出首项与公差，即可求数列{a n}的通项公式；
（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，利用分组求和求b1+b2+b3+…+b10的值．
【解答】解：（Ⅰ）设公差为d，则，
解得，
所以a n=3+（n﹣1）=n+2；
（Ⅱ）b n=2+n=2n+n，
所以b1+b2+b3+…+b10=（2+1）+（22+2）+…+
=（2+22+...+210）+（1+2+ (10)
=+=2101．
19．已知函数f（x）=e x﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）是否存在a，使f（x）在（﹣2，3）上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）先求出函数的导数，再讨论①若a≤0，②若a＞0的情况，从而求出单调区间；
（2）由f′（x）=e x﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．从而a≥e x在x∈（﹣2，3）上恒成立，从而f（x）在（﹣2，3）上为减函数，得a≥e3．故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．
【解答】解f′（x）=e x﹣a，
（1）若a≤0，则f′（x）=e x﹣a≥0，
即f（x）在R上递增，
若a＞0，e x﹣a≥0，∴e x≥a，x≥ln a．
因此f（x）的递增区间是hslx3y3h lna，+∞）．
（2）由f′（x）=e x﹣a≤0在（﹣2，3）上恒成立．
∴a≥e x在x∈（﹣2，3）上恒成立．
又∵﹣2＜x＜3，∴e﹣2＜e x＜e3，只需a≥e3．
当a=e3时f′（x）=e x﹣e3在x∈（﹣2，3）上，f′（x）＜0，
即f（x）在（﹣2，3）上为减函数，
∴a≥e3．
故存在实数a≥e3，使f（x）在（﹣2，3）上单调递减．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直
线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N，
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，可建立方程组，从而可求椭
圆C的方程；
（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，
从而可求|MN|，A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离，利用△AMN的面积为，可求k的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，
∴
∴b=
∴椭圆C的方程为；
（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0 设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，
∴|MN|==
∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为
∴△AMN的面积S=
∵△AMN的面积为，
∴
∴k=±1．
2016年10月8日