吉林省四平市公主岭市第一中学2020-2021学年高二下期期
末考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}1,2,3,4,5,6,7A =，{}
31,B y y x x N ==-∈，则A B 中元素的个数
为（ ） A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．()()24log 8log 2?=（ ） A ．2
B ．
32
C ．
23
D ．6
3．函数()
f x =
的定义域为（ ）.
A ．11,84
?? ???
B ．1,4??
+∞
???
C ．1
,4??+∞????
D ．10,4
?? ??
?
4．下列函数中，定义域是R 且为增函数的是（ ） A ．2019y x =
B ．2y
x C ．ln y x = D ．y x =
5．函数()113,1,1,13x x x f x x --?≥?
=???
?的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．设偶函数()f x 的定义域为[]5,5-，且()30f =，当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图所示，则不等式()0xf x <的解集是（ ）
A ．()(]3,03,5-
B ．()()3,00,3-
C ．[)()5,30,3--
D ．()0,3
7．设ln0.9a =，1
2
2
log 3
b =，0.014
c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．b a c << B ．a c b <<
C ．a b c <<
D ．b c a <<
8．若函数()()
lg 101x
f x ax =++是偶函数，则实数a 的值是（ ）
A ．
12
B ．1
C ．12
-
D ．－1
9．若偶函数()f x 在区间,0上为增函数，且()10f =，则满足
()()
0f x f x x
+->的实数x 的取值范围是（ ）
A ．()()1,00,1-?
B ．()()1,01,-?+∞
C ．()(),11,-∞-?+∞
D ．()
(),10,1-∞-
10．已知集合*4x M x N ?=∈??且*10x N ?∈??，集合40x N x Z ??=∈????
，则( ) A ．M
N
B ．N M ?
C ．20x M N x
Z ??
?=∈????
D ．*40x M N x
N ??
?=∈????
11．若函数()()2log 4f x ax =-在()5,2--上为减函数，则a 的取值范围为（ ） A ．()0,2 B ．(],2-∞- C ．[)2,0-
D ．(),0-∞
12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若(2)()f x f x +=-，(1)3f =，则
(2018)(2019)f f +的值为（ ）
A ．-3
B ．0
C ．3
D ．6
二、填空题
13．若幂函数1y x α-=的图象经过点（3，27），则实数α的值为______. 14．设集合{}7A x x a =>，{}
2B x x =≤，若A
B =R ，A B =?，则a =______.
15．若函数()22,2,1log ,2,x x f x x x -+
则()()()41f f f -=_____．
16．已知函数()26,0
6,0
x x f x x ?-≥=?-，则实数a 的取值范围为
______.
三、解答题
17．计算：（1）()
1
22
2
3
01812201814273--??????---+-+ ? ?
???????
（
2
）52
5
51
log 352log log log 1450
+-+. 18．已知集合1282x A x
??
=≤≤????
，(){}
22R B x m x m m =-≤≤+∈. （1）若a A ∈，求实数a 的取值范围； （2）若全集U =R ，U
A B ?，求实数m 的取值范围.
19．已知2()lg (1)2ax
f x a x
+=≠--是奇函数. （1）求a 的值； （2）若4()()14x
g x f x =+
+，求1122g g ????
+- ? ?????
的值 20．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()2
1f x x x =-++.
（1）求()f x 的解析式；
（2）作出函数()f x 的图象（不用列表）.
21．函数()()()log log 3a a f x x a x a =-+-，其中0a >.且1a ≠. （1）若()11f =，求a 的值；
（2）若2a =，求不等式()42
1
log 49log 3
f x <-的解集. 22．已知函数()2
2f x x ax =-.
（1）若函数()f x 在区间(),1-∞上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若函数()()[]()
12,5g x f x x =+∈-的最大值为13，求实数a 的最小值.
参考答案
1．A 【分析】
先求出{}1,2,5,8,=-B ，再求交集确定元素个数即可. 【详解】
解：因为{}1,2,5,8,=-B ，所以{}2,5A
B =，
故选：A. 【点睛】
考查集合的运算，基础题. 2．B 【分析】
化简原式为(
)()
23
22log 2log 2?，即得解. 【详解】
原式(
)()
23
22log 2log 2=?=13322
?=. 故选：B 【点睛】
本题主要考查对数的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 3．B 【分析】
求函数的定义域只要求使()
f x =有意义的x 取值范围即可.
【详解】 要使函数()
f x =
有意义，则需()2log 210x +>，解得1
4
x >
，所以函数(
)f x =
的定义域为1,4??+∞
???
. 故选：B 【点睛】
本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.
4．A 【分析】
对于选项A ，函数2019y x =满足题意，所以该选项正确；对于选项B ，函数2y
x 是有增
有减的函数，所以该选项错误；对于选项C ，函数ln y x =的定义域为(0,)+∞，所以该选项错误；对于选项D ，函数y x =是有增有减的函数，所以该选项错误. 【详解】
对于选项A ，函数2019y x =是定义域在R 上的增函数，所以该选项正确； 对于选项B ，函数2y
x 是定义域在R 上,有增有减的函数，所以该选项错误；
对于选项C ，函数ln y x =的定义域为(0,)+∞，所以该选项错误； 对于选项D ，函数y x =的定义域为R ,有增有减的函数，所以该选项错误. 故选：A 【点睛】
本题主要考查函数的定义域的求法，考查函数的单调性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 5．B 【分析】
利用指数函数的单调性即可得出选项. 【详解】
函数()113,1,
1,13x x x f x x --?≥?
=???
?
在区间(),1-∞上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增. 故选：B. 【点睛】
本题考查了指数函数的单调性、指数函数的图像，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 6．C 【解析】
当0x >时，不等式即：()0f x <，结合函数的图象可得：03x <<； 当0x <时，不等式即：()0f x >，结合函数的图象和偶函数的性质可得：
53x -≤<-；
据此可得，不等式的解集为： [)()5,30,3--? . 本题选择C 选项.
7．C 【分析】
首先判断哪些为正，哪些为负；正的中哪些大于1，哪些小于1即可得到答案. 【详解】
因为ln0.90a =<，1
12
221
0log log 132
b <=<=，0.0141
c =>，所以a b c <<. 故选：C. 【点睛】
本题考查对数式、指数式大小的比较，考查学生的基本计算能力，是一道容易题. 8．C 【分析】
根据偶函数的定义，结合对数的运算性质进行求解即可. 【详解】
∵()()
lg 101x
f x ax =++，∴()(
)lg 10
1x
f x ax --=+-，
据题意，函数()()
lg 101x
f x ax =++是偶函数，
得()()f x f x -=对任意x ∈R 成立，因此有()(
)l l g g 110
011x
x
x a a x -++-+=，
∴(
)()2lg 10
1lg 101x
x ax -=+-+对任意x ∈R 成立，
()()1012lg 101lg 1012lg 2lg101012x x
x
x
x ax ax ax ax x ---??+=+-+?=?= ?+???
=-，
∴()210a x +=对任意x ∈R 成立，∴12
a =-. 故选：C .
【点睛】
本题考查了已知函数的奇偶性求参数问题，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力. 9．D 【分析】
化简已知得()0xf x >，即()00x f x >??>?或()0
0x f x
，再利用函数的奇偶性和单调性解不等
式得解. 【详解】
∵()f x 为偶函数，
()()
0f x f x x
+->，
∴
()
20f x x
>，∴()0xf x >， ∴()00x f x >??>?或()00x f x
，
又()()110f f -==，
所以()
0(1)x f x f >??>?或()0(1)x f x f
因为函数()f x 在
,0上为增函数，在(0,)+∞上为减函数，
∴1x <-或01x <<. 故选：D 【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．D 【详解】
由题意可得：集合M 表示能被20整除的正整数， 而集合N 表示能被40整除的整数，
据此可得，集合N 与集合M 的公共元素为能被40整除的正整数，
即*40x M N x
N ??
?=∈????
，
本题选择D 选项. 11．B 【分析】
根据对数型复合函数的单调性法则“同增异减”求解即可. 【详解】
解：∵()()2log 4f x ax =-在()5,2--上为减函数，2log y x =为增函数， 所以4y ax =-在区间()5,2--单调递减，且0y >，
∴0,240,a a
∴2a ≤-，
∴(],2a ∈-∞-. 故选：B. 【点睛】
本题考查对数型复合函数单调性问题，是基础题. 12．A 【分析】
根据函数为奇函数，结合题中条件，求出函数()f x 的周期，即可求出结果. 【详解】
∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-.
又(2)()f x f x +=-，所以(2)()f x f x +=-，因此(4)(2)()f x f x f x +=-+=， ∴函数()f x 是周期为4的周期函数，
所以(45042)(45043)(2)(3)(2018)(2019)f f f f f f ?++?+=++=. 又(2)(0)0f f ==，(3)(1)(1)3f f f =-=-=-， 因此(2018)(2019)3f f +=-. 故选A. 【点睛】
本题主要考查函数奇偶性与周期性的应用，灵活运用函数奇偶性与周期性即可，属于常考题型.
13．4 【分析】
将点（3，27）代入解析式即可求解， 【详解】
由题意，得1327α-=，解得4α=， 故答案为：4. 【点睛】
本题考查了幂函数的定义，考查了基本运算能力，属于基础题. 14．27
【分析】
根据题意和集合的运算可求得答案. 【详解】
设集合{}
7A x x a =>，{}
2B x x =≤，若A
B =R ，A B =?，
由题可知72a =，则27
a =. 故答案为：2
7
.
【点睛】
本题考查集合的基本运算，属于基础题. 15．2 【分析】
根据原函数的解析式先计算()4f ，()1f ，然后再计算()()()41f f f -的值.
【详解】
因为()241log 43f =+=，()1121f =-+=， 所以()()()()4122f
f f f -==．
故答案为：2 【点睛】
本题考查分段函数求函数值问题，属于简单题，求解时注意自变量的取值范围. 16．(),1-∞ 【分析】
画出函数()f x 的图象，按0a ≤和0a >分类讨论，列出不等式求出实数a 的取值范围． 【详解】
画出函数()26,0
6,0
x x f x x ?-≥=?-
讨论：当0a ≤时，()6f a =-.
又()()2f a f a ->，∴20a ->，2a <，∴0a ≤； 当0a >时，2a a ->，∴01a <<. 综上，所求实数a 的取值范围是(),1-∞ 故答案为：(),1-∞ 【点睛】
本题考查利用分段函数的单调性解不等式，考查数形结合思想，属于中档题． 17．（1）142；（2）142
. 【分析】
（1）根据指数幂运算法则计算即可. （2）根据对数运算法则计算即可得答案. 【详解】
解：（1）()1
22
2
3
01812201814273--??????
---+-+ ? ?
?????
??
()
21
32
3
2
09222018433--????
????=---++?? ? ? ?????
??
????
22
3221233--????=--++ ? ?????142
=+ 142
=.
（
2
）52
5
51
log 352log log log 1450
+-
+ ()12
2
52
55log 35log log 50log 14ln e =+---+
5551
log 35log 50log 1412
=+-++
. 5
35503
log 142
?=+ 353
log 52=+.
332=+
142
=.
【点睛】
本题考查指对数幂的运算，考查运算能力，是基础题. 18．（1）[]1,3-；（2）()(),35,-∞-+∞.
【分析】
（1）利用指数函数的单调性求出集合A ，进而求出实数a 的取值范围. （2）求出
{2U
B x x m =<-或}2x m >+，根据集合的包含关系可得32m <-或
12m ->+，解不等式即可.
【详解】
解：（1）∵
1
282
x ≤≤， ∴13222x -≤≤ ∴13x -≤≤， ∴{}
13A x x =-≤≤. 又∵a A ∈，
∴13a -≤≤，即实数a 的取值范围是[]1,3-.
（2）∵U =R ，(){}
22B x m x m m R =-≤≤+∈， ∴
{2U
B x x m =<-或}2x m >+.
又据（1）求解知，[]
1,3A =-， ∴当U
A B ?
时，32m <-或12m ->+，
∴3m <-或5m >.
即所求实数m 的取值范围是()(),35,-∞-+∞.
【点睛】
本题考查了元素与集合的关系、指数函数的单调性解不等式、根据集合的包含关系求参数的取值范围，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题. 19．（1）1a =；（2）4 【分析】
（1）根据奇函数的定义()()0f x f x +-=，代入化简得22244a x x -=-，进而可得a 的值；（2）设4
()14x
h x =+，可得()()4h x h x -+=，根据奇函数的性质得11022f f ????
+-= ? ?????
，进而可得结果. 【详解】
解：（1）因为2()lg 2ax
f x x
+=-是奇函数，所以()()0f x f x +-=， 即22lg
lg 022ax ax
x x
+-+=-+，整理得22244a x x -=-，又1a ≠-，所以1a = （2）设4()14x h x =+，因为44
()()41414
x x
h x h x --+=+=++，
所以11422h h ????
-
+= ? ?????
因为()f x 是奇函数，所以11022f f ??
??
+-=
? ???
??
所以1104422g g ????
+-=+=
? ?????
【点睛】
本题主要考查了已知函数的奇偶性求参数的值，根据函数的奇偶性求函数的值，属于中档题.
20．（1）()221,0,
0,0,1,0.x x x f x x x x x ?-->?
==??--+
；（2）作图见解析.
【分析】
（1）设0x >，则0x -<，将x -代入解析式，再利用函数为奇函数即可求解. （2）由（1）中解析式，描点，利用平滑的曲线连接即可作图. 【详解】
解：（1）设0x >，则0x -<. 又当0x <时，()2
1f x x x =-++，
∴()()2
211f x x x x x -=--+-+=-++. ∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x -=-， ∴()()2
10f x x x x =-->.
又∵当0x =时，()f x 有意义，∴()00f =.
∴()221,0,
0,0,1,0.x x x f x x x x x ?-->?
==??--+
（2）函数()f x 的图象如图：
【点睛】
本题考查了利用函数的奇偶性求解析式、画分段函数图像，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
21．（1）a =（2）()6,9. 【分析】
（1）根据()11f =结合定义域，求出a 的值；
（2）将2a =代入，利用对数的性质化简不等式，结合定义域，求出不等式的解集． 【详解】
（1）∵1a >且13a >，∴13
a <
. ∵()11f =，∴()()log 1log 131a a a a -+-=，∴()()113a a a --=， 即23510a a -+=，
∴a =
13a <，
∴a =
（2）∵2a =，∴()()()22log 2log 6f x x x =-+-的定义域为()6,+∞，.
由()4221
log 49log log 213f x <-=，得28906
x x x ?--?，.
解得69< 本题考查对数函数的应用，考查函数的定义域，考查对数的运算以及运用单调性解不等式， 属于中档题． 22．（1）[)1,+∞；（2）min 1.3a =. 【分析】 （1）根据二次函数的图像与性质进行求解；（2）对a 进行分类讨论判断二次函数在[]2,5-上的单调性，利用最大值列出等式求解a 即可. 【详解】 （1）函数()2 2f x x ax =-图象的对称轴为直线x a =. 又函数()f x 在区间(),1-∞上单调递减，∴1a ≥， 即所求实数a 的取值范围是[)1,+∞. （2）()2 21g x x ax =-+.当3 2 a = 时，()()25g g -=， 此时()g x 在[]2,5-上有最大值为()213g -=，∴5413a +=，2a =，不成立； 当3 2a > 时，()g x 在[]2,5-上有最大值为()25413g a -=+=，∴2a =，成立； 当3 2 a <时，()g x 在[]2,5-上有最大值为()5261013g a =-=，∴ 1.3a =，成立. 综上，若()max 13g x =，则min 1.3a =. 【点睛】 本题考查二次函数的图像与性质，属于中档题.
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