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4.4 高阶微分方程降阶法、二阶线性微分方程幂级数解法
(Power series solution to second order linear ODE )
[教学内容] 1. 介绍高阶方程降阶法. 2. 介绍单摆方程及其椭圆积分函数.3. 介绍刘维尔公式求解二阶线性方程.
[教学重难点] 重点是知道振幅反应(Amplitude Response ）； 难点是知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.
[教学方法] 预习1、2；讲授1、2 [考核目标]
1. 知道共振现象.
2. 知道拉普拉斯变换的概念和性质.
3. 知道常见函数的拉普拉斯变换和逆变换.
1. 高阶方程降阶法
例68. 数学摆方程及其求解 解：（1）模型描述：一根长度为l 的线一端是质量为m 的质点，另一端系于固定点O ，质点在垂直于地面的平面上作圆周运动。取逆时针运动方向作为摆与铅垂线所成角?的正方向，
质点运动加速度为22dt d m l ?，所受的力为?sin mg -. 于是单摆方程为??sin 22l g
dt d -=.
下面考察如下柯西问题：??sin 22l
g
dt d -=，0)0(',)0(0==???.
（2）令dt d v ?=，下面导出?
d dv
，由??d dt dt dv d dv ?=知，dt d d dv dt dv dt d ????
==22. 于是原方程化为
??sin l
g
v d dv -=，这是一个一阶可分离变量型方程。 解得
C l
g
v +=?cos 212，再由初始条件0)0(',)0(0==???得到 )cos (cos 20??-±
=l
g
v ，其中±号由摆运动位置确定. （3）将v 返回原变量得到
)cos (cos 20???-±=l
g dt d ，这也是一个一阶可分离变量型方程。先考察摆从最大正角0?到0?-之间运动情形：
)cos (cos 20???--=l
g
dt d l g t dt l g d t 22cos cos 000
-=-=-???
?
???，特别地令?---=000
0cos cos 2?????
d g l T ，
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则0T 表示摆从最大正角0?到0?-之间运动所需时间. 在考察摆从0?-运动到最大正角0?之间运动情形：
)cos (cos 20???-=l
g dt d l g
T t dt l g d t T 2)(2cos cos 00
-==-??-
?
?
???，容易得到， ?--=
=-000
00cos cos 2?????
d g l T T t ，因此单摆完成一个周期所需时间为02T .
注解：(1)
?-
-?
?
???
cos cos d 称为椭圆积分函数，其反函数)(t ?称为椭圆函数.
(2) 当初始偏角0?很小时，（近似公式推导如下）
??-=-=0
00
2
2
0002
sin 22
sin 224
cos cos 24
2???
?????d g l d g l T ??????
?
?
?-=0
2
00
2sin 2sin
12
sin
2
?????
d g l ，令)
2/sin()
2/sin(0??=
s ，则) )2/(arcsin(sin 20s ??=，
于是当0?很小时，ds s ds d 2)2/(sin 122
02≈-=
??，得到g l
s
ds g l T π214
21020=-≈?. 作业58. 求解方程(1) 0)dt dx ()dt dx (dt x d x 3222=+-; (2)
0)dt
dx (x 12dt x d 2
22=-+. 2. 二阶线性方程的幂级数解法
（1）幂级数收敛：+∞<<∞-=∑+∞=x ,e n!x x
0n n ；+∞<<∞-=∑+∞=x x,cos (2n)!x (-1)0
n 2n n .
Geometric series:
1x 1 ,x
11
x 0n n <<--=
∑+∞
=; Binomial series:
a 3
20
n n n a x)(1x 3!
2)1)(a a(a x 2!1)a(a ax 1x C +=+--+-+
+=∑+∞
= . （2）幂级数一些性质：(a) 幂级数相等(Identity Principle)：
I x ,x b x a
n n n 0
n n
n
∈=∑∑+∞
=+∞
=当且
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仅当 0,1,2,n ,b a n n ==.
(b) 幂级数收敛半径(Radius of Convergence)：给定幂级数
∑+∞
=0
n n
n x
c ，如果
),0(l i m 1+∞∈=+∞→ρn
n n c c ，则幂级数收敛区间为)1
,1(ρρ-，端点处敛散性单独考虑. (c) 幂级数求导法则：如果∑+∞
==
n n
n x
c f(x)在开区间I 上收敛，则f(x)在I 上可导且导数为
I x ,x nc (x)' f 1
n 1n n ∈=∑+∞
=-.
(d) 幂级数指标调换（Shift of Index of summation ）：例如
∑∑+∞
=++∞
=-+=0
n n 1n 1
n 1
n n
x 1)c (n x
nc .
例69. 用幂级数方法求解方程02y dx
dy
3)(x =+-. 解：令,x c 1)(n 'y ,x
c y 0n n 1n 0n n
n ∑∑∞
=+∞
=+==
代入方程比较系数得到
0x c 2x 1)c (n 3x
1)c
(n 0
n n n 0
n n
1n 0n 1
n 1
n =++-+∑∑∑∞
=∞
=+∞
=++，调整指标得到
0x c 2x 1)c (n 3x
nc 0
n n n 0n n
1n 1
n n
n
=++-∑∑∑∞
=∞
=+∞
=，于是，
0)x 2c 1)c 3(n -(nc 2c 3c 1
n n n 1n n 01=++++-∑∞
=+，解得,c 1)
3(n 2n c ,c 32c n 1n 01++==
+ 得到， 1,2,n ,c 31n c 0n n =+=
由3
1
c c lim n 1n n =+∞→知， 原方程的幂级数解()∑∞
=+=0n n
n
x 3
1n c x y ，收敛区间为3) 3,(I -=. 作业59. 运用幂级数方法求解方程0x dt
x
d 22=+.