河南省三门峡市2020届高三数学11月份阶段性考试试题文(扫描版)

2020年河南省三门峡市卢氏第一高级中学高三数学理月考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知命题：?，；命题：?，.若、都为假命题，则实数的取值范围是()A．[1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－1,1]参考答案：Ap，q都是假命题．由p：?，为假命题，得?，，∴.由q：?，为假，得?，∴，得或.∴.2. 将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，得到函数y=f（x）?cosx的图象，则f（x）的表达式可以是（）A．f（x）=﹣2sinx B．f（x）=2sinxC．f（x）=sin2x D．f（x）=（sin2x+cos2x）参考答案：A【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx，利用条件，可得结论．【解答】解：将函数y=cos2x的图象向左平移个单位，可得y=cos2（x+）=cos（2x+）=﹣sin2x=﹣2cosx?sinx，∵y=f（x）?cosx，∴f（x）=﹣2sinx．故选：A．3. 设是定义在上的增函数，且对于任意的都有恒成立. 如果实数满足不等式组，那么的取值范围是（）A.(3, 7)B.(9, 25)C. (9,49) D. (13, 49)参考答案：D略4. 如图给出了函数y=a x，y=log a x，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2的图象，则与函数y=a x，y=log a x，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是（）A．①②③④B．①③②④C．②③①④D．①④③②参考答案：B【考点】对数函数的图像与性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由二次函数的图象为突破口，根据二次函数的图象开口向下得到a的范围，然后由指数函数和对数函数的图象的单调性得答案．【解答】解：由图象可知y=（a﹣1）x2为二次函数，且图中的抛物线开口向下，∴a﹣1＜0，即a＜1．又指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1，∴y=a x为减函数，图象为①；y=log a x为减函数，图象为③；y=log（a+1）x为增函数，图象为②．∴与函数y=a x，y=log a x，y=log（a+1）x，y=（a﹣1）x2依次对应的图象是①③②④．故选B．【点评】本题考查了基本初等函数的图象和性质，是基础的概念题．5. 对于数列{a n}，定义H0=为{a n}的“优值”．现已知某数列的“优值”H0=2n+1，记数列{a n﹣20}的前n项和为S n，则S n的最小值为（）A．﹣64 B．﹣68 C．﹣70 D．﹣72参考答案：D【考点】数列的求和．【分析】由{a n}的“优值”的定义可知a1+2a2+…+2n﹣1?a n=n?2n+1，当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2?a n﹣1=（n ﹣1）?2n，则求得a n=2（n+1），则a n﹣20=2n﹣18，由数列的单调性可知当n=8或9时，{a n﹣20}的前n项和为S n，取最小值．【解答】解：由题意可知：H0==2n+1，则a1+2a2+…+2n﹣1?a n=n?2n+1，当n≥2时，a1+2a2+…+2n﹣2?a n﹣1=（n﹣1）?2n，两式相减得：2n﹣1?a n=n?2n+1﹣（n﹣1）?2n，a n=2（n+1），当n=1时成立，∴a n﹣20=2n﹣18，当a n﹣20≤0时，即n≤9时，故当n=8或9时，{a n﹣20}的前n项和为S n，取最小值，最小值为S8=S9==﹣72，故选D．【点评】本题考查等差数列的通项公式，数列与函数单调性的应用，考查计算能力，属于中档题．6. 设函数的导函数为，那么下列说法正确的是A.若，则是函数的极值点B. 若是函数的极值点，则C. 若是函数的极值点，则可能不存在D.若无实根，则函数必无极值点参考答案：B略7. 下列函数中，定义域是R且为增函数的是( )A． B． C． D． ||参考答案：B略8. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为（）A. B. C.D.参考答案：B略9. 已知全集为,集合,,则( )A. B.C. D.参考答案：D略10. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为( ) （A）．y=cos2x，x R （B）．y=log2|x|，x R且x≠0（C）．y=，x R （D）．，x R参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量分别是：(单位：克)125，124，121，123，127，则该样本的标准差是▲克．参考答案：212. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．参考答案：【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为：13. 已知a、b、c成等差数列，则直线被曲线截得的弦长的最小值为．参考答案：2略14. 已知等差数列{a n}的前n项和为Sn，且a1+a11=3a6－4，则则S n= 。

2020-2021学年河南三门峡高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x||x|≤1}，B ={0,−1,√23,1}，则A ∩B =( ) A.{0} B.{0,−1,√23,1}C.[−1,√23]D.{−1,0,1}2. 设复数z 满足z =(1−i )2(1+i )2，则z =( ) A.−4 B.4 C.−4iD.4i3. 若sin α=√33，则cos (π−2α)=( )A.−4√39B.13 C.−13D.±4√394. “净拣棉花弹细，相合共雇王孀，九斤十二是张昌，李德五斤四两．纺讫织成布匹，一百八尺曾量．两家分布要明彰，莫使些儿偏向．”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两．共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布．共织成布匹一百零八尺长，则（注：古代一斤是十六两）( ) A.按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了 B.按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了 C.按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了 D.按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了5. 已知直线l ⊂平面α，则“直线m ⊥平面α”是“m ⊥l ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 若实数x ，y 满足不等式组 {x +y ≤1,x −2y ≥−2,x +2y ≥−2, 则目标函数z =3x +y 的最大值为( )A.3B.6C.9D.127. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ，A ，C 成等差数列，且b =a cos C +ac cos A ，则△ABC 外接圆的面积为( )A.π3B.2π3C.πD.4π38. 若函数f (x )=ln |2x −m|的图象关于直线x =14对称，则f (1)+f (−112)=( )A.ln 43B.ln 2C.ln 23D.09. 已知A ，B ，C 为球O 球面上的三个点，AB =BC =AC =OA =6，则四面体OABC 的体积为( ) A.18√2B.18√3C.36√2D.36√310. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A.−12 B.0 C.−1 D.111. 已知F 是抛物线C:y 2=16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，有下列四个结论：①C 的准线方程为x =−4； ②F 点的坐标为(0,4)； ③|FN|=12 ；④三角形ONF 的面积为16√2（O 为坐标原点）． 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ C.①③④ D.②③④12. 若xe x =3，ln y −3e y=1，则xy =( )A.3B.3eC.3eD.e二、填空题已知F 1为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段PF 1与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且F 1A →=AB →=BP →，则该双曲线的离心率为________. 三、解答题某市在创建国家级卫生城（简称“创卫”）的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作的满意程度，若市民满意指数（满意指数=满意程度平均分100）不低于0.8，“创卫”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了100名市民，根据这100名市民对“创卫”工作满意程度给出的评分，分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中x 的值；(2)为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于70分的市民中用分层抽样的方法随机选取8人进行座谈，求应选取评分在[50,60)的市民人数；(3)假设同组中的每个数据用该组的中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由．已知数列{a n }满足a 1=12，且对于任意m ，t ∈N ∗，都有a m+t =a m ⋅a t . (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n =(−1)n−1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，O ，M 分别为BC ，AA 1的中点．(1)证明：OM//平面CB 1A 1；(2)若四边形BB 1C 1C 是面积为4的正方形，求点M 到平面CB 1A 1的距离．已知函数f (x )=e x+1+x .(1)求曲线y =f (x )在x =−1处的切线方程；(2)证明：f (x )≥1−x 2.已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，斜率为k (k ≠0)的直线l 交E 于A ，B 两点．当k =√32时，|AB|=√7，且△OAB 的面积为ab2．（O 为坐标原点） (1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的右焦点，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且|MA|=|MO|，求k 的值．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=α(0≤α<π,ρ∈R ).(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若|OA|+|OB|=2√3，求直线l 的直角坐标方程．已知函数f (x )=2|x −1|. (1)求不等式f (x )<3x −4的解集；(2)已知函数g(x)=f(x)+|2x|的最小值为m，且a，b，c都是正数，a+2b+c=m，证明：1a+b +1b+c≥2.参考答案与试题解析2020-2021学年河南三门峡高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力．【解答】解：因为A=[−1,1]，所以A∩B={−1,0,1} .故选D .2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．【解答】解：z=−2i⋅2i=4 .故选B .3.【答案】C【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．【解答】解：cos(π−2α)=−cos2α=2sin2α−1=−13.故选C .4.【答案】B【考点】生活中概率应用【解析】【解答】解：九斤十二两等于9.75斤，五斤四两等于5.25斤，所以按张昌9.759.75+5.25×108=70.2尺，李德 5.259.75+5.25×108=37.8尺分配就合理了.故选B．5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与平面之间的位置关系【解析】本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力．【解答】解：∵直线m⊥平面α，∴m垂直于平面α内所有直线．又∵直线l⊂平面α，∴直线m⊥直线l．反之不成立．故选A．6.【答案】C【考点】求线性目标函数的最值【解析】本题考查线性规划，考查运算求解能力．【解答】解：如图作出可行域，联立{x+y=1,x+2y=−2,解得{x=4,y=−3.当直线3x +y =0平移到过点(4,−3)时，z 取得最大值9 . 故选C . 7.【答案】 A【考点】 等差中项两角和与差的正弦公式 解三角形 正弦定理【解析】本题考查正弦定理以及三角恒等变换，考查运算求解能力． 【解答】解：因为B ，A ，C 成等差数列， 所以2A =B +C ，则A =π3．已知b =a cos C +ac cos A ，由正弦定理可知，sin B =sin A cos C +a sin C cos A ， 由sin B =sin [π−(A +C)]=sin (A +C) =sin A cos C +cos A sin C ， 易得a =1．所以△ABC 外接圆的半径为a2sin A =√33， 从而△ABC 外接圆的面积为(√33)2π=π3 .故选A . 8.【答案】 D【考点】对数的运算性质 函数的求值【解析】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想 . 【解答】解：由题可知m2=14， 得m =12．则f (x )=ln |2x −12|．故f(1)+f (−112)=ln 32+ln 23=ln 1=0 .故选D .9.【答案】 A【考点】 球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】本题考查球的结构特征，考查空间想象能力． 【解答】解：四面体OABC 如图所示，△ABC 的外接圆圆心为O 1，设圆O 1的半径为r ，球O 的半径为R =OA =6 . 依题意，△ABC 为等边三角形，由正弦定理可得AB =2r sin 60∘=6， 则r =2√3 .根据球的截面性质有OO 1⊥平面ABC ， 所以OO 1=√62−(2√3)2=2√6 . 故四面体OABC 的体积为13×√34×62×2√6=18√2 .故选A . 10. 【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理能力． 【解答】解：由程序框图可知，第一次循环，i =1，a 1=−12，S =−12；第二次循环，i =2，a 2=−12，S =−1；第三次循环，i =3，a 3=1，S =0； ⋯⋯；第八次循环，i =8，a 8=−12，S =−1； 第九次循环，i =9，a 9=1，S =0. 由于i =9>8，停止循环，所以输出S =0． 故选B ． 11. 【答案】 C【考点】抛物线的标准方程 抛物线的定义【解析】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力． 【解答】解：如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交与点F ′， 作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为x =−4，故①正确； F 点的坐标为(4,0)，故②错误； 则|AN|=4，|FF ′|=8，在直角梯形ANFF ′中，中位线|BM|=|AN|+|FF ′|2=6，由抛物线的定义有|MF|=|MB|=6， 结合题意，有|MN|=|MF|=6，故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12，故③正确； |ON|=√122−42=8√2，S △ONF =12×8√2×4=16√2，故④正确.故选C ． 12.【答案】 B【考点】 对数及其运算指数函数的单调性与特殊点【解析】本题考查指数、对数之间的转化关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力． 【解答】 解：由ln y −3e y=1，可得ln ye =3e y ．则ye ln y e =3， 令t =ln ye ，则te t =3．又因为y =xe x 在(0,+∞)上单调递增， 所以t =x ，即y =e x+1， 则xy =xe x+1=3e . 故选B . 二、填空题 【答案】 √975【考点】双曲线的离心率 平行向量的性质【解析】本题考查双曲线与圆的几何性质，考查数形结合的数学思想． 【解答】解：设F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的右焦点，连结PF 2； 取AB 的中点M ，连结OM ，OA ，如图所示，则OM ⊥PF 1． 因为F 1A →=AB →=BP →， 所以M 是PF 1的中点，则OM//PF2，|OM|=12|PF2|且PF2⊥PF1．设|AB|=t，则|PF1|=3t，|PF2|=3t−2a，|AM|=t2．因为|OM|2+|AM|2=|OA|2，所以(3t−2a2)2+(t2)2=a2，解得t=65a，则|PF1|=185a，|PF2|=85a.又因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，所以(185a)2+(85a)2=(2c)2，可得c 2a2=9725，所以e2=9725，即该双曲线的离心率e=√975.故答案为：√975.三、解答题【答案】解：(1)由(2x+0.015+0.02+0.025+0.03)×10=1，得x=0.005．(2)由频率分布直方图知，评分在[40,50)的市民人数为100×0.005×10=5；评分在[50,60)的市民人数为100×0.015×10=15；评分在[60,70)的市民人数为100×0.02×10=20 .故应选取评分在[50,60)的市民人数为155+15+20×8=3．(3)由频率分布直方图可得满意程度平均分为：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．则满意指数=72100=0.72<0.8 .故该市“创卫”工作需要进一步整改．【考点】频率分布直方图分层抽样方法【解析】（1）由(2x+0.015+0.02+0.025+0.03)×10=1，得x=0.05．（2）由频率分布直方图知，评分在[40,50)的市民人数为100×0.005×10=5；评分在[50,60)的市民人数为100×0.015×10=15．评分在[60,70)的市民人数为100×0.02×10=20 . 故应选取评分在[50,60)的市民人数为5+155+15+20×8=3．（3）由频率分布直方图可得满意程度平均分为45×0.05+55×15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．则满意指数=72100−0.72<0.8 . 故该市“创卫'工作需要进一步整改．【解答】解：(1)由(2x+0.015+0.02+0.025+0.03)×10=1，得x=0.005．(2)由频率分布直方图知，评分在[40,50)的市民人数为100×0.005×10=5；评分在[50,60)的市民人数为100×0.015×10=15；评分在[60,70)的市民人数为100×0.02×10=20 .故应选取评分在[50,60)的市民人数为155+15+20×8=3．(3)由频率分布直方图可得满意程度平均分为：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．则满意指数=72100=0.72<0.8 .故该市“创卫”工作需要进一步整改．【答案】解：(1)∵对于任意m，t∈N∗，都有a m+t=a m⋅a t成立，∴令m=n，t=1，得a n+1=a n⋅a1，∴a n+1=12a n，n∈N∗，∴数列{a n}是首项和公比都为12的等比数列，∴a n=12⋅(12)n−1=(12)n，n∈N∗．(2)∵b n=(−1)n−1a n a n+1=(−1)n−1⋅2n⋅2n+1=(−1)n−1⋅22n+1，∴T n=23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1=23[1−(−22)n]1−(−22)=85−(−1)n⋅22n+35.【考点】等比数列的前n项和等比关系的确定等比数列的通项公式【解析】无无【解答】解：(1)∵对于任意m，t∈N∗，都有a m+t=a m⋅a t成立，∴ 令m =n ，t =1，得a n+1=a n ⋅a 1，∴ a n+1=12a n ，n ∈N ∗， ∴ 数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列， ∴ a n =12⋅(12)n−1=(12)n，n ∈N ∗．(2)∵ b n =(−1)n−1a n a n+1=(−1)n−1⋅2n ⋅2n+1=(−1)n−1⋅22n+1，∴ T n =23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1 =23[1−(−22)n ]1−(−2)=85−(−1)n ⋅22n+35.【答案】(1)证明：如图，连结BC 1，交CB 1于点N ， 连结A 1N ，ON ，则N 为CB 1的中点.因为O 为BC 的中点，所以ON//BB 1，且ON =12BB 1， 又MA 1//BB 1，MA 1=12BB 1，所以ONA 1M 为平行四边形，即OM//A 1N ， 因为OM ⊄平面CB 1A 1，所以OM//平面CB 1A 1． (2)解：因为四边形BB 1C 1C 是面积为4的正方形， 所以BC =BB 1=2.连结AO ，因为AB =AC ，O 为BC 的中点，所以AO ⊥BC .因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以OA ⊥BB 1. 又BC ∩BB 1=B ， 所以AO ⊥平面BB 1C 1C . 由(1)可知OM//A 1N ，所以点M 到平面CB 1A 1的距离等价于点O 到平面CB 1A 1的距离. 设点O 到平面CB 1A 1的距离为ℎ，在△A1B 1C 中，B 1C =2√2，A 1C =√6，A 1B 1=√2，所以B 1C 2=A 1C 2+A 1B 12， 从而S △A 1B 1C =12×√6×√2=√3，所以V O−A 1B 1C =13S △A 1B 1C ⋅ℎ=√33ℎ. 又因为V O−A 1B 1C =V A 1−OB 1C =13S △OB 1C ⋅OA=13×12×1×2×1=13， 所以ℎ=√33， 所以点M 到平面CB 1A 1的距离为√33． 【考点】点、线、面间的距离计算 直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 柱体、锥体、台体的体积计算【解析】【解答】(1)证明：如图，连结BC 1，交CB 1于点N ， 连结A 1N ，ON ，则N 为CB 1的中点.因为O 为BC 的中点，所以ON//BB 1，且ON =12BB 1，又MA 1//BB 1，MA 1=12BB 1，所以ONA 1M 为平行四边形，即OM//A 1N ，因为OM ⊄平面CB 1A 1，所以OM//平面CB 1A 1． (2)解：因为四边形BB 1C 1C 是面积为4的正方形， 所以BC =BB 1=2.连结AO ，因为AB =AC ，O 为BC 的中点，所以AO ⊥BC .因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以OA ⊥BB 1. 又BC ∩BB 1=B ， 所以AO ⊥平面BB 1C 1C . 由(1)可知OM//A 1N ，所以点M 到平面CB 1A 1的距离等价于点O 到平面CB 1A 1的距离.设点O到平面CB1A1的距离为ℎ，在△A1B1C中，B1C=2√2，A1C=√6，A1B1=√2，所以B1C2=A1C2+A1B12，从而S△A1B1C =12×√6×√2=√3，所以V O−A1B1C =13S△A1B1C⋅ℎ=√33ℎ.又因为V O−A1B1C =V A1−OB1C=13S△OB1C⋅OA=13×12×1×2×1=13，所以ℎ=√33，所以点M到平面CB1A1的距离为√33．【答案】(1)解：f(−1)=1−1=0，f′(x)=e x+1+1，f′(−1)=2，则y−0=2[x−(−1)]，因此曲线y=f(x)在x=−1处的切线方程是：y=2x+2．(2)证明：令g(x)=f(x)+x2−1=e x+1+x2+x−1，则g′(x)=e x+1+2x+1.因为g′(x)在R上单调递增，且g′(−1)=0，所以当x<−1时，g′(x)<0，则g(x)在(−∞,−1)上单调递减；当x>−1时，g′(x)>0，则g(x)在(−1,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(−1)=0，所以e x+1+x2+x−1≥0，即f(x)≥1−x2得证．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】(1)解：f(−1)=1−1=0，f′(x)=e x+1+1，f′(−1)=2，则y−0=2[x−(−1)]，因此曲线y=f(x)在x=−1处的切线方程是：y=2x+2．(2)证明：令g(x)=f(x)+x2−1=e x+1+x2+x−1，则g′(x)=e x+1+2x+1.因为g′(x)在R上单调递增，且g′(−1)=0，所以当x<−1时，g′(x)<0，则g(x)在(−∞,−1)上单调递减；当x>−1时，g′(x)>0，则g(x)在(−1,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(−1)=0，所以e x+1+x2+x−1≥0，即f(x)≥1−x2得证．【答案】解：(1)由当k=√32时，△OAB的面积为ab2，可知此时B为椭圆的下顶点．所以k=ba=√32，|AB|=√a2+b2=√7，得a2=4，b2=3，所以椭圆E的方程为x24+y23=1．(2)设B(x B,y B)，直线l的方程为y=k(x−2)，由方程组{x24+y23=1,y=k(x−2),消去y，整理得(4k2+3)x2−16k2x+16k2−12=0，解得x=2或x=8k2−64k2+3，由题意得x B=8k2−64k2+3，从而y B=−12k4k2+3.因为|MA|=|MO|，所以M的坐标为(1,−k)，因此直线MH的方程为y=−1kx+1k−k，则H的坐标为(0,1k−k)．由BF⊥HF得BF→⋅HF→=0．由(1)知F(1,0)，则FH→=(−1,1k−k)，BF→=(9−4k24k2+3,12k4k2+3)，所以4k2−94k2+3+12k4k2+3(1k−k)=0，解得k=−√64或k=√64，所以直线l的斜率k=−√64或k=√64．【考点】圆锥曲线的综合问题直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程【解析】无 【解答】 解：(1)由当k =√32时，△OAB 的面积为ab2，可知此时B 为椭圆的下顶点．所以k =b a=√32，|AB|=√a 2+b 2=√7，得a 2=4，b 2=3，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)设B (x B ,y B )，直线l 的方程为y =k(x −2)， 由方程组 {x 24+y 23=1,y =k (x −2),消去y ，整理得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， 解得x =2或x =8k 2−64k 2+3，由题意得x B =8k 2−64k 2+3，从而y B =−12k4k 2+3.因为|MA|=|MO|，所以M 的坐标为(1,−k)，因此直线MH 的方程为y =−1k x +1k −k ，则H 的坐标为(0,1k −k)． 由BF ⊥HF 得BF →⋅HF →=0．由(1)知F (1,0)，则FH →=(−1,1k−k)，BF →=(9−4k 24k 2+3,12k4k 2+3)，所以4k 2−94k 2+3+12k 4k 2+3(1k −k)=0，解得k =−√64或k =√64， 所以直线l 的斜率k =−√64或k =√64． 【答案】解：(1)由曲线C 的参数方程{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数），得曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=2， 得x 2+y 2−4x +2=0，曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ+2=0．(2)将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程， 得ρ2−4ρcos α+2=0， 又ρ1⋅ρ2=2>0，所以|OA|+|OB|=|ρ1+ρ2|=|4cos α|=2√3， 即α=π6或5π6，所以直线l 的直角坐标方程为y =±√33x ． 【考点】圆的参数方程 圆的极坐标方程 直线与圆的位置关系 【解析】左侧图片未给出解析． 左侧图片未给出解析． 【解答】解：(1)由曲线C 的参数方程{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数），得曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=2， 得x 2+y 2−4x +2=0，曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ+2=0．(2)将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程， 得ρ2−4ρcos α+2=0， 又ρ1⋅ρ2=2>0，所以|OA|+|OB|=|ρ1+ρ2|=|4cos α|=2√3， 即α=π6或5π6，所以直线l 的直角坐标方程为y =±√33x ． 【答案】(1)解：由题可得2|x −1|<3x −4， 所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4， 解得x >2，所以不等式f (x )<3x −4的解集为(2,+∞) ．(2)证明：g (x )=2|x −1|+|2x|≥|2x −2−2x|=2， 则m =2，则(a +b )+(b +c )=2，故1a+b +1b+c =12(1a+b +1b+c )[(a +b)+(b +c)] =12(2+b+ca+b +a+bb+c )≥2，当且仅当a +b =b +c =1时取等号． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 基本不等式在最值问题中的应用【解析】 （1）解：由题可得|x −1|<3x −4，所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4， 解得x >2,所以不等式f (x )<3x −4的解集为(2,+∞) ． 【解答】(1)解：由题可得2|x−1|<3x−4，所以−(3x−4)<2(x−1)<3x−4，解得x>2，所以不等式f(x)<3x−4的解集为(2,+∞)．(2)证明：g(x)=2|x−1|+|2x|≥|2x−2−2x|=2，则m=2，则(a+b)+(b+c)=2，故1a+b +1b+c=12(1a+b+1b+c)[(a+b)+(b+c)]=12(2+b+ca+b+a+bb+c)≥2，当且仅当a+b=b+c=1时取等号．第21页共22页◎第22页共22页。

2020年河南省三门峡市卢氏第一高级中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数的图象与轴有公共点,则的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A2. 若复数（）为纯虚数，则等于（）（A） 1 （B）0 （C）-1 （D）0或1参考答案：A3. 当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是A. B. C. D.参考答案：A略4. 已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．参考答案：B略5.双曲线的两个焦点为，在双曲线上，且满足则的面积为（）A． B．1 C．2 D．4参考答案：答案:B6. 函数f（x）=x3+4x+5的图象在x=1处的切线在x轴上的截距为（）A．10 B．5 C．﹣1 D．参考答案：D【考点】导数的几何意义．【专题】计算题．【分析】由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，由此求得切线的斜率值，再根据x=1求得切点的坐标，最后结合直线的方程求出切线在x轴上的截距即得．【解答】解：∵f（x）=x3+4x+5，∴f′（x）=3x2+4，∴f′（1）=7，即切线的斜率为7，又f（1）=10，故切点坐标（1，10），∴切线的方程为：y﹣10=7（x﹣1），当y=0时，x=﹣，切线在x轴上的截距为﹣，故选D．【点评】本小题主要考查导数的几何意义、直线方程的概念、直线在坐标轴上的截距等基础知识，属于基础题．7. 在△ABC中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则t=（λ﹣1）2+μ2的最小值是（）A．B．C．D．参考答案：C【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，0≤k≤1，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到，从而得到．代入t，进行配方即可求出t的最小值．【解答】解：如图，E在线段AD上，所以存在实数k使得；；∴==；∴；∴=；∴时，t取最小值．故选：C．8. 如果映射f：A→B满足集合B中的任意一个元素在A中都有原象，则称为“满射”．若集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，则从A到B的不同满射的个数为A．2 B．4 C．6 D．8参考答案：C略9. 已知定义在复数集上的函数满足，则等于( )A．B．C.D．参考答案：C略10. 已知复数z满足z?（1+2i6）=，（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．﹣2 B．2 C．2i D．3参考答案：B【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】首先利用虚数单位i的运算性质化简，变形后再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z?（1+2i6）=，得﹣z=，∴，∴复数z的虚部为2，故选：B．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 空间任一点和不共线三点A、B、C，则是P,A,B,C四点共面的充要条件．在平面中，类似的定理是．参考答案：面内任一点O 和两点A 、B ，则是P ,A ,B 三点共线的充要条件．12. 已知向量与的夹角为120°，且，．若，且，则实数λ=．参考答案：考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：平面向量及应用． 分析：利用，，表示向量，通过数量积为0，求出λ的值即可．解答： 解：由题意可知：，因为，所以，所以===﹣12λ+7=0解得λ=．故答案为：．点评：本题考查向量的数量积的应用，向量的垂直，考查转化数学与计算能力．13. 已知曲线C 的参数方程为为参数），则曲线C 上的点到直线的距离的最大值为 ．参考答案：14. 若点M （）为平面区域上的一个动点，则的最大值是_______参考答案：115. 若函数上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为__________．参考答案：(-2,-1]16. 已知平面向量，，且∥，则．参考答案：17. 函数的定义域是___ ___ .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列集合中不同于另外三个集合的是（） A.{}3|1x x =B.{}4|1x x = C.{1}D.1|1x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭答案：B 【分析】计算每个集合中的元素再判断即可.解：{}4|1{1,1}x x ==-,另外三个集合都是{1}, 故选：B ．点评：本题主要考查集合中元素的求解,属于基础题型. 2.下列说法正确的是（） A.若a b >，则44ac bc > B.若a b <，则2211a b> C.若a b c >>，则222a b c >> D.若a b >，c d >，则a c b d +>+答案：D 【分析】根据不等式的性质或者举反例逐个选项判断即可. 解：对于A 选项,若0c,则命题错误．故A 选项错误；对于B 选项,取2a =-,1b =-,则满足a b <,但2211a b <,故B 选项错误； 对于C 选项,取1a =,2b =-,3c =-,则满足a b c >>,但222a b c <<,故C 选项错误； 对于D 选项,由不等式的性质可知该选项正确． 故选：D ．点评：本题主要考查了不等式的性质,属于基础题型.3.已知向量(,3)a x =，(2,7)b =-，若()a b b -⊥，则实数x 的值为（） A.-16 B.67-C.67D.16答案：A 【分析】根据向量坐标的运算与垂直的数量积为0求解即可.解：因为(,3)(2,7)(2,4)a b x x -=--=+-,且()a b b -⊥,所以()(2,4)(2,7)a b b x -⋅=+-⋅-=2(2)(4)70x -++-⨯=,解得16x =-． 故选：A ．点评：本题主要考查了向量的坐标运算与向量垂直则数量积为0,属于基础题型. 4.若函数21()x f x e +=，则曲线()y f x =在点11,22f ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线方程为（）A.220x y ++=B.220x y -+=C.220x y +-= D.220x y --=答案：B 【分析】 先求出12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭,再求导代入12x =-求得在切点出的切线斜率,再根据点斜式求解方程即可.解：依题意,得0112f e ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,21()2x f x e '+=,则切线的斜率为122f '⎛⎫-= ⎪⎝⎭,所以切线方程为1122y x ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即220x y -+=．故选：B ．点评：本题主要考查了导数的几何意义,属于基础题型. 5.下列命题中正确的是（）A.若三个平面两两相交，则它们的交线互相平行B.若三条直线两两相交，则它们最多确定一个平面C.若不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行D.不共线的四点可以确定一个平面 答案：C 【分析】根据线面平行与垂直的判定与性质,或举出反例逐个判断即可.解：在A 中,从正方体的一个顶点出发的三个平面是两两相交,但他们的交线互相垂直,故A 错误；在B 中,从正方体的一个顶点出发的三条棱可以确定三个平面,故B 错误；在C 中,不同的两条直线均垂直于同一个平面,则由线面垂直的性质定理得这两条直线平行,故C 正确；在D 中,若四点连线构成两条异面直线,这时四点不能确定一个平面,故D 错误． 故选：C ．点评：本题主要考查了线面垂直与平行的性质与判定,属于基础题型.6.若关于x 的不等式20x ax b +-<（a ，b 为常数）的解集为(2,1)-，则不等式230bx ax +->的解集是（）A.3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭B.3,12⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3(,1),2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D.31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭答案：A 【分析】根据不等式20x ax b +-<（a ,b 为常数）的解集为(2,1)-可知2,1x =-为方程20x ax b +-=的两根即可求得,a b ,再求解230bx ax +->即可.解：由20x ax b +-<解集为(2,1)-,可得211(2)12a b -=-+=-⎧⎨-=-⨯=-⎩,解得12a b =⎧⎨=⎩．∴所求不等式230bx ax +->即为2230x x +->,解得32x <-或1x >． 即不等式230bx ax +->的解集是3,(1,)2⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭． 故选：A ．点评：本题主要考查了二次不等式的解集的性质,属于基础题型.7.函数()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的相邻两条对称轴之间的距离为2π，则将()f x 的图象向右平移4π个单位长度，所得函数图象的一个对称中心是（） A.,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭B.,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭C.,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D.,03π⎛-⎫⎪⎝⎭答案：D 【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为2π即可得()3sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的周期,再求得平移后的函数表达式,再求解对称中心即可.解：由题意．函数()f x 的最小正周期为π,则2ππω=,解得2ω=,所以()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．将()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移4π个单位长度．所得函数3sin 246y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭．令2()3x k k ππ-=∈Z ,得()26k x k ππ=+∈Z , 所以所得函数图象的一个对称中心是,03π⎛-⎫⎪⎝⎭．点评：本题主要考查了三角函数图像的平移与基本性质,属于中等题型. 8.已知实数a ，b 满足0b >，||1a b +=，则120192019||a a b++的最小值为（）A.2018B.2019C.2020D.2021答案：D 【分析】 将12019||a a +拆成12019||2019||a a a +,再根据||1ab +=构造12019(||)2019||a b a b ⎛⎫+⋅+ ⎪⎝⎭的结构,利用基本不等式从而求得最小值.解：因为0b >,||1a b +=,所以12019120192019||2019||2019||2019||a a a ab a a b a ++=++=+1201912019||(||)20192019||2019||20192019||a b a a b a b a a b ⎛⎫+⋅+=++++ ⎪⎝⎭1120192019≥-++20192021+=, 当且仅当0a <,2019||2019||b a a b =,即12020a =-,20192020b =时等号成立．故选：D ．点评：本题主要考查了基本不等式的运用与构造,属于中等题型. 9.在单调递减的等比数列{}n a 中，已知3a ，5a 为一元二次方程2204081729x x -+=的两个根，则其前n 项和为（）A.31729n -B.131243n +-C.1313n n --D.1313n n+- 答案：C由3a ,5a 为一元二次方程2204081729x x -+=与单调递减的等比数列{}n a 可求得35,a a 进而求得13q =.再利用求和公式求前n 项和即可. 解：设等比数列{}n a 的公比为q ,由已知得352081a a +=,35354,729a a a a =>, 所以329a =,5281a =,2532918129a q a ==⨯=,又数列{}n a 单调递减,所以13q =, 3122929a a q ==⨯=,所以其前n 项和为11213311313n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦=-．故选：C ．点评：本题主要考查了等比数列的性质与求和,属于基础题型. 10.函数()ln 2(1)2(1)x x f x x x ⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦的图象大致是（）A. B. C.D.答案：B 【分析】先求得()ln 2(1)2(1)x x f x x x ⎡⎤=--⎢⎥-+⎣⎦求得定义域,排除A,D,再分析当1x >时的单调性即可.详解】22(1)(1)11()ln ln ln ln ln 2(1)2(1)2(1)(1)1x x x x x x x x f x x x x x x x x x ⎡⎤+---⎛⎫=--=-=-==- ⎪⎢⎥-+-+-⎝⎭⎣⎦, 由10x x->得10x -<<或1x >,即函数()f x 的定义域为(1,0)(1,),故A,D 错误；当1x >时,1y x x =-为增函数,所以1()ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭为增函数,所以排除C ．故选：B ．点评：本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型.11.在三棱锥A BCD -中，BCD 3BAC π∠=，二面角A BC D --的大小为θ，且1cos 3θ=-，则三棱锥A BCD -体积的最大值为（）答案：B 【分析】画图分析,设AB x =,AC y =,在BCD 中利用BAC ∠对应的余弦定理求得,x y 的关系式,再表达出三棱锥A BCD -体积关于,x y 的关系式利用基本不等式求解即可. 解：设AB x =,AC y =,因为3BAC π∠=,所以2223BC x y xy =+-=,所以223x y xy =+-2xy xy xy ≥-=,即3xy ≤,当且仅当x y ==过A 作AO ⊥平面BCD ,垂足为O ,作AE BC ⊥垂足为E ,连接OE ,则AEO πθ∠=-,所以sin()sin AO AE AE πθθ=-=3AE ==,又11sin 223BC AE xy π⋅=,所以12AE xy =,所以3AO xy =≤所以1133344A BCD BCDV SAO AO -=⋅=⋅⋅⋅≤．故选：B ．点评：本题主要考查了基本不等式在立体几何中的运用,需要根据题意建立未知量的关系,再根据关系选用合适的基本不等式求解.属于中等题型.12.已知定义域为R 的函数2log (1),1()1,12,1x x f x x x +>-⎧⎪==-⎨⎪<-⎩，若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解，但只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞，则()123f x x x b c ++++=（）A.2log 5B.2log 6C.3D.2答案：A 【分析】对每个分段中的函数表达式讨论,即可得11x =-,再根据只有三个不同的实数解123,,[1,)x x x ∈-+∞,可分析得()1,2f x =为2()()0f x bf x c --=的根,进而求得3b =,2c =-．再求()123f x x x b c ++++即可.解：当1x >-时．函数()f x 单调递增,则关于x 的方程2()()0f x bf x c --=在(1,)-+∞内至多只有两个解,所以1x =-必为其中一解,即11x =-．故当1x =-时,2()()0f x bf x c --=,此时由函数()1f x =,得10b c --=；①若关于x 的方程2()()0f x bf x c --=有无数个不同的实数解,则当1x <-时, ()2f x =也一定满足2()()0f x bf x c --=,代入得420b c --=．②联立①②,解得3b =,2c =-．当1x >-时,2()log (1)=+f x x ,由2()()0f x bf x c --=即2()3()20f x f x -+=,得22log 2(1)3log (1)20x x +-++=,解得2log (1)1x +=或2log (1)2x +=,解得21x =或33x =．所以()1232(11332)(4)log 5f x x x b c f f ++++=-+++-==． 故选：A ．点评：本题主要考查了分段函数的运用以及复合函数的问题,需要根据题意分析每个根满足的条件与具体值等.属于难题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，448a b ==，则33a b +=________． 答案：293【分析】根据等差等比数列的性质先求得公比公差,再求得33a b +即可. 解：由4137173733a a d d a -==⇒=⇒=,34182b q q b ==⇒=,34b =,则331729433a b +=+=． 故答案为：293点评：本题主要考查了等差等比数列的基本性质与运用,属于基础题型.14.若命题“0x R ∃∈，使得201k x >+成立”是假命题，则实数k 的取值范围是________． 答案：(,1]-∞ 【分析】由题意先找到等价命题“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”,再求21x +的最小值即可. 解：“0x R ∃∈,使得201k x >+成立”是假命题等价于“x R ∀∈,都有21k x ≤+恒成立”是真命题．因为211x +≥,即21x +的最小值为1,要使“21k x ≤+恒成立”,只需()2min1k x ≤+,即1k ≤．故答案为：(,1]-∞点评：本题主要考查了特称命题的否定与恒成立问题,属于简单题型.15.若x ，y 满足约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，则目标函数3z x y =+的最小值为________．答案：-7 【分析】画出可行域,再判断3z x y =+取最小值时的点即可.解：画出约束条件2201220x y y x y -+≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩,表示的平面区域（阴影部分）如图所示：平移直线30x y +=,由图形知,当目标函数3z x y =+过点M 时取得最小值,由2201x y y -+=⎧⎨=-⎩,解得(4,1)M --．代入得min (4)3(1)7z =-+⨯-=-．所以3z x y =+的最小值为―7． 故答案为：-7点评：本题主要考查了线性规划的不等式问题,属于基础题型.16.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2Q .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2Q 的表面积为______. 答案：29π 【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2Q 的半径，即得球2Q 的表面积.解：由题得AC=5,设球O 1的半径为r ，由题得11345)34,122r r r r ++=⨯⨯∴=（. 所以棱柱的侧棱为22r.，所以球2Q 的表面积为2429ππ⋅=. 故答案：29π点评：本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.已知在ABC 中.,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,若2228a b c ，ABC 的面积为(1)求角C 的大小;(2)若c =,求 sin A sin B +的值. 答案：（1）3π；（2）32【分析】(1)由三角形的面积为12absinC =，由余弦定理以及2228a b c +-=得到28abcos C =，进而可求出tan C ，得到角C ；(2)由(1)的结果，先求出ab ，根据c =，即可求出a b +，再由正弦定理可得sin sin sin sin a C b CA B c c+=+，即可求出结果.解：（1）由ABC ∆的面积为12absinC =，由2228a b c +-=及余弦定理可得28abcos C =，故tan 3C π==;(2)∵,2cos 8,83C ab C ab π==∴=又2228,23a b c c +-==，可得6a b += 由正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==,得()sin sin sin 3sin sin 2a Cb C C A B a bc c c +=+=+= 点评：本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理即可，属于基础题型. 18.城市中大量公园的兴建意味着建筑让位，还地于民，城市公共空间被越来越充分地打开．这种打开不只是物理意义上的空间开放，而是使城市公园不仅供民众用来休憩、娱乐、锻炼，还用于相互交往、传播文化、锤炼公民意识，让城市与人建立更好的连接，推动城市回归人本．某城市计划在靠近环城公路Ax ，Ay 的P 处建一所职业技校，且配套修建一条道路BC ，并把三条路围成的三角形区域开辟为休闲公园（如图）．经测量P 到Ax ，Ay 的距离PE ，PF 分别为4km ，3km ，若,2BAC πθθπ⎛⎫⎛⎫∠=∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，3sin 4θ=，km AB x =，km AC y =．（1）试建立x ，y 间的等量关系；（2）为尽量减少土地占用，试问如何确定B 点的位置，才能使得该公园的面积最小？并求最小面积． 答案：（1）3434x y xy +=；（2）当8km AB =时，最小面积为232km 【分析】 (1)根据ABCABPAPCSSS=+建立等量关系即可.(2)由(1)有3434x y xy +=,表达出公园的面积38ABCS xy =,再利用基本不等式求解即可. 解：（1）因为Р到Ax ．Ay 的距离分别为4,3．所以4PE =,3PF =．因为11143(43)222ABC ABP APCSSSx y x y =+=⋅⋅+⋅⋅=+,① 又1324ABC S xy =⨯,②,所以3434x y xy +=．（2）因为43212x y xy +≥所以32124xy xy ≥,解得2563xy ≥．当且仅当43x y =时,取“＝”,即8x =,323y =．所以38ABC S xy =有最小值32．所以当8km AB =时,该公园的面积最小,最小面积为232km ．点评：本题主要考查了基本不等式的实际运用,需要根据题目条件列出对应的表达式,再根据变量间的关系选用合适的基本不等式即可.属于中等题型.19.已知函数()4(sin cos )cos 2(0)f x x x x ωωωω=-+>图象的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭，设函数()f x 的最小正周期为T ． （1）求T 的最大值；（2）当T 取最大值时，若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，04πα<<，求sin 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．答案：（1）π；（2 【分析】(1)利用降幂公式与辅助角公式求得()24f x x πω⎛⎫=-⎪⎝⎭,再根据一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭求得41()k k ω=+∈Z ,再求T 的最大值即可.(2)由(1)有()24π⎛⎫=-⎪⎝⎭f x x ,利用82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭求得sin 24α=,再求得cos2α,利用降幂公式求解sin ,cos αα与sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭即可. 解：（1）由题意得()4(sin cos )cos 2f x x x x ωωω=-+24sin cos 4cos 2x x x ωωω=-+2sin22cos2x x ωω=-24x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为函数()f x 的一个对称中心为,08π⎛⎫⎪⎝⎭,所以2()84k k ππωπ⋅-=∈Z ,得41()k k ω=+∈Z ．又0>ω,所以ω最小值为1．所以T 的最大值为22ππ=．（2）由（1）知,()24π⎛⎫=-⎪⎝⎭f x x ,若82f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2284ππαα⎡⎤⎛⎫+-== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦,即sin 24α=．因为04a π<<,所以022πα<<．所以3cos24α==．所以sin 44αα====．所以1sin sin cos cos sin 44442424πππααα+⎛⎫+=+=⨯+= ⎪⎝⎭． 点评：本题主要考查了三角恒等变换中的公式,包括降幂公式、辅助角公式等.需要根据题目中角度的关系选用合适的公式,属于中等题型.20.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足126n n a S +=+，且16a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：23123111133333nnT T T T ++++<⋅⋅⋅⋅. 答案：(Ⅰ)16323n n n a -=⋅=⋅；(Ⅱ)试题分析：（Ⅰ）根据1n n n a S S -=-得出{}n a 是等比数列，从而可得{}n a 的通项；（Ⅱ）求出n T ，利用裂项法计算2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅得出结论. 试题解析：(Ⅰ)由已知得当2n ≥时，()1122n n n n n a a S S a +--=-=，所以13n n a a +=， 又2112626183n a S a a =+=+==.所以{}n a 是以16a =为首项，3为公比的等比数列，所以16323n nn a -=⋅=⋅.(Ⅱ)由(Ⅰ)得1123nn a =⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，1111163114313n n nT ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-⎪⎝⎭-. 所以()()()()111111431431146331313131313131n n n n n n n n n n n T +++++-⋅⎛⎫==⋅<=- ⎪⋅-------⎝⎭.所以2312311113333n nT T T T ++++⋅⋅⋅⋅122311111116313131313131n n +⎛⎫<-+-+⋯⋯+- ⎪------⎝⎭11163231n +⎛⎫=-< ⎪-⎝⎭.得证点睛：本题主要考查了等比数列的证明，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于n n n c a b =+，其中{}na 和{}nb 分别为特殊数列，裂项相消法类似于()11n a n n =+，错位相减法类似于n n n c a b =⋅，其中{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列等.21.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，SAB 是等边三角形．SAB ⊥底面ABCD ，23AB =，3BC =，1AD =，点M 是棱SB 上靠近点S 的一个三等分点．（1）求证：AM平面SCD ；（2）求二面角S CD B --的大小． 答案：（1）见解析；（2）60︒ 【分析】(1)取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,再证明AM ND ∥即可.(2)作SO AB ⊥,垂足为点O .再建立空间直角坐标系,分别求平面SCD 的一个法向量与平面BCD 一个法向量,利用法向量夹角的余弦值求二面角S CD B --的大小即可.解：（1）证明：取棱SC 上靠近点S 的一个三等分点N ,连接MN ,DN , 因为13SM SN SB SC ==,所以MN BC 且13MN BC =．因为AD BC ∥,所以MN AD ．又因为3BC =,1AD =,所以13AD BC MN ==．所以四边形MNDA 是平行四边形． 所以AMND ∥．又因为AM ⊄平面SCD ,ND ⊂平面SCD ,所以//AM 平面SCD ．（2）作SO AB ⊥,垂足为点O ．如图所示．因为SAB 是等边三角形,所以点O 是线段AB 的中点．因为侧面SAB ⊥底面ABCD , 侧面SAB底面ABCD AB =,SO AB ⊥,SO ⊂二侧面SAB ,所以SO ⊥底面ABCD ．所以以点O 为原点,OA 为x 轴,过点O 且平行于EC 的射线为y 轴,OS 为z 轴,建立如上图所示的空间直角坐标系O xyz -．因为23AB =3BC =,1AD =,SAB 是等边三角形, 所以132AO BO AB ===3sin 602332SO AS ︒=⋅==． 所以点(0,0,0)O ,3,0,0)A ,(3,1,0)D ,(3,3,0)C ,(0,0,3)S ,所以(3,1,3)SD =-,(3,3,3)SC =--．设平面SCD 的一个法向量为(,,)x y z =m ,则由00m SD m SC ⎧⋅=⎨⋅=⎩,得3303330x y z x y z +-=-+-=⎪⎩,解得3232x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 令2z =,得平面SCD 的一个法向量为(3,3,2)m =．易知平面BCD 一个法向量为(0,0,1)n =．设二面角S CD B --的大小是θ,易知θ是锐角,则||1cos ||||2m n m n θ⋅===．又0180θ︒︒≤≤,所以60θ︒=．所以二面角S CD B --的大小是60︒．点评：本题主要考查了空间中平行垂直的证明与性质等,同时也考查了建立空间直角坐标系求解二面角的问题,属于中等题型. 22.已知函数1()2(2)x f x ea x -=-+，()(1ln )()g x a x a R =-+∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若对任意的[1,)x ∈+∞，()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 答案：（1）当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增；（2）(,2]-∞ 【分析】(1)求导得1()2(2)x f x ea '-=-+,再分(2)0a -+≥与(2)0a -+<两种情况讨论即可.(2)将()()f x g x ≥中()g x 移至左边,再构造新函数1()ln 2(2)x h x a x e a x a -=+-++,根据第(1)问的结论,分2a ≤与2a >两种情况讨论()h x 的最小值即可. 解：（1）1()2(2)x f x ea x -=-+的定义域是R ,则1()2(2)x f x ea '-=-+．当(2)0a -+≥,即2a ≤-时,()0f x '>对任意x ∈R 恒成立,故函数()f x 在R 上单调递增 当(2)0a -+<,即2a >-时,令()0f x '<,得2ln12a x +<+；令()0f x '>,得2ln12a x +>+, 故函数()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 综上,当2a ≤-时,()f x 在R 上单调递增,当2a >-时,()f x 在2,ln12a +⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭上单调递减,在2ln 1,2a +⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭上单调递增． （2）()()f x g x ≥,即12(2)(1ln )x e a x a x --+≥-+,得1ln 2(2)0x a x e a x a -+-++≥．令1()ln 2(2)x h x a x ea x a -=+-++,则112(2)()2(2)x x a xe a x a h x e a x x-'--++=+-+=． 由（1）知,函数122x y ex -=-在区间(1,)+∞上单调递增,所以当1x >时,1022220x e x e -->-=,即在(1,)+∞上,恒有1x e x ->．所以在(1,)+∞上22(2)(2)(1)()x a x a x a x h x x x'-++-->=． ①当2a ≤时,()0h x '≥在区间[1,)+∞上恒成立,即()h x 在[1,)+∞上单调递增,所以()(1)0h x h ≥=（符合题意）；②当2a >时,由12(2)()x xe a x a h x x-'-++=,得12()2x a h x e x ''-=-+,且()h x ''在[1,)+∞上单调递增,又(1)20h a ''=-<,1210h ''=->,故()h x ''在上存在唯一的零点0x ,当[)01,x x ∈时,()0h x ''<,即()h x '在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h ''≤=,知()h x 在()01,x x ∈上单调递减,此时()(1)0h x h <=与已知矛盾（不合题意）． 综上,a 的取值范围是(,2]-∞．点评：本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与最值问题,同时也考查了利用导数解决恒成立问题与最值问题等,需要求导分情况进行最值的讨论,属于难题.。

2020-2021学年河南三门峡高三上数学月考试卷一、选择题1. 已知集合A ={x||x|≤1}，B ={0,−1,√23,1}，则A ∩B =( ) A.{0} B.{0,−1,√23,1}C.[−1,√23]D.{−1,0,1}2. 设复数z 满足z =(1−i )2(1+i )2，则z =( ) A.−4 B.4 C.−4iD.4i3. 若sin α=√33，则cos (π−2α)=( )A.−4√39B.13 C.−13D.±4√394. “净拣棉花弹细，相合共雇王孀，九斤十二是张昌，李德五斤四两．纺讫织成布匹，一百八尺曾量．两家分布要明彰，莫使些儿偏向．”这首古算诗题出自《算法统宗》中的《棉布均摊》，它的意思如下：张昌拣棉花九斤十二两，李德拣棉花五斤四两．共同雇王孀来帮忙细弹、纺线、织布．共织成布匹一百零八尺长，则（注：古代一斤是十六两）( ) A.按张昌37.8尺，李德70.2尺分配就合理了 B.按张昌70.2尺，李德37.8尺分配就合理了 C.按张昌42.5尺，李德65.5尺分配就合理了 D.按张昌65.5尺，李德42.5尺分配就合理了5. 已知直线l ⊂平面α，则“直线m ⊥平面α”是“m ⊥l ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6. 若实数x ，y 满足不等式组 {x +y ≤1,x −2y ≥−2,x +2y ≥−2, 则目标函数z =3x +y 的最大值为( )A.3B.6C.9D.127. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若B ，A ，C 成等差数列，且b =a cos C +ac cos A ，则△ABC 外接圆的面积为( )A.π3B.2π3C.πD.4π38. 若函数f (x )=ln |2x −m|的图象关于直线x =14对称，则f (1)+f (−112)=( )A.ln 43B.ln 2C.ln 23D.09. 已知A ，B ，C 为球O 球面上的三个点，AB =BC =AC =OA =6，则四面体OABC 的体积为( ) A.18√2B.18√3C.36√2D.36√310. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为( )A.−12 B.0 C.−1 D.111. 已知F 是抛物线C:y 2=16x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ．若M 为FN 的中点，有下列四个结论：①C 的准线方程为x =−4； ②F 点的坐标为(0,4)； ③|FN|=12 ；④三角形ONF 的面积为16√2（O 为坐标原点）． 其中所有正确结论的编号是( ) A.①④ B.②③ C.①③④ D.②③④12. 若xe x =3，ln y −3e y=1，则xy =( )A.3B.3eC.3eD.e二、填空题已知F 1为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左焦点，P 是双曲线右支上一点，线段PF 1与以该双曲线实轴为直径的圆相交于A ，B 两点，且F 1A →=AB →=BP →，则该双曲线的离心率为________. 三、解答题某市在创建国家级卫生城（简称“创卫”）的过程中，相关部门需了解市民对“创卫”工作的满意程度，若市民满意指数（满意指数=满意程度平均分100）不低于0.8，“创卫”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了100名市民，根据这100名市民对“创卫”工作满意程度给出的评分，分成[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]六组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中x 的值；(2)为了解部分市民给“创卫”工作评分较低的原因，该部门从评分低于70分的市民中用分层抽样的方法随机选取8人进行座谈，求应选取评分在[50,60)的市民人数；(3)假设同组中的每个数据用该组的中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该市“创卫”工作是否需要进一步整改，并说明理由．已知数列{a n }满足a 1=12，且对于任意m ，t ∈N ∗，都有a m+t =a m ⋅a t . (1)求{a n }的通项公式； (2)设b n =(−1)n−1a n a n+1，求数列{b n }的前n 项和T n .如图，在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，O ，M 分别为BC ，AA 1的中点．(1)证明：OM//平面CB 1A 1；(2)若四边形BB 1C 1C 是面积为4的正方形，求点M 到平面CB 1A 1的距离．已知函数f (x )=e x+1+x .(1)求曲线y =f (x )在x =−1处的切线方程；(2)证明：f (x )≥1−x 2.已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点为A ，斜率为k (k ≠0)的直线l 交E 于A ，B 两点．当k =√32时，|AB|=√7，且△OAB 的面积为ab2．（O 为坐标原点） (1)求椭圆E 的方程；(2)设F 为E 的右焦点，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H ，若BF ⊥HF ，且|MA|=|MO|，求k 的值．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为θ=α(0≤α<π,ρ∈R ).(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)已知曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若|OA|+|OB|=2√3，求直线l 的直角坐标方程．已知函数f (x )=2|x −1|. (1)求不等式f (x )<3x −4的解集；(2)已知函数g(x)=f(x)+|2x|的最小值为m，且a，b，c都是正数，a+2b+c=m，证明：1a+b +1b+c≥2.参考答案与试题解析2020-2021学年河南三门峡高三上数学月考试卷一、选择题1.【答案】D【考点】交集及其运算【解析】本题考查集合的交集运算，考查运算求解能力．【解答】解：因为A=[−1,1]，所以A∩B={−1,0,1} .故选D .2.【答案】B【考点】复数代数形式的乘除运算【解析】本题考查复数的四则运算，考查运算求解能力．【解答】解：z=−2i⋅2i=4 .故选B .3.【答案】C【考点】二倍角的余弦公式运用诱导公式化简求值【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．【解答】解：cos(π−2α)=−cos2α=2sin2α−1=−13.故选C .4.【答案】B【考点】生活中概率应用【解析】【解答】解：九斤十二两等于9.75斤，五斤四两等于5.25斤，所以按张昌9.759.75+5.25×108=70.2尺，李德 5.259.75+5.25×108=37.8尺分配就合理了.故选B．5.【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断空间中直线与平面之间的位置关系【解析】本题考查线面垂直的判定、性质定理以及充分必要条件，考查逻辑推理能力．【解答】解：∵直线m⊥平面α，∴m垂直于平面α内所有直线.又∵直线l⊂平面α，∴直线m⊥l直线 .反之不成立．故选A .6.【答案】C【考点】求线性目标函数的最值【解析】本题考查线性规划，考查运算求解能力．【解答】解：如图作出可行域，联立{x+y=1,x+2y=−2,解得{x=4,y=−3.当直线3x +y =0平移到过点(4,−3)时，z 取得最大值9 . 故选C . 7.【答案】 A【考点】 等差中项两角和与差的正弦公式 解三角形 正弦定理【解析】本题考查正弦定理以及三角恒等变换，考查运算求解能力． 【解答】解：因为B ，A ，C 成等差数列， 所以2A =B +C ，则A =π3．已知b =a cos C +ac cos A ，由正弦定理可知，sin B =sin A cos C +a sin C cos A ， 由sin B =sin [π−(A +C)]=sin (A +C) =sin A cos C +cos A sin C ， 易得a =1．所以△ABC 外接圆的半径为a2sin A =√33， 从而△ABC 外接圆的面积为(√33)2π=π3 .故选A . 8.【答案】 D【考点】对数的运算性质 函数的求值【解析】本题考查函数图象的对称性，考查数形结合的数学思想 . 【解答】解：由题可知m2=14， 得m =12．则f (x )=ln |2x −12|．故f(1)+f (−112)=ln 32+ln 23=ln 1=0 .故选D .9.【答案】 A【考点】 球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】本题考查球的结构特征，考查空间想象能力． 【解答】解：四面体OABC 如图所示，△ABC 的外接圆圆心为O 1，设圆O 1的半径为r ，球O 的半径为R =OA =6 . 依题意，△ABC 为等边三角形，由正弦定理可得AB =2r sin 60∘=6， 则r =2√3 .根据球的截面性质有OO 1⊥平面ABC ， 所以OO 1=√62−(2√3)2=2√6 . 故四面体OABC 的体积为13×√34×62×2√6=18√2 .故选A . 10. 【答案】 B【考点】 程序框图 【解析】本题考查程序框图，考查逻辑推理能力． 【解答】解：由程序框图可知，第一次循环，i =1，a 1=−12，S =−12；第二次循环，i =2，a 2=−12，S =−1；第三次循环，i =3，a 3=1，S =0； ⋯⋯；第八次循环，i =8，a 8=−12，S =−1； 第九次循环，i =9，a 9=1，S =0. 由于i =9>8，停止循环，所以输出S =0． 故选B ． 11. 【答案】 C【考点】抛物线的标准方程 抛物线的定义【解析】本题考查抛物线的标准方程与几何性质，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力． 【解答】解：如图，不妨设点M 位于第一象限，设抛物线的准线l 与x 轴交与点F ′， 作MB ⊥l 于点B ，NA ⊥l 于点A ，由抛物线的解析式可得准线方程为x =−4，故①正确； F 点的坐标为(4,0)，故②错误； 则|AN|=4，|FF ′|=8，在直角梯形ANFF ′中，中位线|BM|=|AN|+|FF ′|2=6，由抛物线的定义有|MF|=|MB|=6， 结合题意，有|MN|=|MF|=6，故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12，故③正确； |ON|=√122−42=8√2，S △ONF =12×8√2×4=16√2，故④正确.故选C ． 12.【答案】 B【考点】 对数及其运算指数函数的单调性与特殊点【解析】本题考查指数、对数之间的转化关系，考查逻辑推理能力，运算求解能力． 【解答】 解：由ln y −3e y=1，可得ln ye =3e y ．则ye ln y e =3， 令t =ln ye ，则te t =3．又因为y =xe x 在(0,+∞)上单调递增， 所以t =x ，即y =e x+1， 则xy =xe x+1=3e . 故选B . 二、填空题 【答案】 √975【考点】双曲线的离心率 平行向量的性质【解析】本题考查双曲线与圆的几何性质，考查数形结合的数学思想． 【解答】解：设F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1的右焦点，连结PF 2； 取AB 的中点M ，连结OM ，OA ，如图所示，则OM ⊥PF 1．因为F 1A →=AB →=BP →，所以M 是PF 1的中点，则OM//PF2，|OM|=12|PF2|且PF2⊥PF1．设|AB|=t，则|PF1|=3t，|PF2|=3t−2a，|AM|=t2．因为|OM|2+|AM|2=|OA|2，所以(3t−2a2)2+(t2)2=a2，解得t=65a，则|PF1|=185a，|PF2|=85a.又因为|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，所以(185a)2+(85a)2=(2c)2，可得c 2a2=9725，所以e2=9725，即该双曲线的离心e=√975.故答案为：√975.三、解答题【答案】解：(1)由(2x+0.015+0.02+0.025+0.03)×10=1，得x=0.005．(2)由频率分布直方图知，评分在[40,50)的市民人数为100×0.005×10=5；评分在[50,60)的市民人数为100×0.015×10=15；评分在[60,70)的市民人数为100×0.02×10=20 .故应选取评分在[50,60)的市民人数为155+15+20×8=3．(3)由频率分布直方图可得满意程度平均分为：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．则满意指数=72100=0.72<0.8 .故该市“创卫”工作需要进一步整改．【考点】频率分布直方图分层抽样方法【解析】（1）由(2x+0.015+0.02+0.025+0.03)×10=1，得x=0.05．（2）由频率分布直方图知，评分在[40,50)的市民人数为100×0.005×10=5；评分在[50,60)的市民人数为100×0.015×10=15．评分在[60,70)的市民人数为100×0.02×10=20 . 故应选取评分在[50,60)的市民人数为5+155+15+20×8=3．（3）由频率分布直方图可得满意程度平均分为45×0.05+55×15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．则满意指数=72100−0.72<0.8 . 故该市“创卫'工作需要进一步整改．【解答】解：(1)由(2x+0.015+0.02+0.025+0.03)×10=1，得x=0.005．(2)由频率分布直方图知，评分在[40,50)的市民人数为100×0.005×10=5；评分在[50,60)的市民人数为100×0.015×10=15；评分在[60,70)的市民人数为100×0.02×10=20 .故应选取评分在[50,60)的市民人数为155+15+20×8=3．(3)由频率分布直方图可得满意程度平均分为：45×0.05+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.25+95×0.05=72．则满意指数=72100=0.72<0.8 .故该市“创卫”工作需要进一步整改．【答案】解：(1)∵对于任意m，t∈N∗，都有a m+t=a m⋅a t成立，∴令m=n，t=1，得a n+1=a n⋅a1，∴a n+1=12a n，n∈N∗，∴数列{a n}是首项和公比都为12的等比数列，∴a n=12⋅(12)n−1=(12)n，n∈N∗．(2)∵b n=(−1)n−1a n a n+1=(−1)n−1⋅2n⋅2n+1=(−1)n−1⋅22n+1，∴T n=23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1=23[1−(−22)n]1−(−22)=85−(−1)n⋅22n+35.【考点】等比数列的前n项和等比关系的确定等比数列的通项公式【解析】无无【解答】解：(1)∵对于任意m，t∈N∗，都有a m+t=a m⋅a t成立，∴ 令m =n ，t =1，得a n+1=a n ⋅a 1，∴ a n+1=12a n ，n ∈N ∗， ∴ 数列{a n }是首项和公比都为12的等比数列， ∴ a n =12⋅(12)n−1=(12)n，n ∈N ∗．(2)∵ b n =(−1)n−1a n a n+1=(−1)n−1⋅2n ⋅2n+1=(−1)n−1⋅22n+1，∴ T n =23−25+27−29+⋯+(−1)n−1⋅22n+1 =23[1−(−22)n ]1−(−2)=85−(−1)n ⋅22n+35.【答案】(1)证明：如图，连结BC 1，交CB 1于点N ， 连结A 1N ，ON ，则N 为CB 1的中点.因为O 为BC 的中点，所以ON//BB 1，且ON =12BB 1， 又MA 1//BB 1，MA 1=12BB 1，所以ONA 1M 为平行四边形，即OM//A 1N ， 因为OM ⊄平面CB 1A 1，所以OM//平面CB 1A 1． (2)解：因为四边形BB 1C 1C 是面积为4的正方形， 所以BC =BB 1=2.连结AO ，因为AB =AC ，O 为BC 的中点，所以AO ⊥BC .因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以OA ⊥BB 1. 又BC ∩BB 1=B ， 所以AO ⊥平面BB 1C 1C . 由(1)可知OM//A 1N ，所以点M 到平面CB 1A 1的距离等价于点O 到平面CB 1A 1的距离. 设点O 到平面CB 1A 1的距离为ℎ，在△A1B 1C 中，B 1C =2√2，A 1C =√6，A 1B 1=√2，所以B 1C 2=A 1C 2+A 1B 12， 从而S △A 1B 1C =12×√6×√2=√3，所以V O−A 1B 1C =13S △A 1B 1C ⋅ℎ=√33ℎ. 又因为V O−A 1B 1C =V A 1−OB 1C =13S △OB 1C ⋅OA=13×12×1×2×1=13， 所以ℎ=√33， 所以点M 到平面CB 1A 1的距离为√33． 【考点】点、线、面间的距离计算 直线与平面垂直的判定 直线与平面平行的判定 柱体、锥体、台体的体积计算【解析】【解答】(1)证明：如图，连结BC 1，交CB 1于点N ， 连结A 1N ，ON ，则N 为CB 1的中点.因为O 为BC 的中点，所以ON//BB 1，且ON =12BB 1，又MA 1//BB 1，MA 1=12BB 1，所以ONA 1M 为平行四边形，即OM//A 1N ，因为OM ⊄平面CB 1A 1，所以OM//平面CB 1A 1． (2)解：因为四边形BB 1C 1C 是面积为4的正方形， 所以BC =BB 1=2.连结AO ，因为AB =AC ，O 为BC 的中点，所以AO ⊥BC .因为三棱柱ABC −A 1B 1C 1是直三棱柱， 所以OA ⊥BB 1. 又BC ∩BB 1=B ， 所以AO ⊥平面BB 1C 1C . 由(1)可知OM//A 1N ，所以点M 到平面CB 1A 1的距离等价于点O 到平面CB 1A 1的距离.设点O到平面CB1A1的距离为ℎ，在△A1B1C中，B1C=2√2，A1C=√6，A1B1=√2，所以B1C2=A1C2+A1B12，从而S△A1B1C =12×√6×√2=√3，所以V O−A1B1C =13S△A1B1C⋅ℎ=√33ℎ.又因为V O−A1B1C =V A1−OB1C=13S△OB1C⋅OA=13×12×1×2×1=13，所以ℎ=√33，所以点M到平面CB1A1的距离为√33．【答案】(1)解：f(−1)=1−1=0，f′(x)=e x+1+1，f′(−1)=2，则y−0=2[x−(−1)]，因此曲线y=f(x)在x=−1处的切线方程是：y=2x+2．(2)证明：令g(x)=f(x)+x2−1=e x+1+x2+x−1，则g′(x)=e x+1+2x+1.因为g′(x)在R上单调递增，且g′(−1)=0，所以当x<−1时，g′(x)<0，则g(x)在(−∞,−1)上单调递减；当x>−1时，g′(x)>0，则g(x)在(−1,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(−1)=0，所以e x+1+x2+x−1≥0，即f(x)≥1−x2得证．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的单调性【解析】左侧图片未给出解析．左侧图片未给出解析．【解答】(1)解：f(−1)=1−1=0，f′(x)=e x+1+1，f′(−1)=2，则y−0=2[x−(−1)]，因此曲线y=f(x)在x=−1处的切线方程是：y=2x+2．(2)证明：令g(x)=f(x)+x2−1=e x+1+x2+x−1，则g′(x)=e x+1+2x+1.因为g′(x)在R上单调递增，且g′(−1)=0，所以当x<−1时，g′(x)<0，则g(x)在(−∞,−1)上单调递减；当x>−1时，g′(x)>0，则g(x)在(−1,+∞)上单调递增，所以g(x)≥g(−1)=0，所以e x+1+x2+x−1≥0，即f(x)≥1−x2得证．【答案】解：(1)由当k=√32时，△OAB的面积为ab2，可知此时B为椭圆的下顶点．所以k=ba=√32，|AB|=√a2+b2=√7，得a2=4，b2=3，所以椭圆E的方程为x24+y23=1．(2)设B(x B,y B)，直线l的方程为y=k(x−2)，由方程组{x24+y23=1,y=k(x−2),消去y，整理得(4k2+3)x2−16k2x+16k2−12=0，解得x=2或x=8k2−64k2+3，由题意得x B=8k2−64k2+3，从而y B=−12k4k2+3.因为|MA|=|MO|，所以M的坐标为(1,−k)，因此直线MH的方程为y=−1kx+1k−k，则H的坐标为(0,1k−k)．由BF⊥HF得BF→⋅HF→=0．由(1)知F(1,0)，则FH→=(−1,1k−k)，BF→=(9−4k24k2+3,12k4k2+3)，所以4k2−94k2+3+12k4k2+3(1k−k)=0，解得k=−√64或k=√64，所以直线l的斜率k=−√64或k=√64．【考点】圆锥曲线的综合问题直线与椭圆的位置关系椭圆的标准方程【解析】无 【解答】 解：(1)由当k =√32时，△OAB 的面积为ab2，可知此时B 为椭圆的下顶点．所以k =b a=√32，|AB|=√a 2+b 2=√7，得a 2=4，b 2=3，所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．(2)设B (x B ,y B )，直线l 的方程为y =k(x −2)， 由方程组 {x 24+y 23=1,y =k (x −2),消去y ，整理得(4k 2+3)x 2−16k 2x +16k 2−12=0， 解得x =2或x =8k 2−64k 2+3，由题意得x B =8k 2−64k 2+3，从而y B =−12k4k 2+3.因为|MA|=|MO|，所以M 的坐标为(1,−k)，因此直线MH 的方程为y =−1k x +1k −k ，则H 的坐标为(0,1k −k)． 由BF ⊥HF 得BF →⋅HF →=0．由(1)知F (1,0)，则FH →=(−1,1k−k)，BF →=(9−4k 24k 2+3,12k4k 2+3)，所以4k 2−94k 2+3+12k 4k 2+3(1k−k)=0， 解得k =−√64或k =√64， 所以直线l 的斜率k =−√64或k =√64． 【答案】解：(1)由曲线C 的参数方程{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数），得曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=2， 得x 2+y 2−4x +2=0，曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ+2=0．(2)将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程， 得ρ2−4ρcos α+2=0， 又ρ1⋅ρ2=2>0，所以|OA|+|OB|=|ρ1+ρ2|=|4cos α|=2√3， 即α=π6或5π6，所以直线l 的直角坐标方程为y =±√33x ． 【考点】直线的极坐标方程 圆的参数方程 圆的极坐标方程 极坐标刻画点的位置 极坐标的概念【解析】左侧图片未给出解析． 左侧图片未给出解析． 【解答】解：(1)由曲线C 的参数方程{x =sin t +cos t +2,y =sin t −cos t （t 为参数），得曲线C 的普通方程为(x −2)2+y 2=2， 得x 2+y 2−4x +2=0，曲线C 的极坐标方程为ρ2−4ρcos θ+2=0．(2)将直线l 的极坐标方程代入曲线C 的极坐标方程， 得ρ2−4ρcos α+2=0， 又ρ1⋅ρ2=2>0，所以|OA|+|OB|=|ρ1+ρ2|=|4cos α|=2√3， 即α=π6或5π6，所以直线l 的直角坐标方程为y =±√33x ． 【答案】(1)解：由题可得2|x −1|<3x −4， 所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4， 解得x >2，所以不等式f (x )<3x −4的解集为(2,+∞) ．(2)证明：g (x )=2|x −1|+|2x|≥|2x −2−2x|=2， 则m =2，则(a +b )+(b +c )=2，故1a+b +1b+c =12(1a+b +1b+c )[(a +b)+(b +c)] =12(2+b+ca+b +a+bb+c )≥2，当且仅当a +b =b +c =1时取等号． 【考点】绝对值不等式的解法与证明 基本不等式在最值问题中的应用【解析】 （1）解：由题可得|x −1|<3x −4，所以−(3x −4)<2(x −1)<3x −4，解得x>2,所以不等式f(x)<3x−4的解集为(2,+∞)．【解答】(1)解：由题可得2|x−1|<3x−4，所以−(3x−4)<2(x−1)<3x−4，解得x>2，所以不等式f(x)<3x−4的解集为(2,+∞)．(2)证明：g(x)=2|x−1|+|2x|≥|2x−2−2x|=2，则m=2，则(a+b)+(b+c)=2，故1a+b +1b+c=12(1a+b+1b+c)[(a+b)+(b+c)]=12(2+b+ca+b+a+bb+c)≥2，当且仅当a+b=b+c=1时取等号．第21页共22页◎第22页共22页。

2020届河南省三门峡市高三上学期11月月考数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则()A B =Rð（ ）A ．∅B ．{}3C ．{}1,2D ．{}0,1,2【答案】B【解析】进行交集的运算即可． 【详解】{}13{1R B x x B x x =-≤<∴=<-，ð或3}x ≥A ∩RB ð ＝{3}． 故选：B ． 【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及交集补集的运算，属于基础题．2．已知向量a =（1，2），b =（2，﹣2），c =（m ，1）．若c ∥（2a b +），则m ＝（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】可以求出()242a b +=，，根据()2c a b +即可得出2m ﹣4＝0，解出m ＝2．【详解】()242a b +=，，∵()2ca b +，∴2m ﹣4＝0， ∴m ＝2． 故选：C ． 【点睛】考查向量坐标的加法和数乘运算，以及平行向量的坐标关系．3．设有下面四个命题，1p ：若α是锐角，则cos 0α>，2p ：若cos 0α>，则α是锐角，3p ：若sin20α>，则cos 0α>，4p ：若tan 0α>，则sin20α>其中真命题为( ) A ．1p ，2p B ．2p ，3pC ．1p ，4pD ．3p ，4p【答案】C【解析】若α是锐角，即02πα<<，故cos 0α>，即1p 为真命题；由于71cos032π=>，而73π不是锐角，故若cos 0α>，则α是锐角为假命题，即2p 为假；当76πα=时，7sin 2sin 03πα==>，而7cos cos 06πα=< 故若sin20α>，则cos 0α>为假命题，即3p 为假；若tan 0α>，即sin α，cos α同号，故sin 22sin cos 0ααα=>成立，即4p 为真命题，故正确的命题为1p ，4p ，故选C.4．设{}n a 是首项为1a ，公差为-1的等差数列，n S 为其前n 项和，若124,,S S S 成等比数列，则1a =（ ） A ．2 B ．-2 C ．12D ．12-【答案】D【解析】把已知2214S S S =用数列的首项1a 和公差d 表示出来后就可解得1a ．，【详解】因为124S S S ，，成等比数列，所以2214S S S =，即211111(21)(46).2a a a a -=-=-，故选D. 【点睛】本题考查等差数列的前n 项和，考查等比数列的性质，解题方法是基本量法．本题属于基础题．5．若函数()xxf x ka a -=-（0a >，且1a ≠）在(),-∞+∞上既是奇函数又是增函数，则()log ()a g x x k =-的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用的奇偶性求出k ，利用函数的单调性判断a ，然后判断函数的图象． 【详解】函数f （x ）＝ka x﹣a ﹣x（a ＞0且a ≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数，可得f （0）＝0，ka 0﹣a ﹣0＝0，k ＝1，函数是增函数，可知a ＞1，则g （x ）()x k a log -==log a （x ﹣1）， 函数的图象是y ＝log a x 的图象向右平移1个单位． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，函数的图象的判断，考查计算能力． 6．已知(0,),2sin 2cos 212πααα∈=+，则cos α=()A ．BCD ．15【答案】A【解析】根据二倍角的正弦、余弦公式，化简等式，再根据同角的三角函数的关系式，结合(0,)2πα∈，可以求出cos α，最后选出答案.【详解】 因为(0,)2πα∈，所以cos 0α>，因此有22sin 2cos 214sin sin cos 2cos 11cos 2a a ααααα=-+⇒==+⇒，而22cos sin 1αα+=，所以有cos α=，故本题选A. 【点睛】本题考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了数学运算能力.7．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】C【解析】由题意：()221log log 55a f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 且：0.822log 5log 4.12,122>><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】 指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.8．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数2()1xf x x=-的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】代入特殊值2x =和12x =后排除选项，得到正确答案. 【详解】当2x =时，()2203f =-<，排除B,D ，当12x =时，12023f ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，排除A,只有C 符合条件， 故选C. 【点睛】本题考查了由解析式判断函数图象，根据图象需分析函数的定义域和奇偶性，特殊值的正负，以及是否过定点等函数的性质，从而排除选项，本题意在考查分析和解决问题的能力.9．ABC △中，三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin ,2sin ,sin A B C 成等差数列，且tan A =ab=（ ）A ．12B C ．2D【答案】C【解析】由题意结合正弦定理和余弦定理确定ab的值即可. 【详解】由题意可得：sin sin 4sin A C B +=，即4,4a c b c b a +==-，由tanA =1sin 4A A ==， 由余弦定理有：2222212cos 2a b c bc A b c bc =+-=+-， 将4c b a =-代入上式：()()2221442a b b a b b a =+---， 整理可得：()20b b a -=，则20,2ab a b-==. 本题选择C 选项. 【点睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.10．设函数()()()sin cos 02x f x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++>< ⎪⎝⎭，的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（） A ．()f x 在02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增B ．()f x 在344ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减C ．()f x 在344ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增D ．()f x 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增 【答案】D【解析】先利用辅助角公式变形，再利用函数为偶函数求出参数ϕ的值，然后求出函数的单调区间即可. 【详解】解：()4f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为T π=，所以2ω=.又因为()()f x f x -=，2πϕ<，所以4πϕ=，所以()f x x =，经检验()f x 在2ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增， 故选D . 【点睛】本题考查了辅助角公式、利用函数的奇偶性求参数ϕ的值及三角函数的单调区间，属中档题.11．已知函数()()221xf x x a x e =++，则“a =是“函数()f x 在-1x =处取得极小值”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】求出原函数的导函数，分析函数()f x 在1x =-处取得极小值时的a 的范围，再由充分必要条件的判定得答案． 【详解】解：若()f x 在1x =-取得极小值，2222()[(2)1](1)(1)x x f x x a x a e x x a e '=++++=+++．令()0f x '=，得1x =-或21x a =--． ①当0a =时，2()(1)0x f x x e '=+…． 故()f x 在R 上单调递增，()f x 无最小值；②当0a ≠时，211a --<-，故当21x a <--时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当211a x --<<-时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当1x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增．故()f x 在1x =-处取得极小值．综上，函数()f x 在1x =-处取得极小值0a ⇔≠．∴“a =是“函数()f x 在1x =-处取得极小值”的充分不必要条件．故选：A ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的极值，考查充分必要条件的判定，属于中档题． 12．函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()f x x =-.若对任意(],x m ∈-∞，都有1()8f x ≥-，则m 的取值范围是（ ） A ．(],2-∞- B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．(],1-∞-D ．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【答案】B【解析】因为f （x +1）＝2f （x ），∴f （x ）＝12f （x +1），分段求解析式，结合图象可得． 【详解】因为f （x +1）＝2f （x ），∴f （x ）＝12f （x +1）， ∵x ∈（0，1]时，f （x ）＝﹣x ∈[1-，0）， ∴x ∈（﹣1，0]时，x +1∈（0，1]，f （x ）＝12f （x +1）＝﹣12（x +1）∈[12-，0）；∴x ∈（﹣2，﹣1]时，x +1∈（﹣1，0]，f （x ）＝12f （x +1）＝﹣14（x +2）∈[﹣14，0），∴x ∈（﹣3，﹣2]时，x +1∈（﹣2，﹣1]，f （x ）＝12f （x +1）＝﹣18（x +3）∈[﹣18，0），作出函数图像：∴x ∈（﹣2，﹣1]时， f （x ）＝﹣14（x +2）＝18-，解得x ＝32-，∴由图可知：若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）18≥-，则m 32≤-． 故选：B ． 【点睛】本题考查了函数与方程的综合运用，属中档题．二、填空题13．设ABC ∆是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点，则()AB FB FC ⋅+的值为__________．【答案】3【解析】由向量加法的平行四边形法则可知，FB FC +=2()12FE AE AB AC ==+，然后结合向量数量积的基本运算即可求解． 【详解】∵△ABC 是边长为2的正三角形，E 是BC 的中点，F 是AE 的中点， 由向量加法的平行四边形法则可知，FB FC +=2()12FE AE AB AC ==+ ∴()()2111111422222222AB FB FC AB AB AC AB AB AC ⋅+=⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯⨯=3，故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了平面向量加法的平行四边形法则及向量数量积的基本运算性质的简单应用，属于基础试题．14．已知数列{}n a 满足111,n n a a a n -=-=则n a =________ 【答案】()21n n +【解析】试题分析：由题意可知，213212,3,,n n a a a a a a n --=-=⋅⋅⋅-=相加，可得123n a a n -=++⋅⋅⋅+，所以()11232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=【考点】本题考查数列的递推公式点评：解决本题的关键是掌握求数列通项公式的方法：累加法15．点P 在曲线:1C y x =+上移动，若曲线C 在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是__________．【答案】][π2π0,,π33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭【解析】'y x =，所以'y ⎡∈⎣，即t a n 3α⎡∈⎣，所以][20,,33ππαπ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭．点睛：由斜率k 范围求直线倾斜角θ范围时，应注意直线倾斜角θ的范围是[)0,π，因此要分类讨论： 00,2k πθ⎛⎫>⇔∈ ⎪⎝⎭， 00k θ=⇔=， 0,2k πθπ⎛⎫<⇔∈⎪⎝⎭，否则易出错．16．已知函数3()32f x x x m m =--+，[0,2]x ∈，若max min ()()3f x f x -=，则m =_______【答案】12±【解析】令()33g x x x =-，求导得()g x 在[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增，得()()()22,12,00g g g ==-=,按()22m g ≥，()()()12221g m g m g ，≤<< 分3种情况进行讨论，求()f x 的最大值和最小值即可. 【详解】令()33g x x x =-，则()()()233311g x x x x ==+'--，易知函数()33g x x x =-在[]0,1上单调递减，在[]1,2上单调递增，且()()()22,12,00g g g ==-=，故()()()12g g x g ≤≤. 当()222m g ≥=，即1m ≥时，()()min 232f x f m ==-，()()max 132f x f m ==+，此时()()max min 4f x f x -=，不合题意，舍去； 当()()122g m g ≤<，即11m -≤<时，()min f x m =，()()(){}max max 132,22f x f m f m ==+=-，若322m m +≥-，即0m ≥，则323m m +-=，解得12m =； 若322m m +<-，即0m <，则23m m --=，解得12m =-；当()21m g <，即1m <-时，()()min 12f x f m ==--，()()max 22f x f m ==-+， 此时()()max min 4f x f x -=，不合题意，舍去. 综上所述，12m =±. 故答案为：12± 【点睛】本题考查了函数求最值的问题，也考查了去掉绝对值的方法，分类讨论的思想，属于中档题.三、解答题17．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且7228,2S a ==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若14n a n b -=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =；（2）413n n T -=. 【解析】（1）求7228,2S a ==，可以列出一个关于首项和公差的二元一次方程组，解这个方程组，求出首项和公差，进而求出等差数列{}n a 的通项公式； （2）直接利用等比数列的前n 项和公式求出n T .【详解】 解：（1）由2171272128a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，所以n a n =. （2）14n n b -=，所以{}n b 的前n 项和1441143n nn T --==-. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式和前n 项和公式、等比数列前n 项和公式，考查了数学运算能力、解方程组的能力.18．ABC ∆中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c222sin B B =. （1）求角B ；（2）若4a =，ABC S ∆=b 的值. 【答案】（1）3B π=（2）b =【解析】【详解】（122sin B B =，所以2cos 2sin B B B =. 因为0B π<<，所以sin 0B ≠，所以tan B =，所以3B π=.（2）由ABC S ∆=4a =，3B π=，得14sin 23c π⋅⋅⋅=解得6c =.由余弦定理可得22246246cos 283b π=+-⨯⨯⨯=，解得b =【点睛】本题主要考查了解三角形问题．考查了对正弦定理和余弦定理的灵活运用，考查了二倍角的正弦公式的应用，属于中档题．19．已知函数2()1f x ax bx =++在3x =处的切线方程为58y x =-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若关于x 的方程f （x ）＝ke x（其中e 为自然对数的底数）恰有两个不同的实根，求实数k 的值.【答案】（1）2()1f x x x =-+（2）1e k =或23ek = 【解析】（1）求出原函数的导函数，依题意，()()'3537f f ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得到关于a ，b 的不等式组，求得a ，b 的值，则函数解析式可求；（2）方程f （x ）＝ke x ，即x 2﹣x +1＝ke x ，得k ＝（x 2﹣x +1）e ﹣x ，记F （x ）＝（x 2﹣x +1）e ﹣x ，利用导数求其极值，可知当k 1e =或k 23e=时，它们有两个不同交点，因此方程f （x ）＝ke x恰有两个不同的实根；【详解】（1）f （x ）＝ax 2+bx +1，()2f x ax b ='+，依题设，有()()3537f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即659317a b a b +=⎧⎨++=⎩，解得11a b =⎧⎨=-⎩，∴()21f x x x =-+.（2）方程f （x ）＝ke x，即x 2﹣x +1＝ke x，，可化为21e x x x k -+=，记()21e x x x g x -+=，则()()()12exx x g x ---'=， 令()0g x '=，得11x =，22x =当x 变化时，()g x '、()g x 的变化情况如下表：所以当1x =时，()g x 取极小值1e ；当2x =时，()g x 取极大值23e， 又x →+∞时，()0g x →，且()0g x >；x →-∞时，()g x →+∞，可知当k 1e =或k 23e=时，它们有两个不同交点，因此方程f （x ）＝ke x恰有两个不同的实根； 【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的极值，考查函数零点的判定及函数值的变化趋势，属中档题．20．已知函数)1()cos cos 2f x x x x =-+.（1）求()f x 单调减区间； （2）当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，不等式()2c f x c <<+恒成立，求实数c 的取值范围. 【答案】（1）5,36ππk πk π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .（2）11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【解析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化简，利用正弦函数的单调性即可求解；（2）由x 的范围求得相位的范围，进一步得到f （x ）的值，再把c ＜f （x ）＜c +2恒成立转化为关于c 的不等式组求解． 【详解】（1）()21cos cos 2f x x x x =-+=1cos222x x - =sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭由3222262k x k πππππ+≤-≤+解得536k x k ππππ+≤≤+，k Z ∈ 所以()f x 单调减区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. （2）因为02x π≤≤所以52666x πππ-≤-≤， 所以1sin 2126x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭ 由不等式()2c f x c <<+恒成立，得1221c c ⎧<-⎪⎨⎪+>⎩，解得112c -<<-.所以实数c 的取值范围为11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y ＝A sin （ωx +φ）型函数的图象和性质，是中档题．21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S a =-+，112a =. （1）求数列n a 的通项公式； （2）设n nnb a =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】(1) 12n na =;(2) ()1122n n T n +=-⋅+. 【解析】试题分析：由已知可得由已知得111n n n n n S S a a a +++-==-+ ，从而112n n a a +=，由此能证明数列{}n a 是等比数列，从而求出12n n a =． （2）由已知得2nn b n =⨯，由此利用错位相减法求出数列{}n b 的前n 项和n T试题解析：（1）∵1n n S a =-+ ①111n n S a ++=-+ ②②-①得11n n n a a a ++=-+ 即112n n a a +=∴数列{}n a 是以12为首项，12为公比的等比数列 ∴1111222n n n a -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭（2）由12n n a =，∴2n nn n b n a ==⨯∴23222322n n T n =+⨯+⨯++⨯ ③左右两边乘于2得()2312222122n n n T n n +=+⨯++-+⨯ ④③-④得23122222n n n T n +-=++++-⨯()1212212n n n +-=-⨯-()1122n n +=-⋅-∴()1122n n T n +=-⋅+【点睛】本题考查等比数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n 项和的求法，解题时要注意构造法和错位相减法的合理运用． 22．已知函数1ln ()xf x x+=. （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(,())e f e 处的切线方程；（Ⅱ）若函数()f x 在区间1(,)(0)3m m m +>上存在极值，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）设1()[()1]xg x xf x a+=-，对任意(0,1)x ∈恒有()22g x x <-，求实数a 的取值范围。

三门峡市2022—2023学年度高三11月阶段性考试数学（理科）（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.考试结束后，将答题卡交回.第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}{}20,40P x x Q x x =+==+=∣∣，则集合()(){}240xx x ++≠=∣（）A.()RP Q ðI B.()R P Q⋃ð C.()()RRP Q ⋂痧 D.()()RRP Q ⋃痧【答案】C 【解析】【分析】根据集合之间的交并补运算，即可求解.【详解】因为{}{}{}{}202,404P xx Q x x =+==-=+==-∣∣，而()(){}{}2402-4xx x x x x ++≠=≠-≠∣∣且所以()(){}()()240x x x P Q ++≠=⋂R R∣痧，故选:C.2.“1a =-”是“函数221y ax x =+-与x 轴只有一个交点”的（）A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】根据函数221y ax x =+-与x 轴的交点转换为方程2210ax x +-=得实根，从而可分类得a 的值，故可判断两个条件之间的关系.【详解】解：若函数221y ax x =+-与x 轴只有一个交点，即方程2210ax x +-=只有一个实根则0a =或2Δ240a a ≠⎧⎨=+=⎩，所以0a =或1a =-，因此“1a =-”是“函数221y ax x =+-与x 轴只有一个交点”的充分不必要条件.故选：C.3.设函数()()2log 1,223,2xx x f x x ⎧->=⎨-≤⎩，若()5f m =，则m =（）A.3B.4C.32D.33【答案】D 【解析】【分析】分两种情况，代入相应的函数进行求解.【详解】当m>2时，()2log 15m -=，解得：33m =，符合要求，当2x ≤时，231x -≤，故不可能等于5，综上：33m =故选：D4.已知正项等比数列{}n a 首项为1，且5344,,2a a a 成等差数列，则{}n a 前6项和为（）A.31B.3132C.6332D.63【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式及等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】∵5344,,2a a a 成等差数列，∴354242a a a =+，∴243111242a q a q a q =+，即2210q q +-=，解得12q =或1q =-，又∵0n a >，∴12q =，∴()66161111263113212a q S q ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦===--，故选：C.5.已知向量()1,2a =-- ，()2,b λ= ，且a 与b的夹角为钝角，则实数λ的取值范围是（）A.(),1-∞- B.()1,-+∞ C.()1,4- D.()()1,44,-⋃+∞【答案】D 【解析】【分析】由a 与b的夹角为钝角得0a b ⋅< ，且,a b 不共线，再按照向量的坐标运算求解即可.【详解】因为向量()1,2a =-- ，()2,b λ= ，且a 与b夹角为钝角，由上述条件得，0a b ⋅< ，且a ，b不反向，由0a b ⋅<得，220λ--<，1λ>-.当a ，b 共线时有，212λ=--，4λ=.此时a ，b 反向，因此实数λ的取值范围()()1,44,-⋃+∞.故选:D.6.在ABC 中，已知cos cos a c A b c B +=+，则ABC 的形状是（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰或直角三角形【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理化角为边，然后通过代数式的变形可得．【详解】因为cos cos a c A b c B +=+，所以22222222b c a a c b a b b a +-+-+=+，222222222()2()a b a b c a ab b a c a ++-=++-，222()()0a b c a b ---=，所以a b =或222c a b =+，所以ABC 为等腰三角形或直角三角形．故选：D ．7.函数()21cos 21x x f x x -=+在33,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图像为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】设函数()2121x x g x -=+，由奇函数的定义可得()y g x =为奇函数，由cos y x =为偶函数，可判断()y f x =为奇函数，排除C ，D ，由0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，排除A ，从而可得答案.【详解】设函数()2121x x g x -=+，则()()21122121x xx x g x g x -----===-++，则()y g x =为奇函数，因为cos y x =为偶函数，所以()y f x =为奇函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，故选：A ．8.数列{}n a 中，112a =，且对任意,N m n *∈都有m n m n a a a +=，若19111k k k a a a +++++ 15522=-，则k =（）A.2B.3C.4D.5【答案】D 【解析】【分析】由题意，令1m =，则112n n a a +=，由此得到{}n a 是一个等比数列，由等比数列的性质知1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，用等比数列的求和公式计算即可.【详解】由任意,m n *∈N 都有m n m n a a a +=，所以令1m =，则11n n a a a +=，且112a =，所以{}n a 是一个等比数列，且公比为12，则1910155191112222222k k k k k k k k a a a ++++++++=+++=-=- 所以5k =，故选：D.9.ABC 中，点M 为AC 上的点，且3AM MC =，若BM BA BC λμ=+ (,R)λμ∈，则λμ-=（）A.13-B.12-C.13D.12【答案】B 【解析】【分析】选定基向量，根据向量的加减法，用基底表示出向量BM ，结合条件即可求得13,44λμ==，可得答案.【详解】由题意可得33()44BM BA BA AC BA BC B AM A =+=+=+-1344BA BC +=,又BM BA BC λμ=+ ，故13,44λμ==，故12λμ-=-，故选:B10.已知点()3,P a 在角θ的终边上，点()2,4Q a 在角π4θ-的终边上，则实数a 的值为（）A.1-B.6C.6或1- D.6-或1【答案】B 【解析】【分析】易得0a ≠，再根据三角函数的定义结合两角差的正切公式即可得解.【详解】若0a =，则()()3,0,0,4P Q ，角θ的终边位于x 轴的正半轴，角π4θ-的终边位于y 轴的正半轴，而ππ44θθ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，矛盾，所以0a ≠，则πtan tanπ424tan ,tan π3421tan tan 4a a a θθθθ-⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭+，即12313a a a -=+，解得6a =或1-，当1a =-时，()3,1P -位于第四象限，()2,4Q -位于第二象限，不符题意；当6a =时，()()3,6,12,4P Q 都位于第一象限，符合题意，所以6a =.故选：B.11.锐角ABC 中，若()2b a ac =+，则()2sin sin AB A -的取值范围是（）A.20,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B.12,22⎛ ⎝⎭C.1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.30,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件及余弦定理，再利用正弦定理、三角形内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角形的为锐角三角形得出角的范围即可求解【详解】由()2b a ac =+，得22b a ac =+，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B a ac =+-+，即2cos a a B c +=，由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=,因为()πC A B =-+,所以()2sin cos sin sin cos cos sin sin A B A B A B A B A =+=++,即()si sin n A A B =-.因为ABC 为锐角三角形，ππππ0,0,2222A B B A ∴<<<<∴-<-<所以A B A =-或πA B A +-=，解得2B A =或B π=（舍），因为ABC 为锐角三角形，πππππ0,02,0π3,22264A A A A ∴<<<<<-<∴<<.所以()22sin sin 1sin ,sin sin 22A AA B A A ⎛⎫==∈ ⎪ ⎪-⎝⎭.故选：B.12.已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若()12f x -，()2f x '+均为偶函数，对于以下结论①()10f =，②()30f '-=，③()()24f f -=，④()()24f f ''-=-.其中正确的结论个数为（）A.0 B.1C.2D.3【答案】D 【解析】【分析】根据偶函数的性质和导数的运算性质逐一判断即可.【详解】因为()12f x -是偶函数，所以有()()()()33121212122422f x f x f f f f ⎛⎫⎛⎫-=+⇒-⨯=+⨯⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故③正确；因为()2f x '+是偶函数，所以()()()()2231f x f x f f '''+=-+⇒-='，由()()()()()()12122122121212f x f x f x f x f x f x ''''-=+⇒--=+⇒--=+()()()()111030f f f f ''''⇒-=⇒=⇒-=，因此②正确，由()()()()121224f x f x f f ''''--=+⇒--=，因此④正确，由等式()()1212f x f x -=+不能确定()1f 的值，故选：D【点睛】关键点睛：本题的关键是利用偶函数的性质以及对由偶函数性质得到的等式进行求导.第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.若“x a >”是“39x >”的必要条件，则a 的取值范围是________．【答案】2a ≤【解析】【分析】根据题意39x >解得：2x >，得出()()2,,a +∞⊆+∞，由此可得出实数a 的取值范围.【详解】根据题意39x >解得：2x >，由于“x a >”是“39x >”的必要条件，则()()2,,a +∞⊆+∞，2a ∴≤.因此，实数a 的取值范围是：2a ≤.故答案为：2a ≤.14.设等差数列{}n a 的公差d 不为0，116a d =，若k a 是1a 与2k a 的等比中项，则k 等于______.【答案】5【解析】【分析】根据题意得到212k k a a a =⋅，即()()2111121a k d a a k d +-=⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，再解方程即可.【详解】因为k a 是1a 与2k a 的等比中项，所以212k k a a a =⋅，即()()2111121a k d a a k d +-=⋅+-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，所以()()2221516215k d k d +=+.因为0d ≠，所以22150k k --=，即()()530k k -+=，解得5k =或3k =-（舍去）.故答案为：515.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，在表现方式上常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．已知圆O 是某窗的平面图，O 为圆心，点A 在圆O 的圆周上，点P 是圆O 内部一点，若2OA =，且2OA AP ⋅=-，则OA OP + 的最小值是______．【答案】3【解析】【分析】利用向量的线性运算，结合数量积2OA AP ⋅=-，可求得1cos OP AOP=∠ ，确定其取值范围,再根据OA OP +平方后的式子，即得.【详解】因为AP OP OA =-，所以()22⋅=⋅-=⋅-=- OA AP OA OP OA OA OP OA ，所以2OA OP ⋅=，即cos 2OA OP AOP ⋅∠= ，则1cos OP AOP=∠ ．因为点P 是圆O 内部一点，所以12cos OP AOP =<∠ ，所以1cos 12AOP <∠≤，则()22221289cos OA OP OA OA OP OP AOP+=+⋅+=+≥∠ ，当且仅当cos 1AOP ∠=时，等号成立，故OA OP +的最小值是3．故答案为：3.16.若函数()41sin 2cos 33f x x x a x =-+在(),-∞+∞内单调递增，则实数a 的取值范围是___________.【答案】[,]33-【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，由给定条件可得242sin sin 33a x x ≤+恒成立，再分类讨论作答.【详解】因函数()f x 在(),-∞+∞内单调递增，则R x ∀∈，42()cos 2sin 033f x x a x '=--≥，即42sin cos 233a x x ≤-，整理得242sin sin 33a x x ≤+，当sin 0x =时，则203≤成立，R a ∈，当sin 0x >时，42sin 33sin a x x ≤+，而4221sin (2sin )33sin 3sin x x x x +=+≥当且仅当12sin sin x x =，即2sin 2x =时取“=”，则有423a ≤，当sin 0x <时，42sin 33sin a x x ≥+，而4221sin [(2sin )]33sin 3sin x x x x +=--+≤--，当且仅当12sin sin x x -=-，即2sin 2x =-时取“=”，则有423a ≥-，综上得，33a -≤≤所以实数a的取值范围是[,]33-.故答案为：,33⎡-⎢⎣⎦【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数()222cos sin 2f x x x =-+．（1）求函数()f x 的最大值；（2）把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()g x 的单调递减区间【答案】（1）4；（2）π2π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z .【解析】【分析】（1）根据降幂公式，结合余弦函数的最值性质进行求解即可；（2）根据余弦型函数图象的变换性质，结合余弦型函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】()221cos 2352cos sin 21cos 22cos 2222x f x x x x x -=-+=+-+=+∴当cos 21x =时()f x 取得最大值4；【小问2详解】因为把()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移π3个单位，得到函数()y g x =的图象，所以()3π5cos 232g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令π2π2ππ(Z)3k x k k ≤+≤+∈，可得函数()g x 的单调递减区间为π2π2π,2π33k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，Z k ∈．18.设{}n a 是等比数列，其前n 项的和为n S ，且22a =，2130S a -=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若48n n S a +>，求n 的最小值.【答案】（1）12n n a -=；（2）6.【解析】【分析】（1）由题意易得2120a a -=，根据等比数列的定义，可求出{}n a 的公比为2q =，由此即可求出{}n a 的通项公式；（2）由（1）可求21n n S =-，进而求出n n S a +的表达式，再根据48n n S a +>，列出关于n 不等式，解不等式，即可求出结果.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，因为2130S a -=，所以2120a a -=，所以212a q a ==，又22a =，所以11a =，所以1112n n n a a q --==.（2）因为()11211n n n a q S q -==--，所以11212321n n n n n S a --+=-+=⋅-，由132148n -⋅->，得13249n -⋅>，即14923n ->，解得6n ≥，所以n 的最小值为6.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n 项和的求法和应用，属于基础题.19.已知函数()()()2log 123()x x x m f x x m ⎧+=⎨->⎩ ，其中0m >.若存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有两个不同的实数根.（1）求m 的整数值；（2）设函数()2,g x x a x t t =+-取m 的最大整数值.若()g x 在[)0,∞+上单调递增，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1或2（2）[]4,0-【解析】【分析】（1）判断函数的单调性，结合简图求出m 的整数值；（2）把()g x 化为分段函数，结合分段函数的单调性求出结果.【小问1详解】当x m ≤时，()()2log 1f x x =+，是增函数.当x >m 时，()23x f x =-，也是增函数.画图可知，当“点()()2,log 1A m m +在点(),23m B m -上方”时，存在实数b ，使直线y b =与曲线()y f x =有两个交点，即存在实数b ，使得关于x 的方程()f x b =有两个不同的实数根.所以()2log 123mm +>-，解得1,2m =，故m 的整数值是1或2.【小问2详解】由（1）可得2t =；()22222,222,2x ax a x g x x a x t x a x x ax a x ⎧+-≥=+-=+-=⎨-+<⎩在[)2,+∞上，()22f x x ax a =+-单调递增，等价于22a -≤，即4a ≥-.在[)0,2上，()22f x x ax a =-+单调递增，等价于02a ≤，即0a ≤.综上知，实数a 的取值范围是[]4,0-.20.已知等差数列{}n a 的公差为-1，且2712-6a a a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）若将数列{}n a 的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前3项，记{}n b 的前n 项和为n T .若对任意m ，n ∈*N ，都有n m S T λ<+恒成立，求实数λ的取值范围.【答案】（1）5n a n =-，(9)2n n n S -=（2）2λ≥【解析】【分析】（1）先利用27126a a a ++=-以及等差数列的性质，求出72a =-，再把公差代入即可求出首项，写出通项公式和前n 项和n S ；（2）由已知求出等比数列的首项和公比，代入求和公式得m T ，并利用函数的单调性求出其范围；再利用（1）的结论以及n m S T λ<+恒成立，即可求实数λ的取值范围．【详解】（1）由27126a a a ++=-得736a =-，所以72a =-，所以716(1)2a a =+⨯-=-，解得14a =，5n a n ∴=-，从而(9)2n n n S -=.（2）由题意知1234,2,1b b b ===，设等比数列{}n b 的公比为q ，则2112b q b ==，14121811212m m m T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，1(2m y = 随m 递减，m T ∴为递增数列，得48m T < ，又()22(9)11981922224n n n S n n n ⎡⎤-⎛⎫==--=---⎢ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，故()45max 10n S S S ===，若存在m ∈*N ，使对任意n ∈*N 总有n m S T λ<+，则108λ≤+，解得2λ≥.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质，通项公式，等比数列的定义，前n 项和，函数的单调性，最值，属于难题．21.在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，△ABC 的面积214S c =．（1cos B b =-，求sin sin A B的值；（2）求a b 的取值范围．【答案】（111（2）1]【解析】【分析】（1cos B b =-可得π4C =，由214S c =2c =，结合余弦定理得221a a b b+=，换元a t b =求出其值，由正弦定理即可得答案;（2）由214S c =得22sin ab C c =，结合余弦定理得22πsin()4a b C +=+，变形为22π1sin()4a a Cb b +=⨯+，换元a t b =，可得2πsin(4C =+，结合三角函数的性质可得不等式212-<≤，即可求得答案.【小问1详解】cos B b =-cos sin C B A B =-，cos )sin C B B C B =+-,cos sin B C B =，因为sin 0B ≠1C =，即2cos 2C =，由(0,π)C ∈得：π4C =;由214S c =得：211sin 24ab C c =，即22144ab c =2c =，由余弦定理可得：222222cos a ab C c b a b =+-=+-=，故22+=a b ，则221a a b b +=，令a t b =，则21t +=，解得1t =，由正弦定理得：sin sin A a B b =，故sin sin A B 1+1；【小问2详解】由214S c =得：211sin 24ab C c =，即22sin ab C c =，由余弦定理可得：2222cos 2sin a ab C ab b C c =+-=，即22π2(sin cos )sin()4a b ab C C C +=+=+，故22π1sin()4a a Cb b +=⨯+，令a tb =，则2π1sin()4t C +=+2πsin()4C =+,由(0,π)C ∈得ππ54π,44C ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故πsin()(,1]42C +∈-，故212-<≤11t -≤≤，故a b 的取值范围是1].22.已知函数()ln 1m f x n x x =++（,m n 为常数）的图象在1x =处的切线方程为20x y +-=.(1)判断函数()f x 的单调性；(2)已知()0,1p ∈，且()2f p =，若对任意(),1x p ∈，任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()3222f x t t at ≥--+与()3222f x t t at ≤--+中恰有一个恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）单调递减；（2）15][,)84∞+∞ （-,-.【解析】【分析】（1）由已知求得12,2m n ==-，代回函数的导函数可得函数导数恒小于零，故函数在定义域上递减；（2）原不等式等价于32221t at --+≤或32222t t at -++≥，分离常数得212a t t t≥-+，或22a t t ≤-对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立，利用导数求得21t t t-+的最大值，利用二次函数求最值的方法求得2t t -的最小值，由此可求得a 的取值范围.【详解】解：（1）∵函数()ln 1m f x n x x =++的定义域为()0+∞，，∴()()21mn f x x x +'=-+，由条件得()114m f n =-+=-'，把1x =代入20x y +-=得1y =，∴()112m f ==，即2m =，12n =-.∴()21ln 12f x x x =-+，()()221'21f x x x =--+.∵0x >，∴()0f x '<，∴()f x 在()0+∞，上单调递减.（2）由（1）知，()f x 在[],1p 上单调递减，∴()f x 在[],1p 上的最小值为()11f =，最大值为()2f p =，∴只需32221t t at --+≤或32222t t at --+≥，即212a t t t ≥-+或22a t t ≤-对任意1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立.令()21g t t t t =-+，则()()()222121121t t t g t t t t -++=--='，令()0g t '=得1t =，而2210t t ++>恒成立，∴当112t ≤<时，()0g t '<，()g t 单调递减；当12t <≤时，()0g t '>，()g t 单调递增.∴()g t 的最大值为()1max ,22g g ⎧⎫⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭.而1724g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()522g =，显然()122g g ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴()g t 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()522g =，又21,24t t ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴522a ≥或124a ≤-，即54a ≥或18a ≤-.∴实数a 的取值范围是][15,84⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，.【点睛】方法点睛：对于参数问题，常用的有分离参数法和分类讨论，要根据已知情况灵活选择，提高解题效率.。

河南省三门峡市2024-2025学年高三上学期11月阶段性考试数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4.考试结束后，将答题卡交回．第Ⅰ卷（选择题共58分）一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2log 2A x x =≤，{}24B x x =-<<，则A B = （）A. ()2,2-B. ()0,2C. ()0,4 D. (]0,4【答案】C 【解析】【分析】利用对数函数性质，化简集合A ，然后根据集合的交集运算即可【详解】根据题意，易得：{}04A x x =<≤又{}24B x x =-<<则有：{}04A B x x ⋂=<<故选：C2. “1x >”是“2x x >”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分性和必要性两方面判断即可；【详解】因为2x x >，所以0x <或1x >，则1x >可以推出2x x >，但2x x >不能推出1x >．故“1x >”是“2x x >”的充分不必要条件，故选：A ．3. 函数2x y -=-与2x y =的图象（ ）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于原点对称D. 关于直线y=x 对称【答案】C 【解析】【分析】令()2xf x =，则()2xf x ---=-，由()y f x =与()y f x =--的图象关于原点对称即可得解.【详解】解：令()2xf x =，则()2xf x ---=-()y f x = 与()y f x =--的图象关于原点对称，2x y -∴=-与2x y =的图象关于原点对称.故选：C【点睛】本题考查指数函数的性质，属于基础题.4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为341,2n S S a a =-，且2415a a +=，则35a a +=（ ）A. 3 B. 5C. 30D. 45【答案】D 【解析】【分析】首先确定1q ≠，再利用等比数列的前n 和公式代入即可求出答案.【详解】若公比1q =，则1152a =，315264S a ==，右边410a a -=，等式不成立，故1q ≠，则()()31311211a q aq q-⨯=--，显然310q -≠，所以211q=--，解得3q =，又因为()2242115a a a q +=+=，代入得232a=，所以()()33352333452a a a q q +=+=⨯+=，故选：D.5. 如图，平行四边形ABCD 中，2,AE EB DF FC ==，若,CB a CE b == ，则AF =（ ）A. 1322a b+ B. 3122a b-C. 1322a b -D. 1322a b-+【答案】C 【解析】【分析】根据条件，结合图形，利用向量的线性运算，即可求出结果.【详解】因为四边形ABCD 为平行四边形，且2AE EB =，DF FC =，所以12AF AD DF AD DC =+=+ ，即22AF AD DC =+①，又13CE CB BE CB BA =+=+ ，即33CE CB BA =+ ②，由①+②得到23AF CE CB += ，又CB a = ，CE b =，所以1322A b F a =- .故选：C.6. 关于x 的方程(1)(4)x x a --=有实数根12,x x ，且12x x <，则下列结论错误的是（ ）A. 当0a =时，121,4x x == B. 当0a >时，1214x x <<C. 当0a >时，121,4x x <> D. 当904a -<<时，122544x x <<【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，借助二次函数的图象，逐项分析判断即可.【详解】对于A ，当0a =时，方程(1)(4)0x x --=的二实根为121,4x x ==，A 正确；对于B ，方程(1)(4)x x a --=，即2540x x a -+-=，254(4)0a ∆=-->，解得94a >-，当0a >时，1244x x a =-<，B 错误；对于C ，令()(1)(4)f x x x =--，依题意，12,x x 是函数()y f x =的图象与直线y a =交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数()y f x =的图象与直线y a =，如图，观察图象知，当0a >时，1214x x <<<，C 正确；对于D ，当904a -<<时，12254(4,)4x x a =-∈，D 正确.故选：B7. 已知角αβ，满足tan 2α=，2sin cos()sin βαβα=+，则tan β=（ ）A13B.17C.16D. 2【答案】B 【解析】【分析】利用正弦和角公式，同角三角函数关系得到2tan()3tan αβα+=，故3tan()tan 32αβα+==，利用正切和角公式得到方程，求出1tan 7β=.【详解】因为()sin sin sin()cos cos()sin βαβααβααβα=+-=+-+，2sin cos()sin βαβα=+，所以2sin()cos 2cos()sin cos()sin αβααβααβα+-+=+，即2sin()cos 3cos()sin αβααβα+=+，则2tan()3tan αβα+=，因为tan 2α=，所以3tan()tan 32αβα+==，其中tan tan 2tan tan()31tan tan 12tan αββαβαββ+++===--，故2tan 36tan ββ+=-，解得1tan 7β=.故选：B.8. 在古巴比伦时期的数学泥版上，有许多三角形和梯形的分割问题，涉及到不同的割线.如图，梯形ABCD 中，//AB CD ，且CD a =，AB b =，EF 和GH 为平行于底的两条割线，其中EF为中位线，.GH 过对角线交点，则比较这两条割线可以直接证明的不等式为（ ）A.)0,02a ba b +≥>>B. ()20,0112a ba b a b+≤>>+C. )0,02a b a b +≤>>D. )220,0a b a b +≥>>【答案】B 【解析】【分析】首先设AC 交BD 于O 点，根据三角形相似性质得到211GH a b=+，即可得到答案.【详解】设AC 交BD 于O 点，如图所示：因为////AB GH CD ，所以OG AO BO OHDC AC BD DC===，即OG OH =.又因为1OG OH OG OH AO OCDC AB a b AC AC+=+=+=，即11221GH GHa b +=，解得2211ab GH a b a b==++.又因为2a b EF +=，GH EF ≤，所以2112a ba b+≤+.故选：B二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 在实际应用中，通常用吸光度A 和透光率T 来衡量物体的透光性能，它们之间的换算公式为1lgA T=，下表为不同玻璃材料的透光率：玻璃材料材料1材料2材料3T0.70.80.9设材料1、材料2、材料3的吸光度分别为123,,A A A ，则下列结论正确的是（ ）A. 12A A > B. 233A A >C. 1322A A A +> D. 231A A A +>【答案】AC 【解析】【分析】根据对数运算法则和单调性求解即可.【详解】由换算公式和图表可知，11110lglg 7A T ==，22110lg lg 8A T ==，33110lg lg 9A T ==，又因为函数lg y x =在(0,+∞)上单调递增，所以对于A ：121010lglg 78A A =>=，说法正确；对于B ：332101010001033lg lg lg lg 997298A A ⎛⎫===>= ⎪⎝⎭，说法错误；对于C ：131010100lg lg lg 7963A A +==+，22101010022lg lg lg 8864A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，1322A A A +>，说法正确；对于D ：231101010010lg lg lg lg 89727A A A +=+=<=，说法错误；故选：AC10. 已知非零向量,,a b c，则下列结论正确的是（ ）A. 若a c b c ⋅=⋅ ，则a b=B. 若()0a b c ⋅=，则b c⊥C. 若()()a b a b +⊥-，则||||a b = D. 向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直【答案】BCD的【解析】【分析】A 选项，举出反例即可；B 选项，由向量数乘运算和数量积公式得到b c ⊥；C 选项，根据向量数量积公式得到220a b -= ，故||||a b = ；D 选项，计算出()()0a b c a c b a ⎡⎤⋅-⋅⋅=⎣⎦，得到垂直关系.【详解】A 选项，不妨设()()()1,0,2,0,0,1a b c === ，满足0a c b c ⋅=⋅=，但a b ≠ ，A 错误；B 选项，()0a b c ⋅= ，故0b c ⋅=，则b c ⊥ ，B 正确；C 选项，()()a b a b +⊥- ，故22()()0a b a b a b +⋅-=-= ，故||||a b = ，C 正确；D 选项，()()()()()()0a b c a c b a a b c a a c b a ⎡⎤⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅=⎣⎦ ，故向量()()a b c a c b ⋅-⋅ 与向量a垂直，D 正确.故选：BCD11. 已知函数()cos sin f x x x x =-在区间(0,3π)内有两个零点12,x x ，则下列结论正确的是（ ）A. 当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，tan x x > B.12πx x ->C. 12sin 02x x +⎛⎫>⎪⎝⎭D. 1221sin sin 0x x x x +<【答案】ABD 【解析】【分析】由()0f x =得()tan cos 0x x x =≠，从而得1122tan ,tan x x x x ==，作出单位圆以及5ππtan ,0,22{|y x x x x x =∈<<≠且3π2x ⎫≠⎬⎭与y x =的函数图象，结合图象逐一判断即可得解.【详解】()0f x =即cos sin 0x x x -=，即sin cos x x x =，当cos 0x =时，上式显然不成立，故()0f x =等价于()tan cos 0x x x =≠，所以1122tan ,tan x x x x ==.对于A ，设π0,2AOB α⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭，作出单位圆，则由三角函数定义可知 tan ,ABAC l αα==，设扇形OAB 的面积为1S ，则1OAC S S > ，即1111tan 2222ABOA AC l OA αα⋅=>=⋅，故tan αα>，故A 正确；对于B ，画出5ππtan ,0,22{|y x x x x x =∈<<≠且3π2x ⎫≠⎬⎭与y x =的函数图象，因为tan y x =的最小正周期为π，所以由图象可知1x 与2x 之间的距离大于π，即12πx x ->，故B 正确；对于C ，由图得123π5ππ,,2π,22x x ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故23πx <+14πx <，故123π2π22x x +<<，所以12sin 02x x +<，故C 错误；对于D ，因为1122tan ,tan x x x x ==，所以12122112212112sin sin sin sin tan sin tan sin sin sin cos cos x x x x x x x x x x x x x x ++=+=()()1212121212sin sin cos cos tan tan cos cos cos cos x x x x x x x x x x +==⋅+1212121212tan tan cos cos 2222x x x x x x x x x x ⎡⎤+-+-⎛⎫⎛⎫=⋅++- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦121212tan tan 2coscos 22x x x x x x +-=⋅⋅，由图可知，12tan tan x x 、均大于0，由C 项知123π2π22x x +<<，故12cos 02x x +>，又由B 项知12π3π224x x -<<，所以12cos 02x x -<，所以121212tan tan 2cos cos 022x x x xx x +-⋅⋅<即1221sin sin 0x x x x +<，故D 正确.故选：ABD.【点睛】关键点睛：对于选项D 判断1221sin sin 0x x x x +<，关键点1是根据已知条件1122tan ,tan x x x x ==结合问题的结构特征将1221sin sin x x x x +转化成1221tan sin tan sin x x x x +，接着将其弦切互化得到()()1212121212sin sin cos cos tan tan cos cos cos cos x x x x x x x x x x +=⋅+；关键点2是利用选项B和C 中的12x x +和12x x -结合12121212122222x x x x x x x xx x +-+-+-==、以及两角和与差的余弦公式，将()1212tan tan cos cos x x x x ⋅+转化成121212tan tan 2cos cos 22x x x xx x +-⋅⋅，进而结合图象且借助选项B 和C 中的结论即可判断得解.第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在ABC V 中，2cos 3C =，4AC =，3BC =，则cos B =______【答案】19【解析】【分析】根据角C 的余弦定理形式求解出c 的值，再根据余弦定理求解出cos B 的值.【详解】因为22222cos 16924393c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，所以3c =，所以22299161cos 22339a cb B ac +-+-===⨯⨯，故答案为：19.13. 已知二次函数()f x 从1到1x +∆的平均变化率为23x ∆+，请写出满足条件的一个二次函数的表达式()f x =_______．【答案】22x x -（答案不唯一）【解析】【分析】设f (x )=ax 2+bx +c ，利用平均变化率的定义计算即可.【详解】设f (x )=ax 2+bx +c ，则()()()()()21Δ11Δ1ΔΔ21Δ1Δf x f a x b x c a b c a x a b x x+-++++-++==+++-，由题意知223a a b =⎧⎨+=⎩，解之得21a b =⎧⎨=-⎩，显然c 的取值不改变结果，不妨取0c =，则()22f x x x =-.故答案为：22x x-14. 已知函数()11x x e f x e -=+，()()11g x f x =-+，()*12321n n a g g g g n N n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++⋯+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 通项公式为__________．【答案】21n a n =-【解析】【分析】先证明函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，故()()22g x g x +-=，由此将n a 的表达式两两组合求它们的和，然后求得n a 的表达式.【详解】由于()()1111x xx xe ef x f x e e-----===-++，所以函数()f x 为奇函数，故()()11g x f x =-+的图像关于()1,1对称，由此得到()()22g x g x +-=，所以()121222111n n n n n a g g g g g g g n n n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ()()()()211210121n g n f n =-+=-++=-.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和对称性，考查特殊数列求和的方法——分组求和法.属于中档题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设函数()e xf x =，x ∈R .的（1）求方程()()()22f x f x =+的实数解；（2）若不等式()22x b b f x +-≤对于一切x ∈R 都成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）ln 2x = （2）112b -≤≤【解析】【分析】（1）转化为关于e x 的一元二次方程进行求解.（2）分离参数，构造函数()g x ，求导得到()g x 的最小值即可求解.【小问1详解】由()e xf x =，代入方程()()()22f x f x =+得：()2e e 2x x =+，即()()e 2e 10xx-+=，解得e 2x =，即ln 2x =.【小问2详解】不等式()22x b b f x +-≤即22e x x b b +-≤，原不等式可化为22e x b b x -≤-对x ∀∈R 都成立，令()e xg x x =-，则()e 1xg x '=-，当0x >时，()0g x '>，当0x <时，()0g x '<，所以()g x 在(),0∞-上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，故当0x =时，()()min 0=1g x g =，所以221b b -≤，即2210b b --≤，解得：112b -≤≤.16. 已知函数2()2sin cos f x x x x =+-，R x ∈，且将函数()f x 的图象向左平移π(02ϕϕ<<个单位长度得到函数()g x 的图象．（1）求()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）若函数()g x 是奇函数，求ϕ的值；（3）若1cos 3ϕ=，当x θ=时函数()g x 取得最大值，求π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．【答案】（1）πT =，π5ππ-,π+,Z 1212k k k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（2）π6ϕ=（3）π()12f θ+=【解析】【分析】（1）用二倍角公式、降幂公式及辅助角公式进行化简，再利用2πT ω=求解即可得到最小正周期；结合正弦函数的单调递增区间，用整体的思想求解即可；（2）先根据平移变换求出()g x 表达式，在根据题意列出等式求解即可；（3）当x θ=时函数()g x 取得最大值，由此可得5ππ12k θϕ=-+，代入π12f θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简；又1cos 3ϕ=，因此可求出sin ϕ，再求出sin 2,cos 2ϕϕ，再根据两角和的正弦公式求解即可.【小问1详解】由题意得()πsin 222sin 23f x x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，则其最小正周期2π=π2T =，令πππ2π22π,Z 232k x k k -≤-≤+∈，解得π5πππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，则其单调递增区间为π5ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦．【小问2详解】将()f x 的图象向左平移ϕ个单位长度得到()g x 的图象，则()π2sin 223g x x ϕ⎛⎫=+-⎪⎝⎭，若函数()g x 是奇函数，则π20π,Z 3k k ϕ-=+∈,即ππ,Z 62k k ϕ=+∈因为π02ϕ<<，所以0k =时，π6ϕ=．【小问3详解】由题知πsin(22)13θϕ+-=，则22232k θϕππ+-=+π，从而512k θϕπ=-+π，Z k ∈，因此πππππ2sin π22π2sin 212233f f k k θϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因为1cos 3ϕ=，且π02ϕ<<，所以sin ϕ=，的因此1sin 223ϕ==，17cos 22199ϕ=⨯-=-，所以π17sin(2)()329ϕ+=-=，所以π()12f θ+=17. ABC V 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .（1）若sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，3π4C =，求a b的值；（2）求证：()222sin sin A B a b c C--=.【答案】（1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意由正弦定理的边角互化，结合余弦定理代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，先由正弦定理的边角互化进行化简，再由余弦定理公式代入计算，即可证明.【小问1详解】因为sin sin sin sin cos21A B B C B ++=，所以2sin sin sin sin 1cos 22sin A B B C B B +=-=，由正弦定理可得22ab bc b +=，即2a c b +=，由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-，所以()222322cos4b a a b ab π-=+-，整理可得(34b a =，所以a b==.【小问2详解】证明：()sin sin cos cos sin sin sin A B A B A B CC--=，由正弦定理可得sin cos cos sin cos cos sin A B A B a B b AC c--=，由余弦定理可得222222222222cos cos 22222a c b b c a a b a B b A a b a b ac bc c c c c +-+-⋅-⋅---===，所以()222sin sin A B a b c C--=.18. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，11nn S a n n+=--，*N n ∈.（1）求n S ；（2）令()11121n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，证明：12313n b b b b ++++< .【答案】（1）2n S n = （2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意n a 与n S 之间的关系将1n a +用1n n S S +-表示，得到111n n S S n n +-=+，得到n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，进而得到n S ；（2）化简n b ，利用裂项相消法求和即可证明.【小问1详解】因为11n n n a S S ++=-，11nn S a n n+=--，所以()()()1111n n n n S n a n n S S n n ++=--=--+， 故()()111n n S n nS n n ++=-+，及111n nS S n n+-=+，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为11111S a ==，公差为1的等差数列， 故()11nS n n n=+-=，则2n S n =.【小问2详解】因为2n S n =，1n n n a S S -=-（2n ≥，*N n ∈），所以()22121n a n n n =--=-（2n ≥，*N n ∈）.又11a =符合上式，所以21n a n =-()*N n ∈.因为()11121n n n n n n n S S b na a n a a ++++=-+，所以()()()()()()221212112123n n n b n n n n n n +=--++++()()()()121212123nn n n n n +=--+++()()()()()4114421212123n nn n n n ⎡⎤+=-⎢⎥-+++⎣⎦11111421212123n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥-+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦11142123n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭， 所以123nb b b b ++++L 1111111111111453759252123212123n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 11111411114321234321233n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=--< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭.19. 若函数()f x 对其定义域内任意()1212,x x x x ≠满足：当()()12f x f x =时，恒有12x x m =，其中常数m ，则称函数()f x 具有性质()V m .（1）函数1()2=+g x x x具有性质()V m ，求m .（2）设函数()()()1221()ln ,0h x x x h x h x x x =-=>>，（ⅰ）判断函数()h x 是否具有性质()V m ，若有，求出m ，若没有，说明理由；（ⅱ）证明：2122x x <.【答案】（1）12m =（2）（ⅰ）()h x 不具有性质()V m ，理由见解析；（ⅱ）证明见解析【解析】【分析】（1）对任意的()()12,,00,x x ∈-∞+∞ 且12x x ≠，由12121221x x x x ++=变形得到()1212012x x x x ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，得到1212x x =，求出12m =；（2）（ⅰ）求导，得到()ln h x x x =-的单调性，得到1201x x <<<，假设()h x 具有性质()V m ，即21x x m =，所以21x m x =，根据1122ln ln x x x x -=-，得到1112ln ln 0x mx m x --+=，显然不能恒成立，故假设不成立，()h x 不具有性质()V m ；（ⅱ）先得到21211ln ln x x x x -=-，由对数平均不等式得到121x x <，分212x <≤和22x >两种情况进行求解，当212x <≤时，1122222x x x x x =⋅<，当22x >时，构造差函数，进行求解，得到结论.【小问1详解】1()2=+g x x x定义域为()(),00,-∞+∞ ，对任意的()()12,,00,x x ∈-∞+∞ 且12x x ≠，有12121221x x x x ++=，即()()2112121212121211201222x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫---+-+-==-= ⎪⎝⎭，因为12x x ≠，所以120x x -≠，故1212x x =，故1212x x =，故12m =；小问2详解】()h x 不具有性质()V m ，理由如下：()ln h x x x =-的定义域为()0,∞+，11()1x h x x x-'=-=，当1x >时，()0h x '>，当01x <<时，()0h x '<，故()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，又21x x >，故1201x x <<<，假设函数()h x 具有性质()V m ，即21x x m =，所以21x mx =，【因为1122ln ln x x x x -=-，所以111111ln ln ln ln x x m x x x x m mm -=-=-+，故1112ln ln 0x mx m x --+=对于任意的()10,1x ∈恒成立，即1112ln ln mm x x x --+恒为0，显然不可能，故假设不成立，故()h x 不具有性质()V m ；（ⅱ）因为1122ln ln x x x x -=-，所以2121ln ln x x x x -=-，21211ln ln x x x x -=-，下面证明2121ln ln x x x x ->-2211ln ln xxx x >>⇒，1t =>2101ln 2l ln 1n 2t t x x t tt t >-⇒⇒->->，令()12ln t tp t t --=，1t >，则()()222221121210t t t t t tp t t --+-===+>'，故()12ln t tp t t --=在()1,t ∈+∞上单调递增，故()()10p t p >=，12ln 0t t t-->，所以2121ln ln x x x x ->-1>，所以121x x <，当212x <≤时，1122222x x x x x =⋅<，当22x >时，令()111112222222222222ln ln ln ln 22ln h x h x x x x x x x x x ⎛⎫-=--+=--+-⎪⎝⎭22222222222ln ln 22ln 3ln ln 2x x x x x x x =--+-=--+，令()223ln ln 2q x x x x=--+，2x >，()()()23233321343410x x x x q x x x x x-+-+'=-+==>，故()223ln ln 2q x x x x=--+在()2,+∞上单调递增，又()32322ln 2ln e ln 42q =-=-，其中3e 160->，故32e 4>，所以()20q >，故()1222222223ln ln 20h x h x x x x ⎛⎫-=--+> ⎪⎝⎭，()1222h x h x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，其中()()12220,1,0,1x x ∈∈，而()h x 在()0,1上单调递减，故1222x x <，2122x x <，综上，2122x x <.121212ln ln 2x x x xx x -+<<-，在处理函数极值点偏移问题上经常用到，可先证明，再利用对数平均不等式解决相关问题，证明的方法是结合1122ln ln ln x x x x -=，换元后将二元问题一元化，利用导函数进行证明。

2020届河南省名校联盟高三11月教学质量检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合3{}12A =，，，5{}13B =，，，则A B =（ ）A ．{1}3，B ．{123}，，C ．{135}，，D ．15}2{3，，， 【答案】A【解析】直接利用交集的运算即可得到结果. 【详解】{1,2,3}{1,3,5}{1,3}A B ==．故选：A . 【点睛】本题主要考查交集的定义及运算，属于基础题． 2．复平面内表示复数1212iz i-+＝的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再求出z 的坐标得答案． 【详解】因为212i (12i)34i 12i (12i)(12i)55z --===--++-， 所以复数1212i z i -=+所对应的复平面内的点为34,55Z ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，位于第三象限．故选：C . 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的运算，属于基础题．3．设向量a b ，满足1a b ==，12a b ⋅=-r r ，则34a b +=（ ）A ．1B CD ．7【答案】B【解析】由222349+24+16a b a a b b +=⋅，然后用数量积的定义，将a b ，的模长和a b⋅代入即可求解. 【详解】因为222349+24+16a b a a b b +=⋅191624132⎛⎫=++⨯-= ⎪⎝⎭，所以34a b += 故选：B . 【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.4．设有不同的直线a ，b 和不同的平面α，β，给出下列四个命题： ①若//a α，//b α，则//a b ； ②若//a α，//a β，则//αβ； ③若a α⊥，b α⊥，则//a b ； ④若a α⊥，a β⊥，则//αβ． 其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系判断求解即可． 【详解】对于①，若a ∥α，b ∥α，则直线a 和直线b 可以相交也可以异面，故①错误； 对于②，若a ∥α，a ∥β，则平面a 和平面β可以相交，故②错误； 对于③，若a ⊥α，b ⊥α，则根据线面垂直性质定理，a ∥b ，故③正确； 对于④，若a ⊥α，a ⊥β，则α∥β成立； 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查推理判断能力，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．甲、乙2名党员干部各自等可能地从A ，B ，C ，D ，4个贫困村中选择1个驻村扶贫，则他们选择不同的贫困村驻村扶贫的概率为（ ） A ．34B ．12C ．14D ．116【答案】A【解析】列举出符合题意的所有情况，找出满足选择不同的贫困村驻村扶贫的种数，利用古典概型的概率公式计算即可.. 【详解】甲乙2名党员干部各自等可能地从A ，B ，C ，D ，4个贫困村中选择1个驻村扶贫，可能的结果共有如下16种：(,)A A ，(,)A B ，(A,C)，(,)A D ，(,)B A ，(,)B B ，(,)B C ，(,)B D ，(C,A)，(,)C B ，(,)C C ，(,)C D ，(,)D A ，(,)D B ，(,)D C ，(,)D D ，其中他们选择相同的贫困村驻村扶贫的结果共有如下4种：(,)A A ，(,)B B ，(,)C C ，(,)D D ，故他们选择不同的贫困村驻村扶贫的概率为431164-=． 故选：A . 【点睛】本题主要考查古典概型，考查了列举法求基本事件的方法，属于基础题.6．已知甲、乙、丙三人中，一位是河南人，一位是湖南人，一位是海南人，丙比海南人年龄大，甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小．由此可以推知：甲、乙、丙三人中（ ） A ．甲不是海南人 B ．湖南人比甲年龄小 C ．湖南人比河南人年龄大 D ．海南人年龄最小 【答案】D【解析】通过分析，排除即可． 【详解】由于甲和湖南人不同岁，湖南人比乙年龄小，可知湖南人不是甲乙，故丙是湖南人； 由于丙比海南人年龄大，湖南人比乙年龄小，可知甲是海南人； 故：乙（河南人）的年龄＞丙（湖南人）的年龄＞甲（海南人）的年龄； 所以ABC 错，D 对． 故选：D ． 【点睛】本题考查简单的逻辑推理，属于基础题． 7．已知tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝，则sin 21cos 2αα=+（ ） A ．13 B ．12C ．2D ．3【答案】A【解析】利用二倍角公式化简，再利用两角差的正切公式，将弦化切，代入计算即可求出值． 【详解】2tan tansin 22sin cos 21144tan tan 1cos22cos 441231tan tan 44ππααααππααππααα⎛⎫+- ⎪-⎡⎤⎛⎫⎝⎭===+-=== ⎪⎢⎥++⎛⎫⎝⎭⎣⎦++ ⎪⎝⎭． 故选：A . 【点睛】此题考查了运用二倍角的正余弦公式化简求值，考查了同角三角函数间的基本关系的应用，属于基础题．8．函数()3sin 3x f x x =+的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】本题首先可根据()3sin 3x f x x =+得出()3sin 3x f x x 骣琪-=-+琪桫，然后即可判断出函数是奇函数并排除B 项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解。