2.1 可分离变量型方程的解法 [教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标] 1. 会熟记、记准导数公式和积分公式; 2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分; 3. 知道齐次方程的形式 )x y f (dx dy =，并会用变换x y u =，将原方程化为 变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数 方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解. 1. 导数公式和积分表的意义 小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。 大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表） 练习17. （1） 合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式. （2）双曲正弦2e e sh x x x --=，双曲余弦2 e e ch x x x -+=，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表 示). 证明：1x sh x ch ch x,(sh x)' sh x,(ch x)'2 2 =-==. 2. 求导法则和积分法则 碰到的函数成千上万，不可能记住所有这些函数的导数(积分)公式，但你要会将这些函数的导数（积分）转化为上面基本初等函数的导数（积分）来算，这就要知道求导（积分）法则. 对于一元函数f(x)y =而言，可导性和可微性是等价的， (x)' f dx dy =(x)dx ' f dy =?，导数也称为微商，原因是(x)' f 是y 的微分与x 微分的商. 下面就给出求导、求微分、求积分 法则. 设g(x) v f(x), u ==均可导，则 (x)' g (x)' f g(x))'(f(x)+=+, dv du v)d(u +=+； 相应（1）???+=+dv du v)d(u ; (x)' g )f(x (x)g(x)' f g(x))'(f(x)+=?, dv u du v v)d(u +=?；于是相应地有 （2） ???+=?dv u du v v)d(u ; (x)g' (g(x))' f (g(x)) (f dx d =，g(x) v dv, )v ('f d(f(g(x)))==；于是相应地有
§7. 2 可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212 =, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x P y x Q dy dx -=.
可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成 g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M 成正比. 已知t =0时铀的含量为M 0, 求在衰变过程中铀含量M (t )随时间t 变化的规律.
第6单元 变量分离的方程 一. 教学目标 1. 进一步掌握理解变量分离法，并且能够熟练的运用分离变量法解常微分方程。 2． 对某些本身不可分离变量的方程能够通过适当变换后，将原方程转换为可分离变量的方程。 二. 知识点 1. 分离变量法 三. 教学重点、难点 对分离变量法的学习是本单元的重点,也是难点 考虑微分方程 0),(),(=+dy y x Q dx y x P （2.2.1） 若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称（2.2.1）为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式： 0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X （2.2.2） 变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积. 问题是：对（2.2.2）如何求解？ 一般来说，（2.2.2）不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形： 0)()(=+dy y Y dx x X （2.2.3） （2.2.3）显然是一个恰当方程，它的通积分为 C dy y Y dx x X =+??)()( （2.2.4） 由对方程（2.2.3）的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除（2.2.2）式的两侧，得到 0) ()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X （2.2.5） 这种变形过程叫做分离变量。分离变量后的方程（2.2.5）已具有（2.2.3）的形式，故通积分为 C dy y Y y Y dx x X x X =+??) ()()()(11 （2.2.6） 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程（2.2.5）来代替求解方程（2.2.2）是合理的，因为此时方程（2.2.2）与方程（2.2.5）是同解的. 附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入（2.2.2）式验证，可知a x =（或b y =）是方程（2.2.2）的解.这个解一般会在由（2.2.2）化为（2.2.5）时丢失,故有时不包含在通积分（2.2.6）中，必须补上.
用分离变量法解常微分方程 . １ 直接可分离变量的微分方程 1.1形如 dx dy = ()x f ()y ? (1.1) 的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ?分别是的连续函数. 如果?(y)≠0，我们可将（1.1）改写成 ) (y dy ?= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到 通解：? )(x dy ?=? dx x f )( + c. (1.2) 其中，c 表示该常数，? )(x dy ?，?dx x f )(分别理解为) (1y ?，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y ?的0y y =是方程(1.1)的解. 例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解. 解：(1)变形且分离变量： ）， ，（11112 2 <<-- =-y x x dx y dy (2)两边积分： c x dx y dy +-=-? ? 2 2 11 ， 得
c x y +-=arcsin arcsin . 可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解. 我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题. 例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程. 分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，法κ为过点 ),(y x P 的法线的斜率. 解：由题意得 y ' - =1法κ. 从而法线PQ 的方程为 )(1 x X y y Y -' - =-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为?? ? ??2,0y ，代入上式，得 )0(1 2x y y y -' -=-. 整理后，得 x y y 2-='， 分离变量，解得 y x =+2 2 2 其中c 为任意正数，如图1.
可分离变量的微分方程 观察与分析: 1. 求微分方程y '=2x 的通解. 为此把方程两边积分, 得 y =x 2+C . 一般地, 方程y '=f (x )的通解为C dx x f y +=?)((此处积分后不再加任意常数). 2. 求微分方程y '=2xy 2 的通解. 因为y 是未知的, 所以积分? dx xy 22无法进行, 方程两边直 接积分不能求出通解. 为求通解可将方程变为 xdx dy y 212=, 两边积分, 得 C x y +=-21, 或C x y +-=21, 可以验证函数C x y +-=21是原方程的通解. 一般地, 如果一阶微分方程y '=?(x , y )能写成 g (y )dy =f (x )dx 形式, 则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程 G (y )=F (x )+C , 由方程G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数就是原方程的通解 对称形式的一阶微分方程: 一阶微分方程有时也写成如下对称形式: P (x , y )dx +Q (x , y )dy =0 在这种方程中, 变量x 与y 是对称的. 若把x 看作自变量、y 看作未知函数, 则当Q (x ,y )≠0时, 有 ) ,(),(y x Q y x P dx dy -=. 若把y 看作自变量、x 看作未知函数, 则当P (x ,y )≠0时, 有 ),(),(y x P y x Q dy dx -=. 可分离变量的微分方程: 如果一个一阶微分方程能写成
g (y )dy =f (x )dx (或写成y '=?(x )ψ(y )) 的形式, 就是说, 能把微分方程写成一端只含y 的函数和dy , 另一端只含x 的函数和dx , 那么原方程就称为可分离变量的微分方程. 讨论: 下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？ (1) y '=2xy , 是. ?y -1dy =2xdx . (2)3x 2+5x -y '=0, 是. ?dy =(3x 2+5x )dx . (3)(x 2+y 2)dx -xydy =0, 不是. (4)y '=1+x +y 2+xy 2, 是. ?y '=(1+x )(1+y 2). (5)y '=10x +y , 是. ?10-y dy =10x dx . (6)x y y x y +='. 不是. 可分离变量的微分方程的解法: 第一步 分离变量, 将方程写成g (y )dy =f (x )dx 的形式; 第二步 两端积分:??=dx x f dy y g )()(, 设积分后得G (y )=F (x )+C ; 第三步 求出由G (y )=F (x )+C 所确定的隐函数y =Φ(x )或x =ψ(y ) G (y )=F (x )+C , y =Φ (x )或x =ψ(y )都是方程的通解, 其中G (y )=F (x )+C 称为隐式(通)解. 例1 求微分方程xy dx dy 2=的通解. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得 xdx dy y 21=, 两边积分得 ??=xdx dy y 21, 即 ln|y |=x 2+C 1, 从而 2 112x C C x e e e y ±=±=+. 因为1C e ±仍是任意常数, 把它记作C , 便得所给方程的通解 2 x Ce y =. 解 此方程为可分离变量方程, 分离变量后得
§2 变量分离的方程 考虑微分方程 0),(),(=+dy y x Q dx y x P )1.2( 若函数),(),(y x Q y x P 和均可分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积，则称)1.2(为变量分离的方程.因此，变量分离的方程可以写成如下形式： 0)()()()(11=+dy y Y x X dx y Y x X )2.2( 变量分离的方程的特点是：),(),(y x Q y x P 和可以分别表示为x 的函数与y 的函数的乘积. 问题是：对)2.2(如何求解？ 一般来说，)2.2(不一定是恰当方程.为此先考虑一个特殊情形： 0)()(=+dy y Y dx x X )3.2( )3.2(显然是一个恰当方程，它的通积分为 C dy y Y dx x X =+??)()( )4.2( 由对方程)3.2(的求解过程，不难想到，当0)()(11≠y Y x X 时，若用因子)()(11y Y x X 去除)2.2(式的两侧，得到 0) ()()()(11=+dy y Y y Y dx x X x X )5.2( )5.2(已具有)3.2(的形式，故通积分为 C dy y Y y Y dx x X x X =+??) ()()()(11 )6.2( 附注1：当0)()(11≠y Y x X 时，用求解方程)5.2(来代替求解方程)2.2(是合理的，因为此时方程)2.2(与方程)5.2(是同解的. 附注2：若a x =（或b y =）是方程0)(1=x X （或0)(1=y Y ）的一个根，把它代入)2.2(式验证，可知a x =（或b y =）是方程)2.2(的解.这个解一般会在由)2.2(化为)5.2(时丢失,故有时不包含在通积分)6.2(中，必须补上. 例1 求解微分方程 0)1)(1(2 2=+-+xydy dx y x )7.2( 解 当0)1(2≠-y x 时，方程)7.2(可改写为等价的方程
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
21变量分离方程及可化为变量分离方程的 方程求解
第二章、一阶微分方程的初等解法 [教学目标] 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离 方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 [教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 14学时 [教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。 [考核目标] 1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。 2.会建立一阶微分方程并能求解。 §2.1 变量分离方程与变量变换 1、变量分离方程 1) 变量分离方程 形如 ?Skip Record If...? (或?Skip Record If...?) （2.1）
的方程，称为变量分离方程，其中函数?Skip Record If...?和?Skip Record If...?分别是?Skip Record If...?的连续函数. 2) 求解方法 如果?Skip Record If...?，方程(2.1)可化为， ?Skip Record If...? 这样变量就分离开了,两边积分,得到 ?Skip Record If...?（2.2） 把?Skip Record If...?分别理解为?Skip Record If...?的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数?Skip Record If...?满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解. 如果存在?Skip Record If...?使?Skip Record If...?，可知?Skip Record If...?也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上. 3) 例题 例1 求解方程?Skip Record If...? 解将变量分离，得到 ?Skip Record If...? 两边积分，即得 ?Skip Record If...? 因而，通解为 ?Skip Record If...?这里的?Skip Record If...?是任意的正常数. 或解出显式形式 ?Skip Record If...? 例2 解方程 ?Skip Record If...? 并求满足初始条件：当?Skip Record If...?时.?Skip Record If...?的特解.
第八章 分离变量法 ??? ? ?? ?≤≤=??=>==><==><
第二章、一阶微分方程的初等解法 [教学目标] 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 [教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 14学时 [教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。 [考核目标] 1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。 2.会建立一阶微分方程并能求解。 §2.1 变量分离方程与变量变换 1、变量分离方程 1) 变量分离方程 形如 dy M(x)N(y)dx?M(x)N(y)dy?0)yg(?f(x)) (或（2.1）2112dxf(x)g(y)x,y的连续函数分别是. 的方程，称为变量分离方程，其中函数和2) 求解方法g(y)?0，方程(2.1)可化为，如果 dy?f(x)dx g(y)这样变量就分离开了,两边积分,得到 dy??f(x)dx?c?（2.2）)g(ydy1??)(x)dx,ff,(x分别理解为把. 的某一个原函数 ?()y)yg(?(x,c)y?满足方程（2.1）.容易验证由（2.2）所确定的隐函数因而（2.2）是（2.1）的通解. g(y)?0y?yy也是（2.1）的解使如果存在.可能它不包含在方程的通解（，可知2.2）中，000必须予以补上. 例题3) dyx??求解方程1 例ydx解将变量分离，得到 ydy??xdx 两边积分，即得 22cxy???222因而，通解为 22ccy??x是任意的正常数. 这里的
第二讲可分离变量的微分方程 及齐次方程 授课人：郭万里
1 可分离变量的微分方程 2 齐次方程 目录
01可分离变量的微 分方程
可分离变量的微分方程 则称这样的方程为可分离变量的微分方程. d d ()()g y y f x x =d d 2 2y xy x =如果一个一阶微分方程例如，一阶微分方程因为在 为可分离变量的微分方程. d d 22y x x y =可以写成如下形式 (,,)0F x y y '=2 y ≠时，我们可以分离变量得 另外，易知0y =为该方程的一个特解。
可分离变量方程的解法 ()d ()d g y y f x x =第二步：两边积分, 得 ()d f x x = ?① 则有 第一步：对一个可分离变量的微分方程，分离变量得 ()d g y x ?()()G y F x C =+() G y () F x 假设:g (y )、f (x ) 连续 ①的隐式通解 若从上式中可解出y 或者x ，则得到相应的显示通解。
例1.求微分方程 的通解. 解: 分离变量得 2 d tan d 1y x x y =-两边积分得 1 1ln 2ln |cos |1y x C y +=-+-即 1 C C e =±( C 为任意常数) 说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解 (另外分离变量时丢失了解y = -1，y =1) 2d (1)tan d y y x x =-2d tan d 1y x x y = -??1 2 11cos C y e y x +=±-22 cos cos C x y C x -=+C ≠0 C 可以 取0 说明:通解不等同所有解
第二章、一阶微分方程的初等解法 [教学目标] 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 [教学重难点] 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 14学时 [教学内容] 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。 [考核目标] 1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。 2.会建立一阶微分方程并能求解。 §2.1 变量分离方程与变量变换 1、 变量分离方程 1) 变量分离方程 形如 ()()dy f x g y dx = (或1122()()()()0M x N y dx M x N y dy +=) （2.1） 的方程，称为变量分离方程，其中函数()f x 和()g y 分别是,x y 的连续函数. 2) 求解方法 如果()0g y ≠，方程(2.1)可化为， ()() dy f x dx g y = 这样变量就分离开了,两边积分,得到 ()()dy f x dx c g y =+?? （2.2） 把,()()dy f x dx g y ??分别理解为1,()() f x y ?的某一个原函数. 容易验证由（2.2）所确定的隐函数(,)y x c ?=满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解. 如果存在0y 使0()0 g y =，可知0y y =也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上. 3) 例题
第二节 可分离变量的微分方程 微分方程的类型是多种多样的，它们的解法也各不相同. 从本节开始我们将根据微分方程的不同类型，给出相应的解法. 本节我们将介绍可分离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等. 内容分布图示 ★ 可分离变量微分方程 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 齐次方程 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 可化为齐次方程的微分方程 ★ 例 11 ★ 例 12 ★ 例 13 ★ 例 14 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题8-2 ★ 返回 内容要点： 一、可分离变量的微分方程 设有一阶微分方程 ),(y x F dx dy =, 如果其右端函数能分解成)()(),(x g x f y x F =，即有 )()(y g x f dx dy =. (2.1) 则称方程(2.1)为可分离变量的微分方程，其中)(),(x g x f 都是连续函数. 根据这种方程的特点，我们可通过积分来求解. 求解可分离变量的方程的方法称为分离变量法. 二、齐次方程：形如 ?? ? ??=x y f dx dy (2.8) 的一阶微分方程称为齐次微分方程，简称齐次方程.. 三、可化为齐次方程的方程：对于形如 ???? ??++++=222 111c y b x a c y b x a f dx dy 的方程，先求出两条直线 ,0111=++c y b x a 0222=++c y b x a 的交点),(00y x ，然后作平移变换
???-=-=00y y Y x x X 即 ? ??+=+=00y Y y x X x 这时，dX dY dx dy =，于是，原方程就化为齐次方程 ,2211???? ??++=Y b X a Y b X a f dX dY 例题选讲： 可分离变量的微分方程 例1（讲义例1）求微分方程xy dx dy 2=的通解. 例2（讲义例2）求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2的通解. 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解22)1(1-=-x C y 中. 例3 已知,tan 2cos )(sin 22x x x f +=' 当10< 3-5-可分离变量型方程及其解法 2.1 可分离变量型方程的解法 [教学内容] 1. 介绍导数、不定积分公式表及其意义; 2.介绍求导和求不定积分的法则; 3. 引入齐次方程的概念及其求解方法; 4. 介绍其他可分离变量型方程及其解法. [教学重难点] 重点是知道齐次方程如何引入新的因变量化为分离变量型方程，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为可分离变量型方程. [教学方法] 自学1、2；讲授3、4，5课堂练习 [考核目标] 1.会熟记、记准导数公式和积分公式; 2. 知道求导法则和积分法则，并熟练、正确计算函数的导数和不定积分; 3. 知道齐次方程的形式?Skip Record If...?，并会用变换?Skip Record If...?，将原方程化为变量可分离型方程; 4. 知道探照灯形状设计问题及其求解步骤和方法; 5. 知道如何将函数方程或积分方程求解问题化归为微分方程来求解. 1. 导数公式和积分表的意义 小学时大家熟记乘法口诀表，这是小学、中学数学乘、除运算的基础，要不然，买2斤苹果3斤梨子，都不知道该付给商贩多少钱。大学时大家关心的是函数，其中求导和求积分是两个重要的运算，函数的不少性质需要求助于这两种运算的结果，比如单调性、凸凹性、曲线的长度等.（导数表参见《数学分析上》P101基本初等函数的导数公式，积分表参见《数学分析上》P180 列表） 练习17. （1）合上书本，写出基本初等函数的导数公式和不定积分公式. （2）双曲正弦?Skip Record If...?，双曲余弦?Skip Record If...?，(有的教材用sinh x 和 cosh x 表示). 证明：?Skip Record If...?.最新3-5-可分离变量型方程及其解法汇总
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