高数试题 2008.7
一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
1.设直线1724
:121x y z l -+-==-，26,:23,x y l y z -=??+=?
则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ）
2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6
π. 2.函数 z = xe 2y 在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, -1)方向的方向导数为
[ ].
()(()(A B C D 3.函数2222
221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ?
+≠?+=??+=?
在(0, 0)点[ ].
(A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不连续。 4.
积分
1
1
x
dx =?
?[ ].
1
111()
()
()
()
3
4
12
24
A B C D 。 5.设Ω是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分
||
z e
dv Ω
=???[ ].
3()
()()
()2.2
2
A B C D π
π
ππ；；； 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是
2.
设2224,
:x y z z ?++=?Γ?=??则2x ds Γ
=? 3.1
()1f x x
=
+展开成x - 2的幂级数为 4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)dz = 5. f (x ) = x 在(0, π)上展开成的余弦级数为
三、（9分）求幂级数3521
3521
n x x x x n ++
++???++???-在收敛域上的和函数. 四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 ≤ 1上的最大值和最小值。.
五、（9分）某物体的边界由曲面z = x 2 + y 2和平面z = 0, |x | = a ，|y | = a 围成, 其密度函数为ρ = x 2 + y 2, 求该物体的质量.
六、（9分）设直线0,
:30,x y b L x ay z ++=??
+--=?
在平面π 上，而平面π 与曲面z = x 2 + y 2相切于(1, -2, 5)，求a , b 的值。.
七、（9分）计算曲面积分
333
()()()x y z dydz x y z dzdx x y z dxdy ∑++++++++?? 其中∑为由圆锥面x 2 + y 2 = z 2
与上半球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R > 0)围成曲面的外侧. 八、（8分）设函数Q (x , y )在xOy 平面上具有一阶连续偏导数，第二类曲线积分2(,)L
xydx Q x y dy +?与路径无关，
且对任意t ，有
(,1)
(1,)
(0,0)
(0,0)
2(,)2(,)t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+?
?
，求Q (x , y ).
九、（6分）设f (x )是(-∞, +∞)内的可微函数，且满足： (1) f (x ) > 0 x ∈ (-∞, +∞),
(2)存在0 < λ <1, 使得| f '(x )| < λ f (x ), x ∈ (-∞, +∞). 任取a 0 ∈ (-∞, +∞), 定义a n = ln f (a n -1), (n = 1, 2, ???), 证明
11
()n
n n a
a ∞
+=-∑绝对收敛.
答案 一、1.B ；2.A ；3.D ；4.C ；5.D .二、1. 24231x y z --==-；2.1233
dz dx dy =+；3.π；4. 1
0(1)(2)3
n
n n n x ∞
+=--∑；5.
2
14
cos(21)2
(21)n n x
n π
π∞
=--
-∑ (0 ≤ x ≤ π). 三、11ln 21x x +- (-1 < x < 1).四、max min 11
,22
f f ==-.五、611245a , 六、a = -5, b = -2.
七、5
9(25
R π-.八、Q (x , y ) = x 2 + 2y – 1.
高数试题 2009.7
一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分） 1. 函数(,)z f x y =在00(,)x y 处可微的充分条件是[ ] (A)(,)f x y 在点00(,)x y 处连续； (B) (,)f x y 在点00(,)x y 处存在偏导数；
(C) 00000
lim[(,)(,)]0x y z f x y x f x y x ρ→?-?-?=
，ρ=
(D) 00000
(,)(,)lim
0x y z f x y x f x y x
ρρ
→?-?-?=.
2. 圆心在原点半径分别为R 和r 的()R r >的两个圆所围成的均匀圆环形薄板(面密度为μ)关于原点的转动惯量为[ ].
(A)
44()R r πμ-； (B)
441
()2
R r πμ-； (C) 441()4R r πμ-； (D) 44
1()6
R r πμ-.
3.设幂级数
1
(1)
n
n n a x ∞
=-∑在1x =-时收敛，则幂级数
1
1
(1)
n n
n na x ∞
-=-∑在2x =时[ ]
(A)条件收敛； (B) 发散；
(C) 绝对收敛； (D) 收敛性由n a 决定.
4. 设Ω是由球面2222 (0)x y z a a ++=>
所围成的闭区域，则Ω
= [ ]
(A)
443a π； (B) 44a π； (C) 4a π； (D) 41
2
a π. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共计24分）
1. 已知3a =
，26b = ，72a b ?= ，则a b ?=
2．函数),(y x f 2
2y xy x +-=在点)1,1(处的梯度为
3. 已知曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,2,2)两点的直线段，则曲线积分(23)x y z ds Γ
++?
=
4. 由曲面2243()z x y =-+与曲面22
z x y =+所围立体的体积为 ． 5. 设∑为平面
1234x y z ++=在第一卦限中的部分，则4
(2)3z x y dS ∑
++??= 6. 设()f x 是周期为4的周期函数，它在[2,2)-上的表达式为0, 20
()3, 022x f x x -≤
=?≤
[2,2]-上()f x 的Fourier 级数的和函数()s x =
三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分） 1．求点0(1,1,1)P 到直线
723
123
x y z ---==的距离. 2．已知一平面通过球面x 2
+ y 2
+z 2
= 4(x - 2y - 2z )的中心, 且垂直于直线L :0
0x y z =??+=?
, 求（1）该平面的方程；
（2）该平面与球面的交线在xOy 平面上的投影。
3．设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y
x u
???2.
4
．计算二重积分
D
??
，其中D
是由两条抛物线y =2
y x =所围成的闭区域. 5
判断级数1
n ∞
=的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
四、 (8分)计算积分222
(cos cos cos )I x y z dS αβγ∑
=
++??, ∑是抛物线z = x 2 + y 2被z = 4割下的有限部分的下侧, cos α, cos β , cos γ是∑上各点法线方向余弦.
五、(8分)设f (x ) 为连续可微函数，且(1)2f =，对任一闭曲线L 有
34()0L
x ydx f x dy +=? 。求曲线积分34()L
x ydx f x dy +? 的值.其中L 是圆周4)2()2(2
2=-+-y x 上由(2,0)A 经(4,2)D 到(2,4)B 的一段弧. 六、(8分)经过点1(2,1,)3
P 作一平面,使该平面在第一卦限内与3个坐标面所围成的四面体的体积最小,求该平面方程.
七、(6分)设0()n
n
n f x a x ∞==
∑在[-1, 1]上收敛，试证：当a 0 = a 1 = 0时，级数1
1
()n f n ∞
=∑收敛。 答案 一、1.D ；2.B ；3.C ；4.C .二、1.±30；2.(1, 1)；
4.2π；
5.
；6.0203
02230, 2.
4
x x x ?
?-<
??=±?? . 三、1.
2.-y + z = 0, 22241600.
x y x y z ?+-+=?=?; 3.f 1 + xf 11 + (x + y )f 12 + f 22 ; 4. 6
55; 5.条件收敛.四、643π.
五、68, 六、163x y z ++=.七 证：由于0()n
n n f x a x ∞==∑在x = 1出收敛, 即级数0
n n a ∞
=∑收敛, 因此lim 0n n a →∞=,
则存在M > 0, 使得 |a n | ≤ M . (n = 0, 1, 2, ???),
32
23
1
()a a f n n n =++??? , 2322323
1
111()(1)1a a M n f M M n n n n n n n n
??≤++???≤++???== ?-??-, 级数1(1)n M n n ∞
=-∑收敛,则级数1
1
()n f n ∞
=∑绝对收敛.
高数试题 2010.7
一、选择题（本大题4小题，每小题4分，共16分）
1. 函数2
2
2
)2(),(x y x y x f -+=在闭区域(x – 1)2 + y 2 ≤ 1上的最小值为[ ] (A)0； (B)1； (C) 2； (D) 3。 2. 设函数f (x , y )连续，则二次积分=??
y
dx y x f dy 0
1
),( [ ].
(A)
?
?1
10
),(y
dx y x f dy ； (B)
?
?y
dx x y f dy 0
10
),(； (C)
?
?1
10
),(x
dy y x f dx ； (D)
?
?x
dy y x f dx 0
10
),(.
3. 设Ω为平面x + y + z = 1与三个坐标面所围成的闭区域，则???Ω
++dv z y x )(= [ ]
(A)
61； (B) 81； (C) 12
1
； (D) 241.
4. 设)11ln()1(n
u n
n +
-=，则级数[ ]
(A)
∑∞
=1n n
u
与
∑∞
=1
2n n
u
都收敛； (B)
∑∞
=1n n
u
与
∑∞
=1
2n n
u
都发散；
(C)
∑∞
=1
n n
u
收敛而
∑∞
=1
2n n
u
发散； (D)
∑∞
=1
n n
u
发散而
∑∞
=1
2n n
u
收敛.
二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共计20分）
1. 已知1||=a ，2||=b ，a 与b 的夹角为4
π，则=+||b a
2．设Ω是由曲面2
21y x z --=与z = 0围成的立体，则Ω的形心坐标为
3. 设曲线Γ为连接(1,1,1)和(2,3,4)两点的直线段，则曲线积分?Γ
++ds z y x )(=
4. 设∑为锥面22y x z +=
被平面z = 1截下的有限部分，则曲面积分=??∑
zdS ．
5. 级数
∑∞
=1
2
n n n x a
的收敛区间为(-∞, +∞)，则a 应满足
三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题7分，共计30分）
1．求过点)5,2,3(-M 且与两平面x –4z = 3和2x – y – 5z = 1的交线垂直的平面方程.
2．求函数u = x 2 + 3yz 在点(1, 1, 1)处沿椭球面x 2 + 2y 2 + 3z 2 = 6在该点的外法线方向的方向导数。 3．计算二重积分
??
D
ydxdy ，其中D 是由y = x – 4与y 2
= 2x 所围成的闭区域. 4．求幂级数 +--+--+--
-n
x x x x n n )1()1(3)1(2)1()1(32在其收敛域上的和函数。 5．设f (x ) = x + x 2
, x ∈ [-π , π), 将 f (x )展开成Fourier 级数, 并求级数
∑∞
=1
21
n n 的和。 四、 (8分)一质点在力j y x i y x F
)sin ()(22+--=的作用下，由点O (0, 0)沿上半圆22x x y -=
移到点A (1,
1)，求力F
所作的功.
五、(8分)计算曲面积分xydxdy zdzdx y xzdydz ++??
∑
，其中∑是由抛物面3z =x 2 + y 2
和球面224y x z --=所围成立体的表面外侧.
六、(8分)设函数f (x , y )有二阶连续偏导数，满足02=???y
x f
，且存在一元函数h (u )，使)(),(22y x h y x f +=，求
f (x , y ).
七、(5分)设F (x , y ) = (f 1(x , y ), f 2(x , y ))是(x 0, y 0)某邻域内定义的向量函数，定义
),(),(||),(),,((||222121y x f y x f y x f y x f +=
为(f 1(x , y ), f 2(x , y ))的模， 如果)(||),(),(),(||220000y x o y D x C y B x A y x F y y x x F ?+?=?+??+?--?+?+，其中A , B , C , D 是与?x , ?y 无关而仅与x 0, y 0有关，)(22y x o ?+?是22y x ?+?的高阶无穷小，则称F (x , y )在(x 0, y 0)点可微，记为
),(|),(),(00y D x C y B x A y x dF y x ?+??+?=
设),(arctan
),(22y x x
y
y x F +=，求)1,1(|),(y x dF 。 答案 一、1.A ；2.C ；3.B ；4.C .二、1. 5；2. 8
3 ；3. 146；4. π232
；5. |a | < 1. 三、1. 4x + 3y + z +1= 0; 2. 14
17
; 3.18 ; 4. ln x (0 < x ≤ 2); 5. 62
π.
四、2sin 4167+-
. 五、π2794. 六、2221)(2
1
C y x C ++.
七、),(2
1
y x y x ?+??+?-.
高数试题 2011.07.14
一、选择题 1．设=
),(y x f 42y x +，则函数在原点偏导数存在的情况是[ ].
（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在 （B ）)0,0(x f '不存在，)0,0(y f '存在 （C ）)0,0(x f '存在， )0,0(y f '不存在 （D ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都不存在 2．设平面∏ 的法向量为),,(C B A n = ，直线L 的方向向量为),,(p n m s =
，则p
C
n B m A ==是平面∏ 与直线L 的垂直的[ ].
(A)充要条件； (B)充分条件； (C)必要条件； (D)无关条件. 3．设 ∑ 是球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2，则下列结果正确的是[ ]. (A) ??∑
=++0)(2
dS z y x ； (B) ??∑=334R dS π； (C)
??∑
=++0)(222
dS z y x
； (D) ??∑
=++42224)(R dS z y x π.
4．设常数0>λ，则级数∑∞
=???
??
?-+λ+1211n n n n )()ln( [ ].
（A ）绝对收敛 （B ）条件收敛 （C ）发散 （D ）收敛性与λ取值有关。
5．设曲线1),(:=y x f L （),(y x f 具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N ，T 为L 上从点M 到点N 的一段弧，则下列小于零的是[ ].
（A ）?T
dx y x f ),( （B ）?T
dy y x f ),(
（C ）
?
T
ds y x f ),( （D ）dy y x f dx y x f y T
x ),(),('+'?
二、填空题
1．设3||=a
，1||=b ，6
),(π=∧b a ，则b a +在b a -上的投影为
2.交换积分次序
?
?--2
222
1
),(x x x
dy y x f dx 为 ??-+-2
1121
0),(y y
dx y x f dy
3. 设正向闭曲线L 的方程为1||||=+y x ，则
?++L
ds y x 2||||1
= 4. 设??
?<≤-<≤=π
x x x x f 11102
)(2
, )(x S 是)(x f 的以π2为周期的余弦级数展开式的和函数, 则=-+)2()(S S π
5．设函数),(y x z z =由方程)(bz y az x -=-?所确定，其中)(u ?有连续导数，则=??+??y
z b x z a 三、计算题
1. 设y
xe u y x u f z ==),,,(，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x z
???2。
2. 求曲面2
2
y x z +=的与直线?
??=+=+221
2z y z x 垂直的切平面。
3.计算二重积分??
-D
dxdy x y ,其中D 是由直线x y =,1=y ，0=x 所围成的平面区域.
4.求
??∑
-+-+-dxdy x z dzdx z y dydz y x )()()(，∑是抛物面22
y x
z +=被平面z = 1截下的有限部分，法向量
与z 轴正向成锐角。 5.求幂级数
∑∞
=1
3
n n n
x n
在收敛域内的和函数。
四、设球体占有闭区域z z y x 2:2
2
2
≤++Ω，它在内部各点处的密度大小等于该点到坐标原点的距离的平方，求球体对于z 轴的转动惯量。
五、(8分)求抛物面 22y x z += 与平面 1=++z y x 的交线（椭圆）到原点的最长距离和最短距离． 六、5．设)(x f 是非负连续函数，且
1)(2
=?
dx x f ，计算曲线积分
?+-L
x
dx e
y xdy )(，式中L 为沿)(x f y =从点)0,0(O 到)0,2(A 的曲线段.
七、设级数
∑∞
=--1
1)(n n n
a a
收敛，∑∞
=1
n n
b )0(≥n b 收敛，证明级数∑∞
=1
n n n b a 绝对收敛。
答案
一、1.B, 2.A, 3.D, 4.C, 5.B. 二、1.2， 2. 2.
?
?
-+-2
1121
),(y y
dx y x f dy , 3.
23
4
, 4. π2 + 2, 5. 1。 三、1. 21f e f x z y
+?=??， 23211311212f f xe f e f xe e f y
x z y y y y ++++?=??? 2. 222=-+z y x 。 3.
154， 4.2π- 5. 2
)
3(3x x
- 四、
π35
32
。 五、曲线到原点的最长距离和最短距离分别为
221015+ 和 2
2
1015-． 六、2
3e -
高数试题 2012.07.12
一、选择题
1．设? (x )为任意一个x 的可微函数，ψ (y ) 为任意一个y 的可微函数，若已知22
F f x y x y
??≠
????，则F (x , y )是[ ].
(A) f (x , y ) + ? (x )； (B) f (x , y ) + ψ (y )；
(C) f (x , y ) + ? (x ) + ψ (y )； (D) f (x , y ) + ? (x )ψ (y ). 2．在曲线x = t , y = -t 2, z = t 3的所有切线中，与平面x + 2y + z = 4平行的切线[ ]. (A)只有1条； (B)只有2条； (C)至少3条； (D)不存在。 3．设f (x , y )是连续函数，D 是由y = x 2, y = 0, x = 1所围的区域，且f (x , y )满足恒等式 (,)(,)D
f x y xy f x y dxdy =+??
则f (x , y ) = [ ]. (A)xy + 1； (B)12xy +； (C)14xy +； (D)1
8
xy +。 4．将1
()1f x x
=
+展开为关于x - 2的幂级数时，其收敛域为[ ] (A)(-1, 5)； (B)(-1, 1)； (C)(-2, 4)； (A)(-2, 2). 二、填空题
1．过点(3, -1, -4)且与y 轴相交，又与平面y + 2z = 0平行的直线方程为_______________.
2．交换积分次序
?
??
?--+x
x x dy y x f dx dy y x f dx 20
21
20
1
),(),(2
为__________________.
3．设L 为圆周x = acost , y = a sin t (0 ≤ t ≤ 2π), 则223()L
x y ds +?= _______________.
4．设f (x )是以2为周期的函数，其表达式为2
2,10,
(),01,
x f x x x -<≤?=?<≤?则f (x )的Fourier 级数在x = -1处收敛于____________。 三、计算下列各题 1．已知(
)
y
x e y x f u +-=,22，其中f 具有二阶连续偏导数，求y
x u
x u ?????2，
。 2．计算
(23)x y z dv Ω
-+???
，Ω
是半球面z =和旋转抛物面22
z x y =+围成的立体。 3．求平行于平面6x + y + 6z + 5 = 0，而与三坐标面所构成的四面体体积为一个单位的平面方程。
4．求幂级数∑∞
=----1
1
2112)1(n n n x
n 的收敛域与和函数 5．求
()x y z dS ∑
++??，式中∑是平面y + z = 5被柱面22
25x y +=所截得的有限部分。 四、(8分)计算积分32I x dydz y dzdx zdxdy ∑
=++??，∑是柱面x 2 + y 2 = a 2在0 ≤ z ≤ h 部分外侧。
五、(8分)在抛物线1:22++=∑y x z 上求一点),,(0000z y x M )1,0,0(2
02000≤+≥≥y x y x 使∑在0M 处
的切平面与柱面21x y -=及三个坐标面在第一卦限的立体体积最大。
六、(8分)已知L 是第一象限中从点(0, 0)沿圆周x 2 + y 2 = 2x 到点(2, 0), 再沿圆周x 2 + y 2 = 4到点(0, 2)的曲线段。
计算曲线积分233(2)L
I x ydx x x y dy =
++-?
。
七、(8分) 设a n > 0(n = 0, 1, 2, ???), 数列{ a n }单调减少，级数1
(1)n
n n a ∞
=-∑发散，证明级数1
1(
)1n
n n
a ∞
=+∑收敛。 八、(6分)设有一半径为R 的球体，P 0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P 0距离成
正比(比例常数k > 0)，求球体对于P 0的转动惯量。 答案：一、1．D ； 2．B ；3．D ；A 二、1．
314
384
x y z -++==
-；2．?
?
---y
y
dx y x f dy 2111
2
),(；3．2πa 7；4．3
2
三、1．解
122e x y u
xf f x
+?''=+?， 122e x y u
yf f y
+?''=-+?。 21112221222[(2)e ]e e [(2)e ]x y x y x y x y u
x f y f f f y f x y
++++?'=-+++-+?? 22111222242()e e e x y x y x y xyf x y f f f +++=-+-++
2．解
2
(23)x y z d v Ω
-+??? = zdv Ω
???
=
2
21
r
d rdr zdz π
θ?
?
= 1
24
012[(2)]2r r r dr π--?
=
7
12
π。 3．解 ()x y z dS ∑
++?? = (5)x dS ∑
+??
=
2225
(x y x +≤+??
=
4．解 设所求平面方程为6x + y + 6z = D , 则
1||1666
D D D ??= |D | = 6
故所求平面方程为6x + y + 6z = 6或6x + y + 6z = -6。
5．解 21
2121
(1)21()lim 1(1)
21
n n n n n x n x x x n ρ+-→∞--+==<--，即 | x | < 1 x = ±1时，∑∞
=--1
12)1(n n
n 收敛，故收敛域为[-1,1].
121
1(1)()21
n n n s x x n -∞
-=-=-∑
12101(1)21n x
n n x dx n -∞-='
??-=??-??∑?
2
01
a r c t a n 1x d x x x ==+?. (| x | ≤ 1)
四、解 设∑1：z = 0 (x 2 + y 2 ≤ a 2)下侧；
∑1：z = h (x 2 + y 2 ≤ a 2)上侧
12
12
3232I x dydz y dzdx zdxdy x dydz y dzdx zdxdy ∑+∑+∑∑+∑=
++-
++??
??
222
222
2(321)0x y a x y a x y dxdydz dxdy hdxdy Ω
+≤+≤=
+++-
?????
??
222
2
20
3h
x y a x dxdy dz dxdydz a h πΩ
+≤=
+-??????
222
2222
3()2x y a h x y dxdy a h a h ππ+≤=
++-?? 23
400
3324
a h d r dr a h πθπ=
=?? 五、解 过0M 点的切平面方程为 2x 0(x – x 0) + 2y 0(y – y 0) – (z – z 0) = 0
即 1222
02000-+=-+y x z y y x x
立体的体积为 22
0000(221)D
V x x y y x y dxdy =+--+?? 1,0,0:22≤+≥≥y x y x D 22
00002()(1)34V x y x y π=
+-+-。 002032x V x π'=-=，002032y V y π
'=-=，
故所求的点为44
(
,)33ππ
。 六、解 补充L 1：x = 0, y 从2到0，由L 和L 1围成的平面区域记为D ，由格林公式 1
1
23233(2)3(2)L L L I x ydx x x y dy x ydx x x y dy +=++--++-?
?
2
(2)D
d x d y y
d y =
--??? 42
π
π=--
42
π
=
-
七、解 由题设a n > a n + 1，若lim 0n n a →∞
=，则交错级数
1
(1)
n
n n a ∞
=-∑收敛，与题设矛盾，故
lim n n a l →∞
= (l > 0).
由根值法，有1
11n l
<+， 故级数收敛。
八、解 以P 0点为坐标原点，球心在z 轴上建立坐标系，则球面方程为x 2 + y 2 + z 2 = 2Rz . 转动惯量为 32
2
22
()I k x
y z dxdydz Ω
=
++???
22c o s
3220
sin R k
d d r r dr π
π
?θ??=??
??
62012s i n (2c o s )6
k R d π
π???=?
664
21
k R π=
高等数学（下）2014年7月
一、单项选择题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
1. 设向量(2,2,5)a =--
的起点坐标为(2,1,7)，则[ ]
（A ）a 的终点坐标为(4,2,1)-； （B ）a
的长度为6；
（C ）a
与y
轴的夹角为； （D ）a 在z 轴上的投影为5。 2．设平面区域22:1D x y +≤；221:1,0,0D x y x y +≤≥≥则下列等式不成立的是[ ] (A )
22
ln()0D
x x y d σ+=?? (B
) 1
4D D σσ=
(C)
1
||4D
D xy d xyd σσ=???? (D) 1
2
2
4D
D xy d xy d σσ=????
3．下列级数中，发散的是[ ]
（A ）121n n =∞
∑； （B ）n n n sin 11=∞∑； （C ）e nx
n -=∞∑1
()x >0； （D
）n n ∞
= 4．设函数22e ()x z x y =+则1
(,0)2
-
是该函数的[ ]. （A ）驻点但非极值点； （B ）驻点且极小值点； （C ）驻点且极大值点； （D ）极值点但非驻点.
二、填空题（本题共4小题，每小题4分，共计16分）
5．曲线x t y t z t ===
2
3213,,在点(,,)121
3
处的切线方程是_________. 6
．交换积分次序
11
142210
4
(,)(,)y
y
dy f x y dx dy f x y dx +?
??=__________
7. 设f (x )可微分,2(3)x z f y z -=-，则2
3z z
x y
??+??= ___________. 8．e 1x d dx x ??
- ???
展开成关于x 的幂级数为__________________.
三、计算下列各题 （本题共5小题，每小题6分，共计30分）
1. 求平面方程，使得这个平面垂直于平面x y z -+-=250
，平行于向量(1,s =-
，并且过点(,,)501。 2. 求二重积分arctan
D
y
dxdy x
??，其中D 由圆221x y +=，224x y +=及直线0y =，y x =所围成的在第一象限的闭区域。
3. 设2
(,)y z x f xy x =，f 具有二阶连续偏导数，求2,
z z
y x y
?????。 4. 计算曲面积分1I dS z ∑
=
??，其中∑是球面222
2x y z ++=
在锥面z =上方的部分。 5. 计算曲线积分2
()L
x y ds +?，其中L 是由点O (0,0)到A (0,1)
的直线段和y =A (0,1)到B (1,0)的圆弧组成。
四、（8分）求幂级数01!n n n x n ∞
=+∑的和函数，并求01
2!
n n n n ∞
=+∑的和。
五、（8分）修建一座容积为V ，形状为长方体的地下仓库，已知仓顶和墙壁每单位面积的造价分别为地面每单
位面积造价的3倍和2倍，问如何设计长、宽、高使它的造价最小。 六、（8分）计算曲面积分332
223(1)I x dydz y dzdx z
dxdy ∑
=++-??，其中∑是曲面221z x y =-- （0z ≥）的
上侧。
七、（8分）设f (u )连续可微，L 为由23,3A ?
? ???
到()1,2B 的直线段，求
22
21()[()1]L
y f xy x dx y f xy dy y y ++-? 八、（6分） 设函数f (x )在[,]a b 上满足()a f x b ≤≤，|()|1f x q '≤<，令1()n n u f u -=，01,2,3,,[,]n u a b =∈ ，
证明：级数
1
1
()n n n u
u ∞
+=-∑绝对收敛。
答案 （2014年7月）
一、1：C ； 2：D ； 3：B ； 4：B 。
二、1：121223x y z --==-； 2：212
0(,)x x dx f x y dy ??； 3：1； 4：22
1!n n n x n ∞-=-∑
三、平面方程为(45)(2(1)0x y z --+---=。
2．
2
364
π。
3．
2312121
()z x xf f x f xf y x
?=+=+? 2231111222122223()()z y y x f x f y f f x f y f x y x x
?=+-++-??
231211223)y
x f f x yf f x
=++-
。 4．
ln 2
5． 1132
π
=
++。 四、()(1)e x S x x =+
11
220113
(1)e e 2!22n
n n n ∞
=+=+=∑。
五、x y z ===。 六、 π-
七、设f (u )连续可微，L 为由23,3A ??
???到()1,2B 的直线段，求2221()[()1]L
y f xy x dx y f xy dy y y ++-?
解 22
21(),[()1]y f x y x P Q y f x y y y
+==-，21P Q f xyf y y x ??'=-++=??，所以积分与路径无关， 2(1,2)2222(3,)31()1[()1]()()()L
y f xy x x
dx y f xy dy dx dy f xy ydx xdy y y y y ++-=-++??
(1,2)
(1,2)22(3,)(3,)3
3
[()][()]4x x
d F xy F xy y y =
+=+=-?
。 八、设函数f (x )在[,]a b 上满足()a f x b ≤≤，|()|1f x q '≤<，令1()n n u f u -=，01,2,3,,[,]n u a b =∈ ，证明：级数
1
1
()n n n u
u ∞
+=-∑绝对收敛。
证明 11
11|||()()||(
)()|||
n n n n n
n n
n n u u f u f u f
u u q u u ξ+---'-=-=-≤- 21211212|()()||()()|||n n n n n n n q f u f u q f u u q u u ξ-------'=-=-≤- 10||n q u u ≤≤- 01q <<，从而
1
n
n q
∞
=∑收敛，由比较审敛法，级数
1
1
()n n n u
u ∞
+=-∑绝对收敛。
一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)
???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，
高等数学II 试题 一、填空题（每小题3分，共计15分） 1．设(,)z f x y =由方程xz xy yz e -+=确定，则 z x ?= ? 。 2．函数 23 2u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大。 3．L 为圆周2 2 4x y +=，计算对弧长的曲线积分?+L ds y x 22= 。 4．已知曲线23 ,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=，则点P 的坐标为 或 。 5．设()f x 是周期为2的周期函数，它在区间(1, 1]-的定义为 210()01x f x x x -<≤?=? <≤?，则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 。 二、解答下列各题（每小题7分，共35分） 1．设) ,(y x f 连续，交换二次积分 1 201(,)x I dx f x y dy -=??的积分顺序。 2．计算二重积分D ，其中D 是由y 轴及圆周22 (1)1x y +-=所 围成的在第一象限内的区域。 3．设Ω是由球面z =z =围成的区域，试将三重 积分 222()I f x y z dxdydz Ω =++???化为球坐标系下的三次积分。 4．设曲线积分[()]()x L f x e ydx f x dy --?与路径无关，其中()f x 具有一阶连 续导数，且(0)1f =，求()f x 。 5．求微分方程2x y y y e -'''-+=的通解。 三、(10分)计算曲面积分 2 y dzdx zdxdy ∑ +??，其中∑是球面 2224(0)x y z z ++=≥的上侧。 四、(10分)计算三重积分()x y z dxdydz Ω ++???，其中Ω由2 2z x y =+与1 z =围成的区域。 五、(10分)求22 1z x y =++在1y x =-下的极值。 六、(10分)求有抛物面22 1z x y =--与平面0z =所围立体的表面积。
高等数学A(下册)期末考试试题 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．
2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离 的最大值与最小值． （本题满分10分） 计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ， 其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>． 四、（本题满分10分） 求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
一、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 1． 由曲线2cos r θ=所围成的图形的面积是 π 。 2． 设由方程22x y =所确定的隐函数为)(x y y =，则2y dy dx x = - 。 3． 函数2 sin y x =的带佩亚诺余项的四阶麦克劳林公式为2 44 1()3 x x o x -+。 4． 1 1 dx =? 。 5． 函数x x y cos 2+=在区间?? ? ???20π，上的最大值为 6 π +。 6． 222222lim 12n n n n n n n n →∞?? +++ ?+++? ? = 4 π。 二、选择题（共7小题，每小题3分，共21分） 1. 设21cos sin ,0 ()1,0x x x f x x x x ? +
暨南大学《高等数学I 》试卷A 考生姓名： 学号： 3. 1 +∞=? C 。 A ．不存在 B ．0 C ．2π D ．π 4. 设()f x 具有二阶连续导数，且(0)0f '=，0 lim ()1x f x →''=-，则下列叙述正确的是 A 。 A ．(0)f 是()f x 的极大值 B ．(0)f 是()f x 的极小值 C ．(0)f 不是()f x 的极值 D ．(0)f 是()f x 的最小值 5.曲线2x y d t π-=?的全长为 D 。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6. 当,a b 为何值时，点( 1, 3 )为曲线3 2 y ax bx =+的拐点？ A 。 A ．32a =- ，92b = B. 32a =，9 2b =- C ．32a =- ，92b =- D. 32a =，92 b = 7. 曲线2x y x -=?的凸区间为 D 。 A.2(,)ln 2-∞- B.2(,)ln 2-+∞ C.2(,)ln 2+∞ D.2(,)ln 2 -∞ 三、计算题（共7小题，其中第1～5题每小题6分， 第6~7题每小题8分，共46分） 1. 2 1lim cos x x x →∞?? ?? ? 解：()2 1 cos lim , 1 t t t x t →==原式令 )0 0( cos ln lim 2 0型t t t e →= （3分） t t t t e cos 2sin lim ?-→= 12 e - = （6分）
大一下学期高等数学考 试题 文件编码（008-TTIG-UTITD-GKBTT-PUUTI-WYTUI-8256）
一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（）
A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。
5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则
高等数学A （下） 课程考试试题参考解答 一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题), 请将合适选项填在括号内． 1. 函数3y z x e =-的全微分dz =【 C 】． (A) 2 2y x dx e dy -； (B) 2 3y x dx e dy +； (C) 2 3y x dx e dy -； (D) 2 3y e dx x dy -． 2. 球面2 2 2 1x y z ++= 在点P 处的切平面方程是【 D 】． (A) 0x y -=； (B) 0x y ++=； (C) 0x y -=； (D) 0x y +=． 3. 设区域{} 2(,)11, 1.D x y x x y =-≤≤≤≤，二重积分 ()2 cos D x x xy dxdy +=??【 B 】 ． (A) 1-； (B) 0； (C) 1； (D) 1 2 ． 4. 级数n n ∞ = A 】． (A) 条件收敛； (B) 绝对收敛； (C) 发散； (D) 其它选项都不对． 5. 曲线22 1() 4 4 z x y y ?=+???=?在点)5,4,2(处的切线对于x 轴的倾角为【 C 】． (A) 3 π ； (B) 3π-； (C) 4 π ； (D) 4π-． 二、填空题 ( 满分15分，每小题3分，共5道小题 )，请将答案填在横线上． 1. dx x y dy I y ? ? = 55 1 ln 1 = 4 . 2. 设L 是圆周2 2 2 R y x =+，曲线积分 ()2 2L x y ds +??= 32R π .
3. 设?? ?? ? ≤<≤≤=πππx x x f 20201)(可以展开为正弦级数，此正弦级数在4x π=处收敛于 1 . 解 由于4 π= x 是)(x f 的连续点，则)(x f 的正弦级数在4 π= x 收敛于1)4 (=π f ． 4. 微分方程20y y y '''-+=的通解为 12()x y c c x e =+ . 5. 函数33 (,,)3f x y z z xyz y =-+在点(1,2,3)处的梯度为 (18,3,21)- . 三．（满分10分）设( ) 22 ,ln 2z f xy x y =+，求z x ??和2z x y ???（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解 2122z f y f xy x ?''=+? 2z x y ???33221211 221222225yf xf xy f x yf x y f ''''''''=++++ 四. （满分10分）计算曲线积分22 L xy dy x ydx -??，其中L 为圆周222a y x =+的正向. 解 2 2 ,xy Q y x P =-=， 22,y x Q x y P =??-=??，由格林公式，得 ydx x dy xy L 22-? = 222x y a Q P dxdy x y +≤????- ???? ??? ()222 2 2x y a x y dxdy +≤= +?? 2 4 3 20 a dr r d a πθπ= =?? . 五．（满分10分）试将函数()2 x t f x e dt =? 展成x 的幂级数， （要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。 解： 因为 ∑∞ ==0! n n t n t e ()+∞<<∞-t 则∑∞ ==02! 2 n n t n t e ()+∞<<∞-t ， 将上式两端逐项积分，得 ()?∑????? ??==∞=x n n x t dt n t dt e x f 00 20!2
《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+
A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21.
第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy +
（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，
大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。
四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则
宿迁泽达职业技术学院20 11级清考试卷 《高等数学》试卷 （闭卷）（A 卷） 出卷人： 高超 … 一、选择题（每题5分，共25分） 1、设函数f （x ）在[0,1]内可导，且0)('>x f ,则（ ） A 、f(x)<0 B 、f(1)>0 C 、f(1)>f(0) D 、f(1) { 1、设函数f(x)在x 0处可导，则f(x)在x 0取得极值的必要条件是=)('x f 2、函数y=f(x)的自变量x 从x 0的左邻域变到右邻域时，)('x f 的符号由负变正，则x=x 0是函数y=f(x)的 点。 3、若连续函数f(x)在区间[a,b]内恒有0)('>x f ，则此函数在[a,b]上的最大值是 4、若y=f （x ）与y=g(x)是[a,b]上的两条光滑曲线的方程，则由这两条曲线及直线x=a,x=b 所围成的平面区域的面积为 5、将曲线y=x 2，X 轴及直线x=2所围成的平面图形绕X 轴旋转成的旋转体的体积应该为 三、计算题（每题5分，共20分） 1、 求下列函数的导数 y=x 2(e x +sinx) x y 3sin 3= ~ 2、 求下列不定积分 ?dx xe x ?xdx x ln & . 一.选择题（3分10） 1.点到点的距离（）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量，则有（）. A.∥ B.⊥ C. D. 3.函数的定义域是（）. A. B. C. D 4.两个向量与垂直的充要条件是（）. A. B. C. D. 5.函数的极小值是（）. A.2 B. C.1 D. 6.设，则＝（）. A. B. C. D. 7.若级数收敛，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B C. D. 9.幂级数在收敛域内的和函数是（）. A. B. C. D. 10.微分方程的通解为（）. A. B. C. D. 二.填空题（4分5） 1.一平面过点且垂直于直线，其中点，则此平面方程为______________________. 2.函数的全微分是______________________________. 3.设，则_____________________________. 4.的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程的通解为_________________________________. 三.计算题（5分6） 1.设，而，求 2.已知隐函数由方程确定，求 3.计算，其中. 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（为半径）. 5.求微分方程在条件下的特解. 四.应用题（10分2） 1.要用铁板做一个体积为2的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省 2..曲线上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点，求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.. 2. . 3. . 4. . 5. . 三.计算题 1. ，. 2.. 3.. 4. . 5.. 四.应用题 1.长、宽、高均为时，用料最省. 2. 高数试卷2（下）一.选择题（3分10） 1.点，的距离（）. A. B. C. D. 2.设两平面方程分别为和，则两平面的夹角为（）. A. B. C. D. 3.函数的定义域为（）. A. B. C. D. 4.点到平面的距离为（）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数的极大值为（）. A.0 B.1 C. D. 6.设，则（）. A.6 B.7 C.8 D.9 7.若几何级数是收敛的，则（）. A. B. C. D. 8.幂级数的收敛域为（）. A. B. C. D. 9.级数是（）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分5） 1.直线过点且与直线平行，则直线的方程为__________________________. 2.函数的全微分为___________________________. 3.曲面在点处的切平面方程为_____________________________________. 4.的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分6） 1.设，求 2.设，而，求 3.已知隐函数由确定，求 4.如图，求球面与圆柱面（）所围的几何体的体积. 四.应用题（10分2） 1.试用二重积分计算由和所围图形的面积. 试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 三.计算题 1.. 2. . 3.. 4. . 四.应用题 1.. 高等数学试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（） 4 5 A、10 B、20 C、24 D、22 2、设ai2j-k,b2j3k，则a与b 的向量积为（） A、i-j2k B、8i-j2k C、8i-3j2k D、8i-3ik 3、点P（-1、-2、1）到平面x2y-2z-50的距离为（） A、2 B、3 C、4 D、5 4、函数zxsiny在点（1，）处的两个偏导数分别为（） A、 B、 C、 D、 5、设x2y2z22Rx，则分别为（） A、 B、 C、 D、 6、设圆心在原点，半径为R，面密度为的薄板的质量为（）（面积A） A、R2A B、2R2A C、3R2A D、 7、级数的收敛半径为（） A、2 B、 C、1 D、3 8、cosx的麦克劳林级数为（） A、 B、 C、 D、 9、微分方程y4y5y20的阶数是（） A、一阶 B、二阶 C、三阶 D、四阶 10、微分方程y3y2y0的特征根为（） A、-2，-1 B、2，1 C、-2，1 D、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L1xyz与直线L2___________。直线L3____________。 3、二重积分___________。 4、幂级数__________，__________。三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分） 1、用行列式解方程组-3x2y-8z17 2x-5y3z3 x7y-5z2 2、求曲线xt,yt2,zt3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程. 3、计算. 4、问级数 5、将函数fxe3x展成麦克劳林级数 6、用特征根法求y3y2y0的一般解四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。 2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫做衰变。由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）已知t0时，铀的含量为M0，求在衰变过程中铀含量M 《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-，则k =（ ） A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-，则k =（ ） A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点（0，2）处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?，则(3)f '=（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有（ ）个。 A 1 B 2 C 4 D 0 8. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ ）。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ，0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2- C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的（ ）。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导，且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=?( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =，则y '=( C ) A.2222(ln )(ln )f x f x x ' B. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln ) f x f x x ' D. 222(ln )()f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C + 16. 211 lim ln x x x →-=( ) A.2 B.3 C.4 D.5 17. 设函数0()(1)(2)x f x t t dt =-+?，则(2)f '-=（ ） A 1 B 0 C 2- D 2 18. 曲线3y x =的拐点坐标是( ) A.(0,0) B.( 1,1) C.(2,2) D.(3,3) 19. 已知(ln )y f x =，则y '=( A ) A. (ln )f x x ' B.(ln )f x ' C.(ln )f x D.(ln ) f x x 20. ()d df x =?( A) A.()df x B.()f x C.()df x ' D.()f x C + 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 南昌工学院考试试卷 2016-2017学年第二学期2017届毕业生毕业清考 课程代码: 10BCK004 课程名称: 高等数学 适合层次: 专科 适合专业: 2014级理工类专业 考试时间: 100分钟 考试形式: 闭卷 开课单位: 基础教学部 院 长: 陈博旺 ―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 一、选择题。（共10题，每题3分，共30分） 1.函数1-=x y 的定义域是（ ） A. {1}x x ≤ B. {1}x x > C. {1}x x ≥ D. {1}x x < 2.2lim 1x x x →-（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 不存在 3.极限=→x x x 2sin lim 0（ ） A. 1 B. 0 C.2 D. 不存在 4.若函数221y x =+，则=dy （ ） A. dx x )12(+ B. xdx 2 C. dx x )14(+ D. xdx 4 5. 已知x y cos =，则22dx y d （ ） A.cos x B.x sin C.x sin - D.cos x - 6. 当0→x 时，下列函数中不是x 的等价无穷小的是（ ） A.x sin B.x cos C. 1-x e D. )1ln(x + 7. =+→x x x 1 0)1(lim （ ） A. e B. e - C. 1-e D. 不存在 8.=?-dx 1 1（ ） A.2 B.0 C.2π- D.2π 9. 设2)(x x f =，则)(x f 的原函数为（ ） A.x 2 B.C x +2 C.33x D. C x +33 10.已知函数)(x f y =，则)()(00+ -=x f x f 是函数)(x f 在0x x =处极限存在的（ ） A.充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D. 无关条件 高等数学试题 一、填空题 1.设sin z xyz 1,-=则 z yz x cos z xy ?=?-. 2.设L 为圆周22x y 4+= ，则对弧长曲线积分=12π? . 3.交换积分次序( )22 2y 410y 0x 2dy f x,y dx =dx y)dy ????. 4.方程2x y"4y'4y e -++=的一个特解是2x x e -212 . 二、选择题 1.函数( )2222x y 0f x,y 0x y 0 +≠=+=?在点（0，0）处A . A.连续 B.两个偏导数都存在，且为0 C.两个偏导数都存在，但不为0 D.全微分存在 2.设有空间区域2221:x y z 1,z 0Ω++≤≥； 2222:x y z 1,x 0,y 0,z 0Ω++≤≥≥≥,则C . A.12xdv 4xdv ΩΩ=?????? B.12 ydv 4ydv ΩΩ=?????? C.12zdv 4zdv ΩΩ=?????? D.12 xyzdv xyzdv ΩΩ=?????? 3.设∑为球面222x y z 1++=的外侧，则222 x dydz x y z ∑++?? 等于C . A.0 B. 22y z 1+≤?? C.43π D.22x z 1 +≤-?? 4.下列微分方程中，通解为()2x 12y e c cos x c sin x =+的方程是B . A.y"4y'5y 0--= B.y"4y'5y 0-+= C.y"2y'5y 0-+= D.2x y"4y'5y e -+= 三、计算二重积分2y 2D e dxdy y ??.其中D 为3x y =与5x y =所围区域. 1e 12- 五、设y u y f 2x,x ??=? ??，f 具有二阶连续偏导数，求 22 11222223u 2y 2y y 2f f f f x y x x x ?''''''=+--??. 六、设()f x 是一个连续函数，证明： （1）()()22f x y xdx ydy ++是一个全微分；（2）()()()u 2201d f u du f x y xdx ydy 2??=++ ??? ?，其中22u x y =+. 证明：（1） ()()()( ) 222222222222222222f x y xdx ydy xf (x y )dx yf (x y )dy (xf (x y ))2xyf (x y )y (yf (x y ))(xf (x y ))2xyf (x y )x y f x y xdx ydy ++=+++?+'=+??+?+'=+=??∴++ （2） ()()22 u x y 2222002222111d f u du f u du f (x y )d(x y )2221f (x y )(2xdx 2ydy)f (x y )(xdx ydy).2 +??==++ ???=++=++?? 七、求：由曲面2222z 0,z y 1,x y 4== +=+=所围空间立体Ω的体积. 解： 22010V dxdydz d d dz 14d d dz 3πρρρθθρρπΩΩ ====????????? 是一个全微分。大学高等数学下考试题库(附答案)
(word完整版)高数一试题及答案,推荐文档
高等数学下册试题及答案解析
高等数学专科清考试卷
北京科技大学高等数学下册试题
相关主题
文本预览