毕业论文（设计）
题目：Lorenz混沌系统的电路仿真
指导教师：
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学生学号：
信息工程系—电气自动化专业—08自动化2班
2011年 04月 15日
摘要
混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一，人们对混沌信号的产生和混沌振荡器等内容的研究非常感兴趣。
本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz 系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。计算机仿真结果表明:在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。电路实现证实了所提新方法的有效性，并且可以按照实际需要的祸合比例实现同步控制。
关键词: 混沌同步；控制；祸合比例系数；电路实现
ABSTRACT
Chaos studies from early exploration to significant breakthrough in the 1970s by up to this century after the hot forming worldwide, the field that involves including mathematics, physics, biology, meteorology, engineering and economics, and so many subject, the research achievement, not just added a new modern scientific disciplines branch, and almost permeates and affects the whole subject system of modern science. Chaos study of the development of modern science is a new chapter. Many scholars put chaos theory called after the quantum mechanics and relativity of the 20th century is one of the most influential, people on the scientific theory of chaotic signal is produced and chaotic oscillator content of the study very interested.
Synchronous control of the master system and slave systems, matching the certain coupling coefficient aiming at the system of Lorenz, and computer numerical simulation are realized in this paper. The computer numerical simulation shows that the transient period of controlling is generally reduced with an increase of the value of the slack constant. Clearly, the larger slack constant leads to the faster convergence rate in the control. The control law derived from Lyapunov stability theory This control method could be employed to enforce a nonsynchronous system to be synchronized, and manipulate the ultimate state of projective synchronization to any desired ratio. It allows us to use tiny control inputs to amplify or reduce the response of the driven system to any scale in a short transient period. The numerical simulation result confirms the effectiveness of the new method, and the method can realize the synchronous control according to the coupling ratio of demand.
Key Words:Synchronization of chaos；Control; Coupled scale factor; Circuit implementation.
目录
ABSTRACT............................................. II 第一章绪论 (1)
1.1选题的目的及意义 (1)
1.2混沌学 (2)
1.2.1混沌的发展 (2)
1.2.2混沌的定义 (3)
1.2.3通向混沌的道路 (5)
1.3奇怪吸引子 (5)
1.3.1洛伦兹吸引子 (5)
1.3.2伊侬吸引子 (6)
1.3.3奇怪吸引子特性 (6)
第二章混沌的同步研究及其应用 (8)
2. 1混沌的同步 (8)
2.1.1同步的定义 (8)
2.1.2广义同步的定义 (9)
2.1.3相位同步的定义 (9)
2.2谈谈几种典型的同步方法 (10)
2.2.1驱动响应同步法 (10)
2.2.2变量反馈微扰同步方法 (11)
2. 2. 3相互祸合的同步方法 (12)
2.2.4自适应同步方法 (13)
2.3混沌同步的研究进展 (13)
2.4混沌同步的应用 (14)
第三章针对Lorenz系统的混沌同步控制电子电路设计 (15)
3.1 Loren:系统的科学价值和历史意义 (15)
3.2 Lorenz系统的动力学行为 (15)
3.2.1 Lorenz系统的基本动力学行为 (15)
3.2.2平衡点和分岔 (17)
3.3电子电路的应用设计 (17)
3.3.1简单混沌现象研究 (20)
4.3.2电路图 (21)
第四章计算机仿真与电路的实现 (22)
4.1软件设计 (22)
4.1.1软件设计的基本原则 (22)
4.1.2软件选择 (22)
4.1.3电路的实现 (23)
4.2仿真与分析 (23)
4.2.1 Matlab仿真 (23)
4.2.2结果分析 (24)
论文总结与展望 (26)
致谢 (27)
参考文献 (28)
第一章绪论
1.1选题的目的及意义
混沌学研究从早期探索到重大突破，经以至到本世纪70年代以后形成世界性研究热潮，其涉及的领域包括数学、物理学、生物学、气象学、工程学和经济学等众多学科，其研究的成果，不只是增添了一个新的现代科学学科分支，而且几乎渗透和影响着现代科学的整个学科体系。混沌学的研究是现代科学发展的新篇章。许多学者把混沌理论称为继量子力学和相对论以后二十世纪最有影响的科学理论之一。非线性科学是一门研究非线性现象共性的基础科学，具有广阔的应用的前景。
在许多领域，混沌己经被发现是有用的或有着巨大的应用前景。因此，在一些混沌显得非常重要且有用的领域，有目的的产生或强化混沌现象己经成为一个关键性的研究课题。对任意给定的一个有限维的系统或过程，它可以是线性的或非线性的、时变的或时不变的、非混沌的甚至稳定的，所关心的问题是我们能否通过设计一个简单可行的控制器，如参数调整器或状态反馈控制器，来使受控的系统产生混沌现象。这就是我们通常所说的混沌反向控制，或简称混沌反控制。
目前，混沌动力学在理论深度和应用广度两个方面都在不断取得重要突破，一个重要进展是上个世纪90年代以来，混沌控制与同步概念的提出，由此在国内外引发了对混沌控制与同步的理论和方法进行研究的热潮。这一研究课题不仅引起了物理学家，也引起了数学、控制论、电路与信息处理等有关领域的科学工作者的广泛关注，成为当前非线性科学研究中的前沿课题和学术热点。
虽然目前在混沌同步、控制及应用方面取得了巨大的成果，但仍有许多问题还没有解决。如在超混沌系统参数辨识中，虽然提出了多种方法，但是难于同时满足辨识精度高、控制器简单、需要时间序列少等要求，有必要进行改进;混沌同步理论需要进一步完善，目前关于全同步、局部同步、相同步、滞后同步以及单向祸合的广义同步人们都已经作了大量的研究，但是对于双向祸合的混沌系统，由于两个系统相互作用、相互影响其动力学行为，每个系统的动力学行为都不再是只由自己动力学方程控制，因而它们动力学行为极其复杂，目前仍缺乏对双向祸合混沌系统的广义同步研究，为了混沌理论的完整性，对其研究是必要的。
本文在汲取前人研究成果的基础上，提出了以一定的藕合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制的方法，并在计算机上进行仿真，最后通过电子电路实现了针对Lorenz系统的P同步。
1.2混沌学
1.2.1混沌的发展
混沌概念最为深刻的演化与进展，发生在研究宏观世界的动力学中。根据牛顿理论，本世纪60年代之前，人们仍普通认为，确定性系统的行为是完全确定的、可以预言的。不确定性行为只会产生在随机系统里。然而，近30年来的研究成果表明，绝大多数确定性系统都会发生奇怪的、复杂的、随机的行为。随着对这类现象的深入了解，人们与古代混沌概念相联系，就把确定性系统的这类复杂随机行为称为混沌。可从两方面来理解混沌特性：一是：确定性系统的内在随机性现象；二是：对初始条件的敏感性。
最早发现可能存在混沌现象的是法国数学家Poincare，他在研究三体问题时指出:在一定范围内其解是随机的[例，实际上它是保守系统中的混沌，但是在当时并没有引起人们多大的注意。直到1954年，前苏联概率论大师Kolmogoror 提出了一个环面不变定理(即KAM定理)，这一定理后来被Arnold和Mose证明，使得人们进一步认识扰动对系统产生的影响。
1963年，著名大气学家Lorenz研究了下表面受热，上表面冷却的薄层流体，通过对流方程进行模式截断，只保留一个速度模和两个温度模，给出了著名的Lorenz方程：
dx/dt=-σ(x-y)，
dy/dt=rx-y-xz，
dz/dt=xy-bz
Lorenz方程右端不显含时间，有三个参数Q(常数Prandtl )，P(瑞利常数)和b(反映速度阻尼常数)，Xl代表对流的翻动速率，x2代表上流和下流的温度差，x3代表垂直方向温度梯度，该方程所描绘的图形就是蝴蝶状的双螺旋线，若参数取
b=10,b= 28,b=8/3，系统处于混沌状态，各个变量之间相平面投影图如下图1.1
所示。
图1.1 Lorenz系统混沌吸引子相图
这便是在耗散系统中，一个确定的方程却能导出混沌解的第一个实例，人类从此揭开了对混沌现象的深入研究的序幕。
20世纪80年代以来，人们着重研究系统如何从有序进入混沌及其混沌的性质和特点，借助于(单)多标度分形理论和符号动力学，还进一步对混沌结构进行了研究和理论上的总结。控制混沌的研究兴起于1989年，与此同时有三种不同的控制方案在这一年问世。其中，第一种方案是共振控制，Hubler和Luscher通过引入一类无反馈外激励型控制使系统呈现事先指定的周期形态;第二种方案是Bloch 和Marsden建立一种有反馈的参数修改机制控制同宿轨道;第三种方案是系统理论的应用，Hubler和Fowler分别利用统计性预测和基于Kalman滤波的状态估计器等随机控制方法控制混沌系统并取得了一定的效果。真正引起对控制混沌较广泛重视的是1990年Ott, Grebogi和Yorke在Phys. Rev. L ett.上发表的一篇短文，其中提出了利用参数反馈镇定构成混沌吸引子的任意不稳定周期性轨道的方法，即后来所被广泛应用的OGY方法。这种控制方法与实验有密切联系，因而很快便应用于实验室的实验中。同年该校的Ditto,Rouseo,Span。从实验上验证了OGY
方法的有效性。随后，国际上混沌控制方法及其实验的研究得到了迅速的发展，混沌同步也获得进一步的拓广，大大推进了在应用方面的研究。
进入90年代，基于混沌运动是存在于自然界中的一种普遍运动形式，被很多人所认识，混沌学更是与其他学科相互渗透、相互促进，无论是在生物学、心理学、物理学、生理学、数学、信息科学、电子学，还是气象学、经济学、天文学，甚至在音乐、艺术等领域，混沌都得到了前所未有的应用。
1.2.2混沌的定义
“混沌”一词，从古自今，毫不陌生。混沌是一个物理概念，它是非线性动力学系统表现出来的一种复杂现象。早在十九世纪末，法国数学家庞加莱在研究太阳系三体运动时就发现了混沌的现象，而最具有说服力和影响力的当属本世纪60年代初，美国气象学家洛伦兹提出的Lorenz方程，借助于计算机技术使人们对混沌有了更加深刻的理解。近年来，随着人们对非线性混沌理论研究的不断深入，混沌的应用研究已成为非线性科学领域的热点问题之一。但是至今为止，学术界对“混沌”尚缺乏统一的普遍接受的一般定义，但是有以下几种从不同角度出发的混沌定义，较好地概括了混沌的定性行为。
第一种混沌定义是，基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。气象学家洛伦兹给它做了一个形象的比喻成:一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可
能两周之后在美国德克萨斯引起一场龙卷风。其原因在于:蝴蝶翅膀的运动，导致其身边的空气系统发生变化，并引起微弱气流的产生，而微弱气流的产生又会引起它四周空气或其他系统产生相应的变化，由此引起连锁反映，最终导致其他系统的极大变化。
第二种混沌定义是基于Li-Yorke定理，是从数学上进行了严格的定义。
在1975年，李天岩和约克在《美国数学月刊》上发表的一篇论文《周期3意味着混沌》，第一次引入“混沌”概念，并给出了混沌的一种数学定义，即现在所谓的Li一Yorke定义:
对于闭区间I上的连续自映射f (x)，如果满足下列三个条件时，称它一定会出现混沌现象:
(I)f有任意周期的周期点；
(II)闭区间I存在不可数非周期不变子集S，如果存在一个周期3的周期点时，就一定存在任何整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩的话说，只要系统中有周期3就会“乱七八糟”，即什么周期点都可能存在。因此，发现在任何系统中是否存在3周期成为判断混沌的至关重要的准则。这种定量的定义混沌是真对集合提出的。
第三种混沌定义是:定义混沌的方法是采用了排除法，即与现有的已知运动进行比较来排除的方法。即:除了通常已知的三种典型运动类型，即平衡点、周期及准周期运动以外的一种貌似随机的运动形态，就是混沌运动，它的特点是局部极其不稳定而整体稳定。这种定义只是笼统的给出了混沌是自然界中一种新的运动形态，没有给出混沌运动的具体刻画，要想真正确定是否是混沌运动还需要进一步验证。
第四种混沌定义是:1989年Devaney给出了一个更直观更便于理解的混沌定义:
设X是一度量空间，一个连续映射f : X →X称为X上的混沌，如果满足下列条件:
(I)f具有对初值的敏感依赖性；
(II)f是拓扑传递的；
(III) f的周期点在X中稠密。
对初值的敏感依赖性，意味着初值为x和y的两点，无论x和y离得多么近，在了的作用下两者的轨道都可能分开较大的距离，而且在每个点x附近都可以找到离它很近而在f的作用下离它渐渐远去的点y，对于这样的f，如果用计算机计算它的轨道，任何微小的初值变化，经过若干次迭代后都将导致计算结果的失效。
拓扑传递性意味着任意一点的临域在f的作用下，将传递整个度量空间。周期点集的稠密性，表明系统具有很强的确定性和规律性，决非杂乱无章。乱中有
序，这正是混沌的深奥之处。
第五种混沌定义是哈肯提出来的，它干脆就把混沌定义为:来源于确定性方程的无规运动。这里最关键的是如何理解所谓的“无规运动”，而不同周期运动的叠加在某种程度上也可以模拟无规行为。
1.2.3通向混沌的道路
目前发现通向混沌的道路有以下几种:一、倍周期分岔道路:随着系统参数的变化，系统的振荡周期由T变为2T、继而为22T ,…，2^T，直至最终进入混沌状态。由倍周期分岔通向混沌是出现混沌的重要方式(或道路)之一。也可以说，出现倍周期分岔即预示着混沌的存在。二、阵发混沌道路:阵发性混沌是指系统在相当长时间内处于某种几乎周期状态，但是随着系统的控制参数接近转变点，会在规整的周期运动过程中不时爆发出一阵阵随机的、不规则的运动片断，而且变得越来越频繁，最后系统进入完全的混沌态，故称阵发性混沌。三、环面破裂:具有两个或两个以上不可约(即比值非有理数)频率成份的拟周期运动在某种情况下失去光滑性，即参数达到临界值时布满拟周期轨道的环面发生破裂，而进入混沌。
四、危机道路:与阵发混沌道路一样，危机道路也是间隙的。但不同之处是:危机道路是由全局演化引起的，如跨越稳定与不稳定流型时产生的。在临界参数值之前，是非混沌运动，但是通常存在瞬变过程，在达到它们的渐进规则运动之前，轨迹看上去是混沌的，当参数达到临界值，则混沌的瞬变过程趋于无穷;经过临界后，产生持续的混沌运动。
1.3奇怪吸引子
奇怪吸引子广泛存在于动力学系统中，又称混沌吸引子(Chaotic
Attractor )。指相空间中吸引子的集合，在该集合中混沌轨道在运行。此吸引子不是平衡点，也不是极限环，也不是周期吸引子，而是具有分维数的吸引子，其中最典型的例子是洛伦兹吸引子和伊侬吸引子。
1.3.1洛伦兹吸引子
1963年洛伦兹在“决定性的非周期流”一文中给出了如下插图。由于洛伦兹所得到的吸引子存在于三维相空间中，所以左图为吸引子在YZ平面上的投影，右图则是在XY平面上的投影。
图1.2 奇怪吸引子
图1.3伊侬奇怪吸引子
1.3.2伊侬吸引子
伊侬吸引子是从二维映射[[421中迭代产生的，下图是在计算机上经过一万次迭代后所得到的结果。其中(b), (c), (d)依次是前一图内小方框中图形的放大。可以看出，在不同放大倍数下的图形，其结构是相似的。
1.3.3奇怪吸引子特性
奇怪吸引子上的运动对于初始条件非常敏感，作为相空间的子集合，通常具有分维数；奇怪吸引子的结构即使原来的微分方程连续地依赖于参数，它也完全不是连续地随参数而变化，即整体结构会突然变化;它的空间结构相当复杂，这
来源于轨道的无穷伸长、压缩和折叠;另外，奇怪吸引子具有一切混沌的通用性质、分维数、正的李雅普诺夫指数、正的测度嫡以及功率谱是连续的等等特性。
第二章混沌的同步研究及其应用
混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。随着混沌同步和控制的方法在实验研究上的迅速发展，混沌控制与同步应用领域也从物理迅速扩大到化学、生物学、保密通讯、激光控制，电子线路等应用领域。下面简单介绍一些关于混沌同步的定义，之后介绍几种典型的同步方法，最后简要地介绍混沌研究存在的问题。
2. 1混沌的同步
混沌同步，从总体上来讲，属于一种广义混沌控制，就是将系统驱动到人们要求的混沌轨道上去(不是驱动到人们要求的周期轨道上去)。迄今人们已经发现许多种同步方式，例如:全局同步、广义同步、相同步滞后同步等。提出了许多种混沌同步方法，如:驱动一响应同步方法，主动一被动的同步方法，变量反馈微扰同步方法，相互祸合的同步方法等，下面对这些同步的概念和同步的方法作一简要的介绍。
2.1.1同步的定义
总体上说，混沌同步属于混沌控制的范畴，迄今已发现了几种类型的混沌同步，其中一种类型就是Pceora和Carroll提出的同步方案。该方案电路中存在驱动与被驱动的关系，其中驱动电路可分为稳定部分和不稳定部分，将其中的稳定部分复制一个响应，然后把响应系统与驱动系统用驱动信号耦合起来，由此可达到相应系统与驱动系统同步。随着非线性电路研究的深入，目前已有很多产生混沌的实际电路用于研究混沌产生机制的电路的报道。混沌现象广泛的存在于非线性电路中，比较典型并已得到深入研究的电路是蔡氏电路。若D(to)是R"
的一个子集，则称该精确同步定义为部分精确同步，D(to)称为同步区域。
要达到全局精确同步，驱动系统和响应系统必须完全相同，由于在实际中难以产生出两个完全相同的混沌系统，对于确定系统，或多或少存在参数不匹配，有时甚至用一个混沌系统的变量去驱动另一个结构完全不同的混沌系统，这时会
出现其它形式的同步。
2.1.2广义同步的定义
近些年来，L.Kocarev等人提出了混沌广义同步(Generalized synchronization简称GS)的概念及方法。当所有初始条件(Xo,Yo) C B的响应系统轨道都随时间趋于无穷而趋于M。当t→∞时，响应系统的轨道满足
Y=H(X)，则称为广义同步。当n=m且f(X)=g（Y)时，则广义同步又回到一般意义下的同步，即:y=H(X)=X。目前对于广义同步的测定主要是构造辅助系统的方法，这种方法主要是构造与响应系统完全相同的系统，并且用相同的信号去驱动它，若响应系统与辅助系统的输出量随时间的延续最终能够达到完全相同，则表明两个系统达到广义同步。即构造:
Z=g(z，h(X)) (2.1) 若有z(t) = y(t)，则表明达到广义同步。这种方法虽然在理论上非常简单，但是在工程上却需要花费很大的财力。
广义同步的测定还可以采用Lyapunov指数方法和符号动力学方法。对于单向藕合的两个混沌系统，当响应系统的第二大Lyapunov指数由0变负时两个系统达到广义同步，或者条件嫡出现突出最小值时表明达到广义同步。
2.1.3相位同步的定义
1996与1997年，Rosenblum等人提出了祸合自振荡混沌系统之间的“相同步”,他们发现当祸合强度增大到一定程度时，两个自然频率不同的振子的相位被锁定,而此时两振子的振幅却没有关联，但是系统的两Lyapunov指数中的一个变为负。相同步在数值研究上被发现后，先后在电路及激光实验中得到了验证。还依赖于混沌轨道的旋转特性，如果轨道有两个或两个以上的旋转中心，这一定义就必须修改，对于映象系统，上述相位的定义也不一定适用。深入研究这些问题从而建立起对混沌轨道旋转性质的系统和确切的描述仍在探讨之中。
继“相同步”提出之后，Rosenblum等人又发现了“滞后同步”，其特征是两藕合混沌系统几乎有相同的状态，只是在时间上一个系统的状态滞后于另一系统的状态。通过数值模拟发现，“相同步”与“滞后同步”存在一定的联系，即:当祸合的混沌系统进入“相同步”之后，如果它们之间的藕合强度继续增强时“相同步”态可以发展成为“滞后同步”的状态，随着系统间藕合强度的进一步增强时间滞后将不断缩短，最后可能发展到全局同步。郑志刚等人发现系统间的参数失匹配程度将直接影响“相同步”与“广义同步”出现的先后顺序，其产生的机制有待于作进一步研究。
2.2谈谈几种典型的同步方法
2.2.1驱动响应同步法
驱动一响应混沌同步方法是由美国学者Pecora和Carroll在1990年提出来的，其特点是:两个系统存在驱动与响应(被驱动)(Drive-Response)的关系，或称为主役(Master-Slave)关系，响应系统的行为取决于驱动系统，而驱动系统的行为与响应系统无关。
其基本原理为:将驱动系统分解成一个稳定的子系统和一个不稳定的子系统，复制一个与稳定的子系统完全相同的系统作为响应系统。假设驱动系统可以分解为真正用于驱动响应系统的m维驱动变量矢量v以及不用于驱动的k维变量矢量u，响应变量用l维变量矢量w表示。于是，总体动力学系统的总维数为n=m+k+l，总体动力学系统可表示为:
v=f (v,u)(m维)(驱动部分)
u=g(v,u)(k维)
w=h (v, w)(1维)(响应部分)(2.2)复制一个与w完全相同的子系统w作为响应系统:
w=h(v, w) (2.3) W’和w受相同的驱动变量v驱动，显然，w’和w，同步的条件是当t→∞时，△w=w-w’→0。根据矢量场，可以得到:
△w·h (v, w)一h(v, w')=Dw h(v, w} ) △△+O(v,、’) (2.4) 其中Dwh是响应系统矢量场的雅可比行列式对响应变量w求偏导数，O(v, w)为高
阶项，在△、很小的极限下有:
△w·D,。 h(v, w})d0 (2.5) 若w' (t)是常数或周期态，则可求出D .hw的特征值或多重乘子以判断、 (t)的稳定性。Pecora和Carroll对响应系统的稳定性及同步原理进行了分析，发展了用混沌信号驱动响应系统的稳定性分析理论，即所谓条件Lyapunov指数稳定性判据。给出了如下的同步定理:只有当响应系统的所有的条件Lyapunov指数都为负值时，才能达到响应系统与驱动系统的同步。
由于Pecora-Carroll关于驱动一响应同步方法需要将系统进行特定的分解，使其在实际应用中往往受到很大的限制。1995年 L.Kocarev和U.Parlitoz 提出了改进方法，即主动一被动分解法，由于该分解方法十分灵活，且有很好的普遍适用性。
考虑如下的n维的动力学系统:
Z≈F(Z) (2.6) 式中Z∈R为状态向量，F为光滑的向量场。我们总可以把系统(2.19)改为非自治系统形式:
X=f (X , S(t)) (2.7) 其中S(t)为所选的驱动变量，它是X中变量的函数，即
S(t)=h(X)或S(t)=h(X,S) (2.8) 复制一个与((2.21)式相同的系统作为响应系统
Y=f (Y,S(t)) (2.9) 若响应系统(2.9)与驱动系统(2.7)受到相同的信号S(t)驱动，由方程((2.9)及((2.7)可推导出两系统变量差e=X-Y的微分方程为:
e = f(X,S)-f(Y,S)= f(X,S)-f(X-e, S) (2.10)
显然式(2.10)在e=0处有一个稳定的不动点，即响应系统(2.10)与驱动系统(2.10)能达到稳定的同步态X =Y。应用Lyapunov函数或线性稳定性分析方法(在。为小值情况下)，或计算(2.9)的条件Lyapunov指数为负，可以证明:则由((2.9)式和((2.7)式所表示的两个混沌系统能够实现同步。这种分解h和f称为主动一被动分解法(Active-Passive Decomposition)或有源一无源分解法。相应的同步类型也称为主动一被动(或有源一无源)同步类型。
主动一被动同步方法的最大优点和关键所在就是可以不受任何限制地选择驱动信号的函数，因此，该法具有更大的普遍实用性。事实上，驱动一响应同步方法是主动一被动同步方法的一种特例情况。在很多情形下，驱动函数可以是一般的函数，它不仅依赖系统的状态，而且还可以与信息信号i(t)有关，它通常是信息信号与混沌(超混沌)信号的函数，即:S(t)=h(X,i)或S(t)=h(X,i,S)写成矢量形式。这个特点使主动一被动同步方法特别适合于保密通信方面的应用。
2.2.2变量反馈微扰同步方法
1993年，德国学者K.Pyragas提出了一种对非线性连续混沌系统的控制方法。即:连续变量反馈微扰控制法。后来这一思想被用来研究两个混沌系统的同步问题。变量反馈微扰同步法的原理可用图2.1表示。
图2.1变量反馈微扰同步方法的原理图
设混沌系统(I)和(II)分别为:X人(X ),Y。它们的同步问题可用下
列方法描述:
X=fl(X)
X=f2（Y)+F(t) (2.11)
F(t)=K(X,Y)
F(t)是两个系统的状态变量差值的函数，可以是线性函数，也可以是非线性函数，它作为小微扰信号反馈到系统(II)中。只要适当调节控制反馈权重系数ki，系统((I)和系统((II)就可以实现混沌同步。当两个系统同步时，反馈量不再起作用，即:F(t)=K -q?(X,Y)一01因此，这种同步方法没有改变原系统X的混沌特性，属于反馈跟踪混沌信号的同步方法。应用小微扰变量反馈法时，应注意到两种因素影响:一种是系统参数变化，二是环境噪声，只要在允许的误差范围内，该方法具有鲁棒性。该方法的优点是不必要对系统进行预先的计算机分析，从实验上技术可行，因此有一定的实用价值，反馈系数K的工作范围可以计算确定，高阶混沌情形可以用微扰限制方法，这时受控变量的最小数目必须等于无微扰系统的正的Lyapunov指数的数目。
2. 2. 3相互祸合的同步方法
基于相互祸合的混沌同步方法是在八十年代由A. V. Gaponov-Grekhov研究流体湍流时得出的。1990年，Winful和Rahman针对激光混沌，研究了在相互祸合半导体激光阵列系统中混沌同步的可能性。1994年，美国Roy和Thombury以及日本的Sugawara等人，通过利用激光强相互祸合，分别独立地从实验上观察到两个混沌激光系统的同步, Carroll等人在研究三个总体祸合的脉冲藕合振子阵列时，也发现了同步现象。大量的研究表明:对于相互祸合的混沌系统在一定
的条件下(如祸合强度足够大)，可达到混沌同步，对于这一点，Wu和Chua通过研究Chua电路从理论上进行了证明，其实，从稳定性的理论角度很容易理解这一点，因为祸合的目的在于使系统总的收敛趋势大于系统的发散趋势。相互祸合的思想表述如下:
对于混沌系统:
dX/dt=F(X) (2.12) 复制完全相同的系统:
dY/dt=F(Y) (2.13) 其中，X,Y∈R^,F(X),F(Y)不明显地依赖于t。分别在驱动系统和相应系统的动力方程式的右边加入耦合控制项后为：
dX/dt=F(X)+K(Y-X) (2.14)
dY/dt=F(Y)+K(X-Y) (2.15) 其中，K称为祸合系数，是一个nxn对角矩阵。一般地，只要选择恰当的耦合系数K，那么在参数匹配下就会使两个系统达到同步。
2.2.4自适应同步方法
“自适应”，是指自然界中的生物能改变自己的习性以适应新的环境的一种特征和能力。所谓自适应同步是:应用自适应控制原理，对混沌中不稳定的周期轨道进行有效的控制，最终实现两个系统的混沌同步。John和Arnritke提出了改进的自适应控制方法，不仅可以应用于控制混沌而且能够实现两个系统的混沌同步。该同步方法的前提是，至少已知系统的一个参数或几个参数，且已知所期望得到的轨迹所对应的参数值。受控参数的变化依赖于如下两个主要条件:一是系统输出变量与期望的相应变量之差二是受控参数的值与期望轨道相应的参数值之差。这种方法可以得到系统参数的变化，所以所有系统的变量可以自由的演化，也不需要知道混沌吸引子的详细情况。
2.3混沌同步的研究进展
混沌同步，从总体上说，属于混沌控制的范畴;但由于混沌自身的特点，同步方法不完全和传统的以抑制混沌为主的控制方法相同。传统的混沌控制一般是将系统稳定在不稳定的周期轨道上，混沌同步则是实现两个系统的混沌状态的完全重构。混沌同步现象的发现，源于九十年代初，首先由美国学者Pecora和Carroll在电子学线路的专门设计的实验中实现两个系统的混沌同步。这既是令人吃惊的，又是引人入胜的发现，因为混沌行为的最大特点就是，运动轨迹对初始条件具有高度的敏感性，所以以前认为在实验室内重构相同的完全同步的混沌系统简直是不可能的事情。但是，混沌同步的发现打破了这个禁锢，开辟了一片
新天地，使其具有诱人的应用发展前景。混沌应用的研究也出现了新的生机，很多人竞相投入研究，发展了许多不同的同步方案。
2.4混沌同步的应用
混沌的主要特征是类似随机运动的无规则性和对初始条件的敏感依赖性，不可能对混沌时间序列作长时间的预测。混沌同步原理的应用首先是保密通信领域。在数据保密通信中，通常需将原始数据与某种伪随机数据相调制。选择合适的伪随机数据是关键。
混沌信号由于有快速衰减的关联函数和宽带功率谱，可选为伪随机信号。混沌由于对初始条件的高度敏感性而具有高度的随机性，可用来对信号进行调制。同时它又是决定性的，由非线性系统的方程、参数和初始条件完全决定，因而使其有可能用同步的方法来进行复制，从而可通过解调获得原始数据信息。现有的保密通信主要是产生伪随机序列对待发送数字信号进行一系列变换加密，设备复杂，混沌同步应用于保密通信可简化设备，同时提高保密性。
混沌同步应用于通信的基本思想是:利用简单的混沌动力学系统来产生复杂的震荡波形，通过符号动力学理论赋以不同的波形以及不同的信息序列，然后通过适当的小微扰方法，实现对不同信息的切换。
混沌同步应用于通信有几种主要方法:混沌切换、混沌遮掩、混沌调制等等。
混沌遮掩是信息信号和混沌信号被简单的加在一起，混和信号作为传输信号。接收端由同步原理进行设计，用接收到的信号驱动接收端。如发送端和接收端能够同步，作一个简单的减法即可恢复原信号。混沌调制较为复杂，但有一些优点，混沌信号的整个频谱都可以用来隐藏信号，而且对参数变化的敏感性增加，从而增加了保密性。
第三章针对Lorenz系统的混沌同步控制电子电路设计
Lorenz吸引子是迄今为止被研究得最为深入的吸引子，它无论从数学还是物理的角度来说都是值得详细地研究。从工程的角度来看，如何实现和应用Lorenz吸引子是一个十分有意义的问题。因此，人们对Lorenz系统进行了大量而深入的探索，还先后提出了Lorenz系统的一些变形，如分段Lorenz系统和模拟Lorenz系统。
3.1 Loren:系统的科学价值和历史意义
Lorenz系统的数学模型是三元一阶非线性微分方程组，它是当今被讨论和引证最多的动力系统的典型例子之一。Lorenz系统既有分叉、混沌现象，也有各种稳定现象，如倍周期、不动点等。一般文献大多关注其不稳定的一面而忽略了其稳定性。尽管30多年来已经对Lorenz系统进行了广泛深入的研究，这个系统仍有许多未解决的问题，仍然对动力系统研究颇具魅力。可以说，Lorenz系统的提出极大地激励和推动了混沌学的理论发展和后来混沌在许多工程学科中的应用。它是混沌学发展史上的一个重要的起点和转折点，具有第一个里程碑的意义。
3.2 Lorenz系统的动力学行为
1963年美国气象学家洛伦兹(Lorenz)研究大气对流，提出了著名的Lorenz 方程，Lorenz的初衷是想探求一个常微分方程组，以模拟某些与天气有关的变化过程。他最终使用的方程是从一个对流模型得出的:一个两维的流体室，底部加热，顶部冷却，从而产生对流。
3.2.1 Lorenz系统的基本动力学行为
Lorenz系统的动力学方程为:式中，x正比于对流运动的强度，Y正比于水平方向温度变化，z正比于垂直方向温度变化；a,r和b分别为与Prandtl数、Rayleigh数及容器大小有关的正参数。对各参数在一个宽的范围内取值并在计算机上对Lorenz方程求解，其结果看上去特别复杂。该轨迹为Lorenz系统确定了一个“奇怪吸引子”，基于奇怪吸引子的运动描绘出复杂的“湍流”特性。
当参数取值为a=l0,b=8/3,r=28时，Lorenz系统有一个混沌吸引子，如图所
研究生课程论文(2018-2018学年第二学期> 蔡氏混沌非线性电路的研究 研究生：***
蔡氏混沌非线性电路的研究 *** 摘要：本文介绍了非线性中的混沌现象，并从理论分析和仿真两个角度研究非线性电路中的典型混沌电路-蔡氏电路。只要改变蔡氏电路中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。利用数学软件MATLAB对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，就可实现双蜗卷和单蜗卷状态下的同步，并能准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真 Abstract：This paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’scircuit was a typical chaos circuit,and theoretical analysis and simulation was made to research it.Many kinds of chaos phenomenonenwould generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit．On the platform of Matlab ,mathematical model of Chua’s circuit were programmed and simulatedto realize the synchronization of dual and single cochlear volume．At the same time, behavior characteristics of chaos attractor is able to be observed correctly． Key words：chaos phenomenon；Chua’S circuit；simulation 引言： 混沌是一种普遍存在的非线性现象，随着计算机的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。混沌行为是确定性因素导致的类似随机运动的行为，即一个可由确定性方程描述的非线性系统，其长期行为表现为明显的随机性和不可预测性。混沌中蕴含着有序，有序的过程中也可能出现混沌。混沌的基本特征是具有对初始条件的敏感依赖性，即初始值的微小差别经过一段时间后可以导致系统运动过程的显著差别。混沌揭示了自然界的非周期性与不可预测性问题而成为20 世纪三大重要基础
混沌与分数阶混沌系统同步控制研究及其电路仿真 文章来源：伟智论文服务中心 [打印] 【摘要】混沌作为一种复杂的非线性运动行为,在物理学、化学、信息技术以及工程学等领域得到了广泛的研究。由于混沌对初值的极端敏感性、内在的随机性、连续宽谱等特点,使其特别适用于保密通信、信号处理、图象加密等领域,因此,混沌同步成为混沌应用的关键技术。在参阅大量文献的基础上,本文利用理论证明,数值模拟以及电路仿真相结合的方法,对混沌系统同步、分数阶超混沌系统同步、以及非自治超混沌系统进行了研究。本文的主要研究内容如下:1.基于Lyapunov稳定性理论,利用自适应控制方法,以不确定单模激光Lorenz系统作为驱动系统,将不确定单涡旋混沌系统作为响应系统,设计了非线性反馈控制器及参数识别器,使响应系统的所有状态变量严格地按函数比例跟踪驱动系统的混沌轨迹,并辨识出包括非线性项在内的驱动系统和响应系统的不确定参数,利用四阶龙格库塔仿真模拟,结果表明了该方法的有效性。2.应用驱动-响应方法、反馈线性化方法以及基于Lyapunov方程的Backstepping 控制方法,研究了分数阶超混沌L(u|¨)系统同步问题。其次,针对上述分数阶混沌系统同步方法中存在的不足,基于分数阶系统的稳定性理论,提出了分数 阶超混沌系...更多统的自适应同步方法,用两个控制器与两个驱动变量实现 了不确定分数阶超混沌L(u|¨)系统的自适应同步,给出了自适应同步控制器和参数自适应率,辨识出系统的不确定参数。最后,结合Active控制技术,实现了异结构分数阶超混沌系统的同步。理论证明、数值模拟以及电路仿真证实了上述同步方法的有效性和可行性。3.采用调节连续信号频率的方法,将外界控制信号引入到超混沌系统中,设计了一个新四维非自治超混沌系统。通过精确地调节模拟输入信号的频率,观察和验证新系统的非线性动力学特性,具体为 周期轨、二维环面、混沌和超混沌现象。通过Lyapunov指数图,分岔图来解释系统的动力学特性,并且给出了设计的实验电路及其观测的结果,进一步从物 理实现上验证仿真结果的准确性。最后利用单变量耦合反馈控制方法,通过电路实验实现了非自治超混沌系统的同步。还原 【Abstract】 Chaotic systems are well known for their complex nonlinear systems, and have been intensively studied in various fields such as physics, chemistry, information technology and engineering. In virtue of its characteristics of chaos such as hyper sensitivity to initial conditions, high randomicity and board spectra for its Fourier transform, chaos can be especially applied to secure communications, signal processing and image encryption and so on. Thus chaos synchronization has become the key process in the application of chaos. The research has studied the relative problems of chaos synchronization, synchronization of fractional-order hyper-chaotic systems and analysis of a new four-dimensional non-autonomous hyper-chaotic system, using
蔡氏电路的Matlab混沌 仿真研究 班级： 姓名： 学号：
摘要 本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB仿真 Abstract This paper introduce s the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in C hua’s circuit．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed. Key words：chaos phenomenon；Chua’s circuit；Simulation
第13章Multisim模拟电路仿真本章Multisim10电路仿真软件， 本章节讲解使用Multisim进行模拟电路仿真的基本方法。 目录 1. Multisim软件入门 2. 二极管电路 3. 基本放大电路 4. 差分放大电路 5. 负反馈放大电路 6. 集成运放信号运算和处理电路 7. 互补对称（OCL）功率放大电路 8. 信号产生和转换电路 9. 可调式三端集成直流稳压电源电路 13.1 Multisim用户界面及基本操作 13.1.1 Multisim用户界面 在众多的EDA仿真软件中，Multisim软件界面友好、功能强大、易学易用，受到电类设计开发人员的青睐。Multisim用软件方法虚拟电子元器件及仪器仪表，将元器件和仪器集合为一体，是原理图设计、电路测试的虚拟仿真软件。 Multisim来源于加拿大图像交互技术公司（Interactive Image Technologies，简称IIT公司）推出的以Windows为基础的仿真工具，原名EWB。 IIT公司于1988年推出一个用于电子电路仿真和设计的EDA工具软件Electronics Work Bench（电子工作台，简称EWB），以界面形象直观、操作方便、分析功能强大、易学易用而得到迅速推广使用。 1996年IIT推出了EWB5.0版本，在EWB5.x版本之后，从EWB6.0版本开始，IIT对EWB进行了较大变动，名称改为Multisim（多功能仿真软件）。 IIT后被美国国家仪器（NI，National Instruments）公司收购，软件更名为NI Multisim，Multisim经历了多个版本的升级，已经有Multisim2001、Multisim7、Multisim8、Multisim9 、Multisim10等版本，9版本之后增加了单片机和LabVIEW虚拟仪器的仿真和应用。 下面以Multisim10为例介绍其基本操作。图13.1-1是Multisim10的用户界面，包括菜单栏、标准工具栏、主工具栏、虚拟仪器工具栏、元器件工具栏、仿真按钮、状态栏、电路图编辑区等组成部分。
怎样利用电路仿真软件进行模拟电路课程的学习电路分析实验报告 实验二 学习用multisim软件对电路进行仿真 一．实验要求与目的 1.进一步熟悉multisim软件的各种功能。 2.巩固学习用multisim软件画电路图。 3.学会使用multisim里面的各种仪器分析模拟电路。 4.用multisim软件对电路进行仿真。 二、实验仪器 电脑一台及其仿真软件。 三．实验内容及步骤
（1）在电子仿真软件Multisim 基本界面的电子平台上组建如图所示的仿真电路。双击电位器图标，将弹出的对话框的“Valve”选项卡的“Increment”栏改成“1”，将“Label”选项卡的“RefDes”栏改成“RP。 ” 2）调节RP大约在35%左右时，利用直流工作点分析方法分析直 流工作点的值。直流工作点分析（DC Operating Point Analysis）是用来分析和计算电路静态工作点的，进行分析时，Multisim 自动将电路分析条件设为电感、交流电压源短路，电容断开。 单击Multisim 菜单“Simulate/Analyses/DC operating Point…”,在弹出的对话框中选择待分析的电路节点，如2图所示。单击Simulate 按钮进行直流工作点分析。分析结果如图3所示。列出了
单级阻容耦合放大电路各节点对地电压数据，根据各节点对地电压数据，可容易计算出直流工作点的值,依据分析结果，将测试结果填入表1中，比较理论估算与仿真分析结果。 表1 静态工作点数据 电压放大倍数测试 （1）关闭仿真开关，从电子仿真软件Multisim 10基本界面虚拟仪器工具条中，调出虚拟函数信号发生器和虚拟双踪示波器，将虚拟函数信号发生器接到电路输入端，将虚拟示波器两个通道分别接到电路的输入端和输出端，如图4所示。 （2）开启仿真开关，双击虚拟函数信号发生器图标“XFG1”，将打开虚拟函数信号发生器放大面板，首确认“Waveforms”栏下选取的是正弦信号，然后再确认频率为1kHZ”；再确认幅度为 10mVp，如图5所示。 四．仿真分析 动态测量仿真电路
西安交通大学电气工程学院 非线性电路报告蔡氏电路的Matlab仿真研究 Administrator
蔡氏电路的Matlab仿真分析 摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究。从理论分析和仿真两个角度分别研究蔡氏电路中的混沌现象。蔡氏电路是一个典型的混沌电路，只要改变其中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。在Matlab 的平台上编制相关系统对蔡氏电路进行了仿真研究。 关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子
引言 随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一，其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路。在这个电路中观察到了混沌 吸引子。蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路中通过计算机仿真和示波器观察到。经过若干年的研究及目前对它的分析，无论是在理论方面、模拟方面还是实验方面均日臻完善。在理论和实践不断取得进展时， 人们也不断开拓新的应用领域，如在通信、生理学、化学反应工程等方面不断产生新的技术构想，并有希望很快成为现实。 1混沌概念及其相关特征 1.1混沌和吸引子的定义 混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分内，轨道线具有遍历性和混合性。遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。 混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。 奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。它具有自相似性,同时具有分形结构。奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和李雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的内外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子内的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。 1.2混沌的基本特征 混沌具有两个基本的特征：一是运转状态的非周期性，即混沌系统输出信号的周期为无穷大，且在功率上与纯粹噪声信号难以分辨，因而是随机信号，然而混沌系统是确定性动力学系统，本身并不包含任何随机因素的作用，其产生随机输出信号的原因完全是因为系统内部各变量之间的强非线性耦合。因此，其输出的随机信号在理论上是可以精确重复的。二是对初始条件的高度敏感性，即若存在对初始条件的任何微小的偏离（扰动），则此偏离随着系统的演化将迅速以指数率增长，使得在很短的时间内系统的状态与受扰前便失去任何的相关性，因此，混沌仅具有极为短期的预测性。混沌状态具有以下三个关键(核心)概念：即对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。 2蔡氏电路与非线性负电阻的实现
第五章Simulink模拟电路仿真 武汉大学物理科学与技术学院微电子系常胜
§5.1 电路仿真概要 5.1.1 MATLAB仿真V.S. Simulink仿真 利用MATLAB编写M文件和利用Simulink搭建仿真模型均可实现对电路的仿真，在实现电路仿真的过程中和仿真结果输出中，它们分别具有各自的优缺点。 武汉大学物理科学与技术学院微电子系常胜
ex5_1.m clear; V=40;R=5;Ra=25;Rb=100;Rc=125;Rd=40;Re=37.5; R1=(Rb*Rc)/(Ra+Rb+Rc); R2=(Rc*Ra)/(Ra+Rb+Rc); R3=(Ra*Rb)/(Ra+Rb+Rc); Req=R+R1+1/(1/(R2+Re)+1/(R3+Rd)); I=V/Req 武汉大学物理科学与技术学院微电子系常胜
ex5_1 武汉大学物理科学与技术学院微电子系常胜
武汉大学物理科学与技术学院微电子系常胜
注意Simulink仿真中imeasurement模块 /vmeasurement模块和Display模块/Scope模块的联合使用 Series RLC Branch模块中R、C、L的确定方式 R：Resistance设置为真实值Capacitance设置为inf（无穷大）Inductance设置为0 C：Resistance设置为0 Capacitance设置为真实值Inductance设置为0 L：Resistance设置为0Capacitance设置为inf Inductance设置为真实值 武汉大学物理科学与技术学院微电子系常胜
非线性电路混沌及其同步控制 【摘要】 本实验通过测量非线性电阻的I-U特性曲线，了解非线性电阻特性，，从而搭建出典型的非线性电路——蔡氏振荡电路，通过改变其状态参数，观察到混沌的产生，周期运动，倍周期与分岔，点吸引子，双吸引子，环吸引子，周期窗口的物理图像，并研究其费根鲍姆常数。最后，实验将两个蔡氏电路通过一个单相耦合系统连接并最终研究其混沌同步现象。 【关键词】 混沌现象有源非线性负阻蔡氏电路混沌同步费根鲍姆常数 一．【引言】 1963年，美国气象学家洛伦茨在《确定论非周期流》一文中，给出了描述大气湍流的洛伦茨方程，并提出了著名的“蝴蝶效应”，从而揭开了对非线性科学深入研究的序幕。非线性科学被誉为继相对论和量子力学之后，20世界物理学的“第三次重大革命”。由非线性科学所引起的对确定论和随机论、有序和无序、偶然性与必然性等范畴和概念的重新认识，形成了一种新的自然观，将深刻的影响人类的思维方法，并涉及现代科学的逻辑体系的根本性问题。 迄今为止，最丰富的混沌现象是非线性震荡电路中观察到的，这是因为电路可以精密元件控制，因此可以通过精确地改变实验条件得到丰富的实验结果，蔡氏电路是华裔科学家蔡少棠设计的能产生混沌的最简单的电路，它是熟悉和理解非线性现象的经典电路。 本实验的目的是学习有源非线性负阻元件的工作原理，借助蔡氏电路掌握非线性动力学系统运动的一般规律性，了解混沌同步和控制的基本概念。通过本实
验的学习扩展视野、活跃思维，以一种崭新的科学世界观来认识事物发展的一般规律。 二．【实验原理】 1.有源非线性负阻 一般的电阻器件是有线的正阻，即当电阻两端的电压升高时，电阻内的电流也会随之增加，并且i-v呈线性变化，所谓正阻，即I-U是正相关，i-v曲线的 斜率 u i ? ? 为正。相对的有非线性的器件和负阻，有源非线性负阻表现在当电阻两 端的电压增大时，电流减小，并且不是线性变化。负阻只有在电路中有电流是才会产生，而正阻则不论有没有电流流过总是存在的，从功率意义上说，正阻在电路中消耗功率，是耗能元件；而负阻不但不消耗功率，反而向外界输出功率，是产能元件。 一般实现负阻是用正阻和运算放大器构成负阻抗变换器电路。因为放大运算器工作需要一定的工作电压，因此这种富足成为有源负阻。本实验才有如图1所示的负阻抗变换器电路，有两个运算放大器和六个配置电阻来实现。 图1 有源非线性负阻内部结构 用电路图3以测试有源非线性负阻的i-v特性曲线，如图4示为测试结果曲线，分为5段折现表明，加在非线性元件上的电压与通过它的电流就行是相反的，
仿真 1.1.1 共射极基本放大电路 按图7.1-1搭建共射极基本放大电路，选择电路菜单电路图选项（Circuit/Schematic Option ）中的显示/隐藏(Show/Hide)按钮，设置并显示元件的标号与数值等 。 １.静态工作点分析 选择分析菜单中的直流工作点分析选项（Analysis/DC Operating Point）（当然，也可以使用仪器库中的数字多用表直接测量）分析结果表明晶体管Ｑ１工作在放大状态。 ２.动态分析 用仪器库的函数发生器为电路提供正弦输入信号Vi(幅值为5mV,频率为10kH)，用示波器观察到输入，输出波形。由波形图可观察到电路的输入，输出电压信号反相位关系。再一种直接测量电压放大倍数的简便方法是用仪器库中的数字多用表直接测得。 ３.参数扫描分析 在图７.１－１所示的共射极基本放大电路中，偏置电阻Ｒ１的阻值大小直接决定了静态电流ＩＣ的大小，保持输入信号不变，改变Ｒ１的阻值，可以观察到输出电压波形的失真情况。选择分析菜单中的参数扫描选项（Analysis/Parameter Sweep Analysis），在参数扫描设置对话框中将扫描元件设为Ｒ１，参数为电阻，扫描起始值为１００Ｋ，终值为９００Ｋ，扫描方式为线性，步长增量为４００Ｋ，输出节点５，扫描用于暂态分析。 ４.频率响应分析 选择分析菜单中的交流频率分析项（Analysis/AC Frequency Analysis）在交流频率分析参数设置对话框中设定：扫描起始频率为１Hz，终止频率为１GHz，扫描形式为十进制，纵向刻度为线性，节点５做输出节点。 由图分析可得：当共射极基本放大电路输入信号电压ＶＩ为幅值５mV的变频电压时，电路输出中频电压幅值约为０.５Ｖ，中频电压放大倍数约为－１００倍，下限频率（Ｘ１）为１４.２２Hz，上限频率（Ｘ２）为２５.１２MHz，放大器的通频带约为２５.１２MHz。 由理论分析可得，上述共射极基本放大电路的输入电阻由晶体管的输入电阻rbe限定，输出电阻由集电极电阻Ｒ３限定。 1.１.２共集电极基本放大电路（射极输出器）
交通大学电气工程学院 非线性电路报告蔡氏电路的Matlab仿真研究 Administrator
蔡氏电路的Matlab仿真分析 摘要：对一种典型的产生混沌现象的电路——蔡氏混沌电路进行了分析研究。从理论分析和仿真两个角度分别研究蔡氏电路中的混沌现象。蔡氏电路是一个典型的混沌电路，只要改变其中一个元件的参数，就可产生多种类型混沌现象。在Matlab 的平台上编制相关系统 对蔡氏电路进行了仿真研究。 关键词：蔡氏电路，非线性负电阻；混沌电路；吸引子
引言 随着计算机和计算科学的快速发展，混沌现象及其应用研究已成为自然科学技术和社会科学研究领域的一个热点。而非线性电路是混沌及混沌同步应用研究的重要途径之一，其中一个最典型的电路是三阶自治蔡氏电路。在这个电路中观察到了混沌 吸引子。蔡氏电路是能产生混沌行为最简单的自治电路，所有从三阶自治常微分方程描述的系统中得到的分岔和混沌现象都能够在蔡氏电路过计算机仿真和示波器观察到。经过若干年的研究及目前对它的分析，无论是在理论方面、模拟方面还是实验方面均日臻完善。在理论和实践不断取得进展时， 人们也不断开拓新的应用领域，如在通信、生理学、化学反应工程等方面不断产生新的技术构想，并有希望很快成为现实。 1混沌概念及其相关特征 1.1混沌和吸引子的定义 混沌至今没有统一的定义，但人们一致的看法是：一个确定的非线性系统，如果含有貌似噪声的有界行为，且又表现若干特性，便可称为混沌系统，此处所说的若干特性主要是如下三个方面：（1）振荡信号的功率连续分布，且可能是带状分布的，这个特征表明振荡为非周期的，也就是说明信号貌似噪声的原因。（2）在相空间，该系统的相邻近的轨道线彼此以指数规律迅速分离，从而导致对初始值得极端敏感性，这使得系统的行为长期不可预测。（3）在轨道线存在的相空间的某一特定的有界部分，轨道线具有遍历性和混合性。遍历性是指任何一条轨道线会探访整个特定的有界部分，混合性是指初始间单关系将弥漫的动力学行为所消除。 混沌吸引子：吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它。若吸引子的轨线对初始条件高度敏感依赖，该吸引子就称为混沌吸引子。吸引子无外乎两种状态，即单个点和稳定极限环。系统的吸引子理论是关于吸引子的科学理论，它是混沌学的重要组成部分。 奇异（怪）吸引子：具有分数维结构的吸引子称为奇异吸引子。奇异吸引子是反映混沌系统运动特征的产物，也是一种混沌系统中无序稳态的运动形态。它具有自相似性,同时具有分形结构。奇异吸引子是混沌运动的主要特征之一。奇异吸引子的出现与系统中包含某种不稳定性（不同于轨道不稳定性和雅普诺夫不稳定性）有着密切关系，它具有不同属性的外两种方向：在奇异吸引子外的一切运动都趋向（吸引）到吸引子，属于“稳定”的方向；一切到达奇异吸引子的运动都互相排斥，对应于“不稳定”方向。 1.2混沌的基本特征 混沌具有两个基本的特征：一是运转状态的非周期性，即混沌系统输出信号的周期为无穷大，且在功率上与纯粹噪声信号难以分辨，因而是随机信号，然而混沌系统是确定性动力学系统，本身并不包含任何随机因素的作用，其产生随机输出信号的原因完全是因为系统部各变量之间的强非线性耦合。因此，其输出的随机信号在理论上是可以精确重复的。二是对初始条件的高度敏感性，即若存在对初始条件的任何微小的偏离（扰动），则此偏离随着系统的演化将迅速以指数率增长，使得在很短的时间系统的状态与受扰前便失去任何的相关性，因此，混沌仅具有极为短期的预测性。混沌状态具有以下三个关键(核心)概念：即对初始条件的敏感性、分形、奇异吸引子。 2蔡氏电路与非线性负电阻的实现
电子线路设计软件课程设计报告 实验内容：实验八multisim电路仿真 一、验目的 1、进一步熟悉multisim的操作和使用方法 2、掌握multisim做电路仿真的方法 3、能对multisim仿真出的结果做分析 二、仿真分析方法介绍 Multisim10为仿真电路提供了两种分析方法，即利用虚拟仪表观测电路的某项参数和利用Multisim10 提供的十几种分析工具，进行分析。常用的分析工具有：直流工作点分析、交流分析、瞬态分析、傅立叶分析、失真分析、噪声分析和直流扫描分析。利用这些分析工具，可以了解电路的基本状况、测量和分析电路的各种响应，且比用实际仪器测量的分析精度高、测量范围宽。下面将详细介绍常用基本分析方法的作用、分析过程的建立、分析对话框的使用以及测试结果的分析等内容 1、直流工作点分析 直流工作点分析也称静态工作点分析，电路的直流分析是在电路中电容开路、电感短路时，计算电路的直流工作点，即在恒定激励条件下求电路的稳态值。在电路工作时，无论是大信号还是小信号，都必须给半导体器件以正确的偏置，以便使其工作在所需的区域，这就是直流分析要解决的问题。了解电路的直流工作点，才能进一步分析电路在交流信号作用下电路能否正常工作。求解电路的直流工作点在电路分析过程中是至关重要的。 执行菜单命令Simulate/Analyses，在列出的可操作分析类型中选择DC Operating Point，则出现直流工作点分析对话框，如图所示。直流工作点分析对话框包括3页。
Output 页用于选定需要分析的节点。 左边Variables in circuit 栏内列出电路中各节点电压变量和流过电源的电流变量。右边Selected variables for 栏用于存放需要分析的节点。 具体做法是先在左边Variables in circuit 栏内中选中需要分析的变量（可以通过鼠标拖拉进行全选），再点击Plot during simulation 按钮，相应变量则会出现在Selected variables for 栏中。如果Selected variables for 栏中的某个变量不需要分析，则先选中它，然后点击Remove按钮，该变量将会回到左边Variables in circuit 栏中。Analysis Options页 点击Analysis Options按钮进入Analysis Options页，其中排列了与该分析有关的其它分析选项设置，通常应该采用默认的 Summary页
漳州师范学院 毕业论文 分数阶统一混沌系统地同步The Synchroni zati on of Fracti on alorder Un ifiedSystem 姓名：张丽 学号：070401326 系别：数学与信息科学系 专业：数学与应用数学 年级：07级 指导教师：蔡建平教授 2018年05月22日
本文运用耦合同步控制法，研究分数阶统一混沌系统地同步问题?首先,分别在分数阶统一系统地每个方程上加耦合控制变量使得驱动系统和响应系统达到同步；然后，在每个方程同时加耦合控制变量使得驱动系统响应系统达到同步?并运用 Laplace变换理论证明,最后用Matlab软件进行数值仿真进一步验证本文所用地方法地有效性.b5E2RGbCAP 关键词：分数阶；统一混沌系统；同步控制；耦合控制 Abstract This paper applies coupled synchronization control method to research the synchronization of fractional order unified chaotic system. First of all, the coupled control variables are added to each equation of fractional unified system makes the drive system and response system to achieve synchronization. Then, the control variablesare added to each equation at the same time makes the drive system and response system to achieve synchronization.Furthermore, detailed proofsare given by using the Laplace transformation theory. Finally, numericalsimulations based on Matlab verify the effectiveness of the present methods EanqFDPw Key words: fractional order。unified system synchronization control coupling COntro DXDiTa9E3d
蔡氏电路仿真分析 学院：电气工程学院 班级：硕6036 姓名：张东海 学号：3116312053
目录 1.基本分析 (2) 2.MATLAB仿真 (5)
蔡氏电路 蔡氏电路是著名的非线性混沌电路，结构简单，但却出现双涡卷奇怪吸引子和及其丰富的混沌动力学行为。 1.基本分析 蔡氏电路是一个典型的混沌电路，最早由著名华裔科学家、美国加州大学蔡少堂教授设计。他证明了在满足以下条件时能够产生混沌现象。 (1) 非线性元件不少于1 个； (2) 线性有效电阻不少于1 个； (3) 储能元件不少于3 个。 根据以上条件，在图1.1中给出蔡氏电路方框图。图中R 为线性有效电阻，L 、C 1、C 2为储能元件，R N 为非线性元件。图2.2给出非线性电阻伏安特性曲线。 图1.1 蔡氏电路方框图 图1.2 非线性电阻伏安特性曲线 对于图2.1提出的蔡氏电路，其状态方程推导如下 12112122121()()1()(1)C C C C C C C L L C du C u u g u dt R du C u u i dt R di L u dt ?=--???=-+???=-?? 其中函数1()C g u 是分段线性函数，其形式为：
11111()()()2 C b C a b C C g u G u G G u E u E =+-?+-- 作变量代换： 12 22 221,,,,1 C C L u u i x y z E E EG C C tG C C LG G R ταβ=== ==== 式（1）可以写为如下形式 [] ()(2)dx y x f x d dy x y z d dz y d αττ βτ?=--???=--???=-?? 式（2）即是蔡氏电路的标准方程形式。 其中()f x 可表示为如下形式 10101 01(),1(),1(),1m x m m x f x m x x m x m m x +-≥??=≤??--≤-? 其中 01,a b m G E m G E == 蔡氏电路的三个状态方程式在状态空间的三个子空间为 101={(,,)| 1} ={(,,)| 1}={(,,)| 1} D x y z x D x y z x D x y z x -≥≤≤- 在状态空间的三个子空间内分别具有唯一平衡点如下 1011(,0,), (0,0,0), (,0,).P k k D Q D P k k D +--=-∈=∈=-∈ 其中， 1011 m m k m -=+ 在P +、1P -和Q 处的雅可比矩阵分别为：
《电子技术Ⅱ课程设计》 报告 姓名 xxx 学号 院系自动控制与机械工程学院 班级 指导教师 2014 年 6 月18日
目录 1、目的和意义 (3) 2、任务和要求 (3) 3、基础性电路的Multisim仿真 (4) 3.1 半导体器件的Multisim仿真 (4) 3.11仿真 (4) 3.12结果分析 (4) 3.2单管共射放大电路的Multisim仿真 (5) 3.21理论计算 (7) 3.21仿真 (7) 3.23结果分析 (8) 3.3差分放大电路的Multisim仿真 (8) 3.31理论计算 (9) 3.32仿真 (9) 3.33结果分析 (9) 3.4两级反馈放大电路的Multisim仿真 (9) 3.41理论分析 (11) 3.42仿真 (12) 3.5集成运算放大电路的Multisim仿真（积分电路） (12) 3.51理论分析 (13) 3.52仿真 (14) 3.6波形发生电路的Multisim仿真（三角波与方波发生器） (14) 3.61理论分析 (14) 3.62仿真 (14) 4.无源滤波器的设计 (14) 5.总结 (18) 6.参考文献 (19)
一、目的和意义 该课程设计是在完成《电子技术2》的理论教学之后安排的一个实践教学环节.课程设计的目的是让学生掌握电子电路计算机辅助分析与设计的基本知识和基本方法，培养学生的综合知识应用能力和实践能力，为今后从事本专业相关工程技术工作打下基础。这一环节有利于培养学生分析问题，解决问题的能力，提高学生全局考虑问题、应用课程知识的能力，对培养和造就应用型工程技术人才将能起到较大的促进作用。 二、任务和要求 本次课程设计的任务是在教师的指导下，学习Multisim仿真软件的使用方法，分析和设计完成电路的设计和仿真。完成该次课程设计后，学生应该达到以下要求： 1、巩固和加深对《电子技术2》课程知识的理解； 2、会根据课题需要选学参考书籍、查阅手册和文献资料； 3、掌握仿真软件Multisim的使用方法； 4、掌握简单模拟电路的设计、仿真方法； 5、按课程设计任务书的要求撰写课程设计报告，课程设计报告能正确反映设计和仿真结果。
4.1 仿真设计 1、用网孔法和节点法求解电路。 如图4.1-1所示电路： 3Ω （a）用网孔电流法计算电压u的理论值。 （b）利用multisim进行电路仿真，用虚拟仪表验证计算结果。（c）用节点电位法计算电流i的理论值。 （d）用虚拟仪表验证计算结果。 解： 电路图： （a） i1=2 解得 i1=2 5i2-31-i3=2 i2＝1 i3=-3 i3=-3 u=2 v （b）如图所示： （c）列出方程 4/3 U1- U2=2 解得 U1＝3 v U2=2 v 2A1Ω _ + 1Ω 2V - 3A 图4.1-1 i
2U 1- U 2=2 i=1 A 结果：计算结果与电路仿真结果一致。 结论分析：理论值与仿真软件的结果一致。 2、叠加定理和齐次定理的验证。 如图4.1-2所示电路： (a)使用叠加定理求解电压u 的理论值； (b)利用multisim 进行电路仿真，验证叠加定理。 (c)如果电路中的电压源扩大为原来的3倍，电流源扩大为原来的2倍，使用齐次定理，计算此时的电压u ； (d)利用multisim 对（c ）进行电路仿真，验证齐次定理。 电路图： （a ） I 1=2 7 I 2-2 I 1- I 3=0 3 I 3- I 2-2 I 4=0 解得 U 1=7（V ） I 4=-3 U 1 U 1=2（I 1- I 2） 如图所示电压源单独作用时根据网孔法列方程得： 3 I 1-2 I 2- I 3= 4 I 2=-3 U 2 7 I 3 - I 1=0 解得 U 2=9（V ） U 2=4-2 I 3 所以 U= U 1+ U 2=16（V ） （b ）如图所示。 2Ω 1Ω 2Ω 4Ω 2A 3u + 4V - + u - 图4.1-2
分数阶混沌仿真程序，以chen系统为例，其他系统只需修改相应的外部函数。 ------------------------------------------------------------------------------------ function fra_chaos_pro(x,t,q)%x为初值，t为运行时间，q为分数阶数 h=0.01;%步长 N=t/h;%运行步数 l=length(x);%变量维数 y=zeros(l,N+1); y1=zeros(l,N+1); M1=zeros(l,1); N1=zeros(l,1); %预估校正法,fra_chaos_fun外部函数 y1(:,1)=x'+h.^q'.*fra_chaos_fun(t,x)'./(gamma([q']).*q'); y(:,1)=x'+h.^q'.*(fra_chaos_fun(t,y1(:,1))+q'.*fra_chaos_fun(t,x)')./gamma(q'+2); for n=1:N; M1=(n.^(q'+1)-(n-q').*(n+1).^q').*fra_chaos_fun(t,x)'; N1=((n+1).^q'-n.^q').*fra_chaos_fun(t,x)'; for j=1:n; M1=M1+ ((n-j+2).^(q'+1)+(n-j).^(q'+1)-2*(n- j+1).^(q'+1)).*fra_chaos_fun(t,y(:,j));N1=N1+((n-j+1).^q'-(n- j).^q').*fra_chaos_fun(t,y(:,j)); end
蔡氏电路MATLAB混沌仿真
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3 蔡氏电路的Matlab 混沌 仿真研究 班级： 姓名： 学号：
4 摘要 本文首先介绍非线性系统中的混沌现象，并从理论分析与仿真计算两个方面细致研究了非线性电路中典型混沌电路，即蔡氏电路反映出的非线性性质。通过改变蔡氏电路中元件的参数，进而产生多种类型混沌现象。最后利用软件对蔡氏电路的非线性微分方程组进行编程仿真，实现了双涡旋和单涡旋状态下的同步，并准确地观察到混沌吸引子的行为特征。 关键词：混沌；蔡氏电路；MATLAB 仿真 Abstract This paper introduces the chaos phenomenon in nonlinear circuits. Chua’s circuit was a typical chaos circuit, thus theoretical analysis and simulation was made to research it. Many kinds of chaos phenomenon on would generate as long as one component parameter was altered in Chua’s circuit ．On the platform of Matlab, mathematical model of Chua’s circuit was programmed and simulated to acquire the synchronization of dual and single cochlear volume. Meanwhile, behavioral characteristics of chaos attractor were observed. Key words ：chaos phenomenon ；Chua’s circuit ；Simulation
function dy=united-fra-chaos q1=0.9;q2=0.9;q3=0.8; h=0.01;N=2000; a=1; x0=2;y0=1;z0=3; %x0=-3.5;y0=4.2;z0=2.5; M1=0;M2=0;M3=0; x(N+1)=[0];y(N+1)=[0];z(N+1)=[0]; x1(N+1)=[0];y1(N+1)=[0];z1(N+1)=[0]; x1(1)=x0+h^q1*(25*a+10)*(y0-x0)/(gamma(q1)*q1); y1(1)=y0+h^q2*((28-35*a)*x0-x0*z0+(29*a-1)*y0)/(gamma(q2)*q2); z1(1)=z0+h^q3*(x0*y0-(8+a)*z0/3)/(gamma(q3)*q3); x(1)=x0+h^q1*((25*a+10)*(y1(1)-x1(1))+q1*(25*a+10) *(y0-x0))/gamma(q1+2); y(1)=y0+h^q2*((28-35*a)*x1(1)-x1(1)*z1(1)+(29*a-1)*y1(1)+q2*((28-35*a)*x0-x0*z0+(29*a-1 )*y0))/gamma(q2+2); z(1)=z0+h^q3*(x1(1)*y1(1)-(8+a)*z1(1)/3+q3*(x0*y0-(8+a)*z0/3))/gamma(q3+2); for n=1:N M1=(n^(q1+1)-(n-q1)*(n+1)^q1)*(25*a+10)*(y0-x0); M2=(n^(q2+1)-(n-q2)*(n+1)^q2)*((28-35*a)*x0-x0*z0+(29*a-1)*y0); M3=(n^(q3+1)-(n-q3)*(n+1)^q3)*(x0*y0-(8+a)*z0/3); N1=((n+1)^q1-n^q1)*(25*a+10)*(y0-x0); N2=((n+1)^q2-n^q2)*((28-35*a)*x0-x0*z0+(29*a-1)*y0); N3=((n+1)^q3-n^q3)*(x0*y0-(8+a)*z0/3); for j=1:n M1=M1+((n-j+2)^(q1+1)+(n-j)^(q1+1)-2*(n-j+1)^(q1+1))*(25*a+10)*(y(j)-x(j)); M2=M2+((n-j+2)^(q2+1)+(n-j)^(q2+1)-2*(n-j+1)^(q2+1))*((28-35*a)*x(j)-x(j)*z(j)+(29*a-1)*y(j )); M3=M3+((n-j+2)^(q3+1)+(n-j)^(q3+1)-2*(n-j+1)^(q3+1))*(x(j)*y(j)-(8+a)*z(j)/3); N1=N1+((n-j+1)^q1-(n-j)^q1)*(25*a+10)*(y(j)-x(j)); N2=N2+((n-j+1)^q2-(n-j)^q2)*((28-35*a)*x(j)-x(j)*z(j)+(29*a-1)*y(j)); N3=N3+((n-j+1)^q3-(n-j)^q3)*(x(j)*y(j)-(8+a)*z(j)/3); end x1(n+1)=x0+h^q1*N1/(gamma(q1)*q1); y1(n+1)=y0+h^q2*N2/(gamma(q2)*q2); z1(n+1)=z0+h^q3*N3/(gamma(q3)*q3); x(n+1)=x0+h^q1*((25*a+10)*(y1(n+1)-x1(n+1))+M1)/gamma(q1+2); y(n+1)=y0+h^q2*((28-35*a)*x1(n+1)-x1(n+1)*z1(n+1)+(29*a-1)*y1(n+1)+M2)/gamma(q2+2);