第四章级数
复级数也是研究解析函数的一种重要的工具，实际上，解析函数的许多重要性质，还需要借助适当的级数才能得到比较好的解决。例如，解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性、解析函数在其孤立奇点去心邻域内的取值特点等等。
根据所研究的解析函数所涉及的问题的需要，在本章中，我们重点介绍两类特殊的复函数项级数，一类是幂级数，通常考虑函数在其解析的区域内的整体性质或函数在其解析点邻域内的性质时，用这类级数；另一类是洛朗级数，通常考虑函数在其孤立奇点附近的有关性质时，用这类级数．
本章，我们主要介绍以下内容：
首先，平行介绍复数项级数和复函数项级数一般理论．
其次，作为函数项级数的特例，我们平行介绍形式简单且在实际中的应用广泛的幂级数，并建立如何将圆形区域内解析的函数表示成幂级数的方法，以及如何利用这种方法来研究解析函数的有关良好的性质（比如：解析函数零点的孤立性、解析函数的惟一性以及作为解析函数基本理论之一的最大模原理等）．第三，进一步介绍由正、负整数次幂项构成的形式幂级数(也称为洛朗级数或双
<-<（0r≤，边幂级数）的概念及其性质，并建立(挖去奇点a的)圆环形区域r z a R
R≤+∞）内解析函数的级数表示（即解析函数在圆环形区域内的洛朗展式），然后再用洛朗展式作为工具研究解析函数在其孤立奇点附近的性质．作为解析函数孤立奇点性质的应用，再简要介绍复变函数的进一步研究中经常涉及到的两类重要的函数，即整函数与亚纯函数及其简单分类．
一、学习的基本要求
1．能正确理解复级数收敛和发散以及绝对收敛等概念．掌握复级数收敛的必要条件和充要条件，特别是复级数收敛与实、虚部级数收敛之间的关系，并能熟练地运用这种关系来讨论复级数的有关问题以及利用复级数来讨论实级数的有关问题（比如：利用复级数的和求实级数的和的问题等）．
2．了解复级数绝对收敛与条件收敛，掌握收敛以及绝对收敛级数的若干性质（比如收敛级数的线性性、添项减项性和添加括号性；绝对收敛级数的项的重排性、乘积性等；二次求和的可交换性，即在
,1
1
()n m
n m A
∞∞
==∑∑，,1
1
()n m m n A ∞∞
==∑∑以及
,,1
n m n m A ∞
=∑
都收敛的条件下，有
,,1
1
1
1
()()n m
n m n m m n A
A ∞∞
∞∞
=====∑∑∑∑
成立）．
3．了解复函数项级数收敛、一致收敛和内闭（紧）一致收敛的含义，掌握一致收敛的柯西准则和魏尔斯特拉斯判别法，并能熟练运用此判别法判断复函数项级数的一致或内闭一致收敛，掌握一致或内闭一致收敛的函数项级数和函数的连续性、逐项积分性以及解析函数项级数和函数的解析性、逐项求任意阶导数性．
4．熟练掌握幂级数收敛半径的两种计算方法：
记00()()n n n f z a z z ∞
==-∑，l =1z 是()f z 的不解析点中距0z 最近的点，
利用系数计算的公式：1
R l =．
利用和函数的计算公式：10R z z =-．
熟练掌握同类幂级数的运算性质．比如：设有两个同类幂级数
00
()()n
n n f z a z z ∞
==-∑，00
()()n n n g z b z z ∞
==-∑
其收敛半径分别为1R ，2R ，不妨设12R R ≤，则在它们收敛的公共范围01z z R -<内 ● 加、减性：
00
()()()()n
n
n n
n
n
n n n n a z z b z z a
b z z ∞∞∞
===-±-=±-∑∑∑．
● 乘积性： 0000
(())(())()()n
n
n
n n n n k k n n n k a z z b z z a b z z ∞
∞
∞
-====-?-=?-∑∑∑∑．
注意：在用乘积性时，级数不能缺项，若缺项需要将所缺项补齐后，再用乘积性． 设00()()n n n f z a z z ∞
==-∑的收敛半径0R >，则在其收敛圆0z z R -<内
● 逐项积分性：1000
0()d ()d ()1
z z
n
n n
n n n a f a z z z n ξξξξ∞
∞
+===-=-+∑∑
?
?．
● 逐项微分性：1
001
()()
(1)()n n n n n n f z na z z n a z z ∞
∞
-=='=-=+-∑∑．
● 收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，即
00
()n
n n a z z ∞=-∑，1
01
()
n n n na z z ∞
-=-∑（逐项微分），100()1
n n
n a z z n ∞
+=-+∑
（逐项积分）
这三个幂级数具有相同的收敛半径，从而有相同的收敛圆和收敛圆周．
注意：对收敛半径在逐项积分和逐项微分下的不变性，只要注意到下面的上极限等式立即可得
==
5．掌握泰勒定理的条件和结论，了解解析函数的（幂）级数定义法，从而理解为什么只有当函数在一点解析时，函数在这一点才能展开成幂级数．熟练掌握如何将解析函数在指定的解析点展开成幂级数的方法（常用的有三种：直接法，间接法和利用解析函数的惟一性的方法）和技巧，并牢记如下几个主要初等解析函数的幂级数展开式
① 01!
z
n
n e z n ∞
==?∑
，z <+∞； ② 21
12101
11sin (1)
(1)(21)!(21)!n
n n n n n z z z n n ∞
∞
+--===-?=-?+-∑∑，z <+∞． 20
1
cos (1)(2)!
n
n n z z n ∞
==-?∑，z <+∞． ③ 1
101
11ln(1)(1)
(1)1n
n n n n n z z z n n ∞
∞
+-==+=-?=-?+∑∑，1z <，其中ln(1)z +表示对数函数Ln(1)z +的主值支．
101
[Ln(1)]ln(1)22(1)1
n
n k n z z k i k i z n ππ∞
+=+=++=+-?+∑，1z <． ④ 1
1(1)
(1)(1)11!n
n n n n n z z z n α
αααα∞
∞
==??--++=+?=+ ???
∑
∑，1z <，
其中α为复常数，(1)z α+表示一般幂函数的主值支．
221
21(1)
(1)[(1)](1)(1)
!
(1),
1.
k i
k i
n
k n k i n n n z z e
e
z n n e z z α
α
παπαπααααα∞
=∞
=--++=+?=+???
=+< ???
∑
∑
特别，当1α=-时，
01(1)1n n
n z z ∞==-+∑；0
11n n z z ∞
==-∑，1z <．
6．掌握解析函数零点以及零点阶数的定义，掌握解析函数零点阶数的判别方法（即
解析函数()f z 以0z 为m 阶零点?存在0z 的某邻域0z z R -<，使得在其中
0()()()m f z z z z ?=-，其中()z ?在0z z R -<内解析，且0()0z ?≠．）
并能合理地利用零点阶数的定义或零点阶数的判别法确定解析函数零点的阶数．
能正确地理解并掌握解析函数零点孤立性．掌握解析函数的惟一性及其初步的应用（比如，利用惟一性证明三角恒等式，解析函数的幂级数展式，解析函数的最大模和最小模原理等）．
补充解析函数的最大模原理及其几个相关的结论：
最大模原理：设函数()f z 在区域D 内解析，则()f z 在区域D 内取得最大值的充要条件是()f z 在区域D 内为常函数．
设D 为有界区域，C 为其边界，若()f z 在D 内解析，在闭区域D D C =+上连续，则max ()max ()z C
z D
f z f z ∈∈=，即()f z 在D D C =+上的最大值一定能在边界C 上取
得．
最小模原理：设函数()f z 在区域D 内解析，且()0f z ≠，则()f z 在区域D 内取得最小值的充要条件是()f z 在区域D 内为常函数．
设D 为有界区域，C 为其边界，若()f z 在D 内解析，在闭区域D D C =+上连续，且()0f z ≠，则min ()min ()z C
z D
f z f z ∈∈=，即()f z 在D D C =+上的最小值一定能
在边界C 上取得．
7．了解形式幂级数（即洛朗级数）的含义及其收敛的定义，并能解释其收敛范围为什么一般只能是圆环．掌握洛朗级数在其收敛圆环内的性质（解析性，逐项积分和逐项微分性）．掌握圆环形区域内解析函数的洛朗展开定理（即洛朗定理），并能熟练地将解析函数在指定的解析圆环内展开成洛朗级数．
注意：
●求解析函数在指定圆环形区域内的洛朗展式的方法，基本上是沿用求幂级数展式的方法．不过在运用＂基本展式＂时要注意，先根据所求展式的要求（一般由指定的圆环或去心邻域来确定），并兼顾所要用的＂基本展式＂成立的范围，把0z z -的＂适当幂＂作为一个整体，再用基本展式．例如，将函数()1(2)f z z =-在
11z <-<+∞内展成洛朗级数，此时，根据基本展式0
1(1)n n u u ∞
=-=∑成立的范围是
1u <，我们可以先将函数变形为
1
111
()211(1)f z z z z -=
=?----， 然后将1(1)z --作为一个整体，对
1
1
1(1)z ---在圆环11z <-<+∞内用基本展式
1
1n n u u ∞
==-∑． ●解析函数在使其解析的圆形区域内的幂级数展式，也就是它在此圆形区域内的洛朗展式，即洛朗展式是幂级数展式的推广．
8．了解解析函数孤立奇点（包括∞）的含义，会用解析函数在其孤立奇点去心邻域内的罗郎展式，对解析函数的孤立奇点进行分类．
注意：若函数()f z 以∞为孤立奇点，()f z 在∞的主要部分（或奇异部分）是指()f z 在圆环r z <<+∞内的罗郎展式
011
1
()n n n n n n f z c c c z z ∞
∞
-===?++?∑∑
中的1
n n n c z ∞
=?∑部分．这与函数在有限孤立奇点处的主要部分不同．关于函数()f z 的
孤立奇点∞的类型的判别，虽有类似于有限孤立奇点类型判别的方法，但在实际判别时，我们也可以通过变换1
z ξ
=将它化为判别函数1
()f ξ的孤立奇点0ξ=的类型．
9．掌握解析函数的各类孤立奇点的特征，并能熟练地运用这些特征来判断解析函数的孤立奇点的类型．
10．初步了解刻画本性奇点本质特征的维尔斯特拉斯定理和毕卡定理的含义，初步掌握整函数与亚纯函数的定义，并会用其奇点（包括∞）的类型对它们进行初步的分类．
11．几个有用的结论：
(1)若0z 分别为解析函数()f z 和()g z 的n 阶零点和m 阶零点，则
① 0z 必为()()f z g z ?的n m +阶零点．
② 当n m ≠时，0z 必为()()f z g z ±的min(,)n m 阶零点；当n m =时，或者
0z 为()()f z g z ±的至少n m =阶零点，或者()()0f z g z ±≡．
③ 当n m >时，0z 必为
()()f z g z 的n m -阶零点；当n m =时，0z 不是()
()
f z
g z 的零点，且为解析点（可去奇点）；当n m <时，
0z 不是()()f z g z 的零点，且为()
()
f z
g z 的m n -阶极点．
(2) 解析函数的四种等价性定义：
设()(,)(,)f z u x y iv x y =+是定义在区域D 内的一个复变函数，则下面的四种说法是等价的
Ⅰ．函数()f z 在区域D 内可导（可微）；
Ⅱ．(,)u x y 和(,)v x y 都在区域D 内可微（或具有连续的偏导数）且在区域D 内满足柯西—黎曼条件，即
u v x y ??=??，u v
y x
??=-??； Ⅲ．()f z 在区域D 内连续，且对D 内任一条围线C ，只要C 的内部仍含于D ，就有
()0C
f z dz =?
；
Ⅳ．()f z 在区域D 内任一点的邻域内都可展开成幂级数． (3) 若0z 分别为解析函数()f z 和()g z 的n 阶极点和m 阶极点，则
① 0z 必为()()f z g z ?的n m +阶极点．
② 当n m ≠时，0z 必为()()f z g z ±的max(,)n m 阶极点；当n m =时，或者0z 为()()f z g z ±的至多n m =阶极点，或者()()f z g z ±的可去奇点．
③ 当n m >时，0z 必为()()f z g z 的n m -阶极点；当n m =时，0z 是()
()
f z
g z 的可去奇点）；当n m <时，0z 是
()()f z g z 的零点，且为()()
f z
g z 的m n -阶零点． （4）设函数()f z 不恒为零且以z a =为可去奇点（解析点）或极点，而()g z 以z a =为本性奇点，则z a =必为()()f z g z ±，()()f z g z ?和
()
()
g z f z 的本性奇点． （5）若a 为函数()f z 的本性奇点，且在点a 的某去心邻域0z a ρ<-<内
()0f z ≠，则a 必为1()f z 的本性奇点．
二．问题研究
1．泰勒定理类似于数学分析的证明方法：
设函数()f z 在0z 的某邻域00():U z z z R -<解析，
()000
()
()!
n n n f z z z n ∞
=-∑
称为()f z 在0z 的泰勒级数，记()000()
()()!
k n
k n k f z S z z z k ==-∑
，则 （１）任意0()z U z ∈，0z z ρ-<，0R ρ<<，有
1010()()
()()d 2()()n n n C z z f f z S z i z z ρξξπξξ++--=--? （()f z 在0z 的泰勒公式） 其中0:C z ρξρ-=，记101
0()()
()d 2()()n n n C z z f R z i z z ρξξπξξ++---?称为泰勒公式的余
项．
（２）对任意0R ρ<<，()n R z 在闭圆0z z ρ-≤上一致收敛于0，从而()n R z 在0()U z 内内闭一致收敛于0．
（３）由（１）和（２）得，在00():U z z z R -<内
()000()
()()!
n n n f z f z z z n ∞
==-∑
（()f z 在0z 的泰勒展式） （４）若()f z 在00():U z z z R -<内还有展式00
()()n n n f z a z z ∞
==-∑，则对任意正整数
n ，有 ()0()
!
n n f z a n =，即()f z 在0z 的泰勒展式是惟一的．
（注意：此问题的讨论方法同课本上第４章习题20的讨论方法是类似的）
2．阿贝尔（Abel ）第二定理及其应用．
按下面的步骤考虑阿贝尔第二定理，并利用阿贝尔第二定理求一类Fourier 级数的和：
（１）若幂级数0
()n
n n f z a z ∞
==∑的收敛半径1R =，且在1z =收敛于s ，即0
n n s a ∞
==∑收
敛，则0
n n n a z ∞
=∑在如图示以1z =为顶点，以[0,1]为角平分线，张度为02θπ<的四边
形角域1A 上一致收敛； 提示：记0n σ=，1
n k
n k i
i n a
σ++=+=
∑，利用阿贝尔变换将
1
2
121
n p
n n n p
k
n n n p k
k n a z a z
a z
a z
+++++++=+++
+=
∑
变成
1111
1
1
1111
()()(1)
n p
n p
n p k
k
k k n p
k
k
k k
n p k n k n k n n p n k n n p
k
n p k n a z
z z z z z z z z σ
σσ
σσ
σ+++-++-+=+=+=++-+--++=+=
-=
-+=-+∑∑∑∑
然后再利用一致收敛的柯西准则． （２）1
1lim ()z z A s f z →∈=．
提示：逐项求极限立即可得．
（３）若幂级数0()n n n f z a z ∞
==∑的收敛半径1R =，且在ia z e =（02a π<<）收敛于a s ，
即0
ina
a n n s a e
∞
==∑收敛，则0
n n n a z ∞
=∑在以ia z e =为顶点，以线段0,:ia ia e z te =（[0,1]t ∈）
为角平分线，张度为02θπ<的四边形角域a A 上一致收敛，且lim ()ia
a
a z e
z A s f z →∈=． 提示：作旋转变换ia z e ω-=?利用（１）（２）即可．
（４）（阿贝尔（Abel ）第二定理）若幂级数00()()n n n f z a z z ∞
==-∑的收敛半径0R >，
且在0ia
z z Re =+（02a π<<）收敛于a S ，即0
n ina
a n n S a R e
∞
==∑收敛，则00
()n
n n a z z ∞
=-∑在以0ia z z Re =+为顶点，以线段000,:ia ia z z Re z z te +=+（[0,]t R ∈）为角平分线，张度为02θπ<的四边形角域A 上一致收敛，且0lim ()ia
a z z Re z A
S f z →+∈=．
提示：作变换z
R
ω=
利用（３）即可． （５）求出幂级数1n
n z n
∞
=∑的和函数，并利用阿贝尔第二定理证明下面的两个Fourier
展式：
1cos ln(2sin )2n n n θθ∞
==-∑，1sin 2n n n θπθ
∞
=-=∑ 其中02θπ<<．
参考文献：
[1]方企勤．复变函数教程．北京：北京大学出版社，1996：121~124． [2]余家荣．复变函数（第三版）．北京：高等教育出版社，2000：64~87． [3]郑建华．复变函数．北京：清华大学出版社，2005：95~101．
[4]范宜传，彭清泉．复变函数习题集．北京：高等教育出版社，1980：88~112．