青岛泰山版
第四章对圆的进一步认识
4.2 确定圆的条件教学设计
教学目标
知识与能力目标:了解不在同一条直线上得三个点确定一个圆,掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法,了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。
过程与方法目标:经历不在同一直线上得三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力,进一步体会解决数学问题的方法。
情感、态度与价值观目标:形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神。
教学重点:掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆这个结论,并能过不在同一直线上的三个点作圆的方法。理解三角形外心的性质。
教学难点:过不在同一直线上的三个点作圆的方法。
教学过程:
一、课前知识准备
1、线段垂直平分线的性质
2、尺规作图:作线段AB的垂直平分线MN
3、要确定一个圆,需要确定它的和。
二、创设情境引人新课(谁是小小设计师?)
问题一:浯河中学想要在楼前空地上建一个圆形花坛,如果让你来当设计师,你需要确定什么条件?
问题二:空地上有一棵树,校长想让花坛的边沿经过这棵树,你能设计出几种方案?(过一点能作多少个圆?)【学生自己动手画,教师幻灯片展示多种情况】(板书:过一点可以作无数个圆)
问题三:如果空地上有两棵树,要使花坛边沿经过这两棵树,你有几种方案?
(过两点能作多少个圆?)【先提示学生,假设存在这样一个圆,让学生观察圆心的位置,再引导学生动手画圆,幻灯片展示多种情况】(板书:过两点可以作无数个圆)
问题四:如果要经过三棵树呢?你还能设计出来吗?【小组合作探究,可以提示学生关键在
于找到到三个点距离相等的点,也就是圆心。可由小组到黑板展示,学生口述作图过程,最后教师进行总结。学生可能只会想到三点不共线的情况,教师进一步提示,如果三点共线会怎样?幻灯片展示。】(板书:过三点确定一个圆,进一步补充“不在同一直线上”加深学生印象,解释“确定”的含义)
问题五:如果要经过四棵树呢?【可以让学生讨论,发表自己的看法,教师动画展示】 问题六:现在空地上的三棵树分别呈现以下四种位置关系,你能找出经过三棵树的圆形花坛的圆心吗?
【由学生自己完成,小组成员分开作,完成后讨论,发现什么?】(板书:有关概念,外接圆、内接三角形、外心)
思考:两条垂直平分线的交点是不是外心?(学生叙述,教师板书重点。)
同时,总结出外心的性质。
三、练习巩固
练习1 判断题(投影打出)
(1)经过三个点一定可以作圆. ( )
(2)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆. ( )
(3)任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形. ( )
(4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( )
(经过练习,巩固前边所学的知识)
2、如图(1)所示,⊙0是直角三角形ABC 的外接圆,其中AB=3,BC=4,那么⊙O 的半径是 如果AB=a,BC=b , ⊙O 的半径是
如图(2), ⊙0是等边三角形ABC 的外接圆,三角形的边长是4,那么⊙O 的半径是 如果等边三角形的边长是a ,那么⊙O 的半径是 .
A B
C C A B ┐ A
B C ●O
C A B ┐
●O
3、工人师傅要铸造一个和残轮片(如图所示)同样大小的圆轮,需要知道它的半径,你能用本课所学知识,帮助工人师傅解决这一问题吗?写出具体作法.
四、课堂小结
1.先由教师提出问题:
(1)这节课我们主要学习了哪些具体内容?
(2)用什么方法解决过已知点作圆的问题?
(3)学习本节知识需要注意哪些问题?
2.在学生回答的基础上,教师加以小结:
(1)本节课我们主要学习了经过不在同一直线上的三点作圆的问题.
(2)我们在分析过已知点作圆的问题时,紧紧抓住对圆心和半径的探讨.已知圆心和半径就可作一个圆,这是从圆的定义引出的基本思想,因此作圆的问题,是如何根据已知条件找圆心和半径的问题.由于作圆要经过已知点,如果圆心的位置确定了,圆的半径也就随之确定.因此作圆的问题就又变成了找圆心的问题.
(3)学习本节定理,必须注意强调三个点的位置关系,只有当三个点不在同一直线上时,才能确定一个圆,笼统地说“三点确定一个圆”是不确切的.
关于“内接”与“外接”这两个术语,学生常常混淆不清,应指出,“内”与“外”是相对的概念,以一个图形为准,说明另一个图形是在它的里面或外面,这样内外关系即可自明.
五、课堂检测
六、课后作业
课后练习题
教学设计和反思 圆的方程 教学知识点 1. 圆的标准方程 2. 圆的一般方程 3. 圆的参数方程 能力训练要求 1. 掌握圆的标准方程 2. 能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程 3. 从圆的标准方程熟练地求出圆心和半径。 4. 掌握圆的一般方程及一般方程的特点; 5. 能将圆的一般方程化为圆的标准方程,进而求出圆心和半径 6. 能用待定系数法由已知条件导出圆的方程 7. 理解圆的参数方程 8. 熟练求出圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程 9. 理解参数θ 的意义 10. 理解圆心不在原点的圆的参数方程 11. 能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程 12. 可将圆的参数方程化为圆的普通方程 教学重点 1.已知圆心为(a,b ),半径为r ,则圆的标准方程是(x-a)2+(y-b)2=r 2 特别地,a=b=0时,它表示圆心在原点,半径为r 的圆:x 2+y 2=r 2 2.圆的一般方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0,方程形式特征: (1)x 2和y 2的系数相同,不等于0 (2)没有xy 这样的二次项 圆心坐标(-D/2,-E/2),半径R 为F E D 422-+/2 4. 圆心在原点,半径为r 的圆的参数方程为{x=rcos θ,y=rsin θ,(θ为参数) 5. 圆心在(a,b ),半径为r 的圆的参数方程为{x=a+rcos θ,y=b+ rsin θ,(θ为参数) 教学难点 1. 根据条件,利用待定系数法确定圆的三个参数a 、b 、r ,从而求出圆的标准方程。 2. 方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 (1) 当D 2+E 2-4F=0时,方程表示一个点(-D/2,-E/2); (2) 当D 2+E 2-4F<0时,方程不表示任何图形 (3) 当D 2+E 2-4F>0时,方程表示一个圆。 3. 参数方程的概念 教学课程见课件(略)
确定圆的条件教案(蔡飞) 教学内容与过程: 一、创设问题情境,引入新课 1、问题: 车间工人要将一个破损的圆形文物复原,你有办法吗? 2、引入新课: (1)这个问题就是本节课的学习的一个知识点,相信同学们通过本节课的学习一定能解决这个问题。 (2)出示课题:3.4确定圆的条件 二、探索新知 类比确定直线的条件 我们知道经过一点可以作无数条直线;经过两点只能作一条直线.想一想,经过一点可以作几个圆?经过两点,三点,…,呢? 1.作圆,使它过已知点A.你能作出几个这样的圆?(提问) 2.作圆,使它过已知点A,B.你能作出几个这样的圆?(提问) 作法:(1)连结AB,作线段AB的垂直平分线MN; (2)在直线MN上任取一点O,以O为圆心,以OA为半径作圆,即为所求。 证明:因为O为圆心,OA为半径,所以A在圆上。又因为O在线段的AB的垂 直平分线上,而垂直平分线上的所有点到线段两端点的距离相等,故OB=OA, 所以B在圆上。 所以,圆O是经过两点A、B的圆。 师:现在,请同学回答以下两个问题: (1)你是怎样想到上述作法的?(作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题,确 定了圆心和半径,圆就随之确定。在教学中,解决过已知点作圆的问题,应紧紧 抓住对圆心和半径的探讨,已知圆心和半径就可以作一个圆,这是从圆的定义引 出的基本思路,因此作圆的问题就是如何根据已知条件去找圆心和半径的问题.由 于作圆要经过已知点,如果圆心的位置确定了,圆的半径也就随之确定,因此作 圆的问题又变成了找圆心的问题,是否可以作圆以及能作多少个圆,都取决于能 否确定圆心的位置和圆心的个数.) (2)经过两个已知点A、B的圆有多少个?其圆心的分布有什么特点?与线段AB 有什么关系?为什么? (在学生回答后,教师把上述两个问题的结果作一个小结。) 师:“经过两已知点A、B的圆心在线段AB的垂直平分线上”(板书)由于经过已知点A、B的圆,圆心可以取线段AB的垂直平分线上的任意点,圆心不确定,而半径也不确定,所以,“经过两个已知点A、B的圆有无穷多个,圆的大小是不确定的”(板书)。这是很重要的结论,以后经常要用到,希望同学们记下来。 发现新问题: 既然经过两已知点A、B的圆是不确定的,那么经过几个点的圆才是确定的呢?我们将“经过两个已知点A、B”换成“经过三点A、B、C”,这里新增了第三点C。这三点的位置要进行讨论.有两种情况:①在一条直线上三点;②不在一条直线上三点,通过学生小组的讨论认为不在同一条直线上三点能确定一个圆. 解决新问题 怎样才能做出这个圆呢?下面,我们来研究这个问题。2.请你作圆,使它过已知点A,B,C(A,B,C三点不在同一条直线上).你是如何做的?你能作出几个这样的圆?
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3.5 确定圆的条件 1.理解平面内确定一个圆的条件,掌 握经过不在同一直线上三个点作圆的方法;(重点) 2.理解三角形的外接圆、三角形外心 等概念;(重点) 3.利用三角形外心解决实际问题.(难点) 一、情境导入 经过一点可以作无数条直线.经过两点只能作一条直线.那么经过一点能作几个圆?经过两点、三点呢? 二、合作探究 探究点一:确定圆的条件 【类型一】判断确定圆的条件 下列关于确定一个圆的说法中,正确的是() A.三个点一定能确定一个圆 B.以已知线段为半径能确定一个圆 C.以已知线段为直径能确定一个圆 D.菱形的四个顶点能确定一个圆 解析:A.不在同一直线上的三点可确定 一个圆,没有强调不在同一直线上,错误; B.以已知线段为半径能确定2个圆,分别以线段的两个端点为圆心,错误; C.以已知线段为直径能确定一个圆,此时圆心为线段的中点,半径为线段长度的一半,正确; D.菱形的四个顶点不一定能确定一个圆,错误.故选 C. 方法总结:解答本题的关键是仔细分析 各个选项能否满足确定一个圆的条件. 变式训练:见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第2题 【类型二】经过不在同一直线上的三 个点作一个圆 已知:不在同一直线上的三个已知 点A,B,C(如图),求作:⊙O,使它经过点A,B,C. 解析:根据线段垂直平分线上的点到线 段两端点的距离相等,作出边AB、BC的垂直平分线并相交于点O,以O为圆心,以OA为半径,作出圆即可. 解:(1)连接AB、BC; (2)分别作出线段AB、BC的垂直平分线DE、GF,两垂直平分线相交于点O,则点O就是所求作的⊙O的圆心; (3)以点O为圆心,OC长为半径作圆.则
确定圆的条件 今天我要为大家说课的课题是《确定圆的条件》,我将从教材分析、学情分析、教学目标、教学重、难点、教学过程这五个方面进行课时说课,首先,我对本课教材进行简单分析. 一、教材分析 本课内容位于(北师版)初中数学九年级下册第三章第五节,是学过的《圆的初步认识》和刚学过的《圆的对称性》相关知识的延续学习,同时也为后面深入学习圆的内接四边形等圆的相关知识奠定基础.本课主要研究内容是“过不在同一直线上三个点作圆”,其广泛用于数学作图,图案设计,建筑造型,工艺品制作等众多领域,对于培养学生作图技能和探索问题能力也具有不可替代的作用.根据以上我对教材的理解我确定了本课的重点为:掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法,这也是本课的主要学习目标之一. 二、学情分析 学生前面已经学习了圆的相关概念,知道确定圆的两个要素是圆心和半径.另外学生还学习了线段的垂直平分线的性质、判定及画法,这些知识储备都为本课的顺利学习奠定了良好的基础. 我们知道作一个符合规定的圆需要找到圆心和半径,而圆心的分布规律是隐蔽的,学生可能会产生一定的思维障碍;另一方面,圆心是在两点连线的垂直平分线上,学生有可能建立不了圆与垂直平分线两者之间的联系,根据以上分析我确定本课的难点为:确定圆的条件的思维过程. 三、教学目标: 基于以上我对教材和学生的认识,我从知识、技能、情感三方面设定了本课的教学目标. 1.知识目标 经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程;了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 2.技能目标 掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法. 3.情感目标 树立探究数学问题的意识,敢于发表自己的观点,从问题的解决中获得成功的体验,学会与他人合作,并能交流思维的过程和结果. 四、教学重、难点 重点:掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法. 难点:确定圆的条件的思维过程. 下面介绍我在教学中如何突出重点、突破难点的?
高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能:1、掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径; 2、会用两种方法求圆的标准方程:(1)待定系数法;(2)利用几何性质 教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程: 情境设置: 问题:①圆的定义? 学生回忆所学知识:①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,确定圆的要素是圆心和半径。 问题:②如果把直线放在直角坐标系下,那么其对应的方程是二元一次方程,那么如果把一个圆放在坐标系下,其方程有什么特征?如何写出这个圆的所在的方程? 二、探索研究: 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r 。(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出) P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得:222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法: (1)2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 (2)2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 (3)2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 (一)练习 1、指出下列方程表示的圆心坐标和半径: (1) 222=+y x ; (2) 5)1()3(22=-+-y x ; (3)222)1()2(a y x =+++(0≠a )。
3.5确定圆的条件 一、教学目标 1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法. 2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 3.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力. 二、课时安排 1课时 三、教学重点 了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 四、教学难点 了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 五、教学过程 (一)导入新课 一位考古学家在长沙马王堆汉墓挖掘时,发现一圆形瓷器碎片,你能帮助这位考古学家画出这个碎片所在的整圆,以便于进行深入的研究吗? 1.过一点可以作几条直线? 2.过几点可确定一条直线? 过几点可以确定一个圆呢? (二)讲授新课 探究1:(1)经过一点可以作无数条直线;经过两点只能作一条直线.
(2):经过一个已知点A能确定一个圆吗? (3):经过两个已知点A,B能确定一个圆吗? 经过两个已知点A,B能作无数个圆. 它们的圆心都在线段AB的垂直平分线上.结论:1.经过两点A,B的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上. 2.以线段AB的垂直平分线上的任意一点为圆心,这点到A或B的距离为半径作圆.探究2:(1)经过三个已知点A,B,C能确定一个圆吗? 假设经过A,B,C三点的⊙O存在
(1)圆心O到A,B,C三点距离(填“相等”或“不相等”). (2)连接AB,AC,过O点分别作直线MN⊥AB,EF⊥AC,则MN是AB 的.EF是AC的. (3)AB,AC的垂直平分线的交点O到B,C的距离. 答案:相等;垂直平分线,垂直平分线;相等 (2)议一议:过如下三点能不能作一个圆? 为什么? 明确:不在同一条直线上的三个点确定一个圆 活动2:探究归纳 外心是三边中垂线的交点,它到三个顶点的距离相等,在数学和实际运用中,要分析清楚题意,转化为数学问题要明确已知什么,求作什么. (三)重难点精讲 例题1:已知:不在同一直线上的三点A,B,C,求作:⊙O使它经过点A,B,C. 作法:1.连接AB,作线段AB的垂直平分线MN. 2.连接AC,作线段AC的垂直平分线EF,交MN于点O. 3.以O为圆心,OB为半径作圆.⊙O就是所求作的圆. 引入题:现在你知道怎样将一个如图所示的破损圆盘复原吗?
第三章圆 5.确定圆的条件----教学设计 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:通过本章前面几节课的学习,学生知道经过一点可以画无数条直线,经过两点有且只有一条直线等知识。同时具备了用尺规作“线段垂直平分线”等操作技能,掌握了“线段垂直平分线的性质”。 学生活动经验基础:在经过点画直线等知识的学习过程中,学生具备了一定的合作精神和探究能力,具有一定的分类讨论的数学思想方法和类比方法。 二、教学任务分析 本节课的内容是第一节内容的延续,学生已积累了画一个圆的经验。基于以上两点,提出本课的具体学习任务:①经过一点、两点、三点能否作出圆、能作出几个圆。②了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念,但本课内容从属于“空间与图形”的教学目标:认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想,体验数学活动充满探索性和创造性,感受证明的必要性及结论的确定性。同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。因此,本节课的教学目标是: 知识与技能 1、了解不在同一直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法;2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。 过程与方法 1.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力。 2.通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略。情感态度与价值观 形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神。 教学重点:理解不在同一直线上的三个点确定一个圆 教学难点:理解不在同一直线上的三个点确定一个圆。 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节:情景引入;旧知回顾;探究新知;达标检测;课堂小结;布置作业。 第一环节:情景引入 活动内容:同学们,你喜欢玩具吗?有一个圆形玩具,被淘气的小孩摔碎了,你能帮我画出这个玩具所在的整圆吗?
初中数学:确定圆的条件练习(含答案) 一、选择题 1.以下命题:①经过三点一定可以作一个圆;②任意三角形都有且只有一个外接圆;③任意圆都有且只有一个内接三角形;④经过两点有且只有一个圆.其中,真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.以下命题:①三角形的外心一定在三角形外;②三角形的外心在三角形的内部;③三角形的外心是三边中线的交点;④三角形的外心是三边中垂线的交点.其中,真命题的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3.2017·永州小红不小心把家里的一块圆形玻璃打碎了,需要配制一块同样大小的玻璃镜,工人师傅在一块如图K-15-1所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A,B,C,给出三角形ABC,则这块玻璃镜的圆心是) 图K-15-1 A.AB,AC边上的中线的交点 B.AB,AC边上的垂直平分线的交点 C.AB,AC边上的高所在直线的交点 D.∠BAC与∠ABC的平分线的交点 4.如图K-15-2所示,在5×5的正方形网格中,一条圆弧经过A,B,C三点, 那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
图K-15-2 A.点P B.点Q C.点R D.点M 5.如图K-15-3,在平面直角坐标系中,⊙A经过原点O,并且分别与x轴、y轴交于B,C 两点,已知B(8,0),C(0,6),则⊙A的半径为( ) 图K-15-3 A.3 B.4 C.5 D.8 6.如图K-15-4,AC,BE是⊙O的直径,弦AD与BE相交于点F,则下列三角形中,外心不是点O的是( ) 图K-15-4 A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE
二、填空题 7.已知线段AB=6 cm. (1)画半径为4 cm的圆,使它经过A,B两点,这样的圆能画________个; (2)画半径为3 cm的圆,使它经过A,B两点,这样的圆能画________个; (3)画半径为2 cm的圆,使它经过A,B两点,这样的圆能画________个. 8.2017·大庆在△ABC中,∠C为直角,AB=2,则这个三角形的外接圆半径为________. 9.2017·宁夏如图K-15-5,点A,B,C均在6×6的正方形网格格点上,过A,B,C三点的外接圆除经过A,B,C三点外还能经过的格点有________个. 图K-15-5 10.2017·泰州如图K-15-6,在平面直角坐标系中,点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2),若点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,则点C的坐标为________________. 图K-15-6 三、解答题 11.如图K-15-7,小明家的房前有一块空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.
第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 教材分析 本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课,是在学习了直线的有关知识后学习的,圆是学生比较熟悉的曲线,在初中就已学过圆的定义.这节课主要是根据圆的定义,推出圆的标准方程,并会求圆的标准方程.本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握;难点是会根据不同的已知条件,利用待定系数法,几何法求圆的标准方程.通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力,使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解,增强学生的数学意识. 课时分配 本节内容用1课时的时间完成,主要讲解圆的标准方程的推导和应用. 教学目标 重点: 圆的标准方程的理解、掌握. 难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 知识点:会求圆的标准方程. 能力点:根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点:尝试用代数方法解决几何问题探究过程,体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点:点与圆的位置关系的判断方法. 考试点:会求圆的标准方程. 易错易混点:不同的已知条件,如何恰当的求圆的标准方程. 拓展点:如何根据不同的条件,灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程. 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 问题 1:什么是圆? 【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答. 【设计说明】学生回答. 问题2:在平面直角坐标系中,两点确定一条直线,一点和倾斜角也可以确定一条直线,那么在什么条件下可以确定一个圆? 【设计意图】使学生在已有知识的基础上,结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心(定位)和半径(定形). 【设计说明】教师引导,学生回答. 问题3:直线可以用一个方程表示,圆也可以用一个方程来表示吗? 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上,探索新知,引出本课题. 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题. 二、探究新知
4.2确定圆的条件 〖学习目标〗 1.知识与技能:①理解不在同一直线上的三个点确定一个圆; ②掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法; ③了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念,提高应用数学知识解决实际问题的能力。 2.过程与方法:经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,体会归纳、类比以及 由特殊到一般的数学思想方法。 3.情感态度与价值观:在探索活动中培养学生勇于探究的学习品质,体会解决问题的策略, 学会数学地思考。 〖学习过程〗 (一)创设情境激发兴趣Array问题1:小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了,其中四块碎片如图所 示,为配到与原来大小一样的圆形玻璃,小明带到商店去的一块玻璃碎 片应该是哪一块? 问题2:玻璃店里的师傅,要划出一块与原来大小一样的圆形玻璃, 他只要知道圆的什么就可以了?为什么? 问题3:如果店里师傅仅仅知道圆的半径,他可以画出多少个这样 的圆?为什么? (二)操作探究归纳结论 活动一:过定点A是否可以作圆?如果能作?可以作几个? 活动二:过两个定点A、B是否可以作圆?如果能作,可以作几个? 活动三:过三点,是否可以作圆,如果能,可以作几个?(分两种情况讨论) 归纳结论:_______________________________________________________________ (三)例题示范 已知:△ABC,求作⊙O,使它经过A、B、C三点。 (四)知识拓展 经过4个(或4个以上的)点是不是一定能作圆? (五)合作交流
形成概念:三角形的外接圆、三角形的外心、圆的内接三角形。 自主探索:三角形的外心与三角形的位置关系。 (六)学以致用 发展能力 1.直角三角形的两条直角边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆的半径等于 . 2.①破镜重圆:利用所学知识,帮助玻璃店里的师傅找出残缺圆片所在的圆心,并把这个圆画完整. ②实际操作:小明发现,店里师傅先在圆弧上顺次取三点A 、B 、 C.(如图),使AB=BC.并测量得:AB=BC=5dm,AC=8dm,然后师傅计算了 下,就很快划出与原来一样大小的圆形玻璃,你知道他计算的是什 么? (七)回顾反思 交流收获 本节课你学到了什么? (八)达标检测 1.判断题: (1)三点确定一个圆 ( ) (2)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆 ( ) (3)任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形( ) (4)三角形的外心是三角形三边中线的交点 ( ) (5)三角形的外心到三角形各顶点距离相等 ( ) 2.已知点O 是△ABC 的外心,∠A=500,则∠BOC 的度数是 ( ) A.500 B. 1000 C.1150 D. 650 (九)作业 习题4.2A组 1、2题 A B C
圆的标准方程 教学目标 (一)知识目标 1.掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径; 2.理解并掌握切线方程的探求过程和方法。 (二)能力目标 1.进一步培养学生用坐标法研究几何问题的能力; 2. 通过教学,使学生学习运用观察、类比、联想、猜测、证明等合情推理方法,提高学生运算能力、逻辑思维能力. (三)情感目标 充分调动学生学习数学的热情,激发学生自主探究问题的兴趣,同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。 教学重、难点 (一)教学重点 圆的标准方程的理解、掌握。 (二)教学难点 圆的标准方程的应用。 教学过程 Ⅰ.复习提问、引入课题 师:前面我们学习了曲线和方程的关系及求曲线方程的方法。请同学
们考虑:如何求适合某种条件的点的轨迹? 生:①建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点M的坐标为(x,y); ②写出适合某种条件p的点M的集合P={M ︳p(M)};③用坐标表示条件,列出方程f(x,y)=0;④化简方程f(x,y)=0为最简形式。⑤证明以化简后方程的解为坐标的点都是曲线上的点(一般省略)。[多媒体演示] 师:这就是建系、设点、列式、化简四步曲。用这四步曲我们可以求适合某种条件的任何曲线方程,今天我们来看圆这种曲线的方程。[给出标题] 师:前面我们曾证明过圆心在原点,半径为5的圆的方程:x2+y2=52即x2+y2=25. 若半径发生变化,圆的方程又是怎样的?能否写出圆心在原点,半径为r的圆的方程? 生:x2+y2=r2. 师:你是怎样得到的?(引导启发)圆上的点满足什么条件? 生:圆上的任一点到圆心的距离等于半径。即,亦即x2+y2=r2. 师:x2+y2=r2表示的圆的位置比较特殊:圆心在原点,半径为r.有时圆心不在原点,若此圆的圆心移至C(a,b)点(如图),方程又是怎样的? 生:此圆是到点C(a,b)的距离等于半径r的点的集合, 由两点间的距离公式得 即:(x-a)2+(y-b)2= r2
确定圆的条件 (北师大版九年级下册第三章第四节)厦门市金尚中学刘丽丽
课题确定圆的条件 教学过程分析 步骤教师活动学生活动设计意图 (一) 创设 情境, 引入 新课 1.引导学生思考:帮助考古学家复原瓷 器就是要画一个与原瓷器大小一样的 圆。这样将生活实际问题转化为数学问 题。 2.确定圆需要哪些要素呢? 3.在瓷器碎片上很难直接找到圆心和 半径,引导学生寻找隐藏条件。 思考并回答确定圆的两 要素:圆心位置,半径 大小。 进一步明确:找到圆心, 确定半径的大小是问题 的关键。 培养学生将实际生活 中的问题抽象为数学 问题的能力,并使学 生体会到数学来源于 生活。 (二) 回顾 旧知, 激发 探索 回顾在之前的学习中我们是如何确定 直线: 1.过一点可以作几条直线? 2.过几点可确定一条直线? 3.引导学生思考:既然点可以作为确定 直线的条件,那么是否也可以作为确定 圆的条件呢? 1.学生动手画过一点的 直线,可以画无数条这 样的直线。 2.学生动手画过一点的 直线: . . 得出结论: 过两个已知点可以确定 一条直线。 “学生原有的知识和 经验是教学活动的起 点”通过复习确定直 线的方法,启发学生 用类比的方法探索确 定圆的条件。 (三) 合作 交流, 合作 探究 类比确定直线的方法,用点作为确定圆 条件: 1.探索一: (1)经过一个已知点A能确定一个圆 吗? 学生动手画过一点的 圆,并小组讨论交流。让学生动手实践,充 分交流,通过探究、 讨论、交流得到过一 个已知点可以作无数 多个圆 A A A B
过程分析(四) 巩固 新知, 解决 问题 1.现在你知道了怎样要将一个如图所 示的破损的圆盘复原了吗?作法: 1、在圆弧上任取三点 A、B、C。 2、作线段AB、BC的垂 直平分线,其交点O即 为圆心。 3、以点O为圆心,OC 长为半径作圆。 ⊙O即为所求。 在学生探究得出确定 圆的方法后,马上解 决实际问题,培养成 功感,同时使学生体 会到数学知识服务于 生活。 2.破镜重圆: 小明不慎把家里的圆形镜子打碎了,其 中四块碎片如图所示,为了配到与原来 大小一样的圆形镜子,小明带到商店去 的一块碎片应该是() A.第①块 B.第②块 C.第③块 D.第④块 利用所学知识思考并选 出正确答案A 进一步巩固所学知 识。 (五) 动手 操作, 再探 新知 介绍几个概念: 1.经过三角形各个顶点的圆叫做三角 形的外接圆。 2.外接圆的圆心叫做三角形的外心.这 个三角形叫做圆的内接三角形。 思考: 1.三角形的外心到三角形各顶点距离 有何关系? 2.如何画三角形的外接圆? 1.根据三角形外接圆的 定义可以回答出三角形 外心到三个顶点的距离 相等。 2.通过画三角形两边的 中垂线的得到交点即为 圆心,进而确定半径画 出外接圆。 培养学生独立思考, 解决问题的能力。 课题确定圆的条件 A B C O ④③ ②①
新人教版必修二高中数学《圆的标准方程》教学设计-2019 最新整理 知识与技能:1、掌握圆的标准方程:根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程,能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径; 2、会用两种方法求圆的标准方程:(1)待定系数法;(2)利用几何性质 教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程: 情境设置: 问题:①圆的定义? 学生回忆所学知识:①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合,确定圆的要素是圆心和半径。 问题:②如果把直线放在直角坐标系下,那么其对应的方程是二元一次方程,那么如果把一个圆放在坐标系下,其方程有什么特征?如何写出这个圆的所在的方程? 二、探索研究: 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径
为r 。(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点 间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 ①r 化简可得: ②222()()x a y b r -+-= 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的 标准方程。 总结出点与圆的关系的判断方法:00(,)M x y 222()()x a y b r -+-= (1)=点在圆上 2200()()x a y b -+-2r ? (2)<点在圆内220 0()()x a y b -+-2r ? (3)>点在圆外 2200()()x a y b -+-2r ? 三、知识应用与解题研究 (一)练习 1、指出下列方程表示的圆心坐标和半径: (1); 222=+y x (2); 5)1()3(22=-+-y x (3)()。222)1()2(a y x =+++0≠a 2、写出下列圆的标准方程:(P120-121练习1、3、4) (1)圆心在C(-3,4),半径长为;5 (2)圆心在C(8,-3),且经过点M(5,1); (3)圆心在(-1,2),与y 轴相切 (4)以P1(4,9)、P2(6,3)为直径的圆; (5)已知△ABC的顶点坐标分别是A(4,0),B(0,3),
青岛泰山版 第四章对圆的进一步认识 4.2 确定圆的条件教学设计 教学目标 知识与能力目标:了解不在同一条直线上得三个点确定一个圆,掌握过不在同一直线上的三个点作圆的方法,了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。 过程与方法目标:经历不在同一直线上得三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力,进一步体会解决数学问题的方法。 情感、态度与价值观目标:形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神。 教学重点:掌握不在同一直线上的三个点确定一个圆这个结论,并能过不在同一直线上的三个点作圆的方法。理解三角形外心的性质。 教学难点:过不在同一直线上的三个点作圆的方法。 教学过程: 一、课前知识准备 1、线段垂直平分线的性质 2、尺规作图:作线段AB的垂直平分线MN 3、要确定一个圆,需要确定它的和。 二、创设情境引人新课(谁是小小设计师?) 问题一:浯河中学想要在楼前空地上建一个圆形花坛,如果让你来当设计师,你需要确定什么条件? 问题二:空地上有一棵树,校长想让花坛的边沿经过这棵树,你能设计出几种方案?(过一点能作多少个圆?)【学生自己动手画,教师幻灯片展示多种情况】(板书:过一点可以作无数个圆) 问题三:如果空地上有两棵树,要使花坛边沿经过这两棵树,你有几种方案? (过两点能作多少个圆?)【先提示学生,假设存在这样一个圆,让学生观察圆心的位置,再引导学生动手画圆,幻灯片展示多种情况】(板书:过两点可以作无数个圆) 问题四:如果要经过三棵树呢?你还能设计出来吗?【小组合作探究,可以提示学生关键在
于找到到三个点距离相等的点,也就是圆心。可由小组到黑板展示,学生口述作图过程,最后教师进行总结。学生可能只会想到三点不共线的情况,教师进一步提示,如果三点共线会怎样?幻灯片展示。】(板书:过三点确定一个圆,进一步补充“不在同一直线上”加深学生印象,解释“确定”的含义) 问题五:如果要经过四棵树呢?【可以让学生讨论,发表自己的看法,教师动画展示】 问题六:现在空地上的三棵树分别呈现以下四种位置关系,你能找出经过三棵树的圆形花坛的圆心吗? 【由学生自己完成,小组成员分开作,完成后讨论,发现什么?】(板书:有关概念,外接圆、内接三角形、外心) 思考:两条垂直平分线的交点是不是外心?(学生叙述,教师板书重点。) 同时,总结出外心的性质。 三、练习巩固 练习1 判断题(投影打出) (1)经过三个点一定可以作圆. ( ) (2)任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆. ( ) (3)任意一个圆一定有一个内接三角形,并且只有一个内接三角形. ( ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( ) (经过练习,巩固前边所学的知识) 2、如图(1)所示,⊙0是直角三角形ABC 的外接圆,其中AB=3,BC=4,那么⊙O 的半径是 如果AB=a,BC=b , ⊙O 的半径是 如图(2), ⊙0是等边三角形ABC 的外接圆,三角形的边长是4,那么⊙O 的半径是 如果等边三角形的边长是a ,那么⊙O 的半径是 . A B C C A B ┐ A B C ●O C A B ┐ ●O
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期] 任教学科:_____________ 任教年级:_____________ 任教老师:_____________ xx市实验学校
第三章圆 5.确定圆的条件----教学设计 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:通过本章前面几节课的学习,学生知道经过一点可以画无数条直线,经过两点有且只有一条直线等知识。同时具备了用尺规作“线段垂直平分线”等操作技能,掌握了“线段垂直平分线的性质”。 学生活动经验基础:在经过点画直线等知识的学习过程中,学生具备了一定的合作精神和探究能力,具有一定的分类讨论的数学思想方法和类比方法。二、教学任务分析 本节课的内容是第一节内容的延续,学生已积累了画一个圆的经验。基于以上两点,提出本课的具体学习任务:①经过一点、两点、三点能否作出圆、能作出几个圆。②了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念,但本课内容从属于“空间与图形”的教学目标:认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想,体验数学活动充满探索性和创造性,感受证明的必要性及结论的确定性。同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。因此,本节课的教学目标是: 知识与技能 1、了解不在同一直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法; 2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。 过程与方法 1.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力。2.通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略。 情感态度与价值观 形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神。 教学重点:理解不在同一直线上的三个点确定一个圆 教学难点:理解不在同一直线上的三个点确定一个圆。
第四章 圆与方程 4.1.1 圆的标准方程 三维目标: 知识与技能:1、掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程。 2、会用待定系数法求圆的标准方程。 过程与方法:进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力,渗透数形结合思想,通过圆的标准方 程解决实际问题的学习,注意培养学生观察问题、发现问题和解决问题的能力。 情感态度与价值观:通过运用圆的知识解决实际问题的学习,从而激发学生学习数学的热情和兴趣。 教学重点:圆的标准方程 教学难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程。 教学过程: 1、情境设置: 在直角坐标系中,确定直线的基本要素是什么?圆作为平面几何中的基本图形,确定它的要素又是什么呢?什么叫圆?在平面直角坐标系中,任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示,那么,原是否也可用一个方程来表示呢?如果能,这个方程又有什么特征呢? 探索研究: 2、探索研究: 确定圆的基本条件为圆心和半径,设圆的圆心坐标为A(a,b),半径为r 。(其中a 、b 、r 都是常数,r>0)设M(x,y)为这个圆上任意一点,那么点M 满足的条件是(引导学生自己列出)P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得:222 ()()x a y b r -+-= ② 引导学生自己证明2 2 2 ()()x a y b r -+-=为圆的 方程,得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程,我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究
例(1):写出圆心为(2,3)A -半径长等于5的圆的方程, 并判断点12(5,7),(1)M M --是否在这个圆上。 分析探求:可以从计算点到圆心的距离入手。 探究:点00(,)M x y 与圆222 ()()x a y b r -+-=的关系的判断方法: (1)22 00()()x a y b -+->2r ,点在圆外 (2)22 00()()x a y b -+-=2r ,点在圆上 (3)2200()()x a y b -+-<2 r ,点在圆内 例(2): ABC V 的三个顶点的坐标是(5,1),(7,3),(2,8),A B C --求它的外接圆的方程 师生共同分析:从圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-= 可知,要确定圆的标准方程,可用 待定系数法确定a b r 、、三个参数.(学生自己运算解决) 例(3):已知圆心为C 的圆:10l x y -+=经过点(1,1)A 和(2,2)B -,且圆心在:10l x y -+=上,求圆心为C 的圆的标准方程. 师生共同分析: 如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C 的圆经过点(1,1)A 和 (2,2)B -,由于圆心C 与A,B 两点的距离相等,所以圆心C 在险段AB 的垂直平分线m 上,又圆心C 在直线l 上,因此圆心C 是直线l 与直线m 的交点,半径长 等于CA 或CB 。 (教师板书解题过程。) 总结归纳:(教师启发,学生自己比较、归纳)比较例(2)、 例(3)可得出ABC V 外接圆的标准方程的两种求法: ①、根据题设条件,列出关于a b r 、、的方程组,解方程组得到a b r 、、得值,写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素,以及题设条件,分别求出圆心坐标和半径大小,然后再写出圆的标准方程. 提炼小结: 1、 圆的标准方程。 2、 点与圆的位置关系的判断方法。 3、 根据已知条件求圆的标准方程的方法。
第三章圆 4.确定圆的条件 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础:通过本章前面几节课的学习,学生知道经过一点可以画无数条直线,经过两点有且只有一条直线等知识。同时具备了用尺规作“线段垂直平分线”等操作技能,掌握了“线段垂直平分线的性质”。 学生活动经验基础:在经过点画直线等知识的学习过程中,学生具备了一定的合作精神和探究能力,具有一定的分类讨论的数学思想方法和类比方法。 二、教学任务分析 本节课的内容是第一节内容的延续,学生已积累了画一个圆的经验。基于以上两点,提出本课的具体学习任务:①经过一点、两点、三点能否作出圆、能作出几个圆。②了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念,但本课内容从属于“空间与图形”的教学目标:认识通过观察、实验、归纳、类比、推断可以获得数学猜想,体验数学活动充满探索性和创造性,感受证明的必要性及结论的确定性。同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。因此,本节课的教学目标是: 知识与技能 1.了解不在同一直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一直线上的三个点作圆的方法; 2.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念。 过程与方法 1.经历不在同一直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培养学生的探索能力。 2.通过探索不在同一直线上的三个点确定一个圆的问题,进一步体会解决数学问题的策略。
情感态度与价值观 形成解决问题的基本策略,体验解决问题策略的多样性,发展实践能力与创新精神。 教学重点:确定圆的条件 教学难点:确定圆的条件 三、教学过程分析 本节课设计了六个教学环节:课前准备;情景引入;实践探究;合作学习练习提高;课堂小结;布置作业。 第一环节:课前准备 活动内容:布置学生在课前复习,回答如下的问题: (1)经过一点、两点、三点你能否画出一条直线吗?若能,可以画出几条直线?(2)通过以上问题的回答,你有什么体会? (3)已知线段AB,求作线段AB的中垂线? 活动目的:通过问题(3),希望学生复习线段中垂线的尺规作法,为本课作圆作知识的铺垫。通过问题(1)(2)的复习回答,为本课的探索“经过三点能否确定一个圆”作一个探索策略上的铺垫,进一步培养了学生分类讨论的数学思想。 实际教学效果:在课始的提问中,学生对中垂线的尺规作法、经过一点可以画无数条直线、经过两点可以画一条直线的回答较好,但在回答“经过三点能否画直线”问题上出现分歧,部分回答“不能画出直线”或“可以画一条直线”或“以上两种情况都有可能”等。通过对问题的争论、回答,达到了预期目标,培养了学生学会与人合作,能与他人交流思维的过程和结果。 第二环节:情景引入
确定圆的条件
教学目标 (一)教学知识点 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆,以及过不在同一条 直线上的三个点作圆的方法,了解三角形的外接圆、三角形的外心等 概念. (二)能力训练要求 1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,培 养学生的探索能力. 2.通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题,进 一步体会解决数学问题的策略. (三)情感与价值观要求 1.形成解决问题的一些基本策略,体验解决问题策略的多样性, 发展实践能力与创新精神. 2.学会与人合作,并能与他人交流思维的过程和结果. 教学重点 1.经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,并 能掌握这个结论. 2.掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法. 3.了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念. 教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程,并能过 不在同一条直线上的三个点作圆.
教学方法 教师指导学生自主探索交流法. 教具准备 投影片三张 第一张:(记作§3.4A) 第二张:(记作§3.4B) 第三张:(记作§3.4C) 教学过程 Ⅰ.创设问题情境,引入新课 [师]我们知道经过一点可以作无数条直线,经过两点只能作一条 直线.那么,经过一点能作几个圆经过两点、三点……呢本节课我们 将进行有关探索. Ⅱ.新课讲解 1.回忆及思考 投影片(§3.4A) 1.线段垂直平分线的性质及作法. 2.作圆的关键是什么 [生]1.线段垂直平分线的性质是:线段垂直平分线上的点到线 段两端点的距离相等.
作法:如下图,分别以 A、B 为圆心,以大于 1 AB 长为半径画弧,
2
在 AB 的两侧找出两交点 C、D,作直线 CD,则直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线,直线 CD 上的任一点到 A 与 B 的距离相等.
[师]我们知道圆的定义是:平面上到定点的距离等于定长的所有 点组成的图形叫做圆.定点即为圆心,定长即为半径.根据定义大家 觉得作圆的关键是什么
[生]由定义可知,作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题.因 此作圆的关键是确定圆心和半径的大小.确定了圆心和半径,圆就随 之确定.
2.做一做(投影片§3.4B) (1)作圆,使它经过已知点 A,你能作出几个这样的圆 (2)作圆,使它经过已知点 A、B.你是如何作的你能作出几个这 样的圆其圆心的分布有什么特点与线段 AB 有什么关系为什么 (3)作圆,使它经过已知点 A、B、C(A、B、C 三点不在同一条直 线上).你是如何作的你能作出几个这样的圆 [师]根据刚才我们的分析已知,作圆的关键是确定圆心和半径, 下面请大家互相交换意见并作出解答.