三相正弦交流电（一）
1、交流电的优点
|Ψt
图一交流、直流电波形图
现在我们广泛地使用着交流电，主要原因是与直流电相比，交流电在产生、输送和使用方面具有明显的优点和经济意义。例如：
（1）、电压的改变，通过变压器很方便就能实现。
a 在远距离输电时，采用较高的电压可以减少线路上的损失。
b 对于用户来说，采用较低的电压既安全又可降低电器设备的绝缘要
求。
（2）、交流设备的使用优点。
如异步电动机比起直流电动机来，具有构造简单、性价比高，使用方
便等优点。
(3)、在一些非用直流电不可的场合，如工业上的电解和电镀，直流马达等，
也可利用整流设备，将交流电转化为直流电。
2、交流电的分类
（1）正弦交流电和非正弦交流电
交流电有正弦和非正弦之分。
正弦交流电的优点：
a,变化平滑
b.不易产生高次谐波
非正弦交流电：各种非正弦交流电都可由不同频率的正弦交流电叠加而
成（用傅里叶分析法），因此可用正弦交流电的分析方
法来分析非正弦交流电。
（2）正弦交流电的分类：以相的数目来分，有两相，三相，六相等。对
称三相因为有很多优点，所以应用最为广泛。
例如：
a,在输送电能上，输电距离，输送功率，线间电压，输电材料都相同的
条件下，则三相输电所用的铜线（或铝线），比单相节约25%；
b、同功率的三相发电机比单相发电机体积小，节约材料。
c、三相发电机的结构简单，维护和使用都其它为方便。
所以，目前世界上电力系统所采用的供电方式，绝大多数是属于三
相制的。
3 正弦交流电的三要素：
随时间按照正弦函数规律变化的电压和电流。由于交流电的大小和方向
都是随时间不断变化的,也就是说,每一瞬间电压（电动势）和电流的数值都不
相同,所以在分析和计算交流电路时,必须标明它的正方向。
确定一个正弦量必须具备三个要素，即振幅值，角频率和初相。也就是
说知道了三要素，一个正弦量就可以完全确定的表现出来。
|Π|Π
图二正弦电动势波形图
正弦交流电的三要素:
(1)最大值(振幅值)
|Π2|Π
图三振幅值不同的正弦量
(2)角频率ω:表示在单位时间内正弦量所经历的电角度，单位为弧度/秒(rad/s)。
图四频率不同的正弦量
在一个周期T内，正弦量经历的电角度为2π弧度，所以：
ω=2π/T=2πf 2-3-1
把角频率ω代入e=Em sina，正弦量的解析式就能以时间为变量。
当T=0时，a=ωt
正弦量的解析式：e=Em sin ωt 2-3-2
例1、已知工频频率是50HZ，求ω。
解：ω=2πf=2×3.14×50=314 rad/s
(3)初相位(初相)
从2-3-2公式中，我们可以看出，正弦交流的起点为0，即电角度a=0，这是一种特殊情况，一般情况下，起点都有一个角度，这个角度我们用ψ来
表示，也就是a=ψ。这时2-3-2式就变为：
e=Em sin( ωt+ψ) 2-3-3
|Ψt
|Π
2|Π|Χ图五 初相角不为零的感应电动势
通过2-3-2式的波形图，我们可以看出：ωt+ψ这个电角度是随时间变
化的。它每增加2π，e 又重复原来的变化规律。正弦量任一时刻的瞬时值及
变化趋势都与ωt+ψ有关，这个电角度称为正弦量的相位或相位角。
相位意义：表示正弦量在某一时刻所处的状态的物理量，它不仅确定瞬
时值的大小和方向，还能表现出正弦量的变化趋势。
在2-3-3式中，ψ是正弦量在计时起点即t=0时的相位，叫做初相位，简
称初相。
初相的意义：确定了初相，也就知道了正弦量在计时起点的状态。规定│ψ
│不能超过π的弧度，也就是180度。
|Ψt |Ψt |Π/2I1=Im sin |Ψt I2=Imsin(|Ψt +|Π/2)|Ψt |Ψt 图六 几种不同计时起点的正弦电流
|Π/6|Π/6I3=I msin(|Ψt +|Π/6)I4=Imsin(|Ψt -|Π/6)
例1：已知选定参考方向下的波形图如下图所示，试写出正弦量的解析式。
|
Ψt
|Π/6|Π2|Π
-|Π/3图七 例题1图
解：e1=250sin(ωt-π/6)v
e2=200sin(ωt+π/3)v
例2：在选定的参考方向下，已知两正弦量的解析式为：i=-15sin ωt
A,u=400sin(ωt+240°)V,求每个正弦量的振幅值和初相。
解：i=-15sin ωt= 15sin （ωt+π）A ，其振幅值Im=15A ，初相ψ=1π=180°。
注：振幅只取绝对值。
u=400sin(ωt+240°)V=400sin(ωt-120°)V,其振幅值U 吗、Um=400,初相Ψ=-120°
注:在上式中,初相值为什么不是240°而是负120度呢?因为初相不能超过1π。
例3 已知电路中a,b部分的电压是正弦量，其频率F=50HZ，在选定电压参考方向由a到b的情况下，它的解析式为Uab=311sin(ωt-π/4)V。求：1）T=2S 时，2）ωt=π时，3）ωt=90°时，电压的大小、实际方向和相位角。
解：1）当T=2S时，
ω=2πF=2π×50=100π=314rad/s
Uab=311sin(ωt-π/4)=311sin(100π×2-π/4)=311sin(200π-π/4) =-311sinπ/4=-311×√2/2=-220V
Uab为负值，电压的实际方向与参考方向方向相反，即由B到A。电压的大小为220V，相位角为（200π-π/4)。
2）当ωt=π时，
Uab=311sin(ωt- sin /4)= 311sin(π-π/4)=311×（+√2/2）=220V
电压实际方向为由A到B，其大小为220，相位角为(π-π/4)。
3）ωt=90°时，
Uab=311sin(ωt-π/4)=311 sin（π/2-π/4）=311 sin π/4=220V
电压大小为220V，实际方向是由A到B，相位角为（π/2-π/4）=π/4。
4、相位差
（1）定义：两个同频率正弦量的相位之差，称为相位差。正弦量的相位是随时间
变化的，但同频率正弦量的相位差是不随时间变化的，等于它们的初相之差。
一个正弦量比另一个正弦量早到零值或振幅值时，称前者超前后，或后者滞后前者。如图示八，U1比U2超前（Ψ1-Ψ2），或者说U2比U1滞后（Ψ1-Ψ2）。
所以相位差计算式Φ12=Ψ1-Ψ2中的Φ12是一个超前或滞后的角度。对于这个角度，我们规定其绝对值不超过180°。例如：滞后40度用超越320度来表示就易引起表意上的混乱。
|·1
|μ12|·2
图八两个同频率正弦电势波形图
|Π
|Π
|Ψt 图九例1波形图
例1 试作Ur=Urm sin ωt,Ir=Irm sin ωt ,UL=ULm sin (ωt+90°),e=Em sin (ωt-180°)波形图，并说明其相位关系。
解：先画出各解析式的波形图，因为Ir的初相为零，故选它作为参考量。
正弦量Ur初相为零，所以与Ir同相。
正弦量UL较Ir的相位超前90度，所以两个正弦量的波形正交。
正弦量e较Ir的相位差为180度，所以与Ir反相。
5、交流电的有效值
电功率的计量采用有效值来计算的，如果用振幅值来计算的话，前面我们有
讲过，在一个周期内交流电只有两个瞬间才能达到最大值，这样的话我们就会多
交1.414倍的电能费用。下面我们来具体分析一下：
（1）定义：任何交流电的有效值都是根据它的热效应确定的。交流电流I 通过电阻R在一个周期内所产生的热量和直流电I通过同一电阻R在
相同时间内所产生的热量相等，则这个直流电流I的数值就叫这个交
流电的I的有效值。
在等于交流电一个周期时间内直流通过电阻R所产生的热量为：
Q=I2RT
交流电能过同样电阻R，在同一周期内所产生的热量为：
Q=∫i2Rdt
(2)、正弦量的有效值
正弦电压和电动势的有效值为：U=Um/√2=0.707Um
E=Em/√2=0.707Em
常用的仪器如电表等所指示的值均为有效值，我们所说的家用电器的电压是220伏，也是指有效值，如果要计算它的最大值，乘√2就可以得到。
（3）例题分析：
例题1：有一电容器，耐压为250V，问能否在市电电压220V电源上使用？
解：Um=220×√2=311V
这超过了电容器的耐压，有可能电容被击穿，所以不能使用。
例题2：一正弦电压的初相为30°，在t=T/2时的值为-268，7V，试求它的有效值。
解：正弦电压的解析式：U=Um sin( ωt+ψu)
已知ψu=30度，t=T/2时，
ωt=2π/T×T/2=π
代入得
-268.7= Um sin(180°+30°)
=-1/2 Um
Um=537.4V
有效值: U=537.4/√2=380V
6、正弦量的复数表达式
正弦量的表达式形式除了前面的波形图和简谐函数表达式之外还有第三种表达方式——相量表达法。
复数的四种表示形式：1）、代数式A=a+jb(a=r cosθ, b=r sinθ
2）三角函数式A= r cosθ+r sinθ
据欧拉公式Ejθ= cosθ+j sinθ可得
3）指数式：A=rejθ4）极坐标式：A=r<θ