含参量反常积分的一致收敛判别法及推广
作者：蒋碧希 指导老师：张海
摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性
质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用.
关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛
1 引言
对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用.
2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义
设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分
(,)c
f x y dy +∞
?
(1)
都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有
()(,),[,],c
I x f x y dy x a b +∞
=∈?
(2)
称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分.
2.2 含参量反常积分的一致收敛概念
若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有
(,)()M
c
f x y dy I x ε-
,
即
(,)M
f x y dy ε+∞
，
则称含参量反常积分(1)在],[b a 一致收敛于()I x ，或简单地说含参量积分(1)在[,]a b 上一
致收敛.
2.3含参量无穷限反常积分一致收敛的柯西准则
含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任給的正数ε，总存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有
2
1
(,)A A f x y dy ε
, )3(
证明 （必要性） 由于含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛，则 对
0>?ε,0>?M ,M A A >?21,时，使得],[b a x ∈?时，有
1
(,)2A f x y dy ε+∞
,
且
2
(,)2
A f x y dy ε+∞
由
21
12
(,)(,)(,)A A A A f x y dy f x y dy f x y dy
+∞+∞=
-?
?
?
1
2
(,)(,)A A f x y dy f x y dy +∞
+∞
≤
+
?
?
εε
ε
=+<2
2
可知：0,0>?>?M ε，当M A A >21,时， 有
2
1
(,)A A f x y dy ε
.
（充分性) 因为0ε?>，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切
],[b a x ∈，都有
2
1
(,)A A f x y dy ε
,
当+∞→2A 时，有
1
(,)A f x y dy ε+∞
成立.
故
?
+∞
1
),(A dy y x f
在),[],[1+∞?A b a 上是一致收敛的. 又因为
??
?
+∞
+∞
+=1
1
),(),(),(A c
A c
dy y x f dy y x f dy y x f ,
其中
?
1
),(A c
dy y x f 是含参量正常积分，故一致收敛.
所以
?
+∞c
dy y x f ),(在),[],[+∞?c b a 上是一致收敛的.
2.4 含参量无穷限反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛的联系
定理2.4.1 含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列}{n A （其中c A =1），函数项级数
)(),(1
1
1
x u dy y x f n A A n n n n
∑?
∑∞
=∞
=+= )4(
在],[b a 上一致收敛.
证明 (必要性）由)1(在],[b a 上一致收敛，故对任给0>ε，必存在c M >，使当
M A A >>'"时，对一切],[b a x ∈，总有
"
'
(,)A A f x y dy ε
. )5(
又由)(∞→+∞→n A n ，所以对正数M ,存在正整数N ,只要当N n m >>时，就有
M A A n m >>.由)5(对一切],[b a x ∈，就有
1
1
()()(,)(,)m n m
n
A A n m A A u x u x f x y dy f x y dy +++
+=
+
+?
?
1
(,)m n
A A f x y d y ε+=
.
这就证明了级数)4(在],[b a 上一致收敛.
(充分性) 用反证法.假若)1(在],[b a 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得
对于任何实数c M >，存在相应的M A A >>'
"和],['b a x ∈，使得
"
'
'0(,)A A
f x y dy ε≥?
,
现取},1max{1c M =，则存在112M A A >>及],[1b a x ∈，使得
2
1
10(,)A A f x y dy ε≥?
一般的，取)2}(,max{12≥=-n A n M n n ，则有n n n M A A >>-122及],[b a x n ∈，使得
221
0(,)n
n A n A f x y dy ε-≥?
)6(
由上述所得到的数列}{n A 是递增数列，且+∞=∞
→n n A lim .现在考察级数
∑?
∑∞
=∞=+=1
1
1
),()(n A A n n n n
dy y x f x u
由)6(式知存在正数0ε，对任何正整数N ,只要N n >,就有某个],[b a x n ∈，使得
21220()(,)n n
A n n n A u x f x y dy ε+=
≥?
这与级数)4(在],[b a 上一致收敛的假设矛盾.故含参量反常积分)1(在],[b a 上一致收敛
2.5 含参量无穷限反常积分的一致收敛性判别法
定理 2.5.1 （维尔斯特拉斯M 判别法）设有函数，使得
(,)(),,f x y g y a x b c y ≤≤≤≤<+∞
若
?
+∞
c
dy y g )(收敛，则?
+∞
c
dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.
定理 2.5.2 （狄利克雷判别法）设
)1( 对一切实数c N >，含参量正常积分
?
N
c
dy y x f ),(
对参量x 在],[b a 上一致有界，即存在正数M ,对一切c N >及一切],[b a x ∈，都有
(,);N
c
f x y dy M ≤?
)2( 对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量
),(,y x g x 一致的收敛于0，则含参量反常积分
?
+∞
c
dy y x g y x f ),(),(
在],[b a 上一致收敛.
定理 2.5.3 （阿贝尔判别法） 设
)1(
?
+∞
c
dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛；
)2( 对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量),(,y x g x 在],[b a 上
一致有界，则含参量反常积分
?
+∞
c
dy y x g y x f ),(),(
在],[b a 上一致收敛.
2.6 含参量无穷限反常积分的性质
定理2.6.1 （连续性） 设(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续，若反常积分
()(,)c
I x f x y dy +∞
=
?
)7(
在[,]a b 上一致收敛，则()I x 在[,]a b 上连续.
证明 由定理2.4.1，对任意递增且趋于∞+的数列}{n A )(1c A =，函数项级数
∑?
∑+∞
=+∞
=+==
1
1
1
)(),()(n A A n n n n
x u dy y x f x I )8(
在],[b a 上一致收敛.又由于),(y x f 在),[],[+∞?c b a 上连续，故每个)(x u n 都在],[b a 上连续.根据函数项级数的连续性定理，函数)(x I 在],[b a 上连续.
定理 2.6.2 （可微性） 设 ),(y x f 与),(y x f x 在区域),[],[+∞?c b a 上连续，若
?
+∞
=c
dy y x f x I ),()(在],[b a 上收敛，dy y x f c
x ),(?
+∞
在],[b a 上一致收敛，则)(x I 在]
,[b a 上可微，且
dy y x f x I c
x ),()('
?
+∞
=
)9(
证明 对任一递增且趋于∞+的数列)}({1c A A n =，令
?
+=1
),()(n n
A A n dy y x f x u
则
()dy y x f x u n n
A A x n ),(1
'
?
+=
由
()dy y x f c
x ?
+∞
,在],[b a 上一致收敛及定理1，可得函数项级数
dy y x f x u n A A x n n n n
),()(1
1
'
1
∑?
∑+∞
=+∞=+=
在],[b a 上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，即得
()()()()dy y x f dy y x f x u x I c
x n A A x n n n n
,,1
1
''
1
?
∑?
∑∞
+∞
=∞====+
定理 2.6.3 （可积性） 设()y x f ,在),[],[+∞?c b a 上连续，若()()dy y x f x I c
?
+∞
=
,在
],[b a 上一致收敛，则()x I 在],[b a 上可积，且
()()??
??+∞
+∞=b a
c
c
b
a
dx y x f dy dy y x f dx ,,
证明 由定理2.6.1知道()x I 在],[b a 上连续，从而()x I 在],[b a 上可积.
又由定理 2.6.1的证明中可以看到，函数项级数()8在],[b a 上一致收敛，且各项()x u n 在
],[b a 上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理，有
?
∑?∑??
++∞
=+∞
===1
),()()(1
1n n
A A n b
a
n b
a
n b
a
dy y x f dx dx x u dx x I
()∑?
?+∞
=+=
1
1
,n A A b
a
n n
dx y x f dy (10)
这里最后一步是根据关于积分顺序的可交换性定理.(10)式又可写作
()()?
??+∞=b
a
c
b
a
dx y x f dy dx x I ,
定理2.6.4设()y x f ,在),[),[+∞?+∞c a 上连续，若 (1)
()?
+∞
a
dx y x f ,关于y 在任何闭区间],[d c 上一致收敛，()?
+∞
c
dy y x f ,关于x 在任何
闭区间],[b a 上一致收敛； (2)积分
(),a
c
dx f x y dy +∞
+∞
?
?
与(),c
a
dy f x y dx +∞+∞
??
中有一个收敛， 则
()()?
?
??
+∞
+∞
+∞+∞
=a
c
c
a
dx y x f dy dy y x f dx ,,
3 含参量瑕积分一致收敛判别法 3.1 含参量瑕积分的定义
设()y x f ,在区域),[],[d c b a ?上有定义，若对x 的某些值，d y =为函数()y x f ,的瑕点（以下的含参量瑕积分未加说明都同此）则称
()?d
c
dy y x f , (11)
为含参量x 的瑕积分.
3.2 含参量瑕积分一致收敛定义
对任给的正数ε，总存在某正数c d -<δ，使得当δη<<0时，对一切],[b a x ∈，
都有
(),d
d f x y dy η
ε-
则称含参量瑕积分(11)在],[b a 上一致收敛.
3.3 含参量瑕积分一致收敛性的判别法
定理3.3.1（柯西收敛准则） 含参量瑕积分
()?d
c
dy y x f ,
在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，存在不依赖于x 的0>δ，使得当
δηη<<<'0时，对一切[]b a x ,∈，都有
()'
,d d f x y dy ηη
ε--
(12)
证明 (必要性）由(11)在[]b a ,上一致收敛，故对任给的)(0c d -<>δε，存在0>δ，使得δηη<<<'
0时，有 (),2
d
d f x y dy η
ε-
与
'
(,)2
d
d f x y dy η
ε-
同时成立，则有
()()'
',(,),d d
d
d d d f x y dy f x y dy f x y dy ηη
ηη----=
-?
?? '
(,)(,)d
d
d d f x y dy f x y dy η
ηε--≤
+
?
（充分性）由所给条件知：对任给正数ε，存在不依赖于x 的)(0c d -<>δδ，使得当δηη<<<'
0时，对一切],[b a x ∈，都有
()'
,d d f x y dy ηη
ε--
成立.
令0'
→η，则有
(,)d
d f x y dy η
ε-
成立.
由定义知：含参量瑕积分)11(在],[b a 上一致收敛.
定理3.3.2 （魏尔斯特拉斯M 判别法）设有函数)(y g ，使得
(),(),,f x y g y a x b c y d ≤≤≤≤≤ (13) 若
?
d
c
dy y g )(收敛，则含参量瑕积分?d
c
dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.
证明 因为
?
d
c
dy y g )(收敛，所以由瑕积分的柯西收敛原理知：对于任给的0>ε，存
在)(0c d -<>δδ，对于任意的'
,ηη，且δηη<<<'0，有 ?
--<'
)(ηη
εd d dy y g
又由)13(可得
?
?
?
------<≤≤'
'
'
)(|),(||),(|
ηη
ηη
ηη
εd d d d d d dy y g dy y x f dy y x f
故由定理3.3.1知：含参量瑕积分
?
d
c
dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛.
定理3.3.3 （海涅归结原则） 含参量瑕积分
?
d
c
dy y x f ),(在],[b a 上一致收敛的充要条
件是：对任意递增数列)(),}({1+∞→→=n d A c A A n n 时，相应的函数项级数
)(),(1
1
1
x u dy y x f n n n A A n n
∑∑?
∞
=∞
==+ )14(
在],[b a 上一致收敛.
证明 （必要性）因为)11(在],[b a 上一致收敛，由定理5知：对任给的0>ε，必存
在)(0c d -<>δδ，当δηη<<<'
0时，对一切],[b a x ∈，总有
εηη
'
--d d dy y x f ),( )15(
成立.
令n n A d -=η，由)(∞→→n d A n 且n A 递增，则)(0∞→→n n η且递减.由数列极限定义，对上述0>δ，存在正整数N ，只要N n m >>时，就有δηη<< )()()(1x u x u x u m n n ++++ ? ? ++++= 1 1 ),(),(n n m m A A A A dy y x f dy y x f ? += 1 ),(m n A A dy y x f εηη<= ? +--1 ),(m n d d dy y x f 根据函数项级数柯西一致收敛准则，函数项级数)14(在],[b a 上一致收敛. （充分性） 用反证法，假设)11(在],[b a 上非一致收敛，则存在某一正数00>ε，使得)(0c d -<>?δδ，存在相应的δηη<<'<0和],[b a x ∈'，有 0),(εηη ≥'? ' --d d dy y x f 现取},1min{1c d -=δ，则存在1120δηη<<<及],[1b a x ∈，使得 12 1 ),(εηη≥? --d d dy y x f 一般的取)2}(,1 min{1≤-=-n n n n n ηηδ，则有n n n δηη<<<+10及],[b a x n ∈，使得 01 ),(εηη≥? +--n n d d dy y x f )16( 令n n d A η-=，则}{n A 是递增数列，且有d A n n =∞ →lim .考察级数 ∑∑? ∞=∞ =+=1 1 1 ),()(n n A A n n n dy y x f x u )17( 由)16(式知存在正数00>ε，对任意正整数N ，只要N n >就有某个],[b a x n ∈，使 01 ),()(ε≥= ? +n n A A n n dy y x f x u 这与函数项级数)14(在],[b a 上一致收敛的条件矛盾，故)1(在],[b a 上一致收敛. 定理3.3.4（狄利克雷判别法）若含参量瑕积分 ? d c dy y x g y x f ),(),( 满足： )1(对一切d d c <'<，含参量正常积分 ? ' d c dy y x f ),(对参量x 在],[b a 上一有界，即 存在正数M ，对任何d d c <'<及一切],[b a x ∈，有 M y x f d c ≤? ' ),( )2(对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 关于y 单调且当d y →时，对参量),(,y x g x 一 致收敛于0.则含参量瑕积分 ? d c dy y x g y x f ),(),( 在],[b a 上一致收敛. 定理3.3.5 （阿贝尔判别法） 若含参量瑕积分 ? d c dy y x g y x f ),(),( 满足： )1(含参量瑕积分 ? d c dy y x f ),( 在],[b a 上一致收敛； )2(对每一个],[b a x ∈，函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量),(,y x g x 在],[b a 上一致有界，则含参量瑕积分 ? d c dy y x g y x f ),(),( 在],[b a 上一致收敛. 定理3.3.6 设),(y x f 在),[],[d c b a ?上连续，对任何? ∈d c dy y x f b a x ),(], ,[收敛，且 ? d c dy y b f ),(发散，则?d c dy y x f ),(在),[b a 上不一致收敛. 证明 用反证法.若 ? d c dy y x f ),(在),[b a 上一致收敛，由柯西收敛准则：对任给的 0>ε，存在)(0c d -<>δδ，当δηη<<'<0时，对一切),[b a x ∈有 εηη ' --d d y x f ),( 根据假设),(y x f 在],[],[ηη'--?d d b a 上连续，对含参量正常积分应用连续性定理，令 -→b x ，有 εηη ≤? ' --d d dy y b f ),( 这与假设含参量瑕积分 ? d c dy y b f ),(发散矛盾.故 ? d c dy y x f ),( 在),[b a 上不一致收敛. 4 典型例题 例4.1 证明含参量反常积分 dx x xy ? +∞ +0 2 1cos )18( 在),(+∞-∞上一致收敛. 证明 由于对任何实数y 有 2 211 1cos x x xy +≤ +， 及反常积分 ? +∞ +0 2 1x dx 收敛，故由魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量反常积分)18(在),(+∞-∞上一致收敛. 例4.2 证明含参量反常积分 ? +∞ -0 sin dx x x e xy )19( 在],0[d 上一致收敛. 证明 由于反常积分dx x x ? +∞ sin 收敛（当然，对于参量y ，它在],0[d 上一致收敛），函数),(y x g xy e -=对每个],0[d y ∈单调，且对任何0,0≥≤≤x d y 都有 1),(≤=-xy e y x g 故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分)19(在],0[d 上一致收敛. 例4.3 证明含参量瑕积分 dy x y xy ? -1 sin ))1,0((∈x 在)1,0(上一致收敛. 证明 因为 dy x y xy dy y x xy dy x y xy x x ?? ? -+-=-10 1 sin sin sin 所以对于含参量瑕积分 dy y x xy x ? -0 sin ， 由于 ?? ---≤-x x x x y x xy dy y x xy ηη sin sin ηη 21 =-≤? -dy y x x x 故对于任给的0>ε，取4 2 1ε δ=，当10δη<<时，即有 εη <-? -x x y x xy sin 因此，对于10< dy x y xy x ? -1 sin 由于 ηηη 2sin =-≤-?? ++x x x x x y dy dy x y xy 故对于任给的0>ε，取4 2 1ε δ=，当10δη<<时，即有 εη <-? +x x dy x y xy sin 因此，对于10< dy x y xy ? -1 sin 对于)1,0(∈?x 一致收敛. 例4.4 证明含参量瑕积分?1 )ln(dy xy 在],1[b b )0(>b 上一致收敛. 证明 由条件可知 y x xy ln ln )ln(+= y x ln ln +≤ y b ln ln -≤ 而 ?1 )ln(dy xy 收敛.所以由魏尔斯特拉斯M 判别法知： ?1 )ln(dy xy 在)1](,1[>b b b 上一致收敛. 例4.5 证明含参量瑕积分 dy y e xy 11 ? - 在],0[d 一致收敛. 证明 由于 dy y ? 1 1 收敛（当然，对于参量x ，它在],0[d 上一致收敛）. 函数xy e y x g -=),(，对每个],0[d x ∈单调，且对任何10,0≤≤≤≤y d x ，都有 1),(≤=-xy e y x g ，故由阿贝尔判别法知 dy y e xy 11 ? - 在],0[d 上一致收敛. 结束语 本文首先介绍了含参量无穷限积分的定义,性质及其一致收敛性判别定理.然后参照含参量无穷限反常积分的方法建立了含参量瑕积分的一致收敛性判别定理.最后结合典型例题说明这些定理在实际解题中的运用. 参考文献 [1] 华东师范大学数学系编,数学分析[M],北京高等教育出版社,2001. [2] 复旦大学数学系编,数学分析[M],北京高等教育出版社,1985． [3] 钱吉林等主编,数学分析习题解精粹[M],上海崇文书局，2003． [4] 吉米多维奇数学习题集[M],北京人民教育出版社,1978． [5] 裴礼文,数学分析中典型问题与方法[M],北京高等教育出版社,1993. [6] Tom M. Apostol,Mathematical Analyses [M], Beijing China Machine Press, 2004. Uniform Convergence Criteria and Extention of the Parameter Improper Integral Author:Jiang Bixi Supervisor: Zhang Hai Abstract In this paper,we mainly show the concepts and properties of the parameter improper integral,which contains the improper integral with parameters and the flaw integral with parameters .On the basis of improper integral with parameters,we develop the corresponding uniform convergence of the flaw integral with parameters.Finally,some typical examples are given to illuminate the applications of the theorems. Keywords improper integral with parameters flaw integral with parameters uniform convergence 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 页脚内容278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞+a dx x )(?和?∞+a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞+a dx x )(?收敛时?∞+a dx x f )(也收敛； 当?∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε?< ?')(. 于是 ≤ ?'A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K ， 所以?∞+a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时，?∞+a dx x )(?也发散；但当?∞+a dx x f )(收敛时，?∞+a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞+1)(dx x ?，则当21< =p x x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散，而对于?∞+1)(dx x ?，则当12 1≤ p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）. 证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛； 第十九章含参量积分 一.填空题 1.若在矩形区域上_________,则 2.含参量反常积分 在____________上一致收敛. 3.设在上连续,若含参量反常积分 在上___________,则在上连续. 4. 5.在中如令, 则 6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为 7. 在上不一致收敛是指______________. 8. 9. 设, 则 10. 利用函数定义, 二.证明题 1. 证明在上一致收敛. 2. 证明在上一致收敛. 3.证明若函数在连续, 则, 有 4.证明在上非一致收敛. 5.证明 6.证明在上一致收敛. 7. 证明在上不一致收敛. 8. 证明 9. 证明 10. 证明在R上连续. 计算题1. 求 2. 求 3.设. 求 4. 求 5.用函数与B函数求积分 6.用函数与B函数求积分 7.求积分 8.从等式出发, 计算积分 9.设. 求 10.求 填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. 5.. 6. . 7. , 有 8. 1 9. . 10. . 证明题答案: 1. 证明: , 有 , 而收敛, 则 在上一致收敛. 2. 证: , 有, 而, 则 在上一致收敛. 3证: 已知在连续, 使. 设, 有 于是, 4.证: , 有 . 即在上非一致收敛. 5.证: 设有 . 6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知 在上一致收敛. 7. 证: 因在处不连续, 而在 内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛. 8. 证: 令, 则. 9. 证: 令则, . 10. 证： 反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛； 2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6. 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法 摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足 含参量反常积分的一致收敛判别法及推广 作者：蒋碧希 指导老师：张海 摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性 质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用. 关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛 1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用. 2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? (1) 都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有 ()(,),[,],c I x f x y dy x a b +∞ =∈? (2) 称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 2.2 含参量反常积分的一致收敛概念 若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有 (,)()M c f x y dy I x ε- (,)M f x y dy ε+∞ ，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε?ε,0>?M ,M A A >?21,时，使得],[b a x ∈?时，有 1 (,)2A f x y dy ε+∞ ?>?M ε，当M A A >21,时， 有 2 1 (,)A A f x y dy ε，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切 ],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21< §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- 题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名 学号 系别数学系 年级2010级 专业数学与应用数学 指导教师 职称 完成日期 摘要 含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法 Abstract Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression. Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis 目录 1引言 (1) 2基本概念 (1) 2.1含参量反常积分 (1) 2.2含参量反常积分一致收敛 (2) 3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2) 3.1定义法 (2) 3.2柯西准则法 (3) 3.3变上限积分的有界性法 (3) 3.4确界法 (4) 3.5微分法 (5) 3.6级数判别法 (6) 3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6) 3.8狄里克莱判别法 (8) 3.9阿贝尔判别法 (8) 4结束语 (1) 参考文献 (10) 致谢 (11) 内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分 目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10. 含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε- 第十一章反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议： 讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若[,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为，有万有引 力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< §2 含参量反常积分 一 一致收敛性及其判别法 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? （1） 都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有 ()(,),c x f x y dy x I φ+∞ =∈? ， （2） 称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。 如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。 定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。都有 (,)()c f x y dy x φε+∞ -，使得当1 2 ,M A A >时，对一切x I ∈， 都有 1 2 (,)A f x y dy A ε），但在()0,+∞内不一致收敛。 学年论文（本科） 学院数学与信息科学学院 专业数学与应用数学 年级2011级 姓名蒋丽 论文题目含参量反常积分的一致收敛性的判别方法指导教师胡旺职称教授 成绩 2014年 3月14日 目录 摘要 (1) 关键词 (1) Abstract (1) Keywords (1) 前言 (1) 1.定义 (3) 2.含参量反常积分一致收敛性的判别法 (3) 结束语 (7) 参考文献 (7) 含参量反常积分的一致收敛性的判别方法 学生姓名:蒋丽 学号：20115031005 数学与信息科学学院 数学与应用数学专业 指导老师：胡旺 职称： 教授 摘 要: 本文从含参量反常积分的定义及含参量反常积分的一致收敛的定义出发,叙述 了含参量反常积分的一致收敛性的四种判别法,并且给出了一些例子. 关键词: 区域;收敛;一致收敛 The judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramer Abstract :This article summarizs four kinds of judgement methods of uniform convergence on improper integrals with paramer according to the definitions of improper integrals with aramer and uniform convergence on improper integrals,and give some examples. Key Words : region; convergence; uniform convergence 前言 含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,研究含参量反常积分及其一致收敛性,可以为分析讨论函数的性质打下坚实的基础.本文归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的五种方法:一致收敛定义、魏尔斯特拉斯M 判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点. 1.定义 定义1 设函数()y x f ,定义在无界区域{}(,),R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (),c f x y d y +∞ ? (1) 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(),c I x f x y dy +∞ = ? ，[],x a b ∈, (2) §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 & 定理 无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()2 2 1 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- 3. 含参量的反常积分一致收敛性判别法 Weierstrass 判别法 设函数(,)f x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的； （b ） 存在()x ?，使得 ()a x dx ?+∞ ?收敛，且 (,)(), [,)f x t x x a ?≤∈+∞； 则反常积分(,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈绝对一致收敛，亦即，反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致 收敛. 我们称定理中的()x ?为(,)f x t 的优函数. Abel 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 若反常积分 (,)a f x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛； （b ） (,)g x t 是x 的单调函数，且存在常数0L >（与[,)x a ∈+∞、t T ∈无关），使得 (,)g x t L ≤； 则反常积分 (,)(,)a f x t g x t dx +∞ ? 关于t T ∈一致收敛. Dirichlet 判别法 设函数(,)f x t 、(,)g x t 定义在 {}(,):,D x t a x t T =≤<+∞∈?R 中，若 （a ） 对于每个A a >，(,)f x t 在[,]x a A ∈上为R-可积的，且积分 (,)A a f x t dx ?关于t T ∈ 一致有界，亦即，0M ?>（与A 、t 无关），使得 反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院 专业数学与应用数学 年级 2012级 学号 2 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩 75分 目录 摘要 (1) 关键词 (1) 引言 --------------------------------------------------------------------- -------------------2 一、预备知识 (2) 1.无穷限反常积分 (2) 2.瑕积分 (3) 3.反常积分的性质 (3) 二、反常积分的收敛判别法 (4) 1无穷积分的收敛判别 (4) (1).定义判别法 (4) (2).比较判别法 (4) (3).柯西判别法 (5) (4)阿贝尔判别法 (6) (5).狄利克雷判别法 (7) 2瑕积分的收敛判别.................................................. . (8) (1).定义判别法 (8) (2).定理判别法 (9) (3).比较判别法 (9) (4).柯西判别法 (9) (5).阿贝尔判别 法 (10) (6).狄利克雷判别法 (10) 参考文献 (11) 摘要 在很多实际问题中，要突破积分区间的有穷性和被积函数的有界性，由此得到了定积分的两种形式的推广：无穷限反常积分和瑕积分。我们将这两种积分统称为反常积分。因为反常积分涉及到一个收敛问题，所以反常积分的敛散性判定就显得非常重要了。本文将对反常积分的敛散性判定进行归纳总结，并给出了相关定理的证明，举例说明其应用，这样将有助于我们灵活的运用各种等价定理判断反常积分的敛散性。 关键词：反常积分瑕积分极限敛散性 学士学位毕业论文设计 数列收敛的判别法 所在系别：数学与应用数学系 专业：数学与应用数学 目录 中文摘要--------------------------------------------------------------------I 英文摘要-------------------------------------------------------------------II 前言------------------------------------------------------------------III 第一章数列极限的概念--------------------------------------------------------1 1.1 数列极限的定义-------------------------------------------------------1 1.2 收敛数列的定义-------------------------------------------------------2第二章判别数列收敛的方法----------------------------------------------------3 2.1 定义法---------------------------------------------------------------3 2.2 单调有界定理---------------------------------------------------------6 2.3 迫敛性定理-----------------------------------------------------------8 2.4 柯西收敛准则---------------------------------------------------------9 2.5 关于子列的重要定理--------------------------------------------------12参考文献-------------------------------------------------------------------14致谢-----------------------------------------------------------------------15 1 引言 无限区间上的积分或无界函数这两类积分叫作广义积分,又名反常积分.在讨论定积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性。但在许多实际问题中往往需要突破这些限制，这两个约束条件限制了定积分的应用，因为许多理论和实际中往往不满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间或者无界函数的积分问题，而将这两个约束条件取消，就得到了定积分的两种形式的推广：将函数的积分从积分区间有界扩展到了积分区间无界的无穷积分和被积函数有界扩展到了无界函数的瑕积分,这两种积分就是通常所说的反常积分或广义积分. 广义积分是伴随数学的发展而发展起来的近代数学，作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决了许多计算上的难题，也为其他科学的发展起到了促进作用，应用十分广泛.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题，由于反常积分的重要性，所以，对反常敛散性的探讨，也就显得十分必要了.在一致收敛意义下，极限与积分、求导与积分、积分与积分都是可以交换顺序.于是判断含参广义积分的一致收敛性变得尤为重要. 1. 含参量的广义积分 和一元函数的定积分一样，可以将含参变量的广义积分进行推广，形成含参量的广义积分。从形式上讲，含参量的广义积分也应有两种形式：无穷限形式的广义积分和无界函数的广义积分，由于二者之间可以相互转化，我们仅以无穷限广义积分为例讨论其性质。 1.1无穷限广义积分的定义 定义1：设),(y x f 为定义在[)I a D ?+∞=,（I 为某区间，有界或无界）的二元函数，形如dx y x f a ? +∞),(的积分称为含参变量y 的广义积分。 从定义形式决定研究内容： 广义积分是否存在-----收敛性问题 与一元函数广义积分相区别的是：由于含参量积分的结果不再是一个单纯的数值，而是一个函数，这就决定了含参量广义积分的收敛性问题中，不仅要有收敛性而且还必须讨论收敛性与参量之关系，由此形成一致收敛性。 1.1.2 含参量广义积分的收敛和一致收敛。 定义2：设),(y x f 定义在[)I a D ?+∞=,，若对某个I y ∈0，广义积分dx y x f a ?+∞),(0在0y 点收敛，则称含参量广义积分dx y x f c ?+∞),(在0y 点收敛；若dx y x f c ? +∞ ),(在I 中每 一点都收敛，称含参量广义积分dx y x f a ?+∞),(在I 上收敛. “δε-”定义： dx y x f a ? +∞ ),(在I 上收敛是指：对每个I y ∈，a y A >?>?),(,00εε，使当 0,A A A >'时， ε
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