整数和整除
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1．理解并掌握整数、整除的概念；
2．理解并掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系；
3．知道一个数的因数和倍数的求法。
1.整数
（1）零和正整数统称为自然数；
（2）正整数、零、负整数，统称为整数。
正整数自然数
整数零
负整数
思考题：(1)是否有最小的自然数？
(2)是否有最大的正整数和最小的正整数？最大的负整数和最小的负整数呢？
(3)有多少个自然数？正整数？负整数？
2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a. 例如：24÷2＝12，我们就说24能被2整除，或者说2能整除24.
注意整除的条件：（1）除数、被除数都是整数；
（2）被除数除以除数，商是整数而且余数为0.
3.除尽与整除
（1）相同点：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除；
（2）不同点：整除中被除数、除数和商都是整数，余数为零；
除尽中被除数、除数和商不一定是整数，余数为零.
4.因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或约数）
注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在,
5.一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身.
6.一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身.
【例1】从下列数中选择适当的数填入相应的圈内：
—32，10， 2.15，—11.5，0，18，5.5，25
自然数正整数负整数整数
【例2】下列算式中，被除数能被除数整除的是（）A. 25÷4 B. 25÷0.5 C. 2.5÷5 D. 5÷5
【例3】从下列算式中选择适当的算式填入相应的圈内。
25÷4
25÷
6.3÷8
25÷6
5
【例4】已知12÷4=3，根据此式，判断下列说法中，不正确的是（）A.12是4的倍数 B.12是倍数
C.4是12的因数
D.4是12的约数
【例5】分别写出16的所有因数，它有多少个，最大的和最小的是几？
【例6】写出2的倍数，你能写出多少个？
1.将下列各数进行归类。
12，－7，0，0.4，－23，91，－8.75
正整数：______________________________________________________；
负整数：______________________________________________________；
整数：______________________________________________________；
2.判断对错。
（1）自然数的个数是有限的。（）
（2）0既不是正整数，也不是负整数。（）
（3）最小的整数是1.（）
3.下列算式属于整除的是：
A. 2.6÷1.3=2
B. 26÷13=2
C. 23÷13=1…10
D. 26÷130=0.2
4.在下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在后面打“√”，不能整除的打“×”。（1）72和36 （2）17和34
（3）20和5 （4）0.5和5
（5）18和3 （6）19和38
（7）0.2和4 （8）17和3
5. 对下列各数进行分类。
2，3，4，5，6，12，15，18，20，24，30，60
60的因数：_______________________________________________；
6的倍数：________________________________________________；
6.分别写出下列四个数的所有因数，再分别写出这四个数的倍数（只需要从小到大写出3个即可。）12，18，30，36
7.能整除18，又能整除30的整数有几个？最大是多少？
1. 判断题（对的打“√”，错的打“×”）
（1）0是最小的自然数。 （ ）
（2）正整数是自然数。 （ ）
（3）正整数和负整数统称为整数。 （ ）
（4）整数包括自然数和负整数。 （ ）
2. 在下列除法算式中，被除数能被除数整除的是（ ）
A. 9.037.2=÷
B. 5525=÷
C. 3.226.4=÷
D. 5.6213=÷
3. 在下列各组数中，第一个数不能被第二个数整除的是（ ）
A. 51和3
B. 21和7
C. 18和1
D. 4和0.5
4. 下列说法中，正确的是（ ）
A. 小数一定比整数小
B. 1是最小的整数
C. a ÷b 的商是整数，那么a 能被b 整除
D. 负整数和自然数统称为整数
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身；
B. 一个正整数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身；
C. 12在100以内的倍数共有10个；
D. 一个数既是16的因数，又是16的倍数，这个数就是16；
6. 除式21÷5=4…1，如果除数不变，要使这个除式成为整除，那么被除数至少增加_______，这时候商为_________；
7. 一个长方形的长和宽都是自然数，面积是36平方米，这样的长方形共有多少种不同的形状？
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
1．下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在后面的括号内打“√”。
（1）50和25 （ ） （2）16和32 （ ）
（3）2.1和0.3 （ ） （4）15和4 （ ）
（5）13和3 （ ） （6）18和6 （ ）
2．填空
（1）一个数的最小倍数减去它的最大因数，差是_________；
（2）一个数的最小倍数除以它的最大因数，商是_________；
（3）一个自然数比20小，它既是2的倍数，又有因数7，则这个自然数是________；
（4）如果a 的最大因数是17，b 的最小倍数是1，则a+b 的和的所有因数有______个；b a -的差的所有因数有______个；b a ?的积的所有因数有______个；
（5）比6小的自然数中，既是2的倍数，又是2的因数的数是_________；
3．选择题
（1）15的最大因数是（ ）
A. 1
B. 3
C. 5
D. 15
（2）在14=2×7中，2和7都是14的（ ）
A. 因数
B. 倍数
C. 偶数
D. 奇数
（3）一个数，既是12的倍数，又是12的因数，这个数是（ ）
（4）36的因数共有：
A. 2个
B. 8个
C. 9个
D. 12个
4．从下列数中选择适当的数填入相应的横线上：
1 2- 0 25% 27 0.3 100- 56
自然数：__________________________________________________；
负整数：__________________________________________________；
整 数：__________________________________________________；
5．把下面的算式填入相应的横线上：
630÷ 5120÷ 675÷ 62÷ 168÷ 1248÷ 整除：________________________________________________________；
除尽：________________________________________________________；
6．老师问：“当a=3.6，b=0.9时，a 能被b 整除吗？”一个同学回答：“因为商是4，是整数，所以a 能整除b 。”你认为对吗？
7．整数a 能被整数b 整除，它的商是c ，那么整数2×a 能被整数b 整除吗？若能整除，商是多少？若不能整除，请说明理由。
8．一个小于30的自然数，既是8的倍数，又是12的倍数，这个数是多少？
整数和整除 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1．理解并掌握整数、整除的概念； 2．理解并掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系； 3．知道一个数的因数和倍数的求法。
1.整数 （1）零和正整数统称为自然数； （2）正整数、零、负整数，统称为整数。 正整数自然数 整数零 负整数 思考题：(1)是否有最小的自然数？ (2)是否有最大的正整数和最小的正整数？最大的负整数和最小的负整数呢？ (3)有多少个自然数？正整数？负整数？ 2.整除：整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a. 例如：24÷2＝12，我们就说24能被2整除，或者说2能整除24. 注意整除的条件：（1）除数、被除数都是整数； （2）被除数除以除数，商是整数而且余数为0. 3.除尽与整除 （1）相同点：除尽与整除，都没有余数；除尽中包含整除； （2）不同点：整除中被除数、除数和商都是整数，余数为零； 除尽中被除数、除数和商不一定是整数，余数为零. 4.因数和倍数：整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数（或约数） 注意：因数和倍数是相互依存的，不能单独存在, 5.一个整数的因数中最小的因数是1，最大的因数是它本身. 6.一个整数没有最大的倍数，而最小的倍数是它本身.
1.1整数和整除的意义 一． 回顾与思考 1.在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 2.在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 3. 0既不是正整数，也不是负整数 那么0究竟是什么含义呢？ 1. 0表示没有物体 2. 0表示计算过程中某种量的基准数 例题：把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、1.23、76 、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数 12. 2005. 9 12. 0 .2005 9 12. -6. 0 . 2005. 9 二．新课的讲解 1.零和正整数统称为自然数。 2.正整数、零和负整数，统称为整数。 整数的分类 思考，想一想：有多少个整数呢？ 无数个 又有多少个自然数呢？ 无数个 是否存在最小的自然数？ 0 是否有最大的自然数呢？ 没有 是否有最小的整数？ 没有 是否存在最大的整数？ 没有 是否存在最小的正整数？ 1 三、建立整除的概念 1.观察与思考 （1）18÷9=2 169÷13=13 144÷12=12 （2）176÷5=35…1 17÷10=1.7 6÷5=1.2 请你试着说说看，什么是整除？ 2.整除的定义
整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 a÷ 6÷3=2 6能被3整除，3能整除6 6÷5=1.2 6不能被5整除，5不能整除6 做一做课堂练习： 判断：4能被2整除？√ 2能被4整除？× 想一想：4能被哪些数整除？ 4能被 1.2.4 整除 1.2.4 能整除 4 区别整除与除尽 整除：被除数和除数----都是整数，除数不等于0，商----商是整数，余数为0 除尽：被除数和除数----不一定是整数，除数不等于0，商----商是整数或有限小数，没有余数 其实，整数是除尽的一种特殊形式 例题讲解： 例题1 ：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？ 10÷3 48÷8 6÷4 例题2 ：2.6÷1.3=2，能不能说2.6能被1.3整除？ 答：因为被除数和除数都不是整数，所以不能说2.6能被1.3整除 注意整除的条件： 除数、被除数都是整数 被除数除以除数，商是整数而且余数是0. 学与练 一：判断 自然数的个数是有限的× 2.5能被5整除× 0既不是正整数也不是负整数 a÷b=11 则b一定能整除a 最小的整数是1 填空
整数和整除的意义 教学目标： 1.理解整除和自然数的意义； 2.知道整除的要素，掌握整除的两种表达方式； 3.了解分类、集合思想。 教学重点与难点: 重点：理解和掌握整除的概念。 难点：运用整数和整除的知识解决实际问题。 教学过程： 一、整数 1.回顾整数 首先我们来复习回顾一下小学学过的有关整数的相关知识。 教师在黑板上随机画几何图形，学生说出其个数。这些数称之为正整数。 教师归纳，我们用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，···叫做正整数。 生活中，我们都会用到正整数。如日历表中的日期都是用正整数表示的，请同学们再举几个例子。 有正整数就有负整数，那么什么是负整数请同学回答。 负整数：在正整数1,2,3,4,5，···的前面添上符号“-”，得到的数-1，-2，-3,-4，-5， 叫做负整数。 仔细观察，我们发现，正整数和负整数中都不包含0。说明零既不是正整数，也不是负整数。那么零究竟是什么含义请同学们思考作答。 零的意义：1.表示没有物体； 2.表示计量过程中某种量的基准数。（这层含义教师可做引导） 因此，正整数，零，负整数统称为整数。 零和正整数统称为自然数。（为什么将它们称为自然数因为这些数是我们在数数时自然产生的）
（提示记笔记） 我们从0开始逐次加1，得到了一列以0为首的自然数，如果一直加下去，能得到的自然数没有尽头，即没有最大的自然数。 同样，从0开始逐次减1，得到负整数，如果一直减下去，能得到的负整数也没有尽头，即（学生回答）没有最小的负整数。 思考：1.是否有最小的自然数 2.是否有最大的正整数和最小的正整数最大的负整数和最小的负整数呢 3.有多少个自然数正整数负整数 练习1.完成书后练习1。学生回答。 练习2.判断对错： 1) 自然数的个数是有限的。（ ） 2) 0既不是正整数，也不是负整数。（ ） 3) 最小的整数是1。（ ） 二、 整除 思考：某班35名同学去秋游，若想分成人数相等的几个小组进行活动，可以怎样分组 下列算式的被除数和除数都是整数，算一算它们的运算结果有什么不同 321224÷÷ 2556÷÷ 3 32725÷÷ 通过计算我们可以发现，第一组算式所得的商是整数，余数为0，第二组算式所得的商是小数，第三组算式除不尽。 像第一组这样的算式，我们称之为整除。请同学阐述整除的概念，教师可做引导。 整除：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a 。 三整一零才整除 c b a =÷（a 、b 、c 都是整数，且0≠b ）
1.1 整数和整除的意义 教学目标： 1.理解整除和自然数的意义； 2.知道整除的要素，掌握整除的两种表达方式； 3.了解分类、集合思想。 教学重点与难点: 重点：理解和掌握整除的概念。 难点：运用整数和整除的知识解决实际问题。 教学过程： 一、整数 1.回顾整数 首先我们来复习回顾一下小学学过的有关整数的相关知识。 教师在黑板上随机画几何图形，学生说出其个数。这些数称之为正整数。 教师归纳，我们用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，···叫做正整数。 生活中，我们都会用到正整数。如日历表中的日期都是用正整数表示的，请同学们再举几个例子。 有正整数就有负整数，那么什么是负整数？请同学回答。 负整数：在正整数1,2,3,4,5，···的前面添上符号“-”，得到的数-1，-2，-3,-4，-5， 叫做负整数。 仔细观察，我们发现，正整数和负整数中都不包含0。说明零既不是正整数，也不是负整数。那么零究竟是什么含义？请同学们思考作答。 零的意义：1.表示没有物体； 2.表示计量过程中某种量的基准数。（这层含义教师可做引导） 因此，正整数，零，负整数统称为整数。 零和正整数统称为自然数。（为什么将它们称为自然数？因为这些数是我们在数数时自然产生的）
（提示记笔记） 我们从0开始逐次加1，得到了一列以0为首的自然数，如果一直加下去，能得到的自然数没有尽头，即没有最大的自然数。 同样，从0开始逐次减1，得到负整数，如果一直减下去，能得到的负整数也没有尽头，即（学生回答）没有最小的负整数。 思考：1.是否有最小的自然数？ 2.是否有最大的正整数和最小的正整数？最大的负整数和最小的负整数呢？ 3.有多少个自然数？正整数？负整数？ 练习1.完成书后练习1.1/1。学生回答。 练习2.判断对错： 1) 自然数的个数是有限的。（ ） 2) 0既不是正整数，也不是负整数。（ ） 3) 最小的整数是1。（ ） 二、 整除 思考：某班35名同学去秋游，若想分成人数相等的几个小组进行活动，可以怎样分组？ 下列算式的被除数和除数都是整数，算一算它们的运算结果有什么不同？ 321224÷÷2556÷÷3 32725÷÷ 通过计算我们可以发现，第一组算式所得的商是整数，余数为0，第二组算式所得的商是小数，第三组算式除不尽。 像第一组这样的算式，我们称之为整除。请同学阐述整除的概念，教师可做引导。 整除：整数a 除以整数b ，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说a 能被b 整除；或者说b 能整除a 。 三整一零才整除
自然数 1.1整数和整除的意义 回顾与思考 1. 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4 ....... ,叫做正整数。 2. 在正整数1、2、3、4……的前面添上“一”号，得到的数-1、-2、-3、-4……,叫 做负整数。 3. 0既不是正整数，也不是负整数 那么0究竟是什么含义呢？ 1. 0表示没有物体 2. 0表示计算过程中某种量的基准数 例题：把下列各数填在适当的圈内: 6 7、2005、-19. 6> 9 新课的讲解 1.零和正整数统称为自然数。 2.正整数、零和负整数，统称为整数。 整数的分类 思考，想一?想：有多少个整数呢？ 无数个 又有多少个自然数呢？ 是否存在最小的自然数？ 是否有最大的自然数呢？ 无数个 0 没有 是否有最小的整数？ 没有 是否存在最大的整数？ 没有 是否存在最小的正整数？ 1 三、建立整除的概念 .200 5 12、-6、0、
1.观察与思考 (1)1899=2 169^13=13 144912=12 (2)176^5=35-1 17^10=1.7 6：5 二 1.2 请你试着说说看，什么是整除？ 2.整除的定义 整数&除以整数b,如果除得的商是整数而余数为0,我们就说&能被b整除，或者说 b能整除a。 a：b二c (a. b. c都是整数且b不等于0 ) 64-3=2 6能被3整除，3能整除6 64-5=1. 2 6不能被5整除，5不能整除6 做一做课堂练习： 判断：4能被2整除？ J 2能被4整除？ X 想一想：4能被哪些数整除？ 4能被1.2.4整除 1.2.4能整除4 区别整除与除尽 整除：被除数和除数一一都是整数，除数不等于0, 商一一商是整数，余数为0 除尽：被除数和除数一一不一定是整数，除数不等于0,商一一商是整数或有限小数, 没有余数 其实，整数是除尽的一种特殊形式 例题讲解： 例题 1 ：下列哪一个算式的被除数能被除数整除？10^3 4898 694
1.1 整数和整除的意义 教学流程 提出问题 分类讨论 组间交流 总结归纳 教学目标 1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义． 2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念． 3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。 重点、难点 理解和掌握整除的概念。 教学过程 一、 建立整数和自然数的概念： 1、请你在卡片上写上一个数字，然后把它贴在黑板上。你能根据一定的依据把这些数来分一分类吗？并说明理由。（小组讨论） （小组讨论、归纳、交流） 归纳： 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 零和正整数统称为自然数。 正整数、零和负整数，统称为整数。 2、把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、1.23、 7 6、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数 二、 建立整除的概念：
1、你能在你的卡片上很快写出一个除法算式并贴上黑板吗？（学生写完后任意贴。） 2、你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗？并说明理由。（小组讨论）我们小组的分类：（根据需要填写） 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 分类的理由： 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 3、请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？ 归纳： 整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除 10÷3 48÷8 6÷4（教师板演） 3、互动游戏： 一位同学说一个除法算式，同桌判断是不是整除？并说明谁能被谁？谁能整除谁？ 教师引导归纳； （1）除数、被除数都是整数。 （2）被除数除以除数，商是整数而且没有余数。 练习： P 5 2 4、一展身手： （1）有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？（2）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：
1.1 整数和整除的意义 教学设计： 整数和整除的意义是六年级的第一节课，为此在教学设计中比较注重学生学习兴趣的培养和数学学习方法的体验。对于整数和整除这两个比较抽象的概念从学生的实际生活和年龄特点出发，体现数学知识的形成是从具体到抽象的过程。在理解概念的基础上，通过一些辨析题起到巩固知识的目的。 教学流程 提出问题 分类讨论 组间交流 总结归纳 教学目标 1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义． 2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念． 3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。 重点、难点 理解和掌握整除的概念。 教学过程 一、 建立整数和自然数的概念： 1、请你在卡片上写上一个数字，然后把它贴在黑板上。你能根据一定的依据把这些数来分一分类吗？并说明理由。（小组讨论） （小组讨论、归纳、交流） 归纳： 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 零和正整数统称为自然数。 正整数、零和负整数，统称为整数。 2、把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、1.23、 7 6、2005、-19.6、9
正整数自然数整数 二、建立整除的概念： 1、你能在你的卡片上很快写出一个除法算式并贴上黑板吗？（学生写完后任意贴。） 2、你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗？并说明理由。（小组讨论）我们小组的分类：（根据需要填写） 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 分类的理由： 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 3、请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？ 归纳： 整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除 10÷3 48÷8 6÷4（教师板演） 3、互动游戏： 一位同学说一个除法算式，同桌判断是不是整除？并说明谁能被谁？谁能整除谁？ 教师引导归纳； （1）除数、被除数都是整数。 （2）被除数除以除数，商是整数而且没有余数。
整数和整除的意义 教学流程 提出问题 分类讨论 组间交流 总结归纳 教学目标 1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义． 2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念． 3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。 重点、难点 理解和掌握整除的概念。 教学过程 一、 建立整数和自然数的概念： 1、请你在卡片上写上一个数字，然后把它贴在黑板上。你能根据一定的依据把这些数来分一分类吗并说明理由。（小组讨论） （小组讨论、归纳、交流） 归纳： 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 零和正整数统称为自然数。 正整数、零和负整数，统称为整数。 2、把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、、 7 6、2005、、9 正整数 自然数 整数
二、建立整除的概念： 1、你能在你的卡片上很快写出一个除法算式并贴上黑板吗（学生写完后任意贴。） 2、你能根据一定的依据把这些除法算式来分一分类吗并说明理由。（小组讨论）我们小组的分类：（根据需要填写） 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 分类的理由： 1、____________________________________________________________ 2、____________________________________________________________ 3、____________________________________________________________ 3、请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点 归纳： 整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除 10÷3 48÷8 6÷4（教师板演） 3、互动游戏： 一位同学说一个除法算式，同桌判断是不是整除并说明谁能被谁谁能整除谁 教师引导归纳； （1）除数、被除数都是整数。 （2）被除数除以除数，商是整数而且没有余数。 练习： P 5 2 4、一展身手：
教师： 学生： 时间: 年 月 日 段 一、 授课目的与考点分析： 整数和整除的意义、倍数和因数 二、授课内容： （一）、整数和整除的意义 1、 数的产生 你们知道自然数是怎样产生的吗？ 自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。人类是在生产劳动中，形成“有”和“无”的存在概念；“多”和“少”的比较概念的。 在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中，人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”，这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。例如，三头牛和三只羊，在数量上是同样多，人一只手的五个手指，既可以用来表示五个人，也可以用来表示五匹马。于是自然数就从事物集合中被抽象出来，自然数也就产生了。 以后随着社会的发展，数的概念逐渐推广。例如，由于生产的发展，自然数已不能满足需要，因而引人了分数。如，一片草地的一半是21，一半的一半就是4 1。 自然数：人们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，例如 0、1、2、3、4、5、……叫做自然数。 相邻的两个自然数间不再有自然数，不相邻的两个自然数之间，有有限个自然数存在。 2、 自然数的单位 任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。 任意一个非0自然数n ，都是n 个1相加的结果。由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。 自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。 3、 整数 整数； 正整数、零、负正整统称为整数。 正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，…… 负整数：小于0的整数叫负整数。负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。 最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。 4、 零 现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？ 零的性质： 1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。 2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。 3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。 4）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0） 5）任何数与0相加，值不变。 6）任何数与0相乘，积等于0。 7）任何数减去0它的值不变。 8）相同的两个数相减，差等于0。 9）0不能作除数。 龙文教育个性化辅导授课案
1.1整数和整除的意义 季路芳 教学设计： 整数和整除的意义是六年级的第一节课，为此在教学设计中比较注重学生学习兴趣的培养和数学学习方法的体验。对于整数和整除这两个比较抽象的概念从学生的实际生活和年龄特点出发，体现数学知识的形成是从具体到抽象的过程。 教学目标 1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义． 2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念,掌握两种表述方法． 3、在对整数概念的梳理中渗透分类思想，集合思想。 重点、难点 理解和掌握整除的概念 一． 回顾与思考 1.在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 2.在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 3. 0既不是正整数，也不是负整数 那么0究竟是什么含义呢？ 1. 0表示没有物体 2. 0表示计量过程中某种量的基准数，比如温度计。 二．新课讲解 1.零和正整数统称为自然数。 2.正整数、零和负整数，统称为整数。 整数的分类 例1：把下列各数填在适当的圈内： 100、-6、0、1.23、76 、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数
思考 有多少个整数呢？无数个 又有多少个自然数呢？无数个 是否存在最小的自然数？ 0 是否有最大的自然数呢？没有 是否有最小的整数？没有 是否存在最大的整数？没有 是否存在最小的正整数？ 1 三、建立整除的概念 1.观察与思考 （1）18÷9=2 169÷13=13 144÷12=12 （2）176÷5=35…1 17÷10=1.7 6÷5=1.2 请同学们仔细观察黑板上除法算式里的被除数、除数和商或结果，它们有什么不同的地方，每一组算式有什么特点？ 2.整除的定义 整数a除以整数b，如果除得的商是整数而余数为0，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。 a÷b=c (a.b.c都是整数且b不等于0 ) 6÷3=2 6能被3整除，3能整除6 6÷5=1.2 6不能被5整除，5不能整除6 做一做课堂练习： 判断：4能被2整除？√ 2能被4整除？× 想一想：4能被哪些数整除？ 4能被 1.2.4 整除 1.2.4 能整除 4 互动游戏： 一位同学说一个除法算式，同桌判断是不是整除？并说明谁能被谁？谁能整除谁？ 例题2：2.6÷1.3=2，能不能说2.6能被1.3整除？ 答：因为被除数和除数都不是整数，所以不能说2.6能被1.3整除
能被11整除的数的特征 能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如:判断491678能不能被11整除. —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除. 这种方法叫"奇偶位差法". 除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除. 又如:判断583能不能被11整除. 用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除. （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
1.1 整数和整除的意义 教学目标 1、在“分类——归纳”的过程中，理解自然数与整数的意义． 2、在“实验——猜想——归纳“的过程中，理解和掌握整除的概念． 3、通过各种方式，激发学生的交流、对话的意识，积极探索的精神，培养学生抽象概括与观察物的能力．并从而树立学好数学的自信心。 重点、难点 理解和掌握整除的概念。 一、 建立整数和自然数的概念： 在数物体的时候，用来表示物体个数的数1、2、3、4……，叫做正整数。 在正整数1、2、3、4……的前面添上“—”号，得到的数-1、-2、-3、-4……，叫做负整数。 零和正整数统称为自然数。 正整数、零和负整数，统称为整数。 2、把下列各数填在适当的圈内： 12、-6、0、1.23、7 6、2005、-19.6、9 正整数 自然数 整数 归纳： 整数a 除以整数b ，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a 能被b 整除，或者说b 能整除a 。 2、判断下列哪一个算式的被除数能被除数整除 10÷3 48÷8 6÷4 3、一展身手： （1） 有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法能？ 有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？ （2）一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说：全班共糊纸盒342个， 小马虎统计错了？为什么？ 1.2 因数和倍数 教学设计 因数和倍数是在整除基础上的进一步研究，因此在学生原有知识的基础上建立因数和倍数的概念，
关键是使学生理解因数和倍数之间的相互依存关系，同时也是对整除概念的进一步巩固。在教学设计中通过一些辨析题是学生更透彻的理解概念。在求一个数的因数和倍数的过程中培养学生的观察和归纳问题的能力，在学生学和解决问题的同时培养良好的学习习惯。 教学目标 1、理解和掌握因数和倍数的意义，了解因数和倍数相互依存的关系。会根据因数和倍数的意义描述两个数之间的关系。 2、知道一个数的因数和倍数的求法． 3．知道一个数的因数是有限个，一个数的倍数是无限个． 4、渗透初步的辩证唯物主义思想教育。激发学生的交流、对话的意识，培养学生数学语言的表达能力。重点、难点 1、理解和掌握因数和倍数的意义 2、引导学生探索并理解因数和倍数之间的相互依存的关系。 一、创设情景，引出概念 1、问题情景： 有12块边长是1个单位长度的的正方形可以拼成几个形状不同的长方形？它们的长和宽分别是多少？ 2、12与1、2、 3、 4、6、12有什么关系？ 3、火眼金睛：你认为哪些是对的,哪些是错的，错在哪儿？ (1)42÷6=7,所以42是6的倍数，6是42的因数 (2) 42÷6=7,所以42是倍数,6是因数 (3)42÷9=4┄┄6,所以42是9的倍数,9是42的因数 (4)4.2÷0.6=7 ,所以4.2是0.6的倍数,0.6是4.2的因数 (5)4.2÷0.6=7,所以4.2是0.6的7倍。 通过检测，你对倍数和因数有什么新的认识？ 二、求一个数的因数和倍数 1．例1 18的因数有哪几个？ 2、观察18、20、9的因数，你发现了什么？还发现了什么规律？ 2．例2 2的倍数有哪些？试着求出4、5的倍数 4、观察从上面几个例子，发现了什么？为什么一个数没有最大的倍数？ 归纳：一个数的倍数的个数是无限的。 最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 5、判断 （1）15的倍数一定大于15。…………………………………（）
整数和整除的意义、倍数和因数 （一）、整数和整除的意义 1、 数的产生 你们知道自然数是怎样产生的吗？ 自然数是在人类的生产劳动中逐渐产生的。人类是在生产劳动中，形成“有”和“无”的存在概念；“多”和“少”的比较概念的。 在长期、重复进行的“有”和“无”、“多”和“少”的存在和比较的过程中，人们逐渐认识到有很多物体的数量集合可以“一一对应”，这些“一一对应”的集合中的物体是同样多的。例如，三头牛和三只羊，在数量上是同样多，人一只手的五个手指，既可以用来表示五个人，也可以用来表示五匹马。于是自然数就从事物集合中被抽象出来，自然数也就产生了。 以后随着社会的发展，数的概念逐渐推广。例如，由于生产的发展，自然数已不能满足需要，因而引人了分数。如，一片草地的一半是21，一半的一半就是4 1。 自然数：人们在数物体的时候，用来表示物体个数的数，例如 0、1、2、3、4、5、……叫做自然数。 相邻的两个自然数间不再有自然数，不相邻的两个自然数之间，有有限个自然数存在。 2、 自然数的单位 任何一个非0自然数都是由若干个“1”组成的，所以“1”是自然数的单位。 任意一个非0自然数n ，都是n 个1相加的结果。由0开始，逐次进行“加1”运算，可以得到顺序排列（连续）的各个自然数。 自然数的个数是无限的，最小的自然数是“0”，没有最大的自然数。 3、 整数 整数； 正整数、零、负正整统称为整数。 正整数：非0自然数也叫正整数，即1，2，3，4，…… 负整数：小于0的整数叫负整数。负整数的表示方法是在整数前面加上“–”（读作负）号。 最大的负整数是–1，没有最小的负整数，没有最大的整数。 4、 零 现在我们知道0是一个数，是最小的自然数。那么，你们有谁知道零有哪些性质和作用？ 零的性质： 1）0是一个自然数，并且是一个整数，且小于一切非0自然数。 2）0是偶数；在十进制记数法中起占位作用。 3）0可以表示一个物体都没有，也可以表示确定的内容，例如：飞机零点起飞。 4）0是任意非0自然数的倍数（0除以任意非0自然数的结果为0） 5）任何数与0相加，值不变。 6）任何数与0相乘，积等于0。 7）任何数减去0它的值不变。 8）相同的两个数相减，差等于0。 9）0不能作除数。 10）0是唯一的一个中性数，既不是正数也不是负数。 11）0被非0的数除商等于0。
渗透数学思想方法，践行民族精神教育 ——《整数和整除的意义》课例分析 二中（集团）初级中学王艳 今年接手预初年级数学教学任务，是二起课改教材在全市全面铺开第二年，过去是使用老教材，渗透新理念。现在真正运用新教材，一定要把二起课改理念贯彻在课堂教学中。况且松江区已在每一个教室里安装了多媒体设备，合理有效地利用多媒体辅助设备更好地为教学服务，给自已地教学提出了更新更高的要求。兴趣是最好的老师，如何让学生喜欢数学、喜欢你，第一次课很重要，第一炮一定要打响。 首先我认真备课，搞清楚本节课的知识点：正整数、负整数、自然数、整数，整除的概念，整除的条件。重点是整除的概念，难点是整除的概念的理解。在知识点的引入时，注重知识点中的内在联系。 其次在分析教材知识点中，合理地在教学中渗透数学思想和方法，数学思想方法是数学学科的灵魂，它在数学教学中有着广泛的应用，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法的渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。 同时在教材上挖掘德育教育契机，在学科教学中实施民族精神教育，是弘扬和培育民族精神的主要途径。教师要按照各学科所提示的民族精神教育内容，在课堂教学中主动地、创造性地加以落实，挖掘并丰富民族精神的内涵，并适时地进行德育教育[1]。 由于二期课改突出了学生的课堂主体地位，要求教师做好课堂的组织者、引导者[2]；是学生学习的合作者和参与者，而不是教材的代言人，知识的权威，让课堂变的灵活多变。精心设计制作多媒体课件，把自己的教学内容充分设计进去，发挥多媒体动画功能，更好地为教学服务，为有效利用课堂40分钟做好充足的准备。 一. 分析教材,找准德育契机 新的课程标准把德育放在十分重要的地位，作为基础学科的数学必须重视德育。正如苏霍姆林斯基所说：“智育的目标不仅在于发展和充实智能，而且也在于形成高尚的道德和优美的品质。”作为数学教师在向学生传授数学知识的同时，必须根据初中数学学科的特点，对学生进行渗透民族精神教育和生命教育[1]。 爱国主义教育是学校德育的主要任务之一，在我们现行的九年义务教育初中版数学教材中，有丰富的爱国主义教育素材，在教学中适时地、自然地利用它们对学生进行思想教育，会达到事半功倍的效果。 砖的尺寸的选择？来引入第一章数的整除。 我认为这是践行德育的好时机。(随笔1) 问题1. 小明家新房的客厅是长6米、 宽4.8米的长方形，准备用整块的正方形地 砖铺满客厅的地面。市场上地砖有30×30、 40 ×40、60 ×60、80 ×80（单位：厘米 ×厘米），小明家想选尺寸较大的地砖， 该选哪一种尺寸的地砖比较合理？