合肥工业大学
硕士学位论文
关于非线性双曲型偏微分方程数值解的研究
姓名：吴强
申请学位级别：硕士
专业：计算数学
指导教师：朱功勤;檀结庆
20030501
关于非线性双曲型偏微分方程数值解的研究
摘要
在航空、气象、海洋、石油勘探等方面的流体力学问题，在许多情况下都归结成解非线性双曲型偏微分方程（国外文献称为守恒律）。这类方程的基本困难是解出现了间断，当用高精度显式格式求解时，在问断处会产生振荡。本文首先介绍了弱解、熵条件、物理解等概念和一些基本定理，从理论上分析非线性双曲型微分方程产生间断解，以及高阶显式格式在问断处产生振荡的原因；其次介绍目前关于这类方程数值解的一些结果，包括显式人工粘性，隐式人工粘性和自动调节的混合格式；最后，介绍在已有研究结果的基础上，我们给出的一种新的数值解法，即“二选一”方法。与已有结果相比，“二选一”方法在保持精度高（二阶精度）的同时在间断处不会产生振荡，并用实例说明所给解法的优越性。
关键词：双曲方程，间断，振荡，高阶显式格式，“二选一”方法
Ｒｅｓｅａｒｅｈｏｎｎｕｍｅｒｉｃａｌｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒ
ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎＳ
ＡｂＳｔｒａｅｔ
Ｍａｎｙｆｌｕｉｄｍｅｃｈａｎｉｃｓｐｒｏｂｌｅｍｓｓｕｃｈａｓａｖｉａｔｉｏｎ，ｓｃｅｎｅ，ａｎｄｏｉｌ
ｒｅｃｏｖｅｒｙ，ｅｎｄｉｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ａｌｓｏｃａｌｌＣＯｎｓｅｒｖａｔｉｏｎ１ａｗｓ）Ｐｒｅｂｌｅｍｓ．ＴｈｅｂａｓｉｃｄｉｆｆｉｃｕｌｔｙｗｉｔｈｔｈｏｓｅｐｒｏｂｌｅｍｓｉＳｔｈａｔｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｄｅｖｅｌｏｐｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｉｅｓ，Ｉｎｔｈｉｓ
ｗｈｉｃｈｉｎｃｌｕｄｅｐａｐｅｒ，ｃｈａｐｔｅｒ１ｉＳｄｅｖｏｔｅｄｔｏｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌｔｈｅｏｒｙ
ｗｅｅｋｌｙｓｏｌｕｔｉｏｎ，ｅｎｔｒｏｐｙｃｏｎｄｉｔｉｏｎ，ｐｈｙｓｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎ，ａｎｄｓｏｍｅｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｈｅｒｅａｓｏｎｆｏｒｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｉｅｓａｒｉｓｉｎｇｉｎｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｗｈｙｈｉｇｈ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｅｘｐｌｉｃｉｔｓｃｈｅｍｅｓｇｅｎｅｒａｔｅｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓｎｅａｒｄｉＳｃｏｎｔｉｎｕｉｔｉｅｓ，ｉＳｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｌＹａｎａｌｙｚｅｄ．ＳｏｍｅｃｕｒｒｅｎｔｍｅｔｈｏｄｓａｒｅｇｉｖｅｎｉｎｃｈａｐｔｅｒＩＩ．ＴｈｅｓｅｉｎｃｌｕｄｅｅｘＰｌｉｃｉｔａｒｔｉｆｉｃｉａｌｖｉｓｅｏｓｉｔｙ，ｉｍｐｌｉｃｉｔａｒｔｉｆｉｅｉａｌｖｉｓｃｏｓｉｔｙ，ａｎｄｓｅｌｆ－ａｄｊｕｓｔｉｎｇｈｙｂｒｉｄｓｃｈｅｍｅｓ．Ｉｎｌａｓｔｃｈａｐｔｅｒ，ｗｅｃｏｎｓｉｄｅｒａｆｌｅｗｔｅｃｈｎｉａｕｅ～“ｏｎｅｏｆｔＷＯ”ｍｅｔｈｏｄｔｈａｔｃａｎｓｍｏｏｔｈ０ＳＣｉｌｌａｔｉｏｎｓｎｅａｒｄｉＳｃｏｎｔｉｎｕｉｔｉｅｓ。ａｎｄｃｏｍＰａｒｅｏｕｒｒｅｓｕＩｔｓｗｉｔｈｔｈｅｓｅｏｆｔｈｅｒｅｌａｔｅｄｍｅｔｈｏｄＳ．
Ｋｅｙｗｏｒｄ：ｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｄｉｓｃｏｎｔｉｎｕｉｔｉｅｓ，ｏｓｃｉｌｌａｔｉｏｎｓｈｉｇｈ—ｒｅｓｏｌｕｔｉｏｎｅｘｐｌｉｃｉｔｓｃｈｅｍｅｓ，“ｏｎｅｏｆｔｗｏ’’ｍｅｔｈｏｄ
Ｖ
独创性声溺
本人声明所呈交的学饿谂文是本人在譬魉指导下进行的研究工｛｛＝及淑褥的研究成柴。据我所知，除了文中特别嬲以标注和致谢静地方外，论文中不包食其豫人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盒腿王、业丕坐溅其他教育机构的学位或证：瞎而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何赏献均已在论文中作了明确的说明嚣表示溱意。
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（镰寮豹学谴论文在瓣密惹透蠲本授裁二器）
学位论文臻者签名：１奚殛
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学位论文作者毕业厉去向：笛等、掌赣
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致谢
本文是在导师朱功勤教授、檀结庆教授指导下完成的。朱功勤教授是位学识丰富，学术造诣颇深，他对问题的研究往往有着敏锐的洞察力，三年中他对我孜孜不倦的教诲使我深深感动并且受益终身；同时，我很感谢檀结庆教授，他治学严谨、平易近人，在学习上给了我很多帮助和启迪。我也衷心感谢苏化明教授、邬弘毅教授、黄有度教授、周永务教授、汪泉副教授在学习方面对我的指导以及给予我的关心和爱护。我要特别感谢林京博士给我的极大帮助，他在学术上帮助我解决了许多问题，馒我顺利地进入了研究方向。
我还要感谢我的师兄李平和同学詹棠森、江平、芮义鹤，感谢他们在学习和生活上给予我的帮助。
吴强
二零零三年五月
第一章绪论
§１．１
问题的起源及介绍
在航空、气象、海洋，石油勘探等方面的流体力学问题，在很多情况
下都归结成双曲型偏微分方程（国外文献称为守恒律）的问题。由于这类方程的解中常常出现间断和振荡（通常称为激波或振荡问题），所以有关
它的数值解的研究～直引起人们的关注。
我们以一维问题为例，简要睨明间断和振荡产生的原因。考虑如下的双曲型方程
导＋口罢＝ｏ～∞＜ｘ＜佃
ｏ＜ｆ≤Ｔ（１１）ａ
苏
。
一
”‘…
ｕ（ｘ，ｏ）＝妒（ｘ）
ｆ１．２）
其中ｐ＠）是给定的充分光滑函数。
容易验证，当日为常数时方程（１．１），（１，２）的解为
“（ｘ，ｆ）＝妒（工一ａｔ）
一００＜ｘ＜＋ｃｏ０＜ｔ≤Ｔｆ１３）
也就是说，在ｘｌ平面上沿着
ｘ—ａｌ＝Ｃ
（Ｃ为常数）
ｆ１．４１
这样的直线，Ｕ的值保持不变。
如果把（１．２）看作在初始时刻ｆ＝Ｄ的“波形”，则式（１．３）表示这个波以
速度ｆａｆ传播，当ａ＞０是沿上轴正方向传播，当ａ＜０是沿Ｘ轴负方向传播，
而波形保持不变。
在ＸＩ上半平面上，方向为！；＝口的直线为（１．４），由于
ｄｒ
—ｄｕ：丝＋塑鱼：塑＋ａ塑：ｏ
一十一一＋一＝Ｕ
ｄｃ
８ｌ
瓠ｄｔ
ａ
。ｘ
所以“在ｘｔ上半平面上任一斜率为口的直线（１．４）上其值为常数。当然ｃ
不同，即直线不同，“的值也可以不一样。这簇直线覆盖了整个石，上半平面，它可以刻画仞值问题（１．１）、（１．２）的某些特性，通常称此直线为特征
线。
在ＸＩ上半平面上过任一点（Ｘ。，“）画特征线Ｘ—ａｔ＝Ｃ，即Ｃ＝％一ａｔｏ。特征线
０
口
一０
ｒ
｝ＩｒⅡＯ
一＝
Ｘｒ线
卣口
王个
的交点为（Ｘ。一Ｃｌｔ０，０）。在这一点上“的值是已知的。即
ｕ（ｘｏ—ａｔｏ，０）＝妒（工。一ａｔｏ）
由于“沿着这条特征线的值为常数，所以
ｕ（ｘｏ，ｔｏ）＝妒（Ｊｏ—ａｔｏ）
因为（工。，气）足任～点，所以
ｕ（ｘ，ｔ）＝妒（』一ａｔ）（１５）就是（１．１）、（１．２）的精确解。
某些方程可以求得精确解的可以帮助我们验证数值解法的优越性，因为方程（１１）、（１、２）的系数ａ如果不是常数，则往往得不到类似（Ｉ５）的精确解，只能用数值解法。比如ａ取未知函数“，即方程为
丝＋甜塑；ｏ西ａｒ
ｕ（ｘ，Ｏ）＝ｅ（ｘ）∞＜ｘ＜忡０＜，≤ｒ（１６）
（１７）
在一ｆ上半平面上过任一点（ｘｏ，，。）的特征方向是
象一（砒）＝ｔｐ（¨
则有特征线
工＝妒（工ｏ）ｒ＋工ｏ（１８）
沿特征线有
—ａ＇—ｕ：０
础
即“是常数，为口（Ｘｏ）。同样，对于另外任一点（』．，¨（而≠ｘ－），沿特征线
工＝妒（』】）ｔ＋ｘ】
“也是常数，为妒（ｘ．）。如果有不等式
！堕）二竺！型＜ｏ
』０一』１
ｘ＝印（ｘｏ）七＋ｘＯ
｝ｆ，＿）
图１ｌ两条相交的特征线
成立，那么分别通过ｘ。和工。的两条特征线相交（见图１１），交点为（掌，玎）。
这样～来，ｕ（４，７７）的值该如何确定。如果取ｐ（Ｘｏ），那么在过一的特征线上，“不再都是常数妒（ｘ，），“的值在（告，叩）处出现了间断，反之亦然。因此，在这种情况下，无论初始函数妒（ｘ）多么光滑，初值问题（１．１）、ｆ１｜２）的解不再是连续可微的。这个事实特别在流体力学中有重要意义，它反映了自然现象从连续到间断的转化。因此，如何计算间断解一直是人们关注的课题。但是，文献［２６］中指出，只能用一阶的显式格式（截断误差对时间步长和空间步长是一阶的）计算间断解。如果采用高阶显式格式（包括二阶），那么数值解在间断处会出现振荡现象。因此，在间断处如何提高解的精确度，引起了人们极大的兴趣。
探测这类问题始于二战时期，ＪｏｉｎＶｏｎＮｅｕｍａｎｎ［１８，２０，２１］试图用所谓激波捕捉法去“捕捉”间断（激波）。虽然并不很成功，但他的激波捕捉法的思想对这类问题的解决产生了重大影响。Ｌａｘ等人【１２，１３，１４，１７］提出了弱解和物理解的理论．并且对如何计算间断解进行了有益的探索。ｏ．ｒｌｅｎＨＨＯ．Ａ．［２７］提出了熵条件的理论，指出满足熵条件的弱解，即物理解，是唯一的。虽然几十年来人们已经能够很好地计算间断解，但是高阶显式格式在间断处产生振荡依然是无法克服的问题。
§１．２本文的主要内容及安排
本文主要讨论双曲方程数值解中如何计算间断解，以及在间断处高阶（主要是二阶）显式格式如何抹平振荡的问题。首先从理论上分析双曲方程（国外文献称为守恒律）产生间断解，以及高阶显式格式在间断处产生振荡的原因：其次介绍目前关于这类方程数值解的一些结果：最后，我们给出的一种新的数值解法，即“二选一”方法，并用实例说明所给解法的优越性。
在第二章中，给出了守恒律以及弱解、熵条件和物理解的基本概念，以及一些基本定理。从理论上分析了双曲方程数值解中间断和振荡产生的原因。
在第三章中，主要讨论了解决这类问题的常用方法一激波捕捉法，包括显式人工粘性，隐式人工粘性和自动调节的混合格式。
在第四章中，给出了“二选一”方法的具体做法。“二选一”方法与已有方法不同点就是一个二阶精度的格式能够很好地抹平在Ｉ＂ｑ断处的振荡．保持解的单调性，而我们目前见到的能够保持单调的方法都是一阶的。最后，我们用具体例子来说明我们所给方法的优越性。
第二章
关于双曲方程的基本理论
在上一章中，我们指出了双曲方程的解出现了问断ａ但是对于间断解来说，是不满足微分方程的。因此有必要拓广解必须满足的微分方程的古典概念（一般称为古典解）。
§２．１守恒律与弱解
（臼．一Ｈ阶方程组称为守恒律（有时也称为守恒形式或散度形式的方程），其中向量Ⅱ＝（“”．一．“；）７是ｘ＝（。ｌ’一，』。）和，的函数。而＾则是ｘ，ｆ，Ｈ的ｓ维向量函数。这里”是空间变量的维数，Ｓ是未知函数的个数。当五只依赖
于“时，方程还可以写成以下的形式：
塑＋争４丝：０
０ｔ智‘０ｘｆ
牲．嘲。Ａ。是，关于未知向量函数“的Ｊａｃｏｂｉ矩阵，如果对于任意的ｓ维实
函数ｕ＝（山一一，０９。），矩阵∑一，甜．有ｓ个实特征值，则方程（２．１）或（２?１）。称
ｉｔＩ
为双曲型方程组。如果这ｓ个实特征值彼此互不相同，则方程（２，１）或（２．１）称为严格双曲型方程组。
先研究一维（，Ｆ１）单个（ｓ＝１）守恒律
ａ＿Ｅｕ＋型：０，一∞＜ｘ＜∞，ｆ＞０
（２．２）
融ａｘ
满足初始条件
ｕ（ｘ，Ｏ）＝ｐ（ｘ），
一∞＜ｘ＜∞
（２．３）
的Ｃａｕｅｈｙ问题的解。
在分片光滑的函数类Ｋ中，我们给出弱解的三个完全等价定义：ｕ（ｘ．ｆ１∈Ｋ称为是方程（２．２）的弱解，如果
（１）。（ｒ，，）在连续可微区是古典解，即满足微分方程（２。２），而在
Ｏ
●
＝
哟诉～％
将。∑㈦３
＋
ｕ塑西
默
ｕ（ｘ．０的ｆ司断线ｘ＝‘（ｔ）上满足关系式
＿二＝＝———Ｌ
ｄ｝ｆ’一ｆ一
（２．４）
础“＋一“一
其中“＋和“一分别表示ｕ（ｘ，ｆ）在间断线上（告（ｆ）’ｆ）点处的右极限和左极限，即“＋＝ｕ（４（ｔ＋０，ｒ）“一＝“（ｆ（ｆ—ｏ，ｆ），
而
－／‘。＝ｆ（ｕ＋）厂＝ｆ（ｕ一）
（２１对于ｔ＞０的半平面上与函数“（ｚ，ｆ）的间断线只相交有限个点的任意迓段光滑闭回路ｒ，ｕ（ｘ．，）满足以下关系式：
ｌ。ｕｄｘ一触＝０（２．５）ｆ３１设∥是具有紧致支集的实验函数集合，即如果≯（ｘ，ｆ）Ｅ甲，则妒是一个在ｆ＞０的上半平面中某个有界区域Ｄ以外（包括在区域Ｄ的边界ＯＤ上）恒等于零的连续可微函数。区域Ｄ称为≯的支集，有时用Ｅ。表示。“（ｘ，，）满足关系式：
，蟥¨Ｏ型ｆ］ｄｘｄｔ＿０’Ｖ掣口犯６’
如果实验函数集合甲，内除了ｐ中的函数外还包括这样的连续可微函数ｐ（ｘ，ｆ）．它在ｆ≥０的某个有界区域Ｄ以及∞上除了和ｆ－Ｏ重合的一段以外恒等于零，则当ｕ（ｘ，ｆ）满足关系式：
，纱警“＋芸ｆ］ｄｘ出＋胁，０）贴舻。，Ｖ斛口
就称Ⅳ（工，ｆ）为方程（２．２）满足初始条件（２．３）的Ｃａｕｃｈｙ问题的弱解。
对于一维守恒律组
丝＋旦业：ｏ（２７）
ａａｏ
我们同样可以在分片光滑的向量函数类Ｋ中给出三种弱解的定义来，即如果
（１）向量函数ｕ（ｘ，ｔ）ｅＫ在其连续可微区满足微分方程（２．７），而在Ｕ（ｘ，，）的间断线ｘ＝ｆ（｝）上满足关系式
（“Ｌ“一）警∥＿，＿＠?∽其中。＋和Ｈ一分别表示ｕ（ｘ，ｆ）在间断线上两侧的右极限和左极限
ｆ＋＝ｆ（ｕ＋）ｆ一＝ｆ（ｕ一）
（２）对于ｔ＞０的半平面上与向量函数“＠，ｆ）的间断线只相交于有限个点的任意逐段光滑闭回路１１，“（ｘ．，）满足以下关系式：
｛，Ⅱｄｘ—ｆｅｔ＝０（２９）（３）设∥是具有紧致支集的实验函数集合，Ⅳ（ｚ，，）满足关系式：
，蟛“＋ｄｘ删，Ｖ…。（２１。）
上面给出了弱解的定义。但是，需要指出的是：这样定义的弱解是不唯一的。例如对于任意常数ｄ＞１，定义在ｔ≥０半平面上的单参数函数族
妒（工，ｆ）＝
ｘ＜一三（口一Ｉ）ｆ，１，１‘
一口，一寺（口一１）ｆ＜ｘ＜ｏ，正ｏ＜ｘ＜去（口一１），
一１，
１
ｚ
ｚ＞妻。一Ｉ），
中的每一个函数部是方程
坐＋“坐：０
３ｔ出
满足初始条件
贴，书拦
的Ｃａｕｃｈｙ问题的弱解。在这个例子中弱解有无穷多个。
§２．２熵条件与物理解
上面指出了弱解是不唯一的，那么在这些弱解中，方程（２．２）、（２．３）是否存在类似于古典解的解，并且是否唯一？ＯｎｅｎＨＨＯ．Ａ．［２７］提出了所谓的熵条件，并论证了一维单个守恒律满足熵条件的弱解的唯一性。
设ｕ（ｘ，ｔ）是定义在ｔ≥０上半平面的，除了在有限条光滑曲线上间断外的连续可微的函数。将这样的函数集合记为Ｋ．
定理方程（２．２）满足初始条件（２．３）的弱解ｕ（ｘ，ｔ），如果在其间断线上满足
—ｆ（ｕ－）－—Ｆ（ｕ＊）≥—ｆ（ｕ＋）－—ｆ（ｕ－）≥』竺２二』！生，ｖ∞∈，（２．１１）“一一ＣＯ“＋一“一“＋一出
其中，＝（ｍｉｎ｛ｕ－，“＋），ｍＲｘ｛“－，“＋）），则这样的弱解在函数类Ｋ。中是唯一的。
不等式（２．１１）称为熵条件，以后用（ＯＥ）表示。我们以后将满足（ＯＥ）的弱解称为物理解或广义解。
下面对熵条件（ＯＥ）作一些解释和分析。
在（“，ｙ）平面上考察曲线ｙ＝／（“），当“＋＜珊＜“一时，（ＯＥ）可以写成ｆ（ｃｏ）≤｝等ｍ＋）＋芒芝ｍ一）（２．１２）
“一““一“
这正表明曲线／（“）在区间，＝ｕ－，“＋）上位于联结＠＋，ｆ＋）和０－－９ｆ。）两点的直线的下面（图２．１），而当“一＜０９＜Ｈ＋时，（ＯＥ）可以写成
ｆ（ｃｏ）≥冬兰ｍ一）＋车兰他＋）
“一甜“一１，１
］ｉ、
㈠、、、
｛：、、
ｊｊ＼～’
ｆ寺～—————古—ａ
图２．１ｆ（ｕ）在区间Ｉ＝（“一，Ｕ＋）上（２．１３）
捌一一
ｉ，、
｝／，ｉ
｛，／，７７ｉ
１／，’
ｌ／，７ｌ
卜ｊ７；
茸—苜———————ｔ卜可
图２．２ｆ（ｕ）在区间，＝＠一，“＋）上
这正表明曲线ｆ（ｕ）在区间，＝（Ｕ－，“＋）上位于联结＠一，ｆ一）和０＋，ｆ＋）两点的直线的上面（图２．２）。
熵条件中的』堕≥型是间断传播的速度，用ｓ表示。在（２．１１）左边
“。一“
令∞－－＋“一，同时在（２．１１）右边令∞ｊ“＋，则得
ａ（ｕ一）≥Ｊ≥ａ（ｕ＋）（２．１４）这可以理解为间断线两侧的特征线都走向间断线。不等式（２．１４）是（ＯＥ）的一个直接推论，有时也当作熵条件，记作（ｃＥ）。
当仁阶连续可微并厂”（“）在区间肚不变号时，熵条件特别简单。如果，”（“）＜０，这时口（“）＝ｆ’（“）是单调减的，从（ＯＥ）就推出“一＜“＋。又由于厂¨＜０，故对于任意的国∈，，（２．１３）成立，即（ＯＥ）成立。因此当ｆ“＜０时，我们就推出
（ＯＥ）寸（ｃｇ）斗“一＜“＋＿（ＯＥ）
这样就得到一组等价的熵条件。
（ＯＥ）＿（ＣＥ）一“也得到一组等价的熵条件。同时，当Ｌ厂”＞Ｏ时，也可以顺序推出＜“＋ｊｆＤＥｌ
物理解不仅是唯一的，而且在厶范数意义下是连续依赖于初始条件的，即是稳定的。这是因为如果Ｈ（ｏ）＜ｓ，则由于（ｏＥ）成立，故有等≤ｏ，故得
Ｈ（ｔ、＜ｓ当ｔ＞０
物理解还可以用人工粘性消失法得到。如果在方程（２．２）的右端加上一个带小参数的二阶导数项（人工粘性项）就得到一个抛物型方程
丝＋业』：￡垡，ｓ＞ｏ（２．１５）
Ｏｔ积出‘
定理如果当￡一０时，方程（２．１５）满足初始条件
“。（ｘ，Ｏ）＝“ｏ（ｘ）（２ｔ１６）
的解“，（ｘ，，）一致有界且几乎处处收敛到分片光滑的函数ｕ（ｘ，ｆ），则ｕ（ｘ，ｆ）是（２．２）、（２．３）的物理解。
其中对于多维双曲性方程
詈嘻詈脚∽州列，炉吣础”，『Ｅ（０，ｒ】口?１７’
堑！坐生：望！坐生＋—Ｏｆ（ｘ—，ｔ，ｕ）一Ｏｕ
出良，孔缺，
“（ｘ，０）：妒（ｘ）工∈Ｒ“（２?１８）
的Ｃａｕｃｈｙ问题，ｃ．Ｈ．Ｋｐｙ）ｌｃＫ。Ｂ［２８】在有界可测函数类中定义物理解为满足以下两个条件的函数“仁，砂：
（１）对于任意常数女和任意的非负的实验函数Ｏ（ｘ，，）∈甲，都有
脚心，ｆ）卅｛（ｕ－ｋ）＋缸（Ｘ，Ｉ，Ｕ）－－脚，纠詈
一【主导，（Ｘ，ｔ，ｂ１）＋ｇ（列∽】吖揪＞０（２．１９）其中积分区域仃为《ｚ，，）ｋ∈Ｒ”，ｏｓｆ≤丁ｊ，曲的支集Ｅ≯∈ｎ。
（２）在区间旧力上存在一个测度为零的集合ｒ，当，ｅ［Ｏ，即＼ｓ时，函数“肛?∥在Ｒ”上几乎处处有定义，并对任意的球彭，＝搁＜，｝ｃＲ一
沏＿Ｉ．№，ｒ）～妒（刮出＝０（２．２０），￡１０．¨、‘
按照ｃ，Ｈ，ＫｐＹⅢＫｏＢ的定义，当物理解“伍，口是分片光滑函数时，在间断面上对任意的常数ｋ，有以下不等式：
ｒ＂、ｓｇｎ（ｕ＋一七）｛（“＋一ｋ）ｃｏｓ（虬咖∑睡（Ｘ，ｔ，ｌｇ＊）～，（置ｆ，￡）】ｃｏＳｖ，ｘｉ）｝
、，２’』
＿＜ｓｇｎ（ｕ‘一女）｛（“‘一ｋ）ｃｏｓ（ｙ，咖∑［ｆ（Ｘ，Ｉ，Ｕ－）一ｚ（ｚ＾≈）］ｃｏｓ（¨．）｝
Ｌ”ＩＪ
（２．２１）
其中“＋，Ⅳ～是ｆ１１ｆｊ断两侧函数的极限值，Ｖ是间断面上的法线方向。规定从Ｕ－指“＋向的方向为正方向。不等式（２．２１）ｎＴ直接从（２．１９）得出。
对于一维情况（即当ｎ取１时），从（２２１），可直接推１ｔｉ（２．１１），即（ＯＥ）来。
最后我们讨论～维双曲型方程组的熵条件。假定一维守恒律组
等＋掣：ｏ（２２２）
ｐ…’ａｆａ￥
是严格双曲型方程组，则矩阵
４ｆＨｌ：塑』－盟
ａ（Ｈｆ，…，以）
有Ｊ个互不相同的实特征值，按大小排序为
＾１（“）＜＾２（“），…，ｔ（ｎ）
由微分方程
妄吲口）拄ｌ，２’…，ｓ
定义的曲线称为方程（２．２２）１拘特征线。
Ｌａｘ［９］称方程组（２．２２）的弱解中的一个强阃断为激波，如果对于间断线ｚ＝孝（，），存在某一个ｔＯｓ七≤ｓ），使得下列不等式成立
州“－）＜警＜拍一）
引“．）＜警“¨∽）（２２３）这时间断线ｘ＝ｆ（ｆ）称为≈激波。从不等式（２．２３）ｎ－］＂以得到
枷＋）＜警＜２ｋ（ｕ－）
这个不等式相当于单个方程的熵条件（ＣＥ）。
在单个守恒律的讨论中，曾指出加上人工粘性项的方程的解的极限是物理解。对于方程组，如果也在（２．２２）右端加上人工粘性项，则得抛物型方程组
誓＋掣：占磐，例（２２４）
、。…
ａａｘａｘ２
可以证明，如果当￡一０时，（２．２４）满足初始条件
ｕ（ｘ，｝）＝ｐ（Ｘ，ｔ）（２．２５）
的解％（Ｘ，ｔ）一致有界，几乎处处收敛到极限ｕ（ｘ，ｆ），则Ⅱ（Ｊ，｝）一定是方程（２．２４）、（２．２５）的物理解。
§２．３守恒型差分格式和单调性
从守恒律出发，很容易构造守恒型差分格式。我们以满足初始条件（２．３）的～维单个守恒律（２．２）为例。设空间步长和时间步长分别为＾和ｒ，记ｚ，＝ｊｈ，Ｊ＝±１，垃，…，‘＝斤ｆ，打＝０，１，差分近似解记作“。，表示（ｘ，，，。）处的值。如果存在一个含有２ｌ（，为任意正整数）个分量的函数ｇ，使得
ｇ，＋Ｉ，２』２ｇ（ｕ』一，＋１．Ｈ，“Ｊ一，＋２．。，’?‘，“，＋ｆ．。）（２．２６）
并且ｇ满足
ｇ（ｕ，“，…，“）＝ｆ（ｕ）（２，２７）
则差分格式
“，ｍ＋Ｉ２＝“Ｊ，ｎ。。云（ｇＪ＋１，２．一一ｇＪ一１／２，一）（２，２８）
称为守恒型差分格式。
Ｌａｘ、Ｗｅｎｄｒｏｆｆｌｌ２】证明了关于守恒型差分格式的定理。
Ｌａｘ．Ｗｅｎｄｒｏｆｆ定理设守恒型差分格式（２．２８）和方程（２．２）是相容的。如果当ｈ，ｒ趋于零时，ｆ２．２８）满足初始条件
“＂＝妒（ｊｈ）
的解一致有界，几乎处处收敛到函数ｕ（ｘ，ｆ），则ｕ（ｘ，，）是（２．２）、（２．３）的一个弱解。
六十年代以来，从守恒律出发建立了一系列的高阶精确度的守恒型差分格式。这里所渭的高阶精确度格式是一种显示格式，即它的截断误差对＾和ｒ都至少是二阶的。在这方面比较典型懈：Ｌａｘ－Ｗｅｎｄｒｏｉｆ；ｌｏｂ式［１３，１４］。我们曾经指出弱解是不唯一的，只有满足熵条件的物理解才是唯一的。那／ｚ．自然产生一个问题，守恒型差分格式的解，是否一定收敛与物理解呢？答案是否定的。
用Ｌａｘ．Ｗｅｎｄｒｏｆｆ格式格式解如下的方程
塑＋盟盟：０ｆ２．２９）
８ｔ０ｘ
其中
，（“）＝“一３．．／３：ｕ２弛一１）２
初始条件取作
贴，＝墨≥亿，。，这个问题的物理解是
吣∽＝｛ｌｏ互：仁。ｚ，但是当他们取
∥２寺ｍａｘｆ口（材）？＝ｏ?９
进行计算时，得到的不是物理解（２．３１），而是一个近似的弱解
ｕ（ｘ，ｆ）
Ｉ，１．４Ｌ～０．１７，
Ｏ
为什么会产生这种现象呢？我们曾经指出常系数双曲型方程
塑＋。塑：ｏ?
西苏
满足初始条件
“（ｘ，０）＝９（ｘ）
的解为
ｕ（ｘ，ｆ）＝ｐ（ｘ—ｃ１），ｔ＞Ｏ
ｒ２．３３）
ｒ２．３４）
２
３
２
（
●一２丑
对
＜
互
甜
１
ｘ
＋
Ｚ
一
＜●一２＋
●一２”
＜●一２
＜
１
ｒ
＞
工
一
＜
工，一２●一２
因此，如果初始函数妒（ｘ）是ｘ的单调函数，那么对任意的ｔ＞Ｏ，解ｕ（ｘ，ｆ）也是ｘ的单调函数。于是自然想到用差分格式解问题（２．３３）、（２．３４）时，如果初始值是单调ｔ＞Ｏ的，差分方程的解也应该保持单调的性质。ｒｏｎＹＨＯＢＣ，Ｋ．ｆ２６］就称这种保持单调性的格式为单调差分格式。
定理差分格式
“川＝∑口ｆ“川月（２?３５）
，
是单调差分格式的充要条件是所有的口，≥０。
此外，ｒｏⅡＹＨ０ＢＣ．Ｋ．在［２６】中特别证明了常系数单调差分格式的截断误差只能是一阶的。
ｒ、ｏ且ＹＨｏＨ（Ｇｏｄｕｎｏｖ）定理如果（２．３５）是－－个和（２．３３）｝Ｎ容的，并且极大范数有界以及至少有两个系数∞是非零的差分格式，那么格式（２．３５）是一阶精确度的。
Ｏ．Ｊｅｎｎｉｎｇｓ［１０］将ｒｏａｙＨｏＢ的常系数差分格式的概念推广到非线型差分格式上。他称单个守恒律（２．２）的守恒型差分格式（２．２８）是单调的，
如果／＇ｌｊ．ｎ＋Ｉ（“川，…，“川，。）对其每一个分量的导数都大于等于零，即
盟≥ｏｍ＝－ｔ，－ｔ＋１．．．，ｆ
～（２．３６）ＯｕＭ，
和常系数单调差分格式一样，Ｈａｒｔｅｎ，Ｈｙｍａｎ，Ｌａｘ［５］等ＸｉｉＥ明了非线型单调差分格式的截断误差也只能是一阶的。
定理设守恒律（２．２）的守恒型差分格式（２．２８）是单调的，Ｎ（２．２８）的截断误差是一阶的。
在【５】中Ｈａｒｔｅｎ等人还证明了一维当单个守恒律的单调守恒型差分格式的解，如果几乎处处有界收敛，则极限函数是物理解。
ＣｒａＷｌ等人［２］证明了多维单个守恒律的单调守恒型差分格式的解一定收敛于物理解。
正是由于保持单调的守恒型差分格式的截断误差只能是一阶的，所以当用二阶的Ｌａｘ－Ｗｅｎｄｒｏｆｆ格式解方程（２．２９）、（２．３０）时，得到的是（２．３２），而不是物理解（２．３１）。订三式山于高阶显试格式不能保持在间断解的单调性，因此它们必定会在间断处产生振荡，从（２．３１）可以很明显地看出这一点。
第三章数值解法概述
上一章从理论上解释了无论双曲方程的初始条件多么光滑，它的解可能会产生问断，以及高阶显式格式在间断处产生振荡的原因。那么如何用数值方法计算双曲方程间断解，以及在间断处如何提高差分格式的精确度的同时又能够保持解的单调性，是人们面ｊ｜刍的首要任务。目前大多数采用的是激波捕捉法。
激波问题创始人ＶｏｎＮｅｕｍａｎｎ［２１１提出了“捕捉”激波的思想，即：无论双曲型方程是否有间断解，都不加区别地按统一的格式进行计算。后来人们把这类方法统称为激波捕捉法。采用激波捕捉法，间断是作为解的一部分进行计算的。问断解被表示为具有一定过渡层的连续解，这个连续解基本上能反映出本来的间断特征，这类方法的最大优点是简单。由于计算间断不作特别处理，所以程序编制容易，机时也省。其次，守恒型差分格式收敛性已有保证。当然这类方法也有缺点，主要是有时把间断的过渡区拉得过宽，有的虽然抹平了振荡，但精确度都是一阶的，而高阶的方法在间断的前或后都会产生不应有的振荡。
激波捕捉法主要包括显式人工粘性、隐式人工粘性和自动调节的混合格式。
§３．１显式人工粘性
显式人工粘性方法是在要求解的方程中另外加上一定的扩散项，比如
ａ２ｔ，
￡等。在数值平滑计算中，这种人为引进的项起着粘性作用，所以称作“工
人工粘性项。其效果是把间断解化为具有过渡层的连续解。上述ｒ是一个小参数，它随步长ｒ，ｈ趋于零面趋于零。
这种方法是＂ＣｏｎＮｅｕｍａｎｎ和Ｒｉｃｈｔｍｙｅｒ［２Ｉ］为求解气体动力学方程组最先使用的。在Ｌａｇｒａｎｇｅ坐标下气体动力学方程为
堡一塑：ｏ
西苏
塑＋望：ｏ
甜缸
堡＋。丝：０
魂。瓠
其中ｖ为气体比容，“为速度，Ｐ为压力，ｅ为比内能。
Ｖｏｎ
Ｎｅｕｍａｎｎ和Ｒｉｃｈｔｍｙｅｒ引入人工粘性项ｇ后，方程组为
生一塑：ｏ
ｅｔ
瓠
丝＋！！旦±盟：ｏ
西ａｏ
宴＋（ｐ＋ｇ）娑＝ｏ
对于人工粘性ｑ，司选择如Ｆ形式
：一１２Ｌ
，＿ｃａｕ，，２∥Ｌ，．０＝ｕ一，ｑＪ２一Ｌ＿，∥Ｌ＝一Ｊ其中
∥（参＝１，如果罢＜ｏ积（Ⅸ
∥（昙）；０，如果孚＞ｏ肌瓦Ｊ－’川禾瓦＞ｕ
ｌ是具有长度量纲的正常数。
下面我们给出（３．１）的一个差分格式
！比：ｌ二坚。！型！：！二！！二坐
ｆ
ｈ
堑塑！［堑！型一！业：！二坠：
ｆ
ｈ
＝０
（３．１）
＝０
（３．２）
生字啊忆。竿２
ｏ
“』＋１４一“』．月≤０Ⅳ』＋１，一“』ｍ＞０
ｒ为网格时间步长，ｈ为空间步长。
引进人工粘性项是重要而技巧性很强的方法，它不应使间断强度过于减弱，也不应使过渡区拉得太宽。如何构造出好的．ｋ－ｒ｝ａ性，自Ｖｏｎ
Ｎｅｕｍａｎｎ和Ｒｉｃｈｔｍｙｅｒ的开创性工作以来很受人们的重视。
§３．２隐式人工粘性
隐式人工粘性不是在微分方程中加一个另外的项来使间断具有光滑的过渡，而是对微分方程进行离散时，差分格式本身就带有类似于粘性这
样的项。因此也称为隐式人工粘性为格式粘性。有了这样的项之后，就可
≯
去
以使间断有一个光滑的过渡。下面我们通过一些例子来说明某些差分格式确实存在这样的项。
首先我们考察逆风格式。为了简单，我们取常系数双曲方程
竺＋口竺：ｏ，口＞Ｏ
ｆ３．３１
ａ
孤
？
其逆风差分格式是
坠型二堑＋ｄ！』！二堑：！：ｏ
ｆ
ｈ
（３．４）
这个格式的截断误差是～阶的。为了进行考察，我们把改写成（３．４）下面的
形式
坠：［坚＋口堕：！二垡：！ｆ
２＾丝堑：！二塾！±堑：１
２ｈ
２
上式右端项可以看作￡（＾）器２的离散，因此逆风差分格式可以看作微分方
程
ａ“
ａ“
…ａ‘“
——＋ａ一＝ｓ（厅）——了ａ苏～氖２
显示格式。占（＾）窑称为隐式人工粘性项或格式粘性项。我们注意到，当
０Ｘ。
ｈ斗Ｏ时￡（＾）一０。但在具体计算中，ｈ≠０。因此格式粘性项是会起作用
的。
现在我们考察逼近守恒律
塑＋型：０
（３．５）
甜
出
的Ｉ，ａｘ．Ｆｒｊｅｄｒｉｃｈｓ格式
垫竺：竺！！＋丑！二红！
ｒ
２ｈ
＝０
（３．６）
这个格式的截断误差对时问步长ｆ是－ｇｒＮ，对空间步长ｈ是二阶的。上
式可以写成
因ｅｖａ（３．６）和（３．７）可阻看作微分方程
堑！二！弩！竺坐（３．７）
ｈ２