有理数简便运算技巧（十五法）
有理数是代数的入门，又是难点，是中学数学中一切运算的基础。进行有理数的运算时，若能根据题目的特征，注意采用运算技巧，不但能化繁为简，而且会妙趣横生，新颖别致。现举例介绍有理数运算中的几个常用技巧。
一、归类
将同类数（如正数或负数）归类计算。 例1 计算：()()()231324-+++-++-。 解：原式()()()()312234=+++-+-+-???? ()69=+- 3=-。 二、凑整
将和为整数的数结合计算。
例2 计算：36.54228263.46+-+。 解：原式()36.5463.462282=++- 1002282=+- 12282=- 40=。三、对消
将相加得零的数结合计算。 例3
计算：()()()5464332+-++++-+-。 原式()()()4453263=-+++-+-++???????? 009=++ 9=。
四、组合
将分母相同或易于通分的数结合。
例4 计算：。 解：原式55511125210624918?
???=-+-- ? ?????
517
1386=- 13
524
=-。
五、分解
将一个数分解成两个或几个数之和的形式，或分解为它的因数相乘的形式。
例5 计算：1111
2
5434236
-+-+。 原式()111125434236??
=-+-++-
+-+ ??
? 3642212121212??
=+-
+-+ ???
11221212
=+
= 六、转化
将小数与分数或乘法与除法相互转化。 例
6：计算：例
8 计算：
()()()412.5310.15??
-?+?-
?- ???
解：原式412.50.1315?
?
=-?
?? ??
?
13131=-?=-。
11
221212
=+
= 七、变序
运用运算律改变运算顺序。
例8 计算：()()()412.5310.15??
-?+?-?- ???
解：原式412.50.1315??
=-?
?? ???
。 。
13131=-?=-
八、约简
将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。 解：原式88815
59158??=---?
??
? 8158158155898158??
=-?
-?-? ???
5313??=--- ??
?
13
=-。 九、逆用
正难则反，逆用运算律改变次序。 例11 计算：
2283210.2555214????
÷--?-- ? ?????
。 解：原式258715122144
????=
?--?-- ? ????? 21811
34344
=-?+?- 1281433??=
?-+- ???
14
=。 十、观察
根据0、1、1-在运算中的特性，观察算式特征寻找运算结果为0、1或1-的部分优先计算。 例12 计算：()()2009
1312009 3.753164????-÷-?-+- ? ?????
。
解：
33.75304
-=，()2009
11-=-。
∴原式()011=+-=-。
十一、变量替换
通过引入新变量转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用．
例6 计算512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋3
2
3
417512769+-)． 解：设a =3
23417+，b = 0.125，c =51
2769-，则
512769)323417(125.0323417-++?+×(0.125＋3
2
3
417512769+-) =
c ab a +×(b ＋a
c ) =
c ab a
+×a
c ab + = 1．
评析：此题横看纵看都显得比较复杂，但若仔细观察，整个式子可分为三个部分：
323417
+，0.125，51
2769-，因此，采用变量替换就大大减少了计算量．
十二、倒序相加
在处理多项式的加减乘除运算时，常根据所求式结构，采用倒序相加减的方法把问题简
化．
例8 计算
21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋60
2＋…＋
6058＋60
59
)．① 解：把①式括号内倒序后，得：
21＋(32＋31)＋(43＋42＋41)＋(54＋53＋52＋51)＋…＋(6059＋6058＋…＋602＋60
1
)，
②
①＋②得：1＋2＋3＋4＋…＋58＋59 = 1770，
∴21＋(31＋32)＋(41＋42＋43)＋(51＋52＋53＋54)＋…＋(601＋602＋…＋6058＋60
59
)
=
2
1
(1770) = 885． 评析：显然，此类问题是不能“硬算”的，倒序相加可提高运算速度，降低复杂程度． 十三、添数配对
例9 计算11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999．
解：添上9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1，依次与各数配对相加，得：
11＋192＋1993＋19994＋199995＋1999996＋19999997＋199999998＋1999999999． = 20＋200＋2×103＋2×104＋…＋2×109－(9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1) = 2222222220－45 = 2222222175．
评析：添数配对实质上也是一种凑整运算． 十四、整体换元
对于较复杂的算式直接运算很困难，若能抓住其特征，运用整体运算的思维，创造性地加以解决，就能收到事半功倍的效果．
例10 计算1－
21＋41－81＋161－321＋641－1281＋256
1． 解；设1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561
= x ，①
则①×(－21)，得－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561－5121=－2
1
x ， ②
① －②，得1＋5121=23x ，解得x =256171
，故
1－21＋41－81＋161－321＋641－1281＋2561=256
171
．
十五、分组搭配
观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算．
例7 计算：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69．
解：2－3－4＋5＋6－7－8＋9…＋66－67－68＋69
= (2－3－4＋5)＋(6－7－8＋9)＋…＋(66－67－68＋69)
= 0＋0＋0＋…＋0
= 0．
评析：这种分组运算的过程，实质上是巧妙地添括号或去括号问题．