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模块六 微分中值定理
1、 在区间[]1,1-上，判断下列函数是否满足罗尔定理及拉格朗日中值定理的条件，并说明理由。
（1）()f x x = （2）,11()1,1x x f x x -≤
（3）,01()1,10x e x f x x x ?≤≤=?+-≤
(),10
x x f x x x ?≤≤?=?-≤
2、假设()f x 为定义在R 上的可导函数，判断下列函数中一定在区间[]1,1-上满足罗尔定理及拉格朗日中值定理的有哪些，并说明理由。 （1）()1
()g x f
x = （2）()()2
2
g x f x =
（3）()
33()g x f x = （4）()4()cos g x f x = 3、假设()f x 可导并且在0x x =处取极值，证明：0'()0f x =。
4、假设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，且()()f a f b =，证明：(),a b ξ?∈，使得()'0f ξ=。
5、假设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1上可导，且()(0)0,11f f ==，证明：()0,1ξ?∈，使得()'1f ξ=。
6、假设()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 上可导，证明：(),a b ξ?∈，使得
()()()
'f b f a f b a
ξ-=
-。
7、不用求出函数()()()()()1234f x x x x x =----的导数，说明方程'()0
f x =的实根
个数并指明它们所在的区间。
提示：n 次多项式至多有n 个不同的实根。
8、设()f x 为定义在R 上的可导函数，且满足'()0,R f x x ≠∈，证明：()0f x =至多有一个实根。
9、若函数()f x 在[],a b 上具有二阶导数，并且()()()f a f c f b ==，其中a c b <<，证明：(),a b ξ?∈，使得()''0f ξ=。 10、（1）假设b a >，证明：()()a
b a b e
b a e e e b a -<-<-；
（2）证明：arctan arctan b a b a -≤-。 11、证明恒等式：arctan arctan 2
x
x
e e
π
-+=
。
参考答案
1、（1）()f x 在区间[]1,1-上不满足罗尔定理的条件，也不满足拉格朗日中值定理的条件。因为()f x 在
0x =处不可导。
（2）()f x 在区间[]1,1-上不满足罗尔定理的条件，也不满足拉格朗日中值定理的条件。
()f x 在1x =处非左连续。
（3）()f x 在区间[]1,1-上不满足罗尔定理的条件，但满足拉格朗日中值定理的条件。因为()f x 在[]1,1-上连续，在()1,1-上可导，但(1)(1)f f -≠。
（4）()f x 在区间[]1,1-上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为()f x 在区间[]1,1-上连续，在区间()1,1-上可导，并且()()11f f -=。
2、 （1）1()g x 在区间[]1,1-上不一定满足罗尔定理的条件，也不一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为()f
x 在0x =处不一定可导。
（2）2()g x 在区间[]1,1-上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为2()
g x 在
区间
[]
1,1-上连续，在区间
()
1,1-上可导，并且()()2211g g -=。
（3）3()g x 在区间[]1,1-上不一定满足罗尔定理的条件，但一定满足拉格朗日中值定理的条件。因为3()g x 在区间[]1,1-上连续，在区间()1,1-上可导，但()3(1)1g f -=-和
()3(1)1g f =不一定相等。
（4）4()g x 在区间[]1,1-上同时满足拉格朗日中值定理及罗尔定理的条件。因为4()g x 在区间[]1,1-上连续，在区间()1,1-上可导，并且()()
4411g g -=。
3、反证法
假设0'()0f x a =>，0,δ?>使得()0,o
x U x δ?∈有()()00
0f x f x x x ->-，
()00,x x x δ?∈+有()()0f x f x >