x ，{lg 0}B x x =<∣，则A B =（ ）
A ．(2,1)-
B ．(2,2)-
C ．(0,1)
D ．(0,2)
2．设复数i z a b =+(其中a b R ∈、，i 为虚数单位)，则“0a =”是“z 为纯虚数”的（ ）
A ．充要条件
B ．既不充分又不必要条件
C ．充分不必要条件
D ．必要不充分条件 3．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若35154,60a a S +==，则20a = （ ）
A ．4
B ．6
C ．10
D ．12
4．已知1a =，(0,2)=b 且1a b ?=，则向量a 与b 夹角的大小为（ ）
A ．
4
π B ．
3
π C ．
2
π D ．
6
π 5．函数()()13,2
log 1,2x e x f x x x -?
，则不等式()1f x >的解集为（ ）
A ．1,2
B ．4
(,)3
-∞
C ．4(1,)3
D ．[)2,+∞
6.若变量x ，y 满足约束条件1,1,2 2.x y x y x y +≥??
-≥-??-≤?
则目标函数3z x y =-的最小值为（ ）
A ．1
B ．3-
C ．9-
D ．10-
7．若1sin 34a π??-= ???，则sin 26a π?
?-= ??
?（ ）
A ．7
8
-
B ．
78
C ．1516
-
D ．
1516
8．已知ABC 是面积为93
的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上，若球O 的体积为
32π
3
，则O 到平面ABC 的距离为（ ） A ．3 B ．
3
2
C ．1
D ．
3
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（ ）
A ．
35
222++
B ．12252++
C ．
1252++ D ．3
252
++ 10．已知抛物线2
:12C x y =上一点P ，直线:3l y =-，过点P 作PA l ⊥，垂足为A ，圆
22:(4)1M x y -+=上有一动点N ，则||||PA PN +最小值为（ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
11．已知奇函数()f x 定义域为R ，且(2)f x +为偶函数，若(1)f a =，则
(1)(3)(5)(2019)f f f f +++
=（ ）
A ． 1010a
B ．2a
C ． a
D ．0
12．已知双曲线22
22:1x y C a b
-=，(0,0)a b >>过C 的右焦点F 作垂直于渐近线的直线l 交两渐近
线于A 、B 两点A 、B 两点分别在一、四象限，若
1
2
AF BF =，则双曲线C 的离心率为（ ） A ．
23
3
B ．2
C ．3
D ．5
二?填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．某程序框图如图所示，若运行该程序后输出S =_______.
14．在ABC ?中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若
sin 1
sin 2
B C =，222c b ab -=，则cos A =__________．
15．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是_______ ①平均数3x ≤； ②标准差2S ≤； ③平均数3x ≤且标准差2S ≤；
④平均数3x ≤且极差小于或等于2； ⑤众数等于1且极差小于或等于4.
16．已知三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面BCD
，,4,BC CD BC CD AB AD ⊥====，则三棱锥A BCD -的外接球的大圆面积为________．
三?解答题：本大题共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22?23题为选考题，考生根据要求作答.
17．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和满足1n S >，且()()*612,n n n S a a n =++∈N .
（1）求{}n a 的通项公式：
（2）设数列{}n b 满足2,n n n a b n n ?=??是奇数是偶数
，，并记n T 为{}n b 的前n 项和，求2n T .
18．随着支付宝和微信支付的普及，“扫一扫”已经成了人们的日常，人人都说现在出门不用带钱包，有部手机可以走遍中国.移动支付如今成了我们生活中不可缺少的一部分了，在某程度上还大大的促进了消费者的消费欲望，带动了经济的发展.某校高三年级班主任对该班50名同学对移动支付是否关注进行了问卷调查，并对参与调查的同学的性别以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：
（1）如果随机调查这个班的一名学生，那么抽到对移动支付不关注的男生的概率是多少？ （2）现按照分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人，再从6人中随机抽取2人，求2人中至少有1人是女生的概率.
（3）根据表中的数据，能否有97.5%的把握认为消费者对移动支付的态度与性别有关系？
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++.
临界值表：
()20P K k ≥
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k
2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 直角梯形，AB ∥CD ，AB AD ⊥，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PC 上的一点. （1）证明：平面ADE ⊥平面PAB ； （2）已经3AD =
，22AB AP CD ===，若,E F 分别是
,PC PB 的中点，求点B 到平面AEF 的距离.
20．椭圆()22
22:10x y C a b a b
+=>>过点()2,3M ，其上?下顶点分别为点A ，B ，且直线AM ，MB
的斜率之积为3
4
AM BM k k ?=-. （1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 的左顶点(),0Q a -作两条直线，分别交椭圆C 于另一点S ，T .若2QS QT k k +=，求证：直线ST 过定点.
21．已知1
()2(2)ln f x ax a x x
=-
-+（0)a ≥ （1）当a ＝0时，求f （x ）的极值； （2）当a ＞0时，讨论f （x ）的单调性；
（3）若对任意的a ∈（2, 3），x -1, x 2∈[1, 3]，恒有（m －ln3）a －2ln3＞|f （x 1）－f （x -2）|成立，求实数m 的取值范围. 选做题
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为4x t
y =-???=??（t 为参数）曲线1C 的参数方程
为cos 1sin x y ?
?
=??=+?（?为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和曲线1C 的极坐标方程； （2）若曲线2C ：(0)3
π
θρ=>分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，求
||
||
OB OA .
23．[选修4-5；不等式选讲]
已知函数()3f x k x =--，k ∈R ，且()30f x +≥的解集为[]1,1-. （1）求k 的值；
（2）若a ，b ，c 是正实数，且111123ka kb kc
++=，求证：239a b c ++≥.
高三上学期期末联考数学（文）参考答案
一、选择题
二、填空题 13.
95 14. 1132
15. (4) (5) 16. 9π 三、解答题
17．（1）由()()11111
126
a S a a ==++，结合111a S =>，因此12a = 由()()()()111111
121266
n n n n n n n a S S a a a a ++++=-=
++-++ 得()()1130n n n n a a a a +++--=， 又0n a >，得13n n a a +-=
从而{}n a 是首项为2公差为3的等差数列， 故{}n a 的通项公式为31n a n =-.
（2）24221321()(222)n
n n T a a a -=++???++++???+
12(264)4(14)4432143
n n n n n n ++---=+=+--
18．解 (1)由题知:对移动支付不关注的男生有4人,总数50人,所以42
=
5025
p =. (2)依题意，分层抽样从对移动支付关注的同学中抽取6人,男生应抽取4人,记为,,,A B C D ， 女生应抽取2人,记为,a b ；从这6人中随机抽取2人，所有的情况为：
()()()()()()()()()()()()()()()
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A a A b B C B D B a B b C D C a C b D a D b a b 共15种,其中“至少有一人是女生”的情况有9中,记事件A, 所以“2人中至少有1人是女生的概率” ()93
155
P A =
=.
(3)由题意可知2
2
50(2410124) 5.937 5.024********
K ??-?=≈>???,故有97.5%的把握认为消费者对移动
支付的态度与性别有关系.
19．解 (1)证明PA ⊥平面,ABCD AD ?平面ABCD ,所以PA AD ⊥,又
AB AD PA AB A ⊥?=，所以AD ⊥平面PAB ,又AD ?平面ADE ,所以平面ADE ⊥平面
PAB .
(2)连接EF ,BE ,在Rt ADC 中,可得2AC =,则在Rt PAC △中,可得2AE =,在直角梯形中,
由已知可求得2BC =.
2AC AB ==,2AE AF ∴==.
,E F 分别是,PC PB 的中点,1
12EF BC ∴=
=, 在等腰AEF 中,可求712
1AEF ABF PAB
S S S ?==
=
C 到平面PAB 3E ∴到平面PAB 3设点B 到平面AEF 的距离为h
E AFB B AE
F V V --= 13133
ABF AEF S S h ??∴=?, 221h ∴=20．（1）解：∵()0,A b ，()0,B b -， ∴333
224
MA MB b b k k -+?=
?=-，解得212b =， 将212b =，()2,3M 都代入椭圆方程，得216a =，
∴椭圆方程为22
11612
x y +=；
（2）证明：设()11,S x y ，()22,T x y ，直线ST 的方程为y kx t =+. 将y kx t =+代入椭圆方程，整理得(
)2
2
23484480k
x
ktx t +++-=，
122843kt x x k +=-+，2122
448
43
t x x k -=+，
由
1212244y y x x +=++，得1212244
kx t kx t
x x +++=++. 整理，得()()()121222488320k x x k t x x t -++-++-=，
即()()222
4488224883204343t kt k k t t k k -?
?-?++-?-+-= ?++??
. 化简，得()2
2
8316120t k t k k -+++=，
即()()4430t k t k ---=.
当4t k =时，直线ST 的方程为()44y kx k k x =+=+，恒过左顶点，不合题意 当43t k =+时，直线ST 的方程为()4343y kx k k x =++=++，恒过点()4,3-.
∴直线ST 过定点()4,3-.
21．解（1）当0a =时，221121-2()2ln ()=-=(0)x
f x x f x x x x x x
=--?>、 由2
1-2()=
0x f x x 、
>,解得12x <，可知()f x 在10,2?? ???上是增函数，在1,2??
+∞ ???
上是减函数. ∴()f x 的极大值为1
()2ln 222
f =-，无极小值.
222
1112(2)1(2)()2(2)ln ()=2(2)ax a x f x ax a x f x a a x x x x
-++=--+?+-+=、
①当02a <<时，()f x 在10,2?
? ???和1,a ??+∞
???上是增函数，在11,2a ??
???
上是减函数； ②当2a =时，()f x 在()0,∞+上是增函数； ③当2a >时，()f x 在10,a ?
? ???和1,2??+∞
???上是增函数，在11,2a ??
???
上是减函数 （3）当23a <<时，由（2）可知()f x 在[]1,3上是增函数， ∴122
()()(3)(1)4(2)ln 33
f x f x f f a a -≤-=-++
. 由12(ln3)2ln3()()m a f x f x -->-对任意的a ∈（2, 3），x 1, x 2∈[1, 3]恒成立， ∴12max (ln3)2ln3()()m a f x f x -->-
即2
(ln 3)2ln 34(2)ln 33
m a a a -->-++对任意23a <<恒成立， 即2
43m a
>+
对任意23a <<恒成立， 由于当23a <<时，382134933a <+<，∴133
m ≥. 22．（1）直线l 的参数方程为43x t
y t
=-???=??（t 为参数），转换为直角坐标方程为：340x y +-=
∴直线l 3cos sin 40ρθρθ+-=
∵曲线1C 的参数方程为cos 1sin x y ??
=??=+? （?为参数），转换为直角坐标方程为()2
211x y +-=，整
理得：222x y y +=
∴曲线1C 的极坐标方程为：2sin ρθ= （2）曲线2C ：(0)3
π
θρ=
>分别交直线l 和曲线1C 于点A ，B ，
所以sin 3cos 4
3ρθρθπθ?+=?
?=
??
，解得3A ρ=． 同理2sin 3ρθπ
θ=???=??
，解得3B ρ= 所以 ||33
||43
A B
OB OA ρρ===
. 23．解：（1）因为()3f x k x =--， 所以()30f x +≥等价于x k ≤，
由x k ≤有解，得0k ≥，且x k ≤解集为[],k k -. 因为()30f x +≥的解集为[]1,1-. 因此1k =.
（2）证明：将（1）中所得1k =带入可知知：111123a b c
++=， 因为a ，b ，c 为正实数，
方法一：所以由柯西不等式得：
()2
11
1
23239
23a b c a b c a b c ??++=++++≥+= ??? 当且仅当23a b c ==时，等号成立. 因此239a b c ++≥成立..
方法二：()1112332232339232323b a c a c b a b c a b c a b c a b a c b c ????????
++=++++=++++++≥ ? ? ? ?????????
当且仅当23a b c ==时，等号成立. 因此239a b c ++≥成立..
单选填空详解
1．C
解：{
}
2
40(2,2)A x
x =-<=-∣， {lg 0}(0,1)B x x =<=∣，
故(0,1)A
B =，
故选：C. 2．D
若复数i z a b =+是纯虚数，则0a =，0b ≠，
则0a =不能证得z 为纯虚数，z 为纯虚数可以证得0a =， 故“0a =”是“z 为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：D. 3．C 由题意35
422
a a a +=
=，1581560S a ==，84a =，所以204844()24(42)10a a a a =+-=+?-=，故选C ．
4．A
因为(0,2)=b ,所以2022b =
+=，
又因为1a =，1a b ?=，
11cos ,12
2
a b a b a b
?=
=
=?， 因为0cos ,a b π≤≤，
所以向量a 与b 的夹角的大小为3
π. 故选：A 5．A
由()1f x >，知1
2
1x x e -
>?或()32log 11x x ≥??-->?
∴210x x ?或2
1013x x ≥???<-
，解得12x <<或x ∈?∴12x <<
故选:A 6．C
画出可行域，向上平移基准直线30x y -=,可得最优解为()3,4A ， 由此求得目标函数的最小值为3349z =-?=-，
故选:C ． 7．B
22sin 2sin[(2)]cos(2)=cos 2()cos 2()632333a ππππππαααα?
?-=-+=--=- ??
?
=2
17
12sin ()123
168
π
α--=-?
=. 故选：B
8．C
由题意可知图形如图：ABC 是面积为的等边三角形，可得
2393
44
AB =
， ∴3AB BC AC ===，可得：123
333AO =??=， 球O 的体积3432
ππ33
V R ==，解得2R =，所以O 到平面ABC 的距离为：431-=. 故选：C.
9．A
由三视图可知三棱锥为如图所示，
在△ABC 中,AB BC ⊥,2ABC
S =
在△ABD 中,AB BD ⊥,1ABD
S =； 在△ACD 中,AD CD ⊥,5
2
ACD
S =； 在△BCD 中,BD CD ⊥,12
BCD
S
=
；
故表面积为322
+. 10．B
设抛物线C 的焦点为F ，则(0,3)F ，因为直线:3l y =-为抛物线的准线，所以||||PA PF =，
所以||||PA PN +||||PF PN =+||FN ≥||1FM ≥-14==，当且仅当N 为线段FM 与圆M 的交点时，等号成立. 故选：B. 11. B
(2)f x +为偶函数，∴()f x 的图象关于直线2x =对称,
∴()(4)f x f x +=-，
()f x 为R 上的奇函数，∴()()f x f x -=-，()00f =，
∴()(4)f x f x +=-，
∴()()()(8)4f x f x f x f x +=-+=--=，即()f x 是周期为8的周期函数，
()1f a =，∴()1f a -=-，()()()3141f f f a =-+==，
∴()()()533f f f a =-=-=-，()()71f f a =-=-，
()()()()13570f f f f a a a a +++=+--=，
∴()()()()()()1352019252020172019f f f f f f +++
+=?++
()()132f f a a a =+=+=,
故选B 12．A
解：由题意知：双曲线的右焦点(),0F c ，渐近线方程为b
y x a
=±， 即0bx ay ±=， 如下图所示:
由点到直线距离公式可知：2
2
bc FA b b a
=
=+，
又
222c a b =+，
OA a ∴=，
12
AF BF
=， 即2BF b =， 设AOF α∠=，
由双曲线对称性可知2AOB α∠=，
而tan b
a
α=，3tan 2AB b OA a α==，
由正切二倍角公式可知：222222tan 2tan 21ta 1n b
b ab a a b a ααα??
- ???
?
===--， 即22
32b ab a a b =-， 化简可得：2
23a b ，
即2213
b a =， 由双曲线离心率公式可知：22123113
c b e a a ==++故选：A.
13．
95
输入1S =，1n =， 第一次循环：21
3
1
112S ，112n =+=；
第二次循环：2315
2223S ，213n =+=；
第三次循环：2
517
3334S ，314n =+=； 第四次循环：2719
4445
S
，415n =+=，
此时4n >，输出95
S =
， 故答案为：
95
. 14．由题意可得，sin 1sin 2B C =，由正弦定理得1
2
b c =，c=2b ， 又222c b ab -=，则3
2
a b =
由余弦定理可得：222222
9
4114cos 22432
b b b b
c a A bc b b +-+-==
=? 故答案为11
32
15．（4）（5）
①错，举反例：0,0,0,0,0,0,7；其平均数3x ≤，但不符合上述指标； ②错，举反例：7,7,7,7,7,7,7；其标准差02S =≤，但不符合上述指标；
③错，举反例：0,3,3,3,3,3,6；其平均数3x ≤且标准差2S ≤，但不符合上述指标； ④对，若极差小于2，符合上述指标；
若极差小于或等于2，有可能⑴0,1,2；⑵1,2,3；⑶2,3,4；⑷3,4,5；⑸4,5,6， 在平均数3x ≤的条件下，只有⑴⑵⑶成立，符合上述指标；
⑤对，在众数等于1且极差小于或等于1，则最大数不超过5，符合指标，所以选⑷⑸.
16．解：如下图所示，设BD 的中点为E ，，连结,AE EC ，因为AB AD =，所以AE BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，所以AE ⊥平面BCD ，又因为BCD ?
是等腰直角三角形，所E 为BCD
?的外心，BD CE
==O 一定在直线AE 上，2AE CE =
=<，
所以球心O 在线段AE 的延长线上，设OE x =，则三棱锥外接球半径22R x AE x BE =+=+，
即()
2
2
222
x x +=
+，解得1x =，所以3R =，所以三棱锥A BCD -的外接球的大圆面积
29S R ππ==.
