不定方程
不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数的取值范围是受某些限制（如整数、正整数或有理数）的方程.不定方程是数论的一个重要课题，也是一个非常困难和复杂的课题.
1．几类不定方程 （1）一次不定方程
在不定方程和不定方程组中，最简单的不定方程是整系数方程
)0,0(,0≠>=++b a c by ax ①通常称之为二元一次不定方程.一次不定方程解的情况有
如下定理.
定理一：二元一次不定方程c b a c by ax ,,,=+为整数.有整数解的充分必要条件是c b a |),(. 定理二：若00,,1),(y x b a 且=为①之一解，则方程①全部解为at y y bt x x -=+=00,. （t 为整数）。
（2）沛尔)(pell 方程
形如12
2
=-dy x （*d N ∈，d 不是完全平方数）的方程称为沛尔方程. 能够证明它一定有无穷多组正整数解；又设),(11y x 为该方程的正整数解),(y x 中使d y x +最小的
解，则其的全部正整数解由111111111[()()]2)()]
n n
n n n n x x x y x x ?=+-??
??=-??
（1,2,3,n =L ）给
出.
①只要有解),(11y x ，就可以由通解公式给出方程的无穷多组解. ②n n y x ,
满足的关系：1(n
n x y x y +=+；112
11222n n n n
n n x x x x y x y y ----=-??
=-? ， （3）勾股方程2
2
2
z y x =+
这里只讨论勾股方程的正整数解，只需讨论满足1),(=y x 的解，此时易知z y x ,,实际上两两互素. 这种z y x ,,两两互素的正整数解),,(z y x 称为方程的本原解，也称为本原的勾股数。容易看出y x ,一奇一偶，无妨设y 为偶数，下面的结果勾股方程的全部本原解通解公式。
定理三：方程2
2
2
z y x =+满足1),(=y x ，2|y 的全部正整数解),,(z y x 可表为
2222,2,b a z ab y b a x +==-=，其中，b a ,是满足b a b a ,,0>>一奇一偶，且
1),(=b a 的任意整数.
4．不定方程zt xy =
这是个四元二次方程，此方程也有不少用处，其全部正整数解极易求出：
设a z x =),(，则ad z ac x ==,，其中1),(=d c ，故1),(,,===d c dt cy adt acy 因即， 所以bc t bt y y d ==则设,,|. 因此方程zt xy =的正整数解可表示为
d c b a bc t ad z bd y ac x ,,,.,,,====都是正整数，且1),(=d c .反过来，易知上述给
出的t z y x ,,,都是解.
也可采用如下便于记忆的推导： 设
d c d c y t z x 这里,==是既约分数，即1),(=d c . 由于z x 约分后得出d
c
，故ad z ac x ==,，同理.,ab y cb t ==
2．不定方程一般的求解方法
1．奇偶分析法；2．特殊模法；3．不等式法；4．换元法； 5．因式分解法
6．构造法（构造出符合要求的特解或一个求解的递推关系，证明解无数个） 7．无穷递降法
由于不定方程的种类和形式的多样性，其解法也是多种的，上面仅是常用的一般方法. 注：对无穷递降法的理解：以下面的问题为例： 证明：方程4
4
2
x y z +=无正整数解。
证明：假设4
4
2
x y z +=存在正整数解，其中z 最小的解记为0z 。因为()
()2
2
2
22x
y z +=，
根据勾股方程的通解公式有222222
0,2,x a b y ab z a b =-==+，其中,a b 一奇一偶，
(),1a b =。从222
x a b =-可以得到a 为奇数，b 为偶数，令2b s =，224y ab as ==，
其中(),1a s =，所以22,,(,)1a t s q t q ===。由222
x a b =-得244
4x t q =-，即
244
4x q t +=，又可以通过勾股方程的通解公式
222222,22,,(,)1x l m q lm t l m l m =-==+=，注意到2q lm =，所以22
00,l l m m ==，24400t l m =+，而420z t b t =+>，与0z 的最小性矛盾。所以原方程组无正整数解。
赛题精讲
例1．（1）求不定方程3710725x y +=的所有解； （2）求不定方程719213x y +=的所有解。
解析：（1）可以由辗转相除法得到，其实根据该方法可以得到必存在整数,s t ，使得
371071s t +=。如10723733,371334,3481=?+=?+=?+，依次反代即可得到一个
特解。 （2）213197y x -=
，可以取353027
y
x y -=-+，此时可以得到2y =。从而得到一个特解。
注：这个两个方法是基本方法。
例2．求所有满足方程81517x
y
z
+=的正整数解
解析：首先从同余的角度可以发现y 必须为偶数，81517x
y
z
+=，又15y
的个位数必须为5，而8x
的个位数为2，4，或6，17z
的个位数为3，9，1，所以0,2(mod 4)x ≡，对应的
0,2(mod 4)
z ≡。这样可以令
2y k
=，
2z l
=，可以得到
2281715(1715)(1715)x l k l k l k =-=-+，注意到17,15l k 均为奇数，两个的和和差必定是
一个单偶，一个双偶，从而31
1715217152
l k l k x -?-=??+=??，目标集中于17152l k
-=，观察有解()(),1,1l k =。当2k ≥时，两边取模17可以得到()(1)2mod9k
-≡矛盾。所以仅有解
()2,2,2
例3．a 为给定的一个整数，当a 为何值时，方程3
1(1)y a xy +=-有正整数解？有正整数解时，求这个不定方程。
解：3
1(1)y a xy +=-可以变形为3
3
3
3
3
1(1)x y y x y a xy -+++=-，这样
()333(1)|xy y x y -+，一个明确的事实()31,1xy y -=，从而()3(1)|1xy x -+。这样我们
得到()
33(1)|1(1)|1(*)xy x xy y -+?-+。不妨假设,y x y x =>两种情况。 （1）y x =
33
2
211
1(1)11
y y a y a y y y ++=-?==+--，从这个代数式发现，2y =，对1y =单独讨
论，有2(1)a x =-，1,3;2,2a x a x ====，这种情况共有解：
()()1,3,1;22,1a a =?=?；()32,2a =?，注意到*式的等价性，又有解 ()()14,1,3;91,2a a =?=?
（2）x y >
将等式转化为不等式3211
11y a y y y +<=+--，从同余的角度看有1,1a ky k =-≥，所以3211
111
y ky y y y +-<=+--，
若1k =，则23
2
12
1(1)(1)1111
y y y xy y xy x x y y y ++=--?=--?==++--，只能是2,5,1;3,5,2y x a y x a ======。注意到*式的等价性，又有解
5,2,14;5,3,9y x a y x a ======
综
上
，
可
以
有
1,2,3,9,14
a =，对应的解分别为
()()()()()()()()()3,15,22,11,23,52,21,35,32,5共9组解。
例4．证明：不定方程2
5
4x y =-无整数解
解析：2
5
4x y =-给我们的第一个印象是,x y 同为奇数或同为偶数。若同为偶数，则
254324k l =-也就是2518k l +=，进一步有k 为奇数，因为奇数的平方模8余1，矛盾。
若同为奇数，则需进一步讨论，关键是取模为多少比较好讨论。结合费马小定理如
(,11)1y =，则5110(mod11)y or =，从而54678(mod11)y or or -≡，但是20,1,3,4,5,9(mod11)x ≡。比较两者我们就可以到相应的结论
例5．求证：2
2
2
2
2
65x y z u v xyzuv ++++=-存在无数组解且每个解都大于2009。 证明：观察有特解
()
1,2,3,4,5。从原方程可以得到
22222()()12yzuv x y z u v yzuv x yzv -++++=--。这说明从一组解可以得到另一组解
(),,,,yzuv x y z u v -。由于方程结构的对称性，不妨假设0x y z u v <<<<<，则
y z u v yzuv x <<<<-，主要是证明v x yzuv +<，这是因为v x vx yzuv +<<。不断依
次类推就可得到结论。
例6．（普特南竞赛题）求方程||1r
s
p q -=的整数解，其中q p ,是质数，s r ,是大于1的正整数，并证明你所得到的解是全部解.
解析：容易看到两个质数中肯定有一个为2，不妨假设2p =，|2|1r s q -=，即21r s
q -=±。
若
21r s q =+，从余数去讨论，3(mod 4)q ≡，s 为奇数。
1
2
21(1)(1)
r
s
s s q q q
q
--=+=+-++L ，所以
12121212
r
r s s q q q --?+=??-++=??L ，
()1111(1)2211222s
r sr s r r r s s
-=-+=-++L ，提取公因数，有
()1111
(1)(2)2211222s
r r s r s r r s s --??=-+=-++??L ，从奇偶性可以看出这种情形方程无解。
21r s q =-为偶数，注意到1221(1)(1)
r s s s q q q q --=-=-+++L 。
1212
1212
r r s s q q q --?-=??+++=??L ，()11111(1)21221122(1)22s r sr s r r r r
s s s s --=+-=+++-+L ，令2u s v =，()11111(1)21221122(1)22s
r sr s r r u r r u s v s v --++=+-=+++-+L ，观察最后两项，
只能11r =， 3q =， 2s =，从而3r =
综上，考察到对称性，原方程恰有两组解： 3,
2,
2,3,2,3,3. 2.
p p q q or r r s s ==????==?
?
??==????==?? 例8．（09湖北）求不定方程21533654321=+++++x x x x x x 的正整数解的组数． 解 令x x x x =++321，y x x =+54，z x =6，则1,2,3≥≥≥z y x ．先考虑不定方程
2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解．1,2,3≥≥≥z y x Θ，123215≤--=∴y x z ，21≤≤∴z ．
当1=z 时，有163=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为
)4,4(),3,7(),2,10(),(=y x ．
当2=z 时，有113=+y x ，此方程满足2,3≥≥y x 的正整数解为)2,5(),(=y x ． 所以不定方程2153=++z y x 满足1,2,3≥≥≥z y x 的正整数解为
)2,2,5(),1,4,4(),1,3,7(),1,2,10(),,(=z y x ．
又方程)3,(321≥∈=++x N x x x x x 的正整数解的组数为2
1x C -，方程
y x x =+54)2,(≥∈x N y 的正整数解的组数为11C -y ，故由分步计数原理知，原不定方程
的正整数解的组数为
81693036C C C C C C C C 1124132312261129=+++=+++．
例8．（09 巴尔干）求方程2
35x y z -=的正整数解。
解析：首先31,3(mod 4)x
≡，51(mod 4)y
≡，从而31(mod 4)x
≡，,x z 为偶数。方程可
以转化235x y z -=，2235k y
z -=，(3)(3)5k k y z z -+=，3535k s k t z z ?-=???+=??553255
2s t k s t
z ?+=???-?=??，2355552k s t t s z ??=+??-=??。所以0s =，即得2315512
k y
y z ??=+??-=??，下面研究2315k y
?=+，当2k ≥时，()150mod18y +≡，()517mod18y ≡，通过尝试的方法可以得到：
()()2357mod18,51mod18≡≡-，()651mod18≡，63y l =+，632315k l +?=+，在
考虑模7的余数，63
636332315
1(72)12120(mod 7)k
l l l +++?≡+≡+-≡-≡-≡，矛盾。
所以1,1k y ==，由此可以得到方程的解为2,1,2x y z ===。 变式练习：（09 加拿大）已知37a
b
+为完全平方数，求,a b 解析：37a
b
+须为4的倍数，从而,a b 一个为奇数，一个为偶数。 若2,21a k b l ==+，则223
7k
b z +=，同上，应该有2371k b ?=-，当2k ≥时，
()710mod18b -≡，()717mod18b ≡，通过尝试的方法可以得到：()()23713mod18,71mod18≡≡， 矛盾，所以0,1k =，满足条件的,a b 为
()(),0,1(2,1)a b ==
仍然考虑2317k
b
?=+
例9：试证：当112< ,)()2()1(2222y n x x x =++++++Λ即 22)12)(1(6 1 )1(y n n n x n n nx =+++++ ① 记).12)(1(6 1++=n n n A 则).(mod 2 n A y ≡ 当9,4,3=n 时，分别由① 和.|y n 令nz y =，代入①得 ,)12)(1(6 1 )1(22nz n n x n x =+++++ 即.)1(12 1)21(22 2nz n n x =-+++ 把7,5=n 代入后将分别得到).7(m od 03)4(),5(m od 02)3(2 2 ≡++≡++x x 但这是 不可能的，故7,5≠n . 当10,8,6=n 时,由①得222 )]12(6 1 )[1(y x n n nx x n +=++ ++ ② 若,6=n 则由②知,)7(m od 02 2≡+y x ，由于x 的任意性，所以只能有 )7(m od 40,2,1,02≡x 因此要使)7(m od 022≡+y x 成立,只能)7(mod 0,0≡≡y x ,于是由 ③知有137)12)(1(6 1 | 72 ?=++n n n ,这是不可能的,故.6≠n 同理可证.10≠n 若8=n ,则由②可得)9(mod 620417986 19892 22≡≡???+?+=+x x y x ,这是 不可能的,故.8≠n 综上,命题得证. 思想方法一、函数与方程思想 姓名： 方法1 构造函数关系，利用函数性质解题 班别： 根据题设条件把所求的问题转化为对某一函数性质的讨论，从而使问题得到解决，称为构造函数解题。通过构造函数，利用函数的单调性解题，在解方程和证明不等式中最为广泛，解题思路简洁明快。 例1 （10安徽）设232555322(),(),(),555 a b c ===则,,a b c 的大小关系是（ ） ....A a c b B a b c C c a b D b c a >>>>>>>> 例2 已知函数21()(1)ln , 1.2 f x x ax a x a =-+-> （1） 讨论函数()f x 的单调性； （2） 证明：若5,a <则对任意12121212 ()(),(0,),, 1.f x f x x x x x x x -∈+∞≠>--有 方法2 选择主从变量，揭示函数关系 含有多个变量的数学问题中，对变量的理解要选择更加合适的角度，先选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系，再利用函数性质解题。 例3 对于满足04p ≤≤的实数p ，使2 43x px x p +>+-恒成立的x 的取值范围是 . 方法3 变函数为方程，求解函数性质 实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式，我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题一般是通过方程来实现的……函数与方程是密切相关的。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。 例4 函数()2)f x x π=≤≤的值域是（ ） 11111122.,.,.,.,44332233A B C D ????????----?????????? ?????? 历年全国高中数学联赛试题及答案 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题。 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效,考试时不 能使用计算器。 参考公式：二次函数图象的顶点坐标是。 温馨提示：请仔细审题，细心答题，答题前仔细阅读答题纸上的“注意事项”。 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1．2的相反数是（▲） A．-2 B．2 C．- D． 2．下列计算正确的是（▲）A．Ｂ．9 =3 Ｃ．3-1= -3 Ｄ．2 +3= 5 3．据交通运输部统计，2013年春运期间，全国道路、水路、民航、铁路运送旅客总量超过了3400000000人次，该数用科学记数法可表示为（▲） A．B．C． D． 4．如图是由个相同的正方体搭成的几何体，则其俯视图是（▲） 5．使分式无意义的的值是（▲） A. B. C. D. 6．如图，已知,若, ，则等于（▲） A．B．C．D． 7．市委、市政府打算在2015年底前，完成国家森林城市创建．这是小明随机抽取我市10个小区所得到的绿化率情况，结果如下表： 小区绿化率（%） 20 25 30 32 小区个数 2 4 3 1 则关于这10个小区的绿化率情况，下列说法错误的是（▲） A．中位数是25% B．众数是25% C．极差是13% D．平均数是26．2% 8．将一个半径为R，圆心角为90°的扇形围成一个圆锥的侧面（无重叠），设圆锥底面半径为r，则R与r的关系正确的是（▲） A．R＝8r B．R＝6r C．R＝4r D．R＝2r 9．甲、乙两车分别从相距的两地同时出发，它们离A地的路程随时间变化的图象如图所示，则下列结论不正确的是( ▲) A．甲车的平均速度为； B．乙车行驶小时到达地,稍作停留后返回地； C．经小时后,两车在途中相遇； D．乙车返回地的平均速度比去地的平均速度小。 10．如图，为等边三角形，点的坐标为，过点作直线交于点，交于，点在反比例函数＜的图象上，若和（即图中两阴影部分）的面积相等，则值为（▲）A．B．C．D． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本大题有6小题，每题4分，共24分） 11．分解因式：= ▲。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外其他均相同的2个红球和3个黄球，从中随机摸出一个 “函数思想”在高中数学中的教学及意义 【内容摘要】函数在高中数学的全部体系中，具有极其重要的地位，拥有起承转合的功能，为了给学习更多的函数及导数、极限与积分打下稳固的根基，在高中数学学习中要重点学习函数的奇偶性、单调性还有周期性等性质。此文特别研究“函数思想”的教育与突出意义，希望得到师生的看重。 【关键词】高中数学函数思想意义 一、学习函数的重要性 关于函数的定义，在初中时会学到，但是在高中还会在初中数学的根基下继续拓展新的含义，重点是关于映射的理论，这些新概念需要学生加深对函数理论、思维、含义的掌握，必须明白之中的关联，找出函数思想的真义，才可以在遇到实际问题时灵活多变 地利用函数思想处理难题。“函数思想”体现了认识来源于实践这一哲学认识论，它来源于我们的社会活动，而函数中变量的概念也印证了人类社会在量变和质变统一中的永久性变化，所以，关于量变的一些实际问题能够用“函数思想”来解决。 德国的克莱因和英国的贝利，是函数出现在中学阶段的数学教材的关键人物。克莱因的观点是，函数概念和思想是数学教育的一部分，他说过函数是数学教育的主题，需要将所有的数学教学内容都放置在函数概念四周，综合运用。中学数学教学任务与函数思想紧密连接，在高中数学中灌输函数思想需要一线数学老师的研究，本文章就是浅议函数思想。 在函数思想讲解的初级阶段，老师起初要引出学生对函数思想的兴趣，了解函数的初步含义，调动学生的热情。教师需要分层讲解函数思想的定义，使学 生掌握函数思想的重点，全面认识函数思想的深度含义，接着，教师再概括归纳出逻辑性性强的函数定义。函数关系可以看作是通向两个变量间的路，通过特定的数学关系把两者连接在一起。 对于高中函数思想的教学来说，具有四个关键意义，有函数的知识导向功能、考试导向功能、应用导向功能和教育导向功能。知识导向功能表示的是函数思想作为高中数学的主体，在高中数学中所占份额很大，是打造高中数学全部知识的框架，因此掌握好函数有益于理解其它知识点，提升眼界，锻炼数学思维。函数的应用导向功能是指通过函数思想解决日常生活中的实际问题。函数思想的考试导向是指高考数学卷中有关函数的题型比例大。函数思想的教育导向功能是指学生创设和运用函数模型，来解决生活中的数学的实际问题，提升学生的综合素质，比如思考意识和 概率统计 1、（2009一试8）某车站每天8 00~900∶∶，900~1000∶∶都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到站的时间是相互独立的，其规律为 一旅客820∶【答案】27 【解析】旅客候车的分布列为 候车时间的数学期望为10305070902723361218 ?+?+?+?+?= 2、（2010一试6）两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 . 【答案】 12 17 3、（2012一试8）某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是．（用最简分数表示） 【答案】 61 243 【解析】用k P 表示第k 周用 A 种密码的概率,则第k 周末用A 种密码的概率为 1k P -.于是,有11(1),3k k P P k N *+=-∈,即1111()434k k P P +-=--由11P =知，14k P ? ?-???? 是首项为34，公 比为13-的等比数列.所以1131()443k k P --=-，即1311()434k k P -=-+，故761243 P = 4、（2014一试8）设D C B A ,,,是空间四个不共面的点，以 2 1 的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是相互独立的，则B A ,可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率是__________. 【答案】 3 4 2221219B C D -?-=点相连，且与，中至少一点相连，这样的情况数为（）（） 22(3)AB AD DB 无边，也无CD 边，此时AC,CB 相连有2种情况，，相连也有2种情况， ,,,,AC CB AD DB A B 但是其中均相连的情况被重复了一次，故可用折线连接的情况数为 222+2-1=7. 483++==.644以上三类情况数的总和为329748，故A,B 可用折线连接的概率为 5、（2015一试5）在正方体中随机取三条棱,它们两两异面的概率为. 【答案】 2 55 【解析】设正方体为ABCD-EFGH ，它共有12条棱，从中任意选出3条棱的方法共有3 12C =220种. 下面考虑使3条棱两两异面的取法数，由于正方体的棱共确定3个互不平行的方向（即AB 、AD 、AE 的方向），具有相同方向的4条棱两两共面，因此取出的3条棱必属于3个不同的方向.可先取定AB 方向的棱，这有4种取法.不妨设取的棱就是AB ，则AD 方向只能取棱EH 或棱FG ，共2种可能，当AD 方向取棱是EH 或FG 时，AE 方向取棱分别只能是CG 或DH. 由上可知，3条棱两两异面的取法数为4×2=8，故所求的概率为82 22055 =. 《初等数论》作业 第一次作业： 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 3、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 4、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 5、大于10且小于30的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 6、如果n 3，n 5，则15（）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 7、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 二、计算题 1、求24871与3468的最大公因数? 2、求[24871,3468]=? 3、求[136,221,391]=? 三、证明题 1、如果b a ,是两个整数,0 b ,则存在唯一的整数对r q ,,使得r bq a +=,其中b r ≤0. 2、证明对于任意整数n ,数6 233 2n n n + +是整数. 3、任意一个n 位数121a a a a n n -与其按逆字码排列得到的数n n a a a a 121- 的差必是9的倍数. 4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数. 第二次作业 一、单项选择题 1、如果( A ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 2、不定方程210231525=+y x （A ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 二、求解不定方程 1、144219=+y x . 解：因为（9，21）=3，1443，所以有解； 化简得4873=+y x ； 高中数学四大思想 1.数形结合思想 数形结合，“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。 实质：将抽象的数学语言与直观图形结合起来；将抽象思维和形象思维结合起来。抽象问题具体化，复杂问题简单化。 应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化： （1）集合的运算及韦恩图； （2）函数及其图象； （3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象； （4）方程（多指二元方程）及方程的曲线. 以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法. 以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合. 2.分类讨论思想 分类讨论思想，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决. 原则：化整为零，各个击破。无重复、无遗漏、最简。 步骤： 1）明确讨论对象，确定对象范围； 2）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏； 3）逐类讨论，获得阶段性结果； 4）归纳总结，得出结论。 常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等. 3.函数与方程思想 函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题； 方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决. 运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到： （1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质。 （2）密切注意一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等问题；掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略。 4.转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。 转化，是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程； 化归，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题. 转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 原则：化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化. 常见的转化有：正与反的转化、数与数的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化. 第十四章 极限与导数 一、 基础知识 1．极限定义：（1）若数列{u n }满足，对任意给定的正数ε，总存在正数m ，当n>m 且n ∈N 时，恒有|u n -A|<ε成立（A 为常数），则称A 为数列u n 当n 趋向于无穷大时的极限，记为)(lim ),(lim x f x f x x -∞ →+∞→，另外)(lim 0 x f x x + →=A 表示x 大于x 0且趋向于x 0时f(x)极限为A ，称右极限。类 似地)(lim 0 x f x x -→表示x 小于x 0且趋向于x 0时f(x)的左极限。 2．极限的四则运算：如果0 lim x x →f(x)=a, 0 lim x x →g(x)=b ，那么0 lim x x →[f(x)± g(x)]=a ±b, 0 lim x x →[f(x)?g(x)]=ab, 0 lim x x →).0()()(≠=b b a x g x f 3.连续：如果函数f(x)在x=x 0处有定义，且0 lim x x →f(x)存在，并且 lim x x →f(x)=f(x 0)，则称f(x)在x=x 0处连续。 4．最大值最小值定理：如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，那么f(x)在[a,b]上有最大值和最小值。 5．导数：若函数f(x)在x0附近有定义，当自变量x 在x 0处取得一个增量Δx 时（Δx 充分小），因变量y 也随之取得增量Δy(Δy=f(x 0+ Δx)-f(x 0)).若x y x ??→? lim 存在，则称f(x)在x 0处可导，此极限值称为f(x)在点x 0处的导数（或变化率），记作'f (x 0)或0'x x y =或 x dx dy ，即 00) ()(lim )('0 x x x f x f x f x x --=→。由定义知f(x)在点x 0连续是f(x)在x 0可导 的必要条件。若f(x)在区间I 上有定义，且在每一点可导，则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是：f(x)在点x 0处导数'f (x 0)等于曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率。 历年全国高中数学联赛二试几何题汇总 2007 联赛二试 类似九点圆 如图，在锐角?ABC 中，AB 2013年春西南大学《初等数论》作业及答案(共4次,已整理) 第一次作业 1、设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除 B：不整除 C：等于 D：小于 正确答案：A 得分：10 2、整数6的正约数的个数是（）。 A：1 B：2 C：3 D：4 正确答案：D 得分：10 3、如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除 B：等于 C：不一定 D：整除 正确答案：D 得分：10 4、如果a|b，b|a ，则（）。 A：a=b B：a=-b C：a=b或a=-b D：a，b的关系无法确定 正确答案：C 得分：10 5、360与200的最大公约数是（）。 A：10 B：20 C：30 D：40 正确答案：D 得分：10 6、如果a|b，b|c，则（）。 A：a=c B：a=-c C：a|c D：c|a 正确答案：C 得分：10 7、1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19 B：2，3，5，7，11，13，17，19 C：1，2，4，5，10，20 D：2，3，5，7，12，13，15，17 正确答案：B 得分：10 8、若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数 B：奇数 C：正整数 D：负整数 正确答案：A 得分：10 9、下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11 B：25，27，13，-1 C：1，5，7，11 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 10、下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1 B：25，27，13，-1 C：0，1，6，7 D：1，-1，2，-2 正确答案：C 得分：10 11、下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3 B：x=2,y=1 C：x=4,y=2 D：x=2,y=2 正确答案：D 得分：10 12、设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0 B：1 C：2 D：3 正确答案：A 得分：10 13、使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6 B：2 高中数学四大思想方法 ————读《什么是数学》笔记 《什么是数学》这本书是一本数学经典名著，它收集了许多闪光的数学珍品。它的目标之一是反击这样的思想："数学不是别的东西，而只是从定义和公理推导出来的一组结论，而这些定义和命题除了必须不矛盾外，可以由数学家根据他们的意志随意创造。"简言之，这本书想把真实的意义放回数学中去。但这是与物质现实非常不同的那种意义。数学对象的意义说的是"数学上'不加定义的对象'之间的相互关系以及它们所遵循的运算法则"。数学对象是什么并不重要，重要的是做了什么。这样，数学就艰难地徘徊在现实与非现实之间；它的意义不存在于形式的抽象中，也不存在于具体的实物中。对喜欢梳理概念的哲学家，这可能是个问题，但却是数学的巨大力量所在--我们称它为，所谓的"非现实的现实性"。数学联结了心灵感知的抽象世界和完全没有生命的真实的物质世界。我根据自己在数学方面的兴趣，基于已有的数学背景知识，选取一部分和高中有关的内容进行舒心愉快的阅读。重新总结了高中数学中的数学四大思想方法：函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结合；函数与方程 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界，充斥着等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。 等价转化等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范 谈高中数学竞赛辅导 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。笔者就对数学竞赛辅导谈谈自己的见解和做法，旨在抛砖引玉，以求大家共同探讨。 1.培养学生对数学竞赛的直接兴趣 直接兴趣是由于对事物本身或活动本身感到需要而引起的兴趣。在每学期开学第一节课，笔者都不急于讲授新课，而是向学生讲述数学家华罗庚等的故事；讲述数学在各行各业的用途；对其它各个学科有什么帮助；介绍华罗庚杯数学竞赛获奖学生勤奋学习的故事，通过这一系列的例子来激发学生对数学学习的重视和兴趣。 2.合理安排竞赛知识的先后顺序 数学竞赛知识无穷无尽，就高中学生而言也有很多，所以尽可能与教材结合增加学生的理解能力。数学解题与数学发现一样，通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的，类比、归纳是获得猜想的两个重要的方法。所谓类比，就是由两个对象的某些相同或相似的性质，推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式。类比是一种主观的不充分的似真推理，因此，要确认其猜想的正确性，还须经过严格的逻辑论证。 3.加强对个别学生的重点辅导 重点辅导是一个非常重要的问题，也是关键问题。学校不可能所有辅导的学生都同等优秀，总会有几个特别出色的，对待他们不可能跟其他同学站在同一角度出发，要求要特别高，在正常的课堂辅导外还要求他们自发学习和预习竞赛书上的所有内容，扩充他们整体的知识面。平常要多点关心他们的学习进度，解决困难问题，合理地梳理各部分的知识。 4.比赛前信心的确立和精神的放松 高中的学生，由于他们生理和心理的原因，在某些大事情面前是比较紧张和害怕的，当遇到一定的困难时就会不知所措，那么在比赛时就比较麻烦了。为了使他们确立信心和放松精神，笔者做了两件事，出一份模拟题；开一个考前座谈会。 5.总结 高中学生数学竞赛辅导。 第1届I M O 1.求证(21n+4)/(14n+3)对每个自然数n都是最简分数。 2.设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解： (a)A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.a、b、c都是实数，已知cosx的二次方程 acos2x+bcosx+c=0, 试用a,b,c作出一个关于cos2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当a=4,b=2,c=-1时比较cosx和cos2x的方程式。 4.试作一直角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， (a.)求证AF、BC相交于N点； （b.)求证不论点M如何选取直线MN都通过一定点S； (c.)当M在A与B之间变动时，求线断PQ的中点的轨迹。 6.两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q 上。 第2届IMO 1.找出所有具有下列性质的三位数N：N能被11整除且N/11等于N的各位数字的平方和。 2.寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1-√(1+2x))2<2x+9 3.直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成n等份（n为奇数），令为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan=4nh/(an2-a). 中学数学中四种重要思想方法 一、函数方程思想 函数方程思想就是用函数、方程的观点和方法处理变量或未知数之间的关系,从而解决问题的一种思维方式,是很重要的数学思想. 1.函数思想：把某变化过程中的一些相互制约的变量用函数关系表达出来,并研究这些量间的相互制约关系,最后解决问题,这就是函数思想； 2.应用函数思想解题,确立变量之间的函数关系是一关键步骤,大体可分为下面两个步骤：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式,把问题转化为相应的函数问题；（2）根据需要构造函数,利用函数的相关知识解决问题；（3）方程思想：在某变化过程中,往往需要根据一些要求,确定某些变量的值,这时常常列出这些变量的方程或（方程组）,通过解方程（或方程组）求出它们,这就是方程思想； 3.函数与方程是两个有着密切联系的数学概念,它们之间相互渗透,很多方程的问题需要用函数的知识和方法解决,很多函数的问题也需要用方程的方法的支援,函数与方程之间的辩证关系,形成了函数方程思想. 二、数形结合思想 数形结合是中学数学中四种重要思想方法之一,对于所研究的代数问题,有时可研究其对应几何的性质使问题得以解决（以形助数）；或者对于所研究的几何问题,可借助于对应图形的数量关系使问题得以解决（以数助形）,这种解决问题的方法称之为数形结合. 1.数形结合与数形转化的目的是为了发挥形的生动性和直观性,发挥数的思路的规范性与严密性,两者相辅相成,扬长避短. 2.恩格斯是这样来定义数学的：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学”.这就是说：数形结合是数学的本质特征,宇宙间万事万物无不是数和形的和谐的统一.因此,数学学习中突出数形结合思想正是充分把握住了数学的精髓和灵魂. 3.数形结合的本质是：几何图形的性质反映了数量关系,数量关系决定了几何图形的性质. 4.华罗庚先生曾指出：“数缺形时少直观,形少数时难入微；数形结合百般好,隔裂分家万事非.”数形结合作为一种数学思想方法的应用大致分为两种情形：或借助于数的精确性来阐明形的某些属性,或者借助于形的几何直观性来阐明数之间的某种关系. 5.把数作为手段的数形结合主要体现在解析几何中,历年高考的解答题都有关于这个方面的考查（即用代数方法研究几何问题）.而以形为手段的数形结合在高考客观题中体现. 6.我们要抓住以下几点数形结合的解题要领： (1) 对于研究距离、角或面积的问题,可直接从几何图形入手进行求解即可； (2) 对于研究函数、方程或不等式（最值）的问题,可通过函数的图象求解（函数的零点,顶点是关键点）,作好知识的迁移与综合运用； (3) 对于以下类型的问题需要注意：可分别通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x2+y2=1上的点及余弦定理进行转化达到解题目的. 三、分类讨论的数学思想 分类讨论是一种重要的数学思想方法,当问题的对象不能进行统一研究时,就需要对研究的对象进行分类,然后对每一类分别研究,给出每一类的结果,最终综合各类结果得到整个问题的解答. 1.有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决,引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种： （1）涉及的数学概念是分类讨论的； （2）运用的数学定理、公式、或运算性质、法则是分类给出的； 学高中数学竞赛辅导计 划 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】 2016年高中数学竞赛辅导计划 为搞好2016年全国数学联赛备考工作，并以此为契机，培养我校学生数学学习的积极性，进一步提高我校的办学品位，特举办本届高中数学联赛辅导班。 一、指导思想： 以科学发展观、新课程理论为指导；以提高学生学习数学、应用数学的兴趣，提高学生的数学素养为宗旨；坚持以生为本、有利于学生的终生发展的原则，立足实际、因材施教，开展数学竞赛辅导班工作。 二、目标要求 1、适当拓宽学生数学知识视野，注重渗透一些常用的数学思想方法、加深对数学本质的认识。 2、注重培养学生良好的思维品质，提高学生的探究知识及运用数学知识和数学思想方法分析、解决问题的能力。 3、注意培养学生的应用意识、创新意识、协作意识，培养学生良好的科学态度。 4、使学生在探究知识，解决问题的过程中，感受数学文化的博大精深和数学方法的巨大创造力，感受数学的魅力，增强对数学的向往感；从而激发学生学习数学的热情。培养学生不畏困难、敢于攀登科学高峰的勇气。 5、力争在2016年高中数学联赛中至少有两人次取得省级三等以上的奖项，在本市同层次学校中名列前茅，为学校争光。 三、管理措施： 1、依据全国数学联赛考试大纲，结合近几年数学联赛试题特点，根据教学进度和学生认知结构特点，精心选择、合理安排教学内容，循序渐进，逐步提高。 2、精心准备，讲究实效。认真编写讲义（或教案），上课前一周将讲义制好并分发给学生。认真上好每一节辅导课，使学生真正学有所得。 3、以集体讲解与学生自主学习和小组合作学习相结合的学习形式组织学习，充分调动学生学习的积极性，保障学生的主体地位。 4、精编课后巩固练习与强化，及时检查、及时批改、及时反馈，确保质量。 5、制定辅导班班规，严格考勤制度。 6、争取学校有关领导、班主任及数学教师的支持，确保后勤保障。 五、学生选拔：先由学生本人自愿报名，经家长同意后，由有关班主任、任课教师协商并推荐人选，通过选拔考试择优录取50名。 六、辅导教师： 七、活动时间： 八、活动地点： 注： 1、若有特殊情况须作临时调整，则另行通知。 2、本计划有不周之处或未尽事宜，将在执行过程中进行不断完善。 年月日2016年高中数学联赛辅导课安排表 1988年全国高中数学联赛试题 第一试(10月16日上午8∶00——9∶30) 一．选择题(本大题共5小题，每小题有一个正确答案，选对得7分，选错、不选或多选均得0分)： 1．设有三个函数，第一个是y=φ(x )，它的反函数是第二个函数，而第三个函数的图象及第二个函数的图象关于x +y=0对称，那么，第三个函数是( ) A ．y=－φ(x ) B ．y=－φ(－x ) C ．y=－φ－1(x ) D ．y=－φ－ 1(－x ) 2．已知原点在椭圆k 2x 2+y 2－4kx +2ky +k 2－1=0的内部，那么参数k 的取值范围是( ) A ．|k |>1 B ．|k |≠1 C ．－1 初等数论第一次作业 简答题 1. 叙述整数a被整数b整除的概念。 2. 给出两个整数a，b的最大公因数的概念。 3. 叙述质数的概念，并写出小于14的所有质数。 4. 叙述合数的概念，并判断14是否为合数。 5. 不定方程c +有整数解的充分必要条件是什么？ by ax= 6. 列举出一个没有整数解的二元一次不定方程。 7. 写出一组勾股数。 8. 写出两条同余的基本性质。 9. 196是否是3的倍数，为什么？ 10. 696是否是9的倍数，为什么？ 11. 叙述孙子定理的内容。 12. 叙述算术基本定理的内容。 13.给出模6的一个完全剩余系。 14.给出模8的一个简化剩余系。 15.写出一次同余式) ax≡有解得充要条件。 (mod m b 答： 1.设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式a=bq 成立，我们就称b整除a或a被b整除,记做b|a。 2.设a,b是任意两个整数，若整数d是他们之中每一个的因数，那么d就叫做a,b的一个公因数。a,b的公因数中最大的一个叫做最大公因数。 3.一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它本身，就叫作质数(或素数)。14的所有质数为2,3,5,7,11,13 4.一个大于1的整数，如果它的正因数除了1和它本身，还有其他的正因数，则就叫作合数。14的所有正因数为1,2,7,14，除了1和本身14，还有2和7两个正因数，所以14是合数。 5.不定方程c ax= +有整数解的充分必要条件是。 by 6.没有整数解的二元一次不定方程10x+10y=5。 7.一组勾股数为3,4,5。 8.同余的基本性质为： 性质1 m为正整数，a，b，c为任意整数，则 ①a≡a（mod m）； 第1届I M O 1.? 求证(21n+4)/(14n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2.??设√(x+√(2x-1))+√(x-√(2x-1))=A，试在以下3种情况下分别求出x的实数解：? (a) A=√2；(b)A=1；(c)A=2。 3.?a、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2x + b cos x + c = 0, 试用a,b,c作出一个关于 cos 2x的二次方程，使它的根与原来的方程一样。当 a=4,b=2,c=-1时比较 cos x和cos 2x的方程式。 4.? 试作一直角三角形使其斜边为已知的 c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5.? 在线段AB上任意选取一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AMCD、MBEF，这两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N， ??? (a.) 求证 AF、BC相交于N点； ?? （b.) 求证不论点M如何选取直线MN 都通过一定点 S； ??? (c.) 当M在A与B之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 6.? 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点，C为Q上给定一点，并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD（AB平行于CD），使得它有一个内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和Q上。 第2届IMO 1.? 找出所有具有下列性质的三位数 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2.? 寻找使下式成立的实数x： 4x2/(1 - √(1 + 2x))2 ?< ?2x + 9 3.? 直角三角形ABC的斜边BC的长为a，将它分成 n 等份（n为奇数），令?为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从A到BC边的高长为h，求证： tan ? = 4nh/(an2 - a). 4.? 已知从A、B引出的高线长度以及从A引出的中线长，求作三角形ABC。 5.? 正方体ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是对角线AC上任意一点，Y是B'D'上任意一点。 a.求XY中点的轨迹； b.求(a)中轨迹上的、并且还满足 ZY=2XZ的点Z的轨迹。 6.? 一个圆锥内有一内接球，又有一圆柱体外切于此圆球，其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 ??? (a).? 求证：V1不等于 V2； ??? (b).? 求V1/V2的最小值；并在此情况下作出圆锥顶角的一般。 7.? 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得角BXC、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点确实存在。 第3届IMO 1.? 设a、b是常数，解方程组 x + y + z = a; ? ? x2 + y2 + z2 = b2; ? ? xy=z2 并求出若使x、y、z是互不相同的正数，a、b应满足什么条件？ 2.? 设a、b、c是某三角形的边，A 是其面积，求证： a2 + b2 + c2>= 4√3 A. 并求出等号何时成立。 3.? 解方程 cos n x - sin n x = 1, 其中n是一个自然数。 4.? P是三角形ABC内部一点，PA交BC于D，PB交AC于E，PC交AB于F，求证AP/PD, 《初等数论》习题解答 作业3 一．选择题 1，B 2，C 3，D 4，A 二．填空题 1，自反律 2，对称性 3，13 4，十进位 5，3 6， 2 7，1 三．计算题 1， 解：由Euler 定理知：（a,m ）=1 则 a φ (m)≡1 (mod m) ∵(3,100)=1. 3φ (100)=340≡1 3360≡1 3364=3360×34≡34 (mod 100) ∴34≡81 (mod 100) 故：3364的末两位数是81. 2, 解：132=169≡4 （mod 5） 134=16≡1 (mod 5) 1316≡1 (mod 5) 1332≡1 (mod 5) 1348≡1 (mod 5) 1350=1348×132 1350≡132≡4 (mod 5) 3, 解： ∵(7,9)=1. ∴只有一个解 7X －5≡9Y (mod 9) 7X －9Y ≡5 (mod 9) 解之得：X=2，Y=1 ∴X=2+9≡11=2 (mod 9) 4, 解： ∵（24，59）=1 ∴只有一个解 24X ≡7 (mod 59) 59Y ≡﹣7 (mod 24) 11Y=﹣7 (mod 24) 24Z=7 (mod 11) 2Z=7 (mod 11) 11W=﹣7 (mod 2) W =﹣7 (mod 2) W=﹣1 (mod 2) Z=2 711+-= －2 Y=11 7242-?-=－5 X=247595+?-=2 288-=－12 =47(mod59) 5 解 ∵（45，132）=3，∴同余式有三个解。 45X ≡21（mod32） 15x ≡7 (mod44) 44y ≡-7 (mod15) 14y ≡-7 (mod15) 15z ≡-7 (mod14) z ≡7 (mod14) y= 14 7715-?=7 x=15 7744+?=21 ∴x=21+3 1322?=109 (mod132) x=21+31321?=65 (mod132) x=21 (mod132) 6、解 ∵（12，45）=3, ∴同余式有三个解。 4x+5≡0 (mod15) 4x ≡15y-5 由观察法：∴x=10, y=3 ∴x=10 (mod45) x=10+ 3 1×45=25 (mod45) x=10+32×45=40 (mod45) 7、解 37x=25 (mod107) 107y=-25 (mod37) 33y=-25 (mod37) 37z= -25 (mod37) 4z= 25 (mod37) 33w= -25 (mod37) w= -25 (mod37) w=3 z= 4 25333+?=31 y=33253137-?=33 1122=34 x=372534107+?=373633=99 ∴x=99 (mod321)高中数学解题四大思想方法
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