高考中的抽象函数专题练习
1、 下列结论：①函数 y
x 2 和 y ( x)2 是同一函数；②函数 f (x 1) 的定义域为
[1,2] ，则函数 f (3 x 2
) 的定义域为 [0,
3
] ；③函数 y log 2 ( x 2 2x 3) 的递增区间为
3
( 1,
) ；④若函数 f (2 x 1) 的最大值为 3 ，那么 f (1
2x) 的最小值就是
3
其中正确的个数为 (
)
A.
0 个
B.
1个 C.
2 个 D.
3 个
2. 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 满 足 f (0) 0, f (x)
f (1 x) 1, f ( x ) 1
f (x) ， 且 当
1
5 2
x 1 x 2
1 时， f (x 1) f ( x
2 ) ，则 f ( ) 等于（
）
2007 A. 1
B.
1
C.
1
D.
1
2
16
32
64
3. 已知 f ( x) 是定义在 R 上的函数，且
f ( x
3
)[1 f (x)]
1
f (x) ， f (2)
3 2 ，则
2
f
2009 值为（
）
A. 2
3
B.
2 3 C.
3 2
D.
2 3
4. 已知 f ( x 1) f ( x 1), f ( x)
f ( x 2) ，方程
f ( x) 0 在 [0,1] 内有且只有一个根
x
1 ，则 f (x)
0 在区间 0,2013 内根的个数为（
）
2
2011 B. 1006
2013
1007
A.
C. D.
5. 已知函数
f ( x) 对任意实数 x ， y 满足 f (x
y)
f ( x) f ( y) ，且 f (1) 2 . 若存在整数
m ，使得 f (
2) m 2
m 4
0 ，则 m 取值的集合为 ______.
6. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足： f ( x
2)
f (x) 0 ，且函数 f ( x 1) 为奇函数，对于下列
命题：
①函数 f (x) 满足 f ( x 4) f (x) ；②函数 f ( x) 图象关于点 (1,0) 对称；③函数 f ( x) 的图象
关于直线 x
2 对称；④函数 f (x) 的最大值为 f (2) ；⑤ f (2009) 0 .
其中正确的序号为 _________.
7. 已知函数 f ( x) 定义在 (
1,1) 上，对于任意的 x, y
( 1,1) ，有 f (x) f ( y)
f (
x
y
) ，
1 xy
且当 x
0 时， f (x) 0 .
(1) 验证函数 f ( x) ln
1
x
是否满足这些条件；
1 x
(2)
a b
1, f ( a b
2 ，且 | a | 1,|b | 1 ，求 f ( a), f (b) 的值．
若 f (
)
1 )
1 ab
ab
(3) 若 f ( 1
) 1 ，试解关于 x 的方程 f ( x)
1 ．
2
2
1 / 8
8. 已知函数f ( x)( x R) 满足：对于任意实数x, y ，都有 f ( x y) f ( x) f ( y)1
恒成立，
12
且当 x 0 时， f (x)恒成立；
2
(1)求 f (0) 的值，并例举满足题设条件的一个特殊的具体函数；
(2)判定函数 f (x) 在R上的单调性，并加以证明；
(3) 若函数 F ( x) f (max{x,2x x2
a,( a b)
}) f ( k) 1 (其中max{ a,b}) 有三个
b,( a b)
零点 x1, x2 , x3，求 u( x1 x2x3 ) x1x2x3的取值范围．
9. 已知函数 f ( x) 满足对任意实数x, y 都有 f (x y) f (x) f ( y) 1 成立，且当x0 时，
f ( x)1， f (1)0 .
(1)求 f (5) 的值；
(2)判断 f (x) 在R上的单调性，并证明；
(3) 若对于任意给定的正实数，总能找到一个正实数，
使得当| x x0 |时，
| f (x) f ( x0 ) |，则称函数 f ( x) 在 x x0处连续.
试证明： f (x) 在x0 处连续.
10. 已知函数 f (x) 满足对一切x1 , x2R 都有 f ( x1x2 ) f (x1) f ( x2 ) 2 ，且 f (1)0 ，
当x 1 时有 f ( x) 0.
(1)求 f ( 1) 的值；
(2)判断并证明函数 f ( x) 在R上的单调性；
(3)解不等式： [ f ( x2 2x)]2 2 f ( x2 2x 1) 12 0 .
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