“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的。如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA=OC=PC.
求证：∠APB=13∠AOB.
考点：
等腰三角形的性质
已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.
考点：
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.证明：延长AO交BC于D
在△ABO和△ACO中?????AB=AC()OB=OC()AO=AO()
∴△ABO≌△ACO(___)
∴∠BAO=∠CAO
即∠BAD=∠CAD(___)
∴AD⊥BC,即AO⊥BC(___)
考点：
全等三角形的判定
如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是()
A. 10
B. 8
C. 6
D. 4
考点：
[角平分线的性质]
如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC.
(1)求证：AD⊥BC.
(2)若∠BAC=75°，求∠B的度数。
考点：
等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质
如图,在△ABC中,∠BAC=120°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC 的延长线上，且CE=CA.
(1)试求∠DAE的度数。
(2)如果把题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗?
(3)若∠BAC=α°,其它条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少?
考点：
[等腰三角形的性质, 三角形内角和定理, 三角形的外角性质]
任意锐角的三等分 【摘要】：任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，数学家们认为用尺规三等分任意角是不可能的.本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的.角有锐角和 钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以，本文先从锐角的等分开始进行了研究. 【关键词】三等分；圆周角；圆心角；弦切角任意角的三等分问题是几何学的三大难题之一，两千八百年来，数学家们都认为用尺规三等分任意角是不可能的（特殊角除外），认为这是一个“作图不能”的问题.近百年来，数学界的老前辈们还是认为只要是任意角，仅用尺规三等分是不可能的.这些前辈们是用解析几何作解的（即用公式做题）. 为什么用解析几何作解呢？是因为“惊讶之处是初等几何没能对此问题提供解答” ，所以“我们必须求助于代数和高等分析”（引自：高等教育出版社出版，丘成桐主编《初等几何的著名问题》2005 年版第2 页）. 实际上，如果用上述数学方法解几何问题，有些问题只 能以近似的方式来解决?比如，以a为直径作一个圆，会容易
做出来；但如果是计算一下周长S,这时候问题就来了，因为我们要使用n值来计算，所以计算出来的周长S计只能是S~ S计且 S z S计，或表示为S=S计土8 , 3可以很小，但是毕竟是个“差”呀.再比如，1 m=3 市尺，那么1尺等于多少厘米呢？计算不出来，只能表示为：1市尺=33 cm，而这是一个近似值.计算不出来，如何分开呢？但用几何的方法就分开了.所以用几何的方法解决几何问题，才是真正的可行之道. 本文试图用初等几何知识证明任意角是可以三等分的. 在作图之前，首先要明确一下任意角的概念：任意角是 指0° < a < 360 °,不包含负角和超过360 °的角.另外，角 有锐角和钝角之分，而钝角都可以等分成锐角，所以锐角的等分问题如果得到解决，则钝角和圆（360°）的等分问题也就会得到解决.所以我先从锐角的等分开始进行了研究. 下面即将以初等几何知识以及纯几何的手工操作，通过尺规作图来三等分任意锐角. 题给条件：0< a = / xOy<90 °（参照图1）. 求解：三等分a . 一、作图（参照图2） （1 ）在Ox 边上任取一点A ，然后在Ox 边上取 OA=AA2=A2A3. （2）以O 为圆心，以OA 为半径，作AB ，此时OA=OB
引人入胜的千古难题 ——三大尺规作图问题 尺规作图是我们熟知的内容。尺规作图对作图的工具——直尺和圆规的作用有所限制。直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。 公元前五世纪的希腊数学家，已经习惯于用不带刻度的直尺和圆规（以下简称尺规）来作图了。在他们看来，直线和圆是可以信赖的最基本的图形，而直尺和圆规是这两种图形的具体体现，因而只有用尺规作出的图形才是可信的。于是他们热衷于在尺规限制下探讨几何作图问题。数学家们总是对用简单的工具解决困难的问题备加赞赏，自然对用尺规去画各种图形饶有兴趣。尺规作图是对人类智慧的挑战，是培养人的思维与操作能力的有效手段。所谓三大几何作图难题就是在这种背景下产生的。 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。起初，人们并没有认识到满足这一要求会有多大困难，但经过多次努力还不能办到时，才感到事态的严重。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图经过慎重的思考，也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。 任意给定一个角，仅用直尺和圆规作它的角平分线是很容易的，这就是说，二等分任意角是很容易做到的。于是，人们自然想到，任意给定一个角，仅用直尺和圆规将它三等分，想必也不会有多大困难。但是，尽管费了很大的气力，却没能把看来容易的事做成。于是，第二个尺规作图难题——三等分任意角问题产生了。 正方形是一种美丽的直线形，圆是一种既简单又优美的曲线图形，它们都有面积，能不能用直尺和圆规作一个正方形，使它的面积等于一个给定的圆的面积？这就是尺规作图三大难题的第三个问题——化圆为方问题。 古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。希腊人为解决三大几何问题付出了许多努力，后来许多国家的数学家和数学爱好者也一再向这三大问题发起攻击，可是，这三大问题却在长达2000多年的漫长岁月里悬而未决。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，似乎应该可以用尺规作图来完成，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。
定义：设S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }是n+1个复数，将 (1) Z 0=1 ， Z 1， ... Z n 叫做S-点； (2) 过两个不同的S-点的直线叫S-直线，以一个S-点为圆心、任意两个S-点之间的距离为半径的圆叫S-圆； (3) 由S-直线与S-直线、S-直线与S-圆、S-圆与S-圆相交的点也叫S-点。 上面这个定义完全刻画了尺规作图过程，如果以P表示全体S-点的集合，那么P 也就是从S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }出发通过尺规作图所得到的全部复数。 定理：设Z 1，... Z n (n≥0)为n个复数。设F= Q(Z 1， ... Z n， Z 1 ' ， ... Z n ')，(Z'代 表共轭复数)，那么，一个复数Z可由S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }作出的充要条件是 Z 属于F(u 1，... u n )。其中u 1 2属于F, u i 2属于F(u 1 ，... u i-1 )。换言之， Z 含于F的 一个2次根号扩张。 系：设S={Z 0=1 ， Z 1， ... Z n }，F= Q(Z 1， ... Z n， Z 1 ' ， ... Z n ')，Z为S-点，则 [ F(z) ： F] 是2的方幂。 以下证明三等分任意角不可能性，证明尺规作图不能三等分60度角： 证明：所谓给了60度角，相当于给了复数Z1=1/2+√3/2 i。从而S={Z0=1, Z1}，F=Q(z1, z1')=Q(√-3)。如果能作出20度角，当然也能得到cos20，但是cos20满足方程 4x3-3x-1/2=0，即8x3-6x-1=0。由于8x3-6x-1在Q[x]中不可约，从而[Q(cos20)：Q]=3，于是 6=[ Q(cos20, √-3)：Q] = [F(cos20)：Q]=[F(cos20)：F] [F：Q] 由于[F：Q]=[Q(√-3)：Q]=2，所以[F(cos20)：F]=3，根据上面的系可知cos20不是S-点，从而20度不可能三等分。证毕
尺规作图三大几何难 题
安溪六中校本课程之数学探秘 尺规作图三大几何问题 一、教学目标 1．让学生了解尺规作图三大几何问题如何产生的？ 2．经历探索尺规作图三大几何问题如何解决的过程，进一步体会数学方法思想。 3．学生通过自主探究、合作交流体会尺规作图三大几何问题有什么教育价值？ 二、问题背景 传说大约在公元前400年，古希腊的雅典流行疫病，为了消除灾难，人们向太阳神阿波罗求助，阿波罗提出要求，说必须将他神殿前的立方体祭坛的体积扩大1倍，否则疫病会继续流行。人们百思不得其解，不得不求教于当时最伟大的学者柏拉图，柏拉图也感到无能为力。这就是古希腊三大几何问题之一的倍立方体问题。用数学语言表达就是：已知一个立方体，求作一个立方体，使它的体积是已知立方体的两倍。另外两个著名问题是三等分任意角和化圆为方问题。古希腊三大几何问题既引人入胜，又十分困难。问题的妙处在于它们从形式上看非常简单，而实际上却有着深刻的内涵。它们都要求作图只能使用圆规和无刻度的直尺，而且只能有限次地使用直尺和圆规。但直尺和圆规所能作的基本图形只有：过两点画一条直线、作圆、作两条直线的交点、作两圆的交点、作一条直线与一个圆的交点。某个图形是可作的就是指从若干点出发，可以通过有限个上述基本图形复合得到。这一过程中隐含了近代代数学的思想。经过2000多年的艰苦探索，数学家们终于弄清楚了这3个古典难题是
“不可能用尺规完成的作图题”。认识到有些事情确实是不可能的，这是数学思想的一大飞跃。然而，一旦改变了作图的条件，问题则就会变成另外的样子。比如直尺上如果有了刻度，则倍立方体和三等分任意角就都是可作的了。数学家们在这些问题上又演绎出很多故事。直到最近，中国数学家和一位有志气的中学生，先后解决了美国著名几何学家佩多提出的关于“生锈圆规”(即半径固定的圆规)的两个作图问题，为尺规作图添了精彩的一笔。或描述如下: 这是三个作图题，只使用圆规和直尺求出下列问题的解，直到十九世纪被证实这是不可能的： 1.立方倍积，即求作一立方体的边，使该立方体的体积为给定立方体的两倍。 2.化圆为方，即作一正方形，使其与一给定的圆面积相等。 3.三等分角，即分一个给定的任意角为三个相等的部分。 三、问题探秘 1.立方倍积 关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛稜长的二倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错误：「棱二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对，於是改在神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是瘟
三等分任意角的方法探究 西工大附中 孙开锋 三等分任意角的方法探究 摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文 关键词： 只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几千前的数学家们就会做。 纸上任意画一个角，以其顶点O为圆心，任意选一个长度为半径画弧，找出弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一半。找出两段弧的相交点C，用直尺把O和C连接起来，那么直线OC就将角AOB 平分成了两部分。 用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。 但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？ 早在公元前5世纪，古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，但终于都以失败告终。直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”, 才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。 但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决，不妨举几个例子以共享。 一、利用工具三等分任意角
如图1所示，叫做“三等分仪” 吧 ， CE=EG=DG,ME ⊥CD,弧ED 是以G 为圆心的半圆，故ME 与半圆G 相切于点E. 具体操作：将该仪器置于 ∠AOB 的内部，使得点C 落在OA 上，ME 经过点O,半圆G 与OB 相切于点F,则OE,OG 为∠AOB 的三等分线。 数理证明：分别连接OG,GF,故GF ⊥OB,而EG ⊥OE,所以易证：△GOE ≌△GOF;同理可证△GOE ≌△COE;故可得到：∠COE=∠GOE=∠FOG.所以，OE 、OG 为∠AOB 的三等分线。 二、中考中的三等分角 题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法：将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上，边OA 与函数y x =1的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交函数y x =1的图象于点R ，分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线交于点M ，连结OM 得到∠MOB ，则∠=∠MOB AOB 13 。要明白帕普斯的方法，请研究以下问题。 （1）设P （a a ,1），R （b b ,1）求直线OM 对应的函数表达式（用含a b 、的代表式表示）； （2）分别过点P 和R 作y 轴与x 轴的平行线，两直线相交于点Q ，请证明点Q 在直线OM 上，并据此证明∠=∠MOB AOB 1 3 ；
[业务]仓库出入库单管理制度 仓库物资出入库管理规定 1 范围 适用于公司所有仓库，包括原材料库、零部件库、包装库、产成品的管理。 2 目的 为了使公司仓库纳入规范化、制度化的管理，做到数据准确、质量完好、收发迅速、降低费用、加速资金周转，特制定本管理规定。 3 原则 3.1实物原则。 3.1.1 物资到公司后库管员依据入库通知单上所列的名称、数量进行核对、清点，经使用部门或请购人员及检验人员对质量检验合格后，方可入库。 3.1.2 保管员必须见实物打入库单，不能凭出库单打入库单。 3.2实事求是原则。 3.2.1 库管要严格把关，有以下情况时可拒绝验收或入库。 3.2.1.1 未经总经理或部门主管批准的采购。 3.2.1.2与合同计划或请购单不相符的采购物资。 3.2.1.3与要求不符合的采购物资，涂改无效。 3.3仓库不准凭借条发放任何物资。 3.4以旧换新的物资一律交旧领新。 4 管理规定 4.1 入库 4.1.1物资入库(包括固定资产、设备、基建材料、原材料及辅助材料、零配件、包装) 4.1.1.1入库单一式四联:第一联:存根、第二联:财务、第三联:仓库、第四联:记账。第一联由仓库保管员留存，第二联由采购员同发票交财务部结算用，第三联由仓库记账用，第四联月末送交财务。 4.1.1.2入库单由仓库管理人员填写。保管员根据过磅计量单、采购通知单、验质报告单开具入库单，填写内容包括:购货单位、入库时间，货物规格、名称、数量、单位、单价、金额(开增值税发票时，应填写不含税单价和金额)，入库单由采购员，仓库保管员两人签字后生效。
4.1.1.3外购后直接发往现场的材料或配套产品物资，发票经董事长或总经理签字后，使用部门持签字后的发票和出库手续到仓库办理入库手续，入库单由采购员、生产或使用部门负责人、仓库保管员三人签字。 4.1.1.4 入库单要求加盖仓库专用章。 4.1.2产成品入库 4.1.2.1产成品入库单共三联:第一联:保管记账联、第二联:车间统计联、第三联:会计联。第一联由保管记账用，第二联由车间统计与成品库保管对账用、第三联由保管员月末送财务部。 4.1.2.2成品入库时由车间统计与成品库保管员共同对产成品品名、规格、级别进行计量确认，待车间下班时由保管员与车间统计共同核对当班的成品入库数量，由保管员打产成品入库单，入库单上填写产成品名称、规格、单位、数量并由车间统计、保管员在入库单上签字。 4.2出库 4.2.1物资出库 4.2.1.1出库单共三联:第一联:存根、第二联:财务、第三联:仓库。第一联由票据管理部门保存，第二联月末交财务部，第三联由保管员记账用。 4.2.1.2生产部门领用时，保管员应根据用料部门开具的出库单发出材料，出库单填写内容包括:出库时间、货物名称、单位、数量、具体项目，出库单须由领用人及部门主要负责人签字。 4.2.1.3后勤系统按定额领用的日常办公用品及劳保用品，出库单由领用人签字，超出定额的领用需总经理签字。 4.2.1.4设备科领用材料时，出库单(领料清单)上须详细标明使用部门、加盖技改项目或大修费用项目章，出库单(领料清单)必须由总经理签批，且技改项目及大修费用的预算审批表需在财务部备案。 (注:一次领用材料较多时，可用领料清单代替出库单，领料清单一式三份，自存、仓库、财务各一份。) 4.2.1.5 M车间领用的高压阀门及配件须交旧换新，出库单必须由生产副总签批。(见2012年原材料、费用消耗标准 5.2) 4.2.1.6工具类、电脑及配件、打印机及配件须交旧换新，出库单由车间主任或部门经理签字。 4.2.1.7 生产领用固定资产及扩建材料时，出库单上须标注使用部门并加盖项目章，并由生产副总签批。 4.2.1.8非生产用固定资产采购时，请购单上需董事长签字，发票及付款由总经理签字，领用时出库单上由领用人签字。 4.2.2 工具借用
数学家帕普斯“三等分角” “三等分角”是数学史上一个著名的问题，但仅用尺规不可能“三等分角”．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法（如图）： 将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中，边OB在x轴上、边OA与函数的图象交于点P，以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R 作x轴和y轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM得到∠MOB，则∠MOB= ∠AOB．要明白帕普斯的方法，请研究以下问题： （1）设、，求直线OM对应的函数表达式（用含的代数式表示）． （2）分别过点P和R作y轴和x轴的平行线，两直线相交于点Q．请说明Q 点在直线OM上，并据此证明∠MOB=∠AOB． （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）． 解：（1）设直线OM的函数关系式为．……………1分则∴．……………2分 ∴直线OM的函数关系式为．……………3分
（2）∵ 的坐标满足，∴点在直线OM上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页）……………4分∵四边形PQRM是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=PR． ∴∠SQR=∠SRQ．……………5分 ∵PR=2OP，∴PS=OP=PR．∴∠POS=∠PSO．……………6分 ∵∠PSQ是△SQ R的一个外角， ∴∠PSQ=2∠SQR．∴∠POS=2∠SQR．……………7分 ∵QR∥OB，∴∠SOB=∠SQR．……………8分 ∴∠POS=2∠SOB．……………9分 ∴∠SOB= ∠AOB．……………10分 （3）以下方法只要回答一种即可． 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可． 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可． 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角．……………
“三等分角器”是利用阿基米德原理做出的。如图，∠AOB为要三等分的任意角，图中AC，OB两滑块可在角的两边内滑动，始终保持有OA=OC=PC. 求证：∠APB=13∠AOB. 考点： 等腰三角形的性质 已知如图，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC. 考点： 等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质 如图所示，在△ABC中，AB=AC，O是△ABC内一点，且OB=OC，求证：AO⊥BC.证明：延长AO交BC于D 在△ABO和△ACO中?????AB=AC()OB=OC()AO=AO() ∴△ABO≌△ACO(___) ∴∠BAO=∠CAO 即∠BAD=∠CAD(___) ∴AD⊥BC,即AO⊥BC(___)
考点： 全等三角形的判定 如图,已知△ABC的面积为12,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,则△ADC的面积是() A. 10 B. 8 C. 6 D. 4 考点： [角平分线的性质] 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE=AC. (1)求证：AD⊥BC.
(2)若∠BAC=75°，求∠B的度数。 考点： 等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质 如图,在△ABC中,∠BAC=120°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC 的延长线上，且CE=CA. (1)试求∠DAE的度数。 (2)如果把题中“AB=AC”的条件去掉，其余条件不变，那么∠DAE的度数会改变吗? (3)若∠BAC=α°,其它条件与(2)相同，则∠DAE的度数是多少? 考点： [等腰三角形的性质, 三角形内角和定理, 三角形的外角性质]
【知识回顾】 1、尺规作图的定义：尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。 2、五种基本作图: 1、作一条线段等于已知线段; 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线； (1)题目一：作一条线段等于已知线段。 已知：如图，线段 a . 求作：线段AB,使AB = a . 作法： (1)作射线AP (2)在射线AP上截取AB=a . a ! A rB-P 尺规作图 则线段AB就是所求作的图 形。 (2)题目二：作已知线段的中点。 已知：如图，线段MN. 求作：点0,使M0=N Q即0是MN的中点). 作法： (1)分别以M N为圆心，大于 的相同线段为半径画弧，两弧相交于P, Q (2)连接PQ交MN于0. 则点0就是所求作的MN的中点。 (3)题目三：作已知角的角平分线。 已知：如图，/ A0B 求作：射线0P,使/ A0P=Z BOP(即卩0P平分/ A0B 。作法： (1)以0为圆心，任意长度为半径画弧，分别交0A 0B于 M, N; (2)分别以M N为圆 心，大于f的线I段长为半径画弧，两弧交/ A0B内于P; (3)作射线0P A M P 则射线0P就是/ A0B的角平分线。 (4)题目四：作一个角等于已知角。已知：如图，/ A0B 求作：/ A 0 B',使A' 0 B' =/A0B 作法： (1)作射线0' A'; ,最常用的尺规作图，通常称基本作图。
(2) (3) (4) (5) 以O 为圆心，任意长度为半径画弧，交 OA 于M 交OB 于N; 以O 为圆心，以 OM 的长为半径画弧，交 O A '于M ; 以M 为圆心，以 MN 的长为半径画弧，交前弧于 连接O N' 并延长到B 'o N'; 则/ A O' B '就是所求作的角。 (5)题目五：经过直线上一点做已知直线的垂线。 已知：如图，P 是直线 AB 上一点。 求作：直线 CD,是CD 经过点P,且CD 丄ABo 作法: (1) AB 于M N ； (2) 以P 为圆心，任意长为半径画弧，交 1 分别以M N 为圆心，大于-MN 的长为半径画弧, 2 两弧交于点 Q; (3) 则直线CD 是求作的直线。 (6)题目六：经过直线外一点作已知直线的垂线 已知： 求作： 过D Q 作直线CD 作法: (1) (2) 如图，直线 AB 及外一点P 。 直线CD,使CD 经过点P, 且 CDL ABo 以P 为圆心，任意长为半径画弧，交 AB 于M N; 1 分别以M N 圆心，大于丄MN 长度的一半为半径画弧，两弧交于点 2 (3) 则直线CD 就是所求作的直线。 (5) 已知 求作 作法 (1) (2) 过P 、Q 作直线CD 题目七：已知三边作三角形。 如图，线段 a , b , c. △ ABC 使 AB = c , AC = b , BC = a. 作线段AB = c ; 以A 为圆心，以b 为半径作弧, 以B 为圆心，以a 为半径作弧与 前弧相交于C; 连接AC, BC (3) 则厶ABC 就是所求作的三角形。 题目八：已知两边及夹角作三角形。 已知 求作 作法 (1) (2) (3) 如图，线段 m n, / . △ ABC 使/ A=z , AB=m AC=n. 作/ A=Z ; 在AB 上截取AB=m ,AC=n ； 连接BC, A Q 则厶ABC 就是所求作的三角 形。
MathStudio for iPad 使用方法入门 （36） 阿基米德螺线与 三等分任意角 2016年6月16日
★三等分任意角是几何作图三大难题之一，不能只用直尺圆规三等分任意角是早有的定论。 ★免除“只用尺规作图”的限制，就能三等分任意角吗？ ★现在就探讨借助阿基米德螺线来三等分任意角吧
直线y=cx=7x c=7 X轴与直线夹角φ =tan-1(c)=tan-1(7)=1.4289 同心圆C1 ρ1=r1=0.5 r1=0.5 同心圆C2 ρ2=r2= 1 r2=1 同心圆C3ρ3=r3=1.5 r3=1.5 阿基米德螺线ρ=aθ 螺线与同心圆C1 的交点P1(x1,y1) , OP1与X轴夹角=θ1螺线与同心圆C2 的交点P2(x2,y2) OP2与X轴夹角=θ2螺线与同心圆C3 的交点P3(x3,y3) OP3与X轴夹角=θ3 θ3= φ =1.4289 a=ρ3/θ3=r3/tan-1(c)=1.5/1.4289=1.0498 计算得θ2=ρ2/a=θ3×ρ2/ρ3=θ3×1/1.5=θ3×2/3=0.9526 θ1=ρ1/a=θ3×ρ1/ρ3=θ3×0.5/1.5=θ3×1/3=0.4763
首先画出过极点斜率为7的直线其次画出以极点为中心的 3个同心圆 半径为0.5、1、1.5 即同心圆的半径比为1:2:3 在同一帧图里 再画出与3 个同心圆相交的 阿基米德螺线 a=r3/atan(c)=1.0498
P3 P 2 P 1 P3的数据 X3=0.211 Y3=1.486 θ3=1.429（弧度） =1.429×180/π=81.9° r3=sqrt(X32 +y32) =sqrt(0.2112 +1.4862) =1.5 O
古希腊三个著名问题之一的三等分角，现在美国就连许多没学过数学的人也都知道．美国的数学杂志社和以教书为职业的数学会员，每年总要收到许多“角的三等分者”的来信；并且，在报纸上常见到：某人已经最终地“解决了”这个不可捉摸的问题．这个问题确实是三个著名的问题中最容易理解的一个，因为二等分角是那么容易，这就自然会使人们想到三等分角为什么不同样的容易呢？ 用欧几里得工具，将一线段任意等分是件简单的事；也许古希腊人在求解类似的任意等分角的问题时，提出了三等分角问题；也许(更有可能)这问题是在作正九边形时产生的，在那里，要三等分一个60°角． 在研究三等分角问题时，看来希腊人首先把它们归结成所谓斜向(verging problem)问题．任何锐角ABC(参看图31)可被取作矩形BCAD的对角线BA和边BC的夹角．考虑过B点的一条线，它交CA于E，交DA之延长线于F，且使得EF=2(BA)．令G为EF之中点，则 EG=GF=GA=BA， 从中得到：
∠ABG=∠AGB=∠GAF+∠GFA=2∠GFA=2∠GBC， 并且BEF三等分∠ABC．因此，这个问题被归结为在DA的延长线和AC之间，作一给定长度2(BA)的线段EF，使得EF斜向B点． 如果与欧几里得的假定相反，允许在我们的直尺上标出一线段 E’F’=2(BA)，然后调整直尺的位置，使得它过B点，并且，E’在AC 上，F’在DA的延长线上；则∠ABC被三等分．对直尺的这种不按规定的使用，也可以看作是：插入原则(the insertion principle)的一种应用．这一原则的其它应用，参看问题研究4．6． 为了解三等分角归结成的斜向问题，有许多高次平面曲线已被发现．这些高次平面曲线中最古老的一个是尼科梅德斯(约公元前240年)发现的蚌线．设c为一条直线，而O为c外任何一点，P为c上任何一点，在PO的延长线上截PQ等于给定的固定长度k．于是，当P沿着c移动时，Q的轨迹是c对于极点O和常数k的蚌线(conchoid)(实际上，只是该蚌线的一支)．设计个画蚌线的工具并不难①，用这样一个工具，就可以很容易地三等分角．这样，令∠AOB 为任何给定的锐角，作直线MN垂直于OA，截OA于D，截OB于L(如图32所示)．然后，对极点O和常数2(OL)，作MN的蚌线．在L点作OA的平行线，交蚌线于C．则OC三等分∠AOB．
初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象，仅限于直线、圆以及由它们（或一部分）所组成的图形，因此作图的工具，习惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种.限用直尺和圆规来完成的作图方法，叫做尺规作图法.最简单的尺规作图有如下三条： ⑴经过两已知点可以画一条直线； ⑵已知圆心和半径可以作一圆； ⑶两已知直线；一已知直线和一已知圆；或两已知圆，如果相交，可以求出交点； 以上三条，叫做作图公法.用直尺可以画出第一条公法所说的直线；用圆规可以作出第二条公法所说的圆；用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点.一个作图题，不管多么复杂，如果能反复应用上述三条作图公法，经过有限的次数，作出适合条件的图形，这样的作图题就叫做尺规作图可能问题；否则，就称为尺规作图不能问题. 历史上，最著名的尺规作图不能问题是： ⑴三等分角问题：三等分一个任意角； ⑵倍立方问题：作一个立方体，使它的体积是已知立方体的体积的两倍； ⑶化圆为方问题：作一个正方形，使它的面积等于已知圆的面积. 这三个问题后被称为“几何作图三大问题”.直至1837年，万芝尔（Pierre Laurent Wantzel）首先证明三等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题；1882年，德国数学家林德曼（Ferdinand Lindemann）证明π是一个超越数（即π是一个不满足任何整系数代数方程的实数），由此即可推得根号π(即当圆半径1 r=时所求正方形的边长）不可能用尺规作出，从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题. 若干著名的尺规作图已知是不可能的，而当中很多不可能证明是利用了由19世纪出现的伽罗华理论.尽管如此，仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目，当中以化圆为方及三等分任意角最受注意.数学家Underwood Dudley曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书. 还有另外两个著名问题： ⑴正多边形作法 ·只使用直尺和圆规，作正五边形. ·只使用直尺和圆规，作正六边形. ·只使用直尺和圆规，作正七边形——这个看上去非常简单的题目，曾经使许多著名数学家都束手无策，因为正七边形是不能由尺规作出的. ·只使用直尺和圆规，作正九边形，此图也不能作出来，因为单用直尺和圆规，是不足以把一个角分成三等份的. ·问题的解决：高斯，大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作图的正多边形的条件：尺规作图正多边形的边数目必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，解决 了两千年来悬而未决的难题. ⑵四等分圆周 只准许使用圆规，将一个已知圆心的圆周4等分．这个问题传言是拿破仑·波拿巴出的，向全法国数学家的挑战. 尺规作图的相关延伸： 用生锈圆规(即半径固定的圆规)作图 1.只用直尺及生锈圆规作正五边形 2.生锈圆规作图，已知两点A、B，找出一点C使得AB BC CA ==. 3.已知两点A、B，只用半径固定的圆规，求作C使C是线段AB的中点. 4.尺规作图，是古希腊人按“尽可能简单”这个思想出发的，能更简洁的表达吗？顺着这思路就有了更简洁的表 达.10世纪时，有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图.1672年，有人证明：如果把“作直线”解释为“作出直线上的2点”，那么凡是尺规能作的，单用圆规也能作出！从已知点作出新点的几种情况：两弧交点、直线与弧交点、两直线交点，在已有一个圆的情况下，那么凡是尺规能作的，单用直尺也能作出！.
题目：三等分任意角 地点：北京师大二附中 主讲人：徐超 主持人：我们从上午九点四十到下午三点钟结束，在整个报告过程中，因为我了解到今天参加报告的同学大部分是高一的，在听报告过程中有些地方会觉得稍稍困难些，但是我们学数学的就是这样的，我们会经历些我们感觉会比较困难的过程，我们只要坚持下去，就会在数学中发现许多乐趣，发现数学内在让我们感动的东西，希望大家能够珍惜我们今天讲座的机会，认真的体会，在听的过程中会有些问题留下来，将来通过大家的努力，一定能很好的解决。下面我们就有请徐超先生。 徐超：三等分任意角教科书上写清楚是不可能的，我们今天给出严格的证明是不可能的，而且这个证明是高一学生所能接受的。在过去在没有找到这个证明之前所有人都认为是大学二年级学完所谓的抽象代数这门课后才能理解为什么是不可能的，实际这个证明可以很初等的给出来，为什么三等分角这件事情惹了这么多麻烦呢？我举一个例子，我是1956年到的中科院数学研究所，这个时候，不断的有各个地方的人写信来，说我解决了三等分角，这种信每个月都有一沓，作者当初给的证明实际上是错的，实际上他要证明三等分任意角都可以，他以为用平面几何的知识就可以解决，但实际上很难，这个问题偶尔到现在还能收到所谓的人民来信说他解决了三等分角，原因在哪里？就是一直没有一个初等证明使得能说服他，现在讲的证明是从分析三等分角究竟是怎么回事开始的。那么我从历史讲起。三等分角是什么意思呢？首先我们先讲尺规作图。先下定义，尺规作图就是用不带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，用的这两个东西不能量大小，不能够我给你60度的角，量一量画出两条线，这是不允许的，所以说一般的直尺和圆规不带刻度有限次作图，给它画出来。什么叫作图，举个例子给了一条直线BB ’和线外一点A ，作它的平行线，这就叫作图。那么怎么作呢？以B 为圆心以r （r 可以为任意长度）为半径画圆，连接BA 并延长至C ，再以A 为圆心r 为半径画圆，用圆规在A 点作'CAA ∠，令'2CAA ∠=∠，使21∠=∠，利用同位角相等可以知道'//'AA BB 。（注意这两个圆的半径是一样的） 21 这就叫圆规直尺作图，现在教科书中关于作图题极少，关于作图题几乎是没有的，我念中学的时候作图是重要的，最后讲的一个作图题和一个轨迹题，平面几何的。尺规作图就是用不 带刻度的尺画直线，用不带度量的圆规画圆，有限次作图，在给出基础点以后画图做出来。 尺规作图有多少年历史呢？有四千年历史，提出三个问题，这三个问题在历史上是可以查出来的。中国是发明造纸的，希腊是把草压扁了在上面写，就叫做草书。两千五百年前草书上，记载的三大问题，尺轨作图的三大问题。刚才我已经把尺规作图的定义讲清楚了。
“三等分角”是数学史上一个著名问题，但仅用尺规不可能“三等分角” .下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角“的方法（如图），将给定的锐角∠AOB 置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数1y x = 的图象交于点P ，以P 为圆心，以2OP 为半径作弧交图象于点R .分别过点P 和R 作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连接OM 得到得到∠MOB ，则13MOB AOB ∠=∠. 要明白帕普斯的方法，请你研究以下问题： （1）设1(,)P a a 、1(,)R b b ，求直线OM 相对应 的函数解析式（用含a,b 的代数式表示）. （2）分别过P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直 线相交于点Q ，请说明Q 点在直线OM 上，据此证明13 MOB AOB ∠=∠. （3）应用上述方法得到结论，你如何三等分一个 钝角（用文字简要说明）. 解：（1）设直线OM 的函数关系式为 )1,(),1,(,b b R a a P kx y =． 则),1,(a b M ∴ab b a k 11=÷=． ∴直线OM 的函数关系式为x ab y 1=． （2）∵Q 的坐标)1,(b a 满足x ab y 1=，∴点Q 在直线OM 上． （或用几何证法，见《九年级上册》教师用书191页） ∵四边形PQRM 是矩形，∴SP=SQ=SR=SM=2 1PR ． ∴∠SQR=∠SRQ ． ∵PR=2OP ，∴PS=OP=2 1PR ．∴∠POS=∠PSO ． ∵∠PSQ 是△SQR 的一个外角， ∴∠PSQ=2∠SQR ．∴∠POS=2∠SQR ． ∵QR ∥OB ，∴∠SOB=∠SQR ． ∴∠SOB=3 1∠AOB ． （3）以下方法只要回答一种即可． 方法一：利用钝角的一半是锐角，然后利用上述结论把锐角三等分的方法即可． 方法二：也可把钝角减去一个直角得一个锐角，然后利用上述结论把锐角三等分后，再将直角 利用等边三角形（或其它方法）将其三等分即可． 方法三：先将此钝角的补角（锐角）三等分，再作它的余角
尺规作图典型例题
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典型例题 例1 、求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段 已知：线段 求作：，使∠A＝90°，AB＝AC，BC＝分析：由于等腰直角三角形比较特殊，内角依次为45°，45°，90°，故有如下几种作法： 作法一：1、作线段BC＝ 2、分别过点B、C作BD、CE垂直于BC 3、分别作∠DBC、∠ECB的平分线，交于A点 即为所求 作法二：作线段BC＝ 2、作∠MBC＝45° 3、作∠NCB＝∠MBC，CN与BM交于A点 即为所求 作法三：1、作线段BC＝
2、作∠MBC＝45° 3、过C作CE⊥BM于A 即为所求 作法四：1、作线段BC＝ 2、作BC的中垂线，交BC于O点 3、在OM上截取OA＝OB，连结AB，AC 即为所求 说明：几种作法中都是以五种基本作图为基础， 不要求写出基本作图的作法和证明。 例2、已知三角形的两边和其中一边上的中线长，求作这个三角形. 已知：线段a、b为两边，m为边长b的中线 求作：，使BC=a，AC=b，且AM=MC，BM=m. 分析：先画草图，假定为所求的三角形，则有BC=a，AC=b，设M为AC边的中点，则MB=m,而，故的三边为已知作出，然后再作出 . 作法：（1）作，使BC=a，，MB=m； （2）延长线段CM至A，使MA=CM;
（3）连接BA，则为所求作的三角形. 小结：本题的突破口是找与所求的的关系.由于的三边已知，故 即可顺利作出. 例3、如图，A、B、C三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P. 分析：分两步：先作到A、B两点距离相等的点的图形，再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点. 作法：（1）连结AB，做线段AB的垂直平分线DE； （2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE与点P. 则点P为所求作的学校位置. 小结：由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置，可以分解为先求到A，B相等的所有点，再求作到B，C相等的所有点，交点即所求. 扩展资料 三大几何作图问题 三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究。早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯（Anaxagoras，约500B.C.～428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of chios，前5世纪下半叶）、安蒂丰（Antiphon，约480B.C.～411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问
部分特殊角和任意角简易角三等分尺规作图 上次我用尺规作图已将120°角三等分了，下面我用一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的部分特殊角和任意角三等分尺规作图来验证角三等分确实有解。 一. 用尺规作图将30°角三等分（一） 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为D,连接OD,在弧上作OD=DE,连接OE,∠EOD=60°,作∠COE=∠EOA=∠AOH=∠HOB=∠BOD=∠DOK=15°,∠AOB=∠α=30°,将∠α=30°角三等分。连接CK交OA线上G点，连接BG並延长交OC线上P点，连接AP交CK线上F点，连接BC交OH线上H1点，连接BF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、AH1、 AB、AC,ABGC为菱形，H1G=AH1=H1B,则∠H1BG=∠H1GB=1/2∠α=15°,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2∠α=5°，证明省略，∠AOm=∠mON=∠NOB=1/3∠α=1/3∠AOB=∠a1Ga3=10°,即将30°角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-1-15 , 15。应该注意的是如果∠α大于或等于60°时，必须将大于或等于60°的角缩小偶数倍的角小于60°后才能进行角三等分。如果60°≤∠α＜120°时，∠α缩小两倍，如果120°≤∠α＜240°时，∠α缩小四倍。值得注意的是角的所在区域相同，角的尺规作图方式也应相同。∠α缩小偶数倍的角已被分成三等分的角扩大同样偶数倍后的角才是∠α被分成三等分的角，∠α是否需要缩小和缩小多少偶数倍可用圆的半径来确定。 一. 用尺规作图将60°角三等分（二） 以O点为圆心，以任意长为半径画弧，在弧上任取一点为A,连接OA ,在弧上作AB=OA,连接OB, ∠AOB=∠A1OA4=60°=∠α,∠α应该缩小两倍方可以进行角三等分。作∠CO A=∠AOE=∠EOH=∠HOD=∠DOB=∠BOK=15°=1/4∠α,将∠AOB=∠α=60°角三等分。连接CK交OE线上G点，连接DG並延长交OC线上P点，连接EP交CK 线上F点，连接CD交OH线上H1点，连接DF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、EH1、 ED、EC, CEDG为菱形，H1G=H1E=H1D, ∠H1DG=∠H1GD=1/4∠α=15°,则∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=∠a4Ga6=1/3×1/2×1/2∠α=5°,证明省略，∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=1/3∠A1OA4=1/3∠AOB=∠a1Ga6=1/3∠α=20°.即把∠α=60°角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-2-1 ，61。 一. 用尺规作图将120°角三等分（三） 用尺规作图将120°角三等分上次已作过了，这里就不重复了。 二. 用尺规作图将任意角三等分（一） ∠α为任意一个角，用尺规作图将∠α角三等分，以∠α角顶点O为圆心，以任意长为半径画弧交∠α两边分别是A点和B点，即∠α=∠AOB=∠A1OA4。用半径OA来确定∠α是否需要缩小和应该缩小多少偶数倍，而120°＜∠α＜240°，∠α应该缩小四倍。所以该角三等分尺规作图方式与120°角三等分尺规作图方式相同，只是角的大小之别。作∠AOE=∠EOC=∠Com=∠moH=∠HON=∠NOD=∠DOK=∠KOB=1/8∠α=1/8∠AOB，将∠AOB=∠α角三等分。连接EK交Om线上G点，连接NG並延长交OE线上P点，连接Pm交EK线上F点，连接NE交OH线上H1点，连接NF交OH线上b2点，连接GH1、Gb2、mH1、 mE、mN, mNGE为菱形，H1G=H1m=H1N,∠H1NG= ∠H1GN=1/8∠α,∠H1Gb2=∠a1Ga2=∠a2Ga3=∠a3Ga4=1/3×1/2×1/4∠α，证明省略，则∠A1OA2=∠A2OA3=∠A3OA4=∠a2Ga5=1/3∠AOB=1/3∠A1OA4 =1/3∠α,即将∠α角三等分。该图和编号就是一本180例简易大小各不相等的角三等分尺规作图中的一张图和编号。图号和页号是3-4-51 ，171。