中考数学一模试卷
说明：1. 全卷共4页，考试用时100 分钟．满分为 120 分．
2．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己准考证号、姓名、试室号、
座位号，用2B 铅笔把对应号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，
用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上．
4．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位
置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以
上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．下列各式不成立的是( )
A ．|－2|＝2
B ．|＋2|＝|－2|
C ．－|＋2|＝±|－2|
D ．－|－3|＝＋(－3)
2．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．某种计算机完成一次基本运算的时间约为0.000 000 001s ，用科学记数法可表示为（ ）
A ．0.1×10﹣8s
B ．0.1×10﹣9s
C ．1×10﹣8s
D ．1×10﹣9
s
4．某小组7位学生的中考体育测试成绩（满分60分）依次为57，60，59，57，60，58，60，
则这组数据的众数与中位数分别是（ ）
A ．60，59
B ．60，57
C ．59，60
D ．60，58
5．如图1，在?ABCD 中，已知AD=8cm ，AB=6cm ，DE 平分∠ADC 交BC 边于
点E ，则BE 等于（ ）
A ． cm
B ．2cm
C ．3cm
D ．4cm
6．如图2，在平面内，把矩形ABCD 沿EF 对折，若∠1=50°，
则∠AEF 等于（ ）
A ．115°
B ．130°
C ．120°
D ．65°
7．一次函数y=﹣x+1的图象不经过的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
8．哥哥与弟弟的年龄和是18岁，弟弟对哥哥说：“当我的年龄是你现在年龄的时候，你就是
18岁”．如果现在弟弟的年龄是x 岁，哥哥的年龄是y 岁，下列方程组正确的是( )
A.?
???? x ＝y －18，y －x ＝18－y B.????? y －x ＝18，x －y ＝y ＋18 C.????? x ＋y ＝18，y －x ＝18＋y D.????? y ＝18－x ，18－y ＝y －x
9．如图3，正方形ABCD 的边长AB=4，分别以点A 、B 为圆心，AB 长为半径
画弧，两弧交于点E ，则CE 弧的长是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ． 图3
10．甲、乙两同学同时从400m 环形跑道上的同一点出发，同向而行，甲的速度为6m/s ，乙
的速度为4m/s ，设经过x （单位：s ）后，跑道上两人的距离（较短部分）为y （单位：m ）， 则y 与x （0≤x ≤300）之间的函数关系可用图象表示为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）
11．代数式有意义时，x 应满足的条件是 ．
12．分解因式：x 3﹣xy 2= ．
13．某水库水坝的坝高为10米，迎水坡的坡度为1：2.4，则该水库迎水坡的长度为 米．
14．如图4 ，在一张正方形纸片上剪下一个半径为r 的圆形和一个半径为R 的扇形，使之
恰好围成图中所示的圆锥，则R 与r 之间的关系是________．
15．如图5，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ，PO 与⊙O 相交点D ，PO=2，
若D 为PO 的中点，则阴影部分的面积为 ．
16．已知，正六边形ABCD EF 在直角坐标系内的位置如图6所示，A （﹣2，0），点B 在原点，
把正六边形ABCDEF 沿x 轴正半轴作无滑动的连续翻转，每次翻转60°，经过2015次翻
转之后，点B 的坐标是______．
图4 图5 图6
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．计算： 10201412sin 30+1|1|3--?-
-π---（））（）.
18．先化简，再求值：2()()(2)a b a b b a b b +-++-，其中12a b ==-，．
19．如图7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°．
（1）按以下步骤作图并保留作图痕迹．
①以点A 为圆心，以小于AC 长为半径画弧，交AC 于点E ，交AB 于点F ；
②分别以点E ，F 为圆心，以大于EF 长为半径画弧，两弧在Rt △ABC 的内
部相交于点M ；
③画射线AM 交BC 于点D ． 图
7
（2）求证：AD 是∠BAC 的平分线．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．2017年3月20日，某服装厂为一学校新生生产校服，要求在9月1日前一定要完成，
且在规定时间内要完成生产服装3200套，在加工了200套后，厂家把工作效率提高到原
来的2倍，于是提前15天完成任务，求该服装厂原来每天生产多少套校服．
21．如图8，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，
BD 是对角线．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；
（2）若∠ADB 是直角，则四边形BEDF 是什么四边形？证明你的结论． 图8
22．中学生上学带手机的现象越来越受到社会的关注，为此媒体记者随机调查了某校若干名
学生上学带手机的目的，分为四种类型：A 接听电话；B 收发短信；C 查阅资料；D 游戏
聊天．并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解
答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了______名学生；
（2）将图1、图2补充完整；
（3）现有4名学生，其中A 类两名，B 类两名，
从中任选2名学生，求这两名学生为同一
类型的概率（用列表法或树状图法）．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．如图9，抛物线与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，P 是线段AB 上一动点（端
点除外），过P 作PD ∥AC ，交BC 于点D ，连接CP ．
（1）直接写出A、B、C的坐标；
（2）求△PCD面积的最大值，并判断当△PCD的面积取最大值时，
以PA、PD为邻边的平行四边形是否为菱形．
图9
24．如图10，在△ABC中，AB=AC，以A C为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作
DF⊥AB，垂足为F，连接DE．
（1）求证：直线DF与⊙O相切；
（2）求证：△BED∽△BCA；
（3）若AE=7，BC=6，求AC的长．
图10
25．已知：如图①，在平行四边形ABCD中，AB=12，BC=6，AD⊥BD．以AD为斜边在平行四边形AB CD的内部作Rt△AED，∠EAD=30°，∠AED=90°．
（1）求△AED的周长；
（2）若△AED以每秒2个单位长度的速度沿DC向右平行移动，得到△AE0D0，当A0D0与BC 重合时停止移动，设运动时间为t秒，△A0E0D0与△BDC重叠的面积为S，请直接写出
S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；
（3）如图②，在（2）中，当△AED停止移动后得到△BEC，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°），在旋转过程中，B的对应点为B1，E的对应点为E1，设直线B1E1与直线BE交于点P、与直线CB交于点Q．是否存在这样的α，使△BPQ为等腰三角形？若存在，求出α的度数；若不存在，请说明理由．
图11
数学试卷答案
一、选择题
1.C 2．D．3.D 4.A． 5.B．6.D 7.C 8.D． 9．A． 10．C．
二、填空题
11．x＞1 ．
12．x（x+y）（x﹣y）．
13.26．
14．R＝4r
15．﹣π．
16．（4031，）．
三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
-.
17．解：原式＝121
+，代入求值，得－1.
18．解：原式化简，得2a ab
19．（1）解：如图所示：
（2）证明：连接EM、FM，
根据作图可的AE=AF，EM=FM，
在△AEM和△AFM中，
，
∴△AEM≌△AFM（SSS），
∴∠CAD=∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线．
四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）
20．解：设该服装厂原来每天生产x套校服，则提高效率后每天生2产x套校服，
由题意得，﹣（+）=15，
解得，x=100，
经检验，x=100是方程的解，
答：设该服装厂原来每天生产100套校服．
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=CD，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
∵
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）若∠ADB是直角，则四边形BEDF是菱形，理由如下：解：由（1）可得BE=DF，
又∵AB∥CD，
∴BE∥DF，BE=DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
连接EF，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，
∴DF∥AE，DF=AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，
∵∠ADB是直角，
∴AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形．
22．
解：（1）100÷50%=200，
所以调查的总人数为200名；
故答案为200；
（2）B类人数=200×25%=50（名）；D类人数=200﹣100﹣50﹣40=10（名）；C类所占百分比=×100%=20%，D类所占百分比=×100%=5%，
如图：
（3）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中两名学生为同一类型的结果数为4，
所以这两名学生为同一类型的概率==．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
23．解：（1）A（4，0）、B（﹣2，0）、C（0，﹣4）；
（2）PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形，
理由如下：
设P（x，0）（﹣2＜x＜4），
∵PD∥AC，
∴，
解得，
∵C到PD的距离（即P到AC的距离），
∴△PCD的面积，
即，
∴△PCD面积的最大值为3，
当△PCD的面积取最大值时，x=1，PA=4﹣x=3，，
∵PA≠PD，
∴PA、PD为邻边的平行四边形不是菱形．
24．（1）证明：如图，连接OD．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠C，
∴∠ODC=∠B，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF与⊙O相切；
（2）证明：∵∠BE D=∠C，∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA；
（3）解：∵四边形ACDE是⊙O的内接四边形，∴∠AED+∠ACD=180°，
∵∠AED+∠BED=180°，
∴∠BED=∠ACD，
∵∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴，
∵OD∥AB，AO=CO，
∴BD=CD=BC=3，
又∵AE=7，
∴，
∴BE=2，
∴AC=AB=AE+BE=7+2=9．
25．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=6．
在Rt△ADE中，AD=6，∠EAD=30°，
∴AE=AD?cos30°=3，DE=AD?sin30°=3，
∴△AED的周长为：6+3+3=9+3．
（2）在△AED向右平移的过程中：
（I）当0≤t≤1.5时，如答图1所示，此时重叠部分为△D0NK．
∵DD0=2t，∴ND0=DD0?sin30°=t，NK=ND0÷tan30°=t，
∴S=S△D0NK=ND0?NK=t?t=t2；
（II）当1.5＜t≤4.5时，如答图2所示，此时重叠部分为四边形D0E0KN．
∵AA0=2t，∴A0B=AB﹣AA0=12﹣2t，
∴A0N=A0B=6﹣t，NK=A0N?tan30°=（6﹣t）．
∴S==﹣=×3×3﹣×（6﹣t）×（6﹣t）=t2+t
﹣；
（III）当4.5＜t≤6时，如答图3所示，此时重叠部分为五边形D0IJKN．
∵AA0=2t，∴A0B=AB﹣AA0=12﹣2t=D0C，
∴A0N=A0B=6﹣t，D0N=6﹣（6﹣t）=t，BN=A0B?cos30°=（6﹣t）；
易知CI=BJ=A0B=D0C=12﹣2t，∴BI=BC﹣CI=2t﹣6，
S=S梯形BND0I﹣S△BKJ= [t+（2t﹣6）]?（6﹣t）﹣?（12﹣2t）?（12﹣2t）=t2+t﹣．
综上所述，S与t之间的函数关系式为：
S=．
（3）存在α，使△BPQ为等腰三角形．
理由如下：经探究，得△BPQ∽△B1QC，
故当△BPQ为等腰三角形时，△B1QC也为等腰三角形．（I）当QB=QP时（如答图4），
则QB1=QC，∴∠B1CQ=∠B1=30°，
即∠BCB1=30°，
∴α=30°；
（II）当BQ=BP时，则B1Q=B1C，
若点Q在线段B1E1的延长线上时（如答图5），
∵∠B1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=75°，
即∠BCB1=75°，
∴α=75°；
若点Q在线段E1B1的延长线上时（如答图6），
∵∠CB1E1=30°，∴∠B1CQ=∠B1QC=15°，
即∠BCB1=180°﹣∠B1CQ=180°﹣15°=165°，
∴α=165°．
③当PQ=PB时（如答图7），则CQ=CB1，
∵CB=CB1，
∴CQ=CB1=CB，
又∵点Q在直线CB上，0°＜α＜180°，
∴点Q与点B重合，
此时B、P、Q三点不能构成三角形．
综上所述，存在α=30°，75°或165°，使△BPQ为等腰三角形．