深圳科学高中高二第二学期数学周末练习(一)
2.在中, sin sin cos cos A C A C <,则一定是( )
Ａ.锐角三角形 Ｂ.钝角三角形 Ｃ.直角三角形 Ｄ.不确定
3.下面使用类比推理正确的是 ( )
A. 直线a,b,c ,若a //b,b //c ,则a //c .类推出:向量a,b,c ,若a //b ,b //c ,则a //c
B. 同一平面内,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .类推出:空间中,直线a,b,c ,若a ⊥c,b ⊥c ,则a //b .
C. 实数,a b ,若方程20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥. 类推出:复数,a b ,若方程
20x ax b ++=有实数根,则24a b ≥.
D. 以点(0,0)为圆心,r 为半径的圆的方程为222x y r +=.类推出:以点(0,0,0)为球心,r 为半径的球的方程为2222x y z r ++=.
4．有一段演绎推理是这样的“有些有理数是真分数，整数是有理数，则整数是真分数”，结论显然是错误的，因为( )
A ．大前提错误
B ．小前提错误
C ．推理形式错误
D ．不是以上错误 5.观察式子:,,,,则可归纳出式子为( )
Ａ. Ｂ. Ｃ.
Ｄ. 6. 已知扇形的弧长为,所在圆的半径为, 类比三角形的面积公式:底高,可得扇形的面积公式为( ) Ａ.
Ｂ.
Ｃ.
Ｄ.不可类比
7.观察下列各式:,,,,,可以得出的
一般结论是( )
ABC △ABC △213122+<221151233++<222111712344
+++<2221111
1(2)2321n n n ++++
<-≥2221111
1(2)2321n n n ++++<+≥2
22111211(2)23
n n n n -+
+++<≥2
2211121(2)23
21
n n n n +
+++
<+≥l r 1
2
S =??212
r 212
l 12
rl 211=22343++=2345675++++=2456789107++++++=
A. B. C. D.
8.用数学归纳法证明,从到,左边需要增乘的代数式为( ) A.
B.
C.
D.
9.下列几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A .5
和 B .由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 C .我校高中高二级有18个班，1班有51人，2班有53人，3班有52人，由此推测各班都超过50人；
D .预测股票走势图.
10.已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则lim
Δx →000(3)()
f x x f x x -?-?的值为( ) A. 43-
B. 12-
C. 12
D. 4
3
11. 正整数按下表的规律排列
则上起第2009行,左起第2010列的数应为( )
A.22009
B.22010
C.20092010+
D.20092010?
12.为了保证信息安全传输,有一种称为秘密密钥密码系统(Private Key Cryptosystem ),其加密、解密原理如下图: 现在加密密钥为)2(log +=x y a ,如上所示,明文“6”通过加密后得到密文“3”,再发送,接受方通
过解密密钥解密得到明文“6”.问:若接受方接到密文为“4”,则解密后得明文为( )
2(1)(2)(32)n n n n n ++++++-=2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-2(1)(2)(31)n n n n n +++++
+-=2(1)(2)(31)(21)n n n n n +++++
+-=-(1)(2)()213(21)n n n n n n +++=-····k 1k +2(21)k +21k +21
1
k k ++23
1
k k ++1 2 5
10 17
4 3 6 11 18 9 8 7
12 19 16 15 14 20
25 24 23
22
解密密钥密码 加密密钥密码 明文
密文 密文 发送
明文
A.12
B.13
C.14
D.15 二、填空题（4小题，每小题5分，共20分）
13．观察()()()()223322,,a b a b a b a b a b a ab b -=-+-=-++()()443223a b a b a a b ab b -=-+++，
进而猜想n
n
a b -=
14.观察（1）000000tan10tan 20tan 20tan 60tan 60tan101++=；
（2）000000tan5tan10tan10tan 75tan 75tan51++= （3）000000tan 20tan 40tan 40tan30tan30tan 201++=
由以上三式成立，归纳可得推论 .
15.函数y ＝f （x ）在（0，2）上是增函数，函数y=f(x+2)是偶函数，则f(1),f(2.5),f(3.5)的大小关系是 .
16．设平面内有n 条直线（3≥n ），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点，若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f = ，当4n >时()f n =
（用n 表示）.
三、解答题(3大题,12+14+14=40分) 17．(12分)函数2
1y x x
=+
+，求导数'(1)f 和'(3)f .
18．(14分)已知数列{a n}满足S n＋a n＝2n＋1.
(1)写出a1, a2, a3,并推测a n的表达式; (2)用数学归纳法证明所得的结论.
19．(14分)在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：
1
AD2＝
1
AB2＋
1
AC2。
那么在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．
深圳科学高中高二第二学期数学周末练习(一)参考答案
一、选择题
二、填空题
13.
()()
123221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++
14. 若,,αβθ都不是090，且090αβθ++=，则tan tan tan tan tan tan 1αββθαθ++=
解析如下：
2. 由已知得sin sin cos cos cos()0,A C A C A C -=-+<∴cos()0,A C +> ∴A C +为锐角,得B 为钝角,ABC △为钝角三角形.
3. 若向量b =0,则a //c 不正确;
空间内,直线a 与b 可以相交、平行、异面,故B 不正确; 方程200(1)0x ix i ++-±=有实根,但24a b ≥不成立;
设点(,,)P x y z 是球面上的任一点,由OP r =,r =,D 正确. 4.大小前提都正确，其推理形式错误．故应选C
5. 由每个不等式的不等号左边的最后一项的分母和右边的分母以及不等号左边的最后一项的分母的底和指数的乘积减1等于右边分母可知,选C.
6. 三角形的高类比扇形半径,三角形的底类比扇形的弧. 8. 当n k =时,左边=(1)(2)()k k k k ++?
?+
1,[(1)1][(1)2][(1)(1)]n k k k k k =+=++++?
?+++当时左边
(2)(3)()(1)(2)k k k k k k k k =++???+++++
(1)(2)
(1)(2)()
1
k k k k k k k k k ++++=++???++
(1)(2)()[2(21)]k k k k k =++???++,
∴从到,左边需要增乘的代数式为2(21)k +.
k 1k +
11. 由上的规律可知,第一列的每个数为所该数所在行数的平方,而第一行的数则满足列数减1的平方再加1.依题意有,左起第2010列的第一个数为220091+,故按连线规律可知,上起第2009行,左起第2010列的数应为220092009+=20092010?.
12. 由其加密、解密原理可知,当x =6时,y =3,从而a =2;不妨设接受方接到密文为“4”的“明文”为b,则有)2(log 42+=b ,从而有14224=-=b .
16.(2)0f =，(3)2f =，(4)5f =，(5)9f =.
可以归纳出每增加一条直线，交点增加的个数为原有直线的条数 所以 (3)(2)2,(4)(3)3,(5)(4)4f f f f f f -=-=-= 猜测得出1)1()(-=--n n f n f ，
有)1(432)2()(-++++=-n f n f ，
所以1()(1)(2)f n n n =+-，
因此)2)(1(2
1
)(,5)4(-+==n n n f f .
三、解答题
17.解： 00002
0000222()()()1(1)x
y f x x f x x x x x x x x x x x
??=+?-=+?++-++=?-+?+? 0020022
1x x x x x y
x
x x x x
??-
+??==-??+?
'022*******
()lim lim(1)1x x y f x x x x x x ?→?→?∴==-=-?+?
'22(1)111f ∴=-
=-,'
227(3)139
f ∴=-= 18.解:(1) a 1＝
23, a 2＝47, a 3＝815,猜测 a n ＝2－n 2
1
(2) ①由(1)已得当n ＝1时,命题成立;
②假设n ＝k 时,命题成立,即 a k ＝2－k 2
1
,
当n ＝k ＋1时,a 1＋a 2＋……＋a k ＋a k ＋1＋a k ＋1＝2(k ＋1)＋1,且a 1＋a 2＋……＋a k ＝2k ＋1－a k
∴2k ＋1－a k ＋2a k ＋1＝2(k ＋1)＋1＝2k ＋3, ∴2a k ＋1＝2＋2－k 21, a k ＋1＝2－12
1
+k , 即
当n ＝k ＋1时,命题成立.
根据①②得n ∈N + , a n ＝2－
n 2
1
都成立. 19. 如图①所示，由射影定理AD 2＝BD ·DC ，AB 2＝BD ·BC ，AC 2＝BC ·DC .
所以1
AD 2＝BC 2BD ·
BC ·DC ·BC ＝BC 2
AB 2·AC 2.
又BC 2＝AB 2＋AC 2， 所以1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1
AC 2，
所以1AD 2＝1AB 2＋1AC 2，
类比AB ⊥AC ，AD ⊥BC 猜想：四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面
BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1
AD
2.
如图②所示，连接BE 并延长交CD 于F ，连接AF . 因为AB ⊥AC ，AB ⊥AD 所以AB ⊥平面ACD .
在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ，所以1AE 2＝1AB 2＋1
AF 2
在Rt △ACD 中，AF ⊥CD ，所以1AF 2＝1AC 2＋1
AD 2
所以1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2， 故猜想正确．