2 弹性力学问题的有限单元法
思考题
2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？
答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。
2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？
答：对。
2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。
2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？
答：能。矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。因此矩形单
元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。
2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。
计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。 2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。
2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。
答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上相互联系，即只有结点才能传递力。所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。
2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加一个结点，那么单元内应力如何分布？
答：(1)应变矩阵[B]中的参数m j i m j i c c c b b b 、、、、、由坐标变量x 、y 之差确定。当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x 、y 无关，
因此[B]为常量阵。当单元的结点位移{a}确定后，由[B]转换求得的单元应变都是常量，也就是说在荷载作用下单元中各点具有统一的
xy y x γεε、
、
值。因此三结点三角形单元称为常应变单元。
(2)如果在每边中点增加一个结点，单元内的应力为线性分布。
习 题
2.1试证明x 、y 与面积坐标的关系 证明:设P 点坐标为（x,y ）
j j
pij
y x y
x
y x A i
i
1
11
21=
()()()()[]()y c x b a y x x x y y y x y x xy y x y x y x x y y x m m m i j j i i j j i j i j i j i j i ++=-+-+-=---++=2
1
21
21
同理可求得：
由面积坐标定义得：
()y c x b a A
A A L i i i ijm
Pjm i ++==21
()
()y c x b a y x y x y x A y c x b a y x y x y
x
A j j j i
i
m m pmi
i i i m
m j j
pjm
++==++==2
1
1
11
2121
1112
1
()y c x b a A
A A L j j j ijm Pmi j ++=
=
21
()y c x b a A
A A L m m m ijm
Pij m ++==
21
由此推出坐标y x 、与面积坐标的函数关系：
()()22j i i j j i i j i j j i m j j m m j m j m j j m A c L c L a c a c x b c b c A b L b L a b b a y b c b c ?-+-=
?-?
?
-+-?=?-?
式（2.1）
面积：
m i i m j m m j i j j i m j i c b c b c b c b c b c b a a a A -=-=-=++=2
代入式（2.1）有：
m
j j m m j j m j m m j i j j i j i i j j i i j c b c b b a b a L b L b y c b c b c a c a L c L c x --+
-=--+
-=
其中形状参数由下式确定：
m
j m
j
i m j m
j
i j m m j m
m j
j
i x x x x c y y y y b y x y x y x y x a +-==-=-
=-==
111
1
代入上式（2.1）可转化为：
m m j j i i m m j j i i L y L y L y y L x L x L x x ++=++=
再加上 m j i L L L ++=
1 所以用面积坐标表示直角坐标矩阵形式如下：
??
??
????????????????=??????????m j i m j
i
m j i L L L y y y x x x y x 111
1 2.
2 试证明两相似三角形的单元刚度矩阵相同。
证明：由于两个三角形相似，故设h A A =2
1
， h 为一常数。 三角形：()11112
1
i j ji i c b c b A -=
111111i m j m j i y y b y y b -=-=
1111
11i m j m j i x x c x x c +-=+-=
参数 j i j i c c b b 、、、，只与坐标差有关，所以
h
b b i i 121=
h
c c i i 12
1
=
单元刚度矩阵通式为：
h
b b b b s r s r 1
2211=
h A A 121= 故[][]21rs rs K K =
所以
[][][][][][]
[][][][][][]
[]
????
??????==mm mj
mi
jm jj
ji
im
ij ii
T e K K K K K K K K K tA B D B K [][]
e
e
K K 21
=
因此两相似三角形的单元刚度矩阵相同。
2.3 直角三角形固定在刚性基础上，受齐顶的水压力和自重作用，如图2.14所示。若按一个单元计算，水的容重g γ，三角形平面构件容重g ρ,取泊松比v =1/6，试求顶点位移和固定面上的反力。 解：按逆时针编码，局部编码与整体编码相同：1-2-3
建立坐标())0,0(3)3,0(20,21:a a xoy
（1） 求形函数矩阵：
[]
()??
?
??
?
??
????-+-+-+
-+=-=s r s r s r s r s r s r s r s r rs
b b
c c c b b c b c c b c c b b A Et K 212
12
121142
ννννννν
a a a a 600
321===
a b b a b 30
3321-===
a c a c c 220
321-===
图（2.14） 形函数:
)(21
y c x b a A N i i i i ++=
23322
1
a a a A =??=
所以：
a
y a x N a y
N a x
N 32132321--
==
=
形函数的矩阵为：
[][]
[][]?
??????
??
?----==a y a x a y a x a y a x a y a x N N N N m j
i
3210302003210302
（2） 刚度矩阵
[][][][][][][][][]
[]
????
??????=3332
31
2322
21
13
1211
K K K K K K K K K K e
[]
()????
?
?????-+-+-+-+=-=s r s r s r s
r s r s r s r s r rs
b b
c c c b b c b c c b c c b b A Et K 21212121142
ννννννν
()12
5
21353141
6122=-=-==
νννa E
A Et t
可得：
[][]?
???????=???
?
????=400353534150093532211E
K E K [][]???
??
???=?????
?????=02510
35343127273323531233E K E K
[]
????????----=2152
519
35313
E K []???
?????----
=
41253535323E K
（3）位移列向量和右端项
由边界条件可确定：
{}{}
T
e u a 000022υ=
水压力和构件厚分别为：
1
0==t gh
p γ
[]
???????????
?????????????------------
--
--=
4312
74
252151273321
3525941
4001
2535035250215250254150191
09
353E K e
{}T T
e t l q h q h
q R ?
??
???=?
???
??=03203
100203
6
0001
自重为
W 与支座反力：
{}T
y x y x e
W R R W W
R R R ?
?
??
??--
-
=33
0333
112
所以：
{}T
y x y x e
W R h q R W h q W R R R ?
?
??
??-+
--
=33
363
303011
由
[]{}
{}
e
e
e
R a K =得到下列矩阵方程组：
????
???
?
???
???????
???????
?????-+--=??????????????????33363000030301122W R h q R W h q W R R u y x y x υ 化简得：
??
???
?????-=?????????
?????3640035353022W h q u E υ
]
???????????
?????????????------------
--
--=
4312
74
2
52151273321
3525941
4001
253503525021525025415019
1
009
353E K e
可得：
?
?
???
?????-=??????E W E h q u 363567022υ
将?
??
???22υu 代入下式： ??????
?
??????
?
????-+-=?????????
??????
?????
????----33342
513502510353303
1122W R h q R W R R u E y x y x υ 固定面上的反力：a h ga gh q 330===γγ
从而可得支座反力为：
4
32212341203
3011h q W R h q W R W h q R W
R y x y x -
=-=+
=-
=
2.4 试从式（2.69）说明对角线元素改1法只能用于给定零位移的情形，而对角元素充大数法可以适用任意指定位移的情形。 解：（1）在式（2.69）中，
{}{}{}a b ab a aa R a K a K '']'[']'[=+
采用对角线元素改一法，则：
{}{}a a aa a a K '']'[=
所以在式（2.69a ）中可改为：
{}{}{}a b ab a a a K a '']'['=+
需满足：{}{}a b a a ''=
因为 ：ab K ]'[为非零矩阵 所以 ：{}b a '应需为向量
则这种方法只能用于给定零位移。
（2）同上在式（2.69a ）中{}{}a K R aa a
''='α （其中α
可取2010左右甚至更大的量级）
根据主元充大数：
{}{}{}a K a K a K aa
b ab a aa ''=+αα']'[']'[
{}a aa a K ']'[α》》{}b ab a K ']'[
由于所以右边近似等于{}a aa a K ']'[α 所以左边等于右边
即主元充大数法满足任何给定位移（零值和非零值）
2.5 仿照例2.3，试证明矩形单元是完备协调元。
.
.
{}{}{}
b b bb a ba R a K a K '']'[']'[=+
证明：在平面问题中，场函数为位移场函数，4结点矩形单元的位移插值函数为：
xy y x u 4321ββββ+++=
平面问题的泛函数中所包含的物理量的最高导数为
2阶，而位移
插值函数中包含的位移场函数（考虑到对称性，位移插值函数中只取了xy 项）及其直至2阶的完全多项式，所以是完备的。
要证明协调性，只需考虑单元边界上的连续性。为此，参考上图，对于j-m 边的公共结点j ，m 的位移j u ，m u 完全确定，所以在边界上是
协调的。
2.6 仿照例2.3，试证明图2.15所示任意四边形单元在选取位移模式
xy y x u 4321ββββ+++=
是完备的但不是协调的。
证明：完备性证明同2.5；
协调性：对于边i-j ，直线方程为Bx A y +=
所以代入上式，得:
2
24432312
4433214321)()(x )()(x C x B A Bx x A B A Bx Ax Bx A Bx A x Bx A x u '+'+'=+++++=+++++=+++++=ββββββββββββββββ
公共边i-j ，i ，j 两点的位移不能完全确定A '，B '，C '三个为未知量
故任意四边形单元是完备的但不是协调的。
2.7上端受均布荷载作用的墙体视为平面构件，如图2.16(a)所示，划分成为8个单元如图2.16(b)，试在图2.16(b)上画出边界条件和等效结点荷载；倘若利用对称性取一半，如图2.16(c)，试在图2.16(c)上画出边界条件和等效结点荷载。设E=30Gpa ，v =1/6，均布荷载q=20KN/m ，试按图2.16(c)求构件的结点位移。
3单元和插值函数
思 考 题
3.1
什么是面积坐标？如何计算三角形内某点的面积坐标？
答：(1)如（a ）图所示，三角形内任一点P （x ，y ），将P 与三角形三个顶点i ，j ，m 连成3个三角形。令i A 为i 点所对应三角形pjm 的面积，j A 为j 点所对应的三角形pmi 的面积，m A 为m 点所对应的三角形pij 的面积，面积坐标定义为：r L =r A /A （i ，j ，m ），其中A 为三角形ijm 的面积，点p （x ，y ）用面积坐标可以写为P （i L ，j L ，
m L ），且i L +j L +m L =1。
（2）求某点面积坐标除用定义外，还可用如图（b ）所示的方法，即三角形内某点的面积坐标可通过同底三角形的高度比来计算。如图（b ）中的i L =h i /i H 。
（a ） (b) 图3.3 面积坐标
3.2 什么是划线法？如何用划线法形成单元的插值函数？
答：（1）划线法是根据形函数的0-1特性，将需要等于零的各结点用
直线连接起来（划线）；
（2）在该直线上为零，则在该直线上的各结点的值也为零，为此形函数一定包含了该直线方程的因子，将需要等于零的各个因子乗起来即得到该单元的行函数。
3.3 下列平面单元的位移具有连续性吗？
（1）平面三角形二次单元；
连续
（2）平面三角形三次单元；
连续
（3）8结点矩形单元；
连续
（4）8结点任意四边形单元。
连续
3.4 下列单元满足收敛的充分必要条件∑Ni=1吗？
（1）平面三角形三次单元；
满足
（2）变结点单元；
满足
（3）长方体20结点单元。
满足
3.5 对于非协调的薄板单元如何进行分片检验？
答：当赋予单元片各个结点以与常应变状态相应的位移值和载
荷值时，校验0)(m
1
=-∑=e i j
e e ij P a K 是否满足，如能满足则认为通过分片检验。 3.6
在平面壳单元中如何判别共面点？可用什么方法进行处理？
答：（1）在平面壳体单元中，如果某一点的各个单元面法向不同，经局部坐标转化到整体坐标后，该点的总体位移有6 个，若方向相同，常称此点为共面点。 （2）处理方法有两种：
i 、在局部坐标系内建立结点平衡方程，并删去zi θ方向的平衡方程，于是剩下的方程满足唯一解的条件。
ii 、在此结点上，给一任意的的刚度系数z k θ，这时在局部坐标系中，此结点在zi θ方向的平衡方程
zi 0z k θθ=
经变换后，总体坐标中的系统方程满足唯一条件，它不影响单元应力。
习题
3.1
试利用面积坐标构造10结点三角形单元（图3.22）的9、10结点的插值函数。
解：利用划线法可得：)3
1
(13199-=L L L N α
32
)
9(1=L 3
1)9(3=L 19=N 即 )3
1
32(323219-???=α
2
27
9=α 所以 )13(2
9
)31(2271311319-=-=L L L L L L N
3211010L L L N α=
3
1
)10(3)10(2)10(1===L L L 2710=α 所以 3211027L L L N = 3.2
利用构造变结点数单元插值函数的方法，构造图3.22所示三次三角形单元的插值函数，并和式（3.5）的结果进行比较。
解：由划线法可得
3211013193318332723262215121427)
13(2
9
)
13(29
)
13(29
)
13(29
)
13(29
)13(29
L L L N L L L N L L L N L L L N L L L N L L L N L L L N =-=-=-=-=-=-=
设1N 为原三结点三角形的形函数，即11L N =
101099885544
11N N N N N N N ααααα'+'+'+'+'+= 0)4(1=N 14=N
其余点在4结点的形函数均为0，3
2)
4(1=L 所以 13
2
04?'+=α 324-='α
0)5(1=N ，15=N ， 其余点在5结点的形函数均为0，3
1
)5(1=
L 3
1
13
1
05
5
-='?'+=∴αα 1(8)0N =，
81N =，其余结点在8点的形函数为0，1(8)1
3
L = ∴8
1
3
α'=- 1(9)0N =，91N =，其余点在9结点的形函数均为0，1(9)
23
L = ∴923α'=- 同理 1013
α'=- 1(10)
1(10)10
101
1103
N L αα''=+?=+?= 故 1098541131
32313132N N N N N L N -----=
以此类推
10
98673310
6754223
1
313231323
1
32313231N N N N N L N N N N N N L N -----=-----=
经与式（3. 5）比较，所得结果相同。 3.3
利用构造变结点数单元插值函数的方法，构造图3.23中8、9结点单元的插值函数。
解：原8结点标准母单元的形函数为：
2
18=
α
)1)(1()1)(1)(1)(1(2299ξηξηξηα--=-++-=N
修正8N
99
88N a N N '+= 1
2109)9(8)9(8==
=N N N
2
1
12
1
09
9
-='?'+=αα 所以
)
1)(1()1)(1(2
1
)
1)(1(21)1)(1(21212292222
988ξηξξηξηξη--=+-=---+-=-=N N N N
)1)(1(2
1
)1)(1)(1(288ξηηξηα+-=++-=N
一 判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为 {}{} [][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力 基本方程 平衡方程 物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
1、有限元是近似求解一般连续场问题的数值方法 2、有限元法将连续的求解域离散为若干个子域,得到有限个单元,单元和单元之间用节点连接 3、直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力和弯矩两个. 4、平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力、剪力、弯矩. 5、进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角 6、平面刚架有限元分析，节点位移有轴向位移、横向位移、转角。 7、在弹性和小变形下，节点力和节点位移关系是线性关系。 8、弹性力学问题的方程个数有15个，未知量个数有15个。 9、弹性力学平面问题方程个数有8，未知数8个。 10、几何方程是研究应变和位移之间关系的方程 11、物理方程是描述应力和应变关系的方程 12、平衡方程反映了应力和体力之间关系的 13、把经过物体内任意一点各个截面上的应力状况叫做一点的应力状态 14、9形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_ 15、形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性_函数,他反映了单元的_位移_状态 16、在进行节点编号时,同一单元的相邻节点的号码差尽量小. 17、三角形单元的位移模式为_线性位移模式_- 18、矩形单元的位移模式为__双线性位移模式_
19、在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性 20、单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系 21、矩形单元边界上位移是连续变化的 1.诉述有限元法的定义 答： 有限元法是近似求解一般连续场问题的数值方法 2.有限元法的基本思想是什么 答： 首先，将表示结构的连续离散为若干个子域，单元之间通过其边界上的节点连接成组合体。其次，用每个单元内所假设的近似函数分片地表示求解域内待求的未知厂变量。 3.有限元法的分类和基本步骤有哪些 答： 分类： 位移法、力法、混合法；步骤： 结构的离散化，单元分析，单元集成，引入约束条件，求解线性方程组，得出节点位移。 4.有限元法有哪些优缺点 答： 优点：
1、何为有限元法？其基本思想是什么？ 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里？ 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念？ 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤？ 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种？ 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量:外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题？ 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件：作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型？ ①离散化:把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点,单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型
1.结点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置（×） 2.对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元。√ 3.平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化处理的话会得到一样的答案（×） 4.用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析（×） 5.一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好（√） 6.四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数√ 7.在三角形单元中其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。√ 8.等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。√ 9.四边形单元的Jacobi行列式是常数。× 10.等参元是指单元坐标变换和函数插值采用相同的结点和相同的插值函数。√ 11.有限元位移模式中，广义坐标的个数应与单元结点自由度数相等√ 12.为了保证有限单元法解答的收敛性，位移函数应具备的条件是位移函数必须能反映单元的刚体位移和常量应变以及尽可能反映单元间的位移连续性。√ 13.在平面三结点三角形单元中，位移、应变和应力具有位移呈线形变化，应力和应变为常量特征。√ 1.梁单元和杆单元的区别？(自己分析:自由度不同)杆单元只能承受拉压荷载，梁单元则可以承受拉压弯扭荷载。具体的说，杆单元其实就是理论力学常说的二力杆，它只能在结点受载荷，且只有结点上的荷载合力通过其轴线时，杆件才有可能平衡，像均布荷载、中部集中荷载等是无法承担的，通常用于网架、桁架的分析；而梁单元则基本上适用于各种情况（除了楼板之类），且经过适当的处理（如释放自由度、耦合等），梁单元也可以当作杆单元使用。 2.有限单元法结构刚度矩阵的特点？对称性，奇异性，主对角元恒正，稀疏性，非零元素呈带状分布。 3.有限单元法的收敛性准则？完备性要求，协调性要求。位移模式要满足以下三个条件包含单元的刚体位移。当结点位移由体位移引起时，弹性体内不会产生应变。包含单元的常应变。与位置坐标无关的应变。位移模式在单元内要连续，在相邻单元之间的位移必须协调。当选择多项式来构成位移模式时，单元的连续性总得到满足，单元的协调性就是要求单元之间既不会出现开裂也不会出现重叠的现象。。 4.任何一个有限元分析问题都是空间问题，什么情况下可以简化为平面问题？轴对称问题？空
2 弹性力学问题的有限单元法 思考题 2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？ 答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。 2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？ 答：对。 2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。 2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？ 答：能。矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。因此矩形单
元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。 2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？ 答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。 计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。 2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？ 答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。 2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。 答：有限元处于弹性力学问题的方法是离散法。它将一个受外力作用的连续弹性体离散成一定数量的有限小的单元集合体，单元之间只在结点上相互联系，即只有结点才能传递力。所以在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点和单元边界。 2.8 为什么说三角形三结点单元是常应变单元，如果在每边中点增加一个结点，那么单元内应力如何分布？ 答：(1)应变矩阵[B]中的参数m j i m j i c c c b b b 、、、、、由坐标变量x 、y 之差确定。当单元的坐标差确定之后，这些参数与坐标变量x 、y 无关，
一、简答题（40分，每小题5分） 1、 分别写出板弯类单元和平面应力膜单元上一个有限元节点的位移自由度 及其相对应的节点力列阵？ (1)薄板弯曲问题单元每节点三自由度，即每个结点有三个位移分量： 挠度w ,绕x 、y 轴转角 ??? ??? ?y x y x w θ θ轴转角绕轴转角绕挠度，即结点i 的位移 {}i yi xi i i x w y w w w d ?? ??? ? ??????????-??=??????????????=θθ ()4,1K =i 同理,相应的结点力 {}）轴力偶（上节中的绕）轴力偶（上节中的 绕竖向力 x y M y M x ??? ???????????=yi xi i i M M f F (2)平面应力膜单元每个节点两自由度，{},T i i u v ,对应节点力{},T xi yi f f 2、 欲求解在ay by cx R '''++=约束下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极值，新泛函应 如何构造？ 答：* {(;,)()}b a I F x y y ay by cx R dx λ''''=+++-? 3、 欲求解在()(),,R P x y dx Q x y dy =+??约束下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极 值，新泛函应如何构造？ 答：()()* {(;,)[,,']}b a I F x y y P x y Q x y y R dx λ'=++-? 4、 满足()f g g f ds L ''+=??条件下的泛函(;,)b a I F x y y dx '=?极值求解应如何构造新泛函？
1.1 有限单元法中“离散”的含义是什么？有限单元法是如何将具有无限自由度的连续介质问题转变成有限自由度问题的？位移有限元法的标准化程式是怎样的？ （1）离散的含义即将结构离散化，即用假想的线或面将连续体分割成数目有限的单元，并在其上设定有限个节点；用这些单元组成的单元集合体代替原来的连续体，而场函数的节点值将成为问题的基本未知量。 （2）给每个单元选择合适的位移函数或称位移模式来近似地表示单元内位移分布规律，即通过插值以单元节点位移表示单元内任意点的位移。因节点位移个数是有限的，故无限自由度问题被转变成了有限自由度问题。 （3）有限元法的标准化程式：结构或区域离散，单元分析，整体分析，数值求解。 1.3 单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有哪些性质？各自的物理意义是什么?两者有何区别?单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性（单元刚度矩阵的行列式为零）。整体刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、稀疏性。单元 Kij 物理意义 Kij 即单元节点位移向量中第 j 个自由度发生单位位移而其他位移分量为零时，在第 j 个自由度方向引起的节点力。整体刚度矩阵 K 中每一列元素的物理意义是：要迫使结构的某节点位移自由度发生单位位移，而其他节点位移都保持为零的变形状态，在所有个节点上需要施加的节点荷载。 2.2 什么叫应变能？什么叫外力势能？试叙述势能变分原理和最小势能原理，并回答下述问题：势能变分原理代表什么控制方程和边界条件？其中附加了哪些条件？ (1)在外力作用下，物体内部将产生应力σ和应变ε，外力所做的功将以变形能的形式储存起来，这种能量称为应变能。 (2)外力势能就是外力功的负值。 (3)势能变分原理可叙述如下：在所有满足边界条件的协调位移中，那些满足静力平衡条件的位移使物体势能泛函取驻值，即势能的变分为零 δ∏p=δ Uε+δV=0 此即变分方程。对于线性弹性体，势能取最小值，即 δ2∏P=δ2Uε+δ2V≥0 此时的势能变分原理就是著名的最小势能原理。 势能变分原理代表平衡方程、本构方程和应力边界条件，其中附加了几何方程和位移边界条件。 2.3 什么是强形式？什么是弱形式？两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？ 等效积分形式通过分部积分，称式 ∫ΩCT(v)D(u)dΩ+∫ΓET(v)F(u)dΓ 为微分方程的弱形式，相对而言，定解问题的微分方程称为强形式。 区别：弱形式得不到解析解。建立弱形式的关键步骤：对场函数要求较低阶的连续性。2.4 为了使计算结果能够收敛于精确解，位移函数需要满足哪些条件？为什么？ 只要位移函数满足两个基本要求，即完备性和协调性，计算结果便收敛于精确解。 2.6 为什么采用变分法求解通常只能得到近似解？变分法的应用常遇到什么困难？Ritz 法收敛的条件是什么？ （1）在 Ritz 法中，N 决定了试探函数的基本形态，待定参数使得场函数具有一定的任意性。如果真实场函数包含在试探函数之内，则变分法得到的解答是精确的；如果试探函数取自完全的函数序列，则当项数不断增加时，近似解将趋近于精确解。然而，通常情况下试探函数不会将真实场函数完全包含在内，实际计算时也不可能取无穷多项。因此，试探函数只能是真实场函数的近似。可见，变分法就是在某个假定的范围内找出最佳解答，近似性就源于此。 （2）采用变分法近似求解，要求在整个求解区域内预先给出满足边界条件的场函数。通常情况下这是不可能的，因而变分法的应用受到了限制。 （3）Ritz 法的收敛条件是要求试探函数具有完备性和连续性，也就是说，如果试探函数满足完备性和连续性的要求，当试探函数的项数趋近于无穷时，则 Ritz 法的近似解将趋近于数学微分方程的精确解。 3.1 构造单元形函数有哪些基本原则？ 形函数是定义于单元内坐标的连续函数。单元位移函数通常采用多项式，其中的待定常数应该与单元节点自由度数相等。为满足完备性要求，位移函数中必须包括常函数和一次式，即完全一次多项式。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选择完全多项式以提高单元的精度。若由于项数限制而不能选取完全多项式时，也应使完全多项式具有坐标的对称性，并且一
第二章习题 2.1 解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理。 解 ○1应力是某截面上的应力在该处的集度。 ○2 应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU 的伸长量，其相对变化量就是应变。 X U X x ??= ε表示在x 轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变。 ○3几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下： T xz yz xy z y x x w z u z v y w y u x v z w y v x u x w z u z v y w y u x v z w y v x u ?? ?? ????+????+????+????????=???? ?????? ??? ??? ??????????? ???????+????+????+????????=????????????????????=γγγεεεε ○4物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下： ????????????????????=??????????????????? ?=6665 64636261565554535251464545434241363534333231 2625242322211615141312 11 αααααααααααααααααααααααααααααααααααατττσσσσxz yz xy z y x ?????????? ????????? ?xz yz xy zz yy xx γγγεεε ○5虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功 总和为零，即为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。 2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。 ○1 连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。 ○2 完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。 ○3 各向同性假设：就是假定整个物体是由同意材料组成的。 ○4 小变形和小位移假设：就是指物体各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。 2.3简述线应变与剪应变的几何含义。 线应变：应变和刚体转动与位移导数的关系，剪应变表示单元体棱边之间夹角的变化。 2.4 推到平面应变平衡微分方程。 解：对于单元体而言其平衡方程：
有限元试题及答案
一判断题（20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小（√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是薄板，但前者受力特点是：平行于板面且沿厚度均布载荷作用，变形发生在板面内； 后者受力特点是：垂直于板面的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量：σx，σy，τxy ，三个独立的应变分量：εx，εy，γxy，但对应的弹性体几何形状前者为薄板，后者为长柱体。3．位移模式需反映刚体位移，反映常变形，满足单元边界上位移连续。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性，奇异性，还可按节点分块。
5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为二维问题处理。6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是节点位移，单元应力可由它求得，其计算公式为。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u，v，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元
有限元分析及其应用-2010 思考题： 1、有限元法的基本思想是什么？有限元法的基本步骤有那些？其中“离散”的含义是什 么？是如何将无限自由度问题转化为有限自由度问题的？ 答：基本思想：几何离散和分片插值。 基本步骤：结构离散、单元分析和整体分析。 离散的含义：用假想的线或面将连续物体分割成由有限个单元组成的集合，且单元之间仅在节点处连接，单元之间的作用仅由节点传递。当单元趋近无限小，节点无限多，则这种离散结构将趋近于实际的连续结构。 2、有限元法与经典的差分法、里兹法有何区别？ 区别：差分法：均匀离散求解域，差分代替微分，要求规则边界，几何形状复杂精度较低； 里兹法：根据描述问题的微分方程和相应的定解构造等价的泛函表达式，求得近似解； 有限元：基于变分法，采用分片近似进而逼近总体的求解微分方程的数值计算方法。 3、一根单位长度重量为q的悬挂直杆，上端固定，下端受垂直向下的外力P，试 1）建立其受拉伸的微分方程及边界条件； 2）构造其泛函形式； 3）基于有限元基本思想和泛函求极值构造其有限元的计算格式（即最小势能原理）。4、以简单实例为对象，分别按虚功原理和变分原理导出有限元法的基本格式（单元刚度矩 阵）。 5、什么是节点力和节点载荷？两者有何区别？ 答：节点力：单元与单元之间通过节点相互作用 节点载荷：作用于节点上的外载 6、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有何特点？其中每个矩阵元素的物理意义是什么（按自 由度和节点解释）？ 答：单元刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正 整体刚度矩阵：对称性、奇异性、主对角线恒为正、稀疏性、带状性。 Kij，表示j节点产生单位位移、其他节点位移为零时作用i节点的力，节点力等于节点位移与单元刚度元素乘积之和。 7、单元的形函数具有什么特点？有哪些性质？ 答：形函数的特点：Ni为x，y的坐标函数，与位移函数有相同的阶次。 形函数Ni在i节点的值为1，而在其他节点上的值为0； 单元内任一点的形函数之和恒等于1； 形函数的值在0~1间变化。 8、描述弹性体的基本变量是什么？基本方程有哪些组成？ 答：基本变量：外力、应力、应变、位移 基本方程：平衡方程、几何方程、物理方程、几何条件 9、何谓应力、应变、位移的概念？应力与强度是什么关系？ 答：应力：lim△Q/△A=S △A→0 应变：物体形状的改变 位移：弹性体内质点位置的变化 10、问题的微分方程提法、等效积分提法和泛函变分提法之间有何关系？何谓“强形 式”？何谓“弱形式”，两者有何区别？建立弱形式的关键步骤是什么？
一、 简答题（共40分，每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1. 一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已 知：杆件材料的杨氏模量2 721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =， 2275.3in A =，长度in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点 和C 点位移。备注：（1）1 lbf （磅力，libra force ） = N 。（2）杨氏模量、弹性 模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10分） 2. 如图2 所示，有一正方形薄板，沿对角承受压力作用，厚度t=1m ，载荷 F=20KN/m ，设泊松比μ=0，材料的弹性模量为E ，试求它的应力分布。（15分） 学院 专业 学号 姓名 y 图1
图2 3. 图示结点三角形单元的124边作用有均布侧压力q，单元厚度为t，求单元的等效结点荷载。 图3
一、简答题 1. 答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2. 答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由 其它单元形变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所 有点都具有相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相 等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元 位移协调。 3. 答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4. 答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和
1、何为有限元法？其基本思想是什么? 有限元法是一种基于变分法而发展起来的求解微分方程的数值计算方法，该方法以计算机为手段，采用分片近似，进而逼近整体的研究思想求解物理问题。 基本思想是化整为零集零为整。 2、为什么说有限元法是近似的方法，体现在哪里? 有两点：用离散单元的组合体来逼近原始结构，体现了几何上的近似；而用近似函数逼近未知变量在单元内的真实解，体现了数学上的近似。 3、单元、节点的概念? 节点：表达实际结构几何对象之间相互连接方式的概念 单元：网格划分中的每一个小部分称为单元，网格间相互联结点称为节点 4、有限元法分析过程可归纳为几个步骤? 结构离散化、单元分析、整体分析 5、有限元方法分几种？本课程讲授的是哪一种? 位移法、力法、混合法本课程讲授位移法 6、弹性力学的基本变量是什么？何为几何方程、物理方程及虚功方程？弹性矩阵的特点？ 弹性力学变量：外力、应力、应变和位移。 描述弹性体应变分量与位移分量之间的方程称为几何方程；物理方程描述应力分量与应变分量之间的关系；弹性体上外力在虚位移发生过程中所做的虚功与储存在弹性体内的需应变能相等。 弹性矩阵由材料的弹性模量和泊松比确定，与坐标位置无关。 7、何为平面应力问题和平面应变问题? 平面应力问题：在结构上满足a几何条件：研究对象是等厚度薄板。b载荷条件: 作用于薄板上的载荷平行于板平面且沿厚度方向均匀分布，而在两板面无外力作用。 平面应变问题：满足a几何条件：长柱体，即长度方向的尺寸远远大于横截面的尺寸，且横截面沿长度方向不变。b载荷条件：作用于长柱体结构上的载荷平行于横截面且沿纵向方向均匀分布，两端面不受力两条件的弹性力学问题。 1、何为结构的离散化？离散化的目的？何为有限元模型? ①离散化：把连续的结构看成由有限个单元组成的集合体。②目的：建立有限元计算模型③通常把由节点，单元及相应的节点载荷和节点约束构成的模型称为有限元模型 2、结构离散化时，划分单元数目的多少以及疏密分布，将直接影响到什么？确定单元数量的原则？通常如何设置节点？
有限元考试试题及答案 一、简答题（5道，共计25分）。 1.有限单元位移法求解弹性力学问题的基本步骤有哪些？（5分） 答：（1）选择适当的单元类型将弹性体离散化； （2）建立单元体的位移插值函数； （3）推导单元刚度矩阵； （4）将单元刚度矩阵组装成整体刚度矩阵； （5）代入边界条件和求解。 2. 在划分网格数相同的情况下，为什么八节点四边形等参数单元精度大于四边形矩形单元？（5分） 答：在对于曲线边界的边界单元，其边界为曲边，八节点四边形等参数单元边上三个节点所确定的抛物线来代替原来的曲线，显然拟合效果比四边形矩形单元的直边好。 3.轴对称单元与平面单元有哪些区别？（5分） 答：轴对称单元是三角形或四边形截面的空间的环形单元，平面单元是三角形或四边形平面单元；轴对称单元内任意一点有四个应变分量，平面单元内任意一点非零独立应变分量有三个。 4.有限元空间问题有哪些特征？（5分） 答：（1）单元为块体形状。常用单元：四面体单元、长方体单元、直边六面体单元、曲边六面体单元、轴对称单元。（2）结点位移3个分量。（3）基本方程比平面问题多。3个平衡方程，6个几何方程，6个物理方程。 5.简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（5）分） 答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元， 并选取单元的唯一模式； （2）通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式；
（3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵； （4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 二、论述题（3道,共计30分）。 1. 简述四节点四边形等参数单元的平面问题分析过程。（10分） 答：（1）通过整体坐标系和局部坐标系的映射关系得到四节点四边形等参单元的母单元，并选取单元的唯一模式； （2） 通过坐标变换和等参元确定平面四节点四边形等参数单元的几何形状和位移模式； （3）将四节点四边形等参数单元的位移模式代入平面问题的几何方程，得到单元应变 分量的计算式，再将单元应变代入平面问题的物理方程，得到平面四节点等参 数单元的应力矩阵； （4）用虚功原理求得单元刚度矩阵，最后用高斯积分法计算完成。 2.轴对称问题的简单三角形单元是否是常应力，常应变？为什么？（10分） 答：不是常应力和常应变。 因为应变与位移分量的关系式为: ? ?????????????? ? ?????????????? ???? =????????????????????????+??????=??? ???????????=w u 010r r u r u }{rz z r r z z r r w z u z w γεεεεθ,这里除含有微分算符外，还包含了r 的倒数项1/r ,则即使位移模式为线性的，但由于该项的存在，使得应变与坐标有关， 即不会是常应变。应力应变的物理关系为{ }[]{}εσD = ，由于应变不是常应变，则所求得的应力也不会是常应力。
江西理工大学研究生考试试卷 一、 简答题（共4 0分， 每题10分） 1. 论述单元划分应遵循的原则。 2. 说明形函数应满足的条件。 3. 说明四边形等参数单元中“等参数”的含义，即为什么要引入等参数单元。 4. 阐述边界元法的主要优缺点。 二、 计算题（共60分，每题20分） 1.一杆件如图3所示，杆件上方固定后，在下方受垂直向下的集中力作用，已知：杆件材 料的杨氏模量2721/100.3in lbf E E ?==，截面积2125.5in A =，2 275.3in A =，长度 in L L 1221==，集中力lbf P 100=，用有限元方法求解B 点和C 点位移。备注：（1）1lbf （磅力，libraforce ）=。（2）杨氏模量、弹性模量、Young 氏弹性模量具有相同含义（10 分） 2.如图2 t=1m ，载荷F=20KN/m ，设泊松比μ=015分） 3.图示结点三角形单元的q ，单元厚度为t ，求单元的等效结点荷载。 学院专业学号姓名 y
图3
一、简答题 1.答： 1）合理安排单元网格的疏密分布 2）为突出重要部位的单元二次划分 3）划分单元的个数 4）单元形状的合理性 5）不同材料界面处及荷载突变点、支承点的单元划分 6）曲线边界的处理，应尽可能减小几何误差 7）充分利用结构及载荷的对称性，以减少计算量 2.答： 形函数应满足的三个条件： a.必须能反映单元的刚体位移，就是位移模式应反映与本单元形变无关的由其它单元形 变所引起的位移。 b.能反映单元的常量应变，所谓常量应变，就是与坐标位置无关，单元内所有点都具有 相同的应变。当单元尺寸取小时，则单元中各点的应变趋于相等，也就是单元的形变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。 c.尽可能反映位移连续性；尽可能反映单元之间位移的连续性，即相邻单元位移协调。 3.答： 含义：所谓的等参数单元，就是在确定单元形状的插值函数和确定单元位移场的插值函数中采用了完全相同的形函数。 意义：构造出一些曲边地高精度单元，以便在给定地精度下，用数目较少地单元，解决工程实际地具体问题。 4.答： 有限单元法是基于变分原理的里兹（Ritz）法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用子有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法．利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，面且事先不要求满足任何边界条件，因此它可以用来处理很复杂的连续介质问题。有限单元法中所利用的主要是伽辽金（Galerkin）法。它可以用于已经知道问题的微分方程和边界条件，但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，因而进一步扩大了有限单元法的应用领域。 三十多年来，有限单元法的应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由
1有限元是近似求解_一般连续_场问题的数值方法 2有限元法将连续的求解域离散为若干个子域_,得到有限个单元,单元和单元之间用节点相连 3从选择未知量的角度来看,有限元法分为三类位移法. 力法混合法 4以_节点位移_为基本未知量的求解方法称为位移法. 5以_节点力_为基本未知量的求解方法称为力法. 6一部分以__节点位移__,另一部分以_节点力_为基本未知量的求解方法称为混合法. 7直梁在外力的作用下,横截面的内力有剪力_和_弯矩_两个. 8平面刚架结构在外力的作用下,横截面上的内力有轴力_ 、剪力_和弯矩 . 9进行直梁有限元分析,平面刚架单元上每个节点的节点位移为挠度和转角10平面刚架结构中,已知单元e的坐标变换矩阵[T e]和在局部坐标系x’O’y’下的单元刚度矩阵[K’]e，则单元在真体坐标系xOy下的单元刚度矩阵为_ [K]e= [T e]T[K’]e [T e] 13弹性力学问题的方程个数有15个,未知量的个数有15个. 14弹性力学平面问题的方程个数有8_个,未知量个数有8_个 15几何方程是研究__应变___和_位移之间关系的方程 16物理方程是描述_应力_和_应变_关系的方程 17平衡方程反映了_应力__和_位移_之间关系的 18把经过物体内任意一点各个_ 截面上的应力状况叫做__该点_的应力状态 19形函数在单元上节点上的值,具有本点为_1_.它点为零的性质,并且在三角形单元的任一节点上,三个行函数之和为_1_ 20 形函数是_三角形_单元内部坐标的_线性位移_函数,他反映了单元的_位移_状态21在进行节点编号时,要尽量使用同一单元的相邻节点的狭长的带状尽可能小,以使最大限度地缩小刚度矩阵的带宽,节省存储,提高计算效率. 22三角形单元的位移模式为_线性位移模式_- 23矩形单元的位移模式为__线性位移模式_ 24在选择多项式位移模式的阶次时,要求_所选的位移模式应该与局部坐标系的方位无关的性质为几何_各向同性 25单元刚度矩阵描述了_节点力_和_节点位移之间的关系 26在选择多项式作为单元的位移模式时,多项式阶次的确定,要考虑解答的收敛性,
一．是非题（认为该题正确，在括号中打√；该题错误，在括号中打×。）(每小题2分) （1）用加权余量法求解微分方程，其权函数V和场函数u的选择没有任何限制。（）（2）四结点四边形等参单元的位移插值函数是坐标x、y的一次函数。（）（3）在三角形单元中，其面积坐标的值与三结点三角形单元的结点形函数值相等。（）（4）二维弹性力学问题的有限元法求解，其收敛准则要求试探位移函数C1连续。（）（5）有限元位移法求得的应力结果通常比应变结果精度低。（）（6）等参单元中Jacobi行列式的值不能等于零。（）（7）在位移型有限元中，单元交界面上的应力是严格满足平衡条件的。（）（8）四边形单元的Jacobi行列式是常数。（）（9）利用高斯点的应力进行应力精度的改善时，可以采用与位移插值函数不同结点的形函数进行应力插值。（）（10）一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。（） 二．单项选择题（共20分，每小题2分） 1 在加权余量法中，若简单地利用近似解的试探函数序列作为权函数，这类方法称为 ________________。 （A）配点法（B）子域法（C）伽辽金法 2 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用______的结点和______的插值函数。 （A）不相同，不相同（B）相同，相同（C）相同，不相同（D）不相同，相同 3 有限元位移模式中，广义坐标的个数应与___________相等。 （A）单元结点个数（B）单元结点自由度数（C）场变量个数 4 采用位移元计算得到应力近似解与精确解相比较，一般___________。 （A）近似解总小于精确解（B）近似解总大于精确解（C）近似解在精确解上下震荡（D）没有规律 5 如果出现在泛函中场函数的最高阶导数是m阶，单元的完备性是指试探函数必须至少 是______完全多项式。 （A）m-1次（B）m次（C）2m-1次 6 与高斯消去法相比，高斯约当消去法将系数矩阵化成了_________形式，因此，不用进 行回代计算。 （A）上三角矩阵（B）下三角矩阵（C）对角矩阵 7 对称荷载在对称面上引起的________________分量为零。 （A）对称应力（B）反对称应力（C）对称位移（D）反对称位移 8 对分析物体划分好单元后，__________会对刚度矩阵的半带宽产生影响。 （A）单元编号（B）单元组集次序（C）结点编号 9 n个积分点的高斯积分的精度可达到______阶。 （A）n-1 （B）n（C）2n-1 （D）2n 10 引入位移边界条件是为了消除有限元整体刚度矩阵K的__________。 （A）对称性（B）稀疏性（C）奇异性 三．简答题（共20分，每题5分） 1、简述有限单元法结构刚度矩阵的特点。 2、简述有限元法中选取单元位移函数（多项式）的一般原则。 3、简述有限单元法的收敛性准则。
一 、20分） （×）1. 节点的位置依赖于形态，而并不依赖于载荷的位置 （√）2. 对于高压电线的铁塔那样的框架结构的模型化处理使用梁单元 （×）3. 不能把梁单元、壳单元和实体单元混合在一起作成模型 （√）4. 四边形的平面单元尽可能作成接近正方形形状的单元 （×）5. 平面应变单元也好，平面应力单元也好，如果以单位厚来作模型化 处理的话会得到一样的答案 （×）6. 用有限元法不可以对运动的物体的结构进行静力分析 （√）7. 一般应力变化大的地方单元尺寸要划的小才好 （×）8. 所谓全约束只要将位移自由度约束住，而不必约束转动自由度 （√）9. 同一载荷作用下的结构，所给材料的弹性模量越大则变形值越小 （√）10一维变带宽存储通常比二维等带宽存储更节省存储量。 二、填空（20分） 1．平面应力问题与薄板弯曲问题的弹性体几何形状都是 薄板 ，但前者受力特点是： 平行于板面且沿厚度均布载荷作用 ，变形发生在板面内； 后者受力特点是： 垂直于板面 的力的作用，板将变成有弯有扭的曲面。 2．平面应力问题与平面应变问题都具有三个独立的应力分量： σx ，σy ，τxy ，三个独立的应变分量：εx ，εy ，γxy ，但对应的弹性体几何形状前者为 薄板 ，后者为 长柱体 。 3．位移模式需反映 刚体位移 ，反映 常变形 ，满足 单元边界上位移连续 。 4．单元刚度矩阵的特点有：对称性 ， 奇异性 ，还可按节点分块。 5．轴对称问题单元形状为：三角形或四边形截面的空间环形单元 ，由于轴对称的特性，任意一点变形只发生在子午面上，因此可以作为 二 维问题处理。 6．等参数单元指的是：描述位移和描述坐标采用相同的形函数形式。等参数单元优点是：可以采用高阶次位移模式，能够模拟复杂几何边界，方便单元刚度矩阵和等效节点载荷的积分运算。 7．有限单元法首先求出的解是 节点位移 ，单元应力可由它求得，其计算公式为{}{}[][]e D B σδ=。（用符号表示即可） 8．一个空间块体单元的节点有 3 个节点位移： u ，v ，w 9．变形体基本变量有位移应变应力基本方程平衡方程物理方程 几何方程 10.实现有限元分析标准化和规范化的载体就是单元 三 选择题（14分） 1 等参变换是指单元坐标变换和函数插值采用__B___的结点和______的插值函数。
习题 2.1 解释如下的概念：应力、应变，几何方程、物理方程、虚位移原理。 解 ○1应力是某截面上的应力在该处的集度。 ○2 应变是指单元体在某一个方向上有一个ΔU 的伸长量，其相对变化量就是应变。 X U X x ??= ε表示在x 轴的方向上的正应变，其包括正应变和剪应变。 ○3几何方程是表示弹性体内节点的应变分量与位移分量之间的关系，其完整表示如下： T xz yz xy z y x x w z u z v y w y u x v z w y v x u x w z u z v y w y u x v z w y v x u ?? ?? ????+????+????+????????=???? ?????? ??? ??? ???????????? ??????+????+????+????????=????????????????????=γγγεεεε ○4物理方程：表示应力和应变关系的方程某一点应力分量与应变分量之间的关系如下： ????????????????????=??????????????????? ?=6665 64636261565554535251464545434241363534333231 2625242322211615141312 11 αααααααααααααααααααααααααααααααααααατττσσσσxz yz xy z y x ?????????? ????????? ?xz yz xy zz yy xx γγγεεε ○5虚位移原理：在弹性有一虚位移情况下，由于作用在每个质点上的力系，在相应的虚位移上虚功 总和为零，即为：若弹性体在已知的面力和体力的作用下处于平衡状态，那么使弹性体产生虚位移，所有作用在弹性体上的体力在虚位移上所做的工就等于弹性体所具有的虚位能。 2.2说明弹性体力学中的几个基本假设。 ○1 连续性假设：就是假定整个物体的体积都被组成该物体的介质所填满，不存在任何间隙。 ○2 完全弹性假设：就是假定物体服从虎克定律。 ○3 各向同性假设：就是假定整个物体是由同意材料组成的。 ○4 小变形和小位移假设：就是指物体各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，并且其应变和转角都小于1。 2.3简述线应变与剪应变的几何含义。 线应变：应变和刚体转动与位移导数的关系，剪应变表示单元体棱边之间夹角的变化。 2.4 推到平面应变平衡微分方程。 解：对于单元体而言其平衡方程：