第十节 函数模型
强化训练
1.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车,若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数,其图象可能是( )
答案:A
2.某企业去年销售收入1 000万元,年成本为年生产成本500万元和年广告成本200万元两部分,若利润的p %为国税,且年广告费超出年销售收入的2%的部分也必须按p %征国税,其他不纳税.已知该企业去年共纳税120万元,则税率p %为 . 答案:25%
解析:由[(1 000-500-200)+(200-1 0002?%)]p %=120,解得p %=25%.
3.一水池有2个进水口,1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示.给出以下3个论断:
①0点到3点只进水不出水;②3点到4点不进水只出水;③4点到6点不进水不出水. 则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上). 答案:②
解析:由图甲知,每个进水口进水速度为每小时1个单位,两个进水口1个小时共进水2个单位,3个小时共进水6个单位,由图丙知①正确;而由图丙知,3点到4点应该是有一个进水口进水,出水口出水,故②错误;由图丙知,4点到6点可能是不进水不出水,也可能是两个进水口都进水,同时出水口也出水,故③不一定正确.
4.用长为90 cm,宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形,然后把四边翻转90
角,再焊接而成(如图).问该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?
解:设容器高为x cm,容器的容积为V cm 3
,
则V =x (90-2x )3
2(482)4276x x
x -=-+4 320x (0 所以V ′2 125524x x =-+ 32012(10)x =-?(x -36). 令V ′=0,得12 1036(x x =,=舍去). 当0 所以,当x =10时,V 取得最大值10(9020)?-?(48-20)=19 600 cm 3 . 答:当容器的高为10 cm 时,容器的容积最大,最大容积为19 600 cm 3 . 课后作业 题组一 一次函数、二次函数模型的应用 1.某文具用品店出售羽毛球拍和羽毛球,球拍每副定价20元,羽毛球每只定价5元,该店制定了两种优惠方法:①买一副球拍赠送一只羽毛球;②按总价的92%付款.某人计划购买4副球拍,羽毛球30只,两种优惠方法中,更省钱的一种是( ) A.不能确定 B.①②同样省钱 C.②省钱 D.①省钱 答案:D 解析:方法①需2045(304)210?+?-=元,方法②需(204530)92?+??%=211.6元.故方法①省钱. 2.某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x ),则以下结论正确的是( ) A.x >22% B.x <22% C.x =22% D.x 的大小由第一年的产量确定 答案:B 解析:2(1)144x +=+%,解得x =0.2<0.22.故选B. 3.某商品进货单价为40元,若按50元一个销售,则能卖出50个;若销售单价每涨1元,则销售量就减少一个.为了获得最大利润,则该商品的最佳售价为 元 . 答案:70 4.某工厂生产某种产品的固定成本为2 000万元,并且生产量每增加一单位产品,成本增加10万元,又知总收入R 是单位产量Q 的函数:R (Q )=40Q -2120 Q ,则总利润L (Q )的最大值是 万元. 答案:2 500 解析:总利润 L (Q )=R (Q )-10Q -2120004010220Q Q Q =- --21000(300)250020 Q =--+, 故当Q =300时,总利润L (Q )取得最大值2 500万元. 题组二 指数函数、对数函数模型的应用 5.一给定函数y =f (x )的图象在下列图中,并且对任意1(01)a ∈,,由关系式1()0n n a f a +-=得到的 数列{n a }满足10(n n a a n +->∈N )*,则该函数的图象是( ) 答案:A 解析:令1n n a x a y +=, ?? =, ?则y =f (x )等价于1()n n a f a +=,y =f (x )是由点1()n n a a +,组成,而又知道1n n a a +<, 所以每个点都在y =x 的上方. 6.某县计划十年内产值翻两番,则产值平均每年增长的百分率为 .(lg2=0.301 0, lg11.49=1.060 2) 答案:14.9% 解析:设产值平均年增长率为x ,则10(1)4x +=. 两边同取以10为底的对数得10lg(1+x )=2lg2. ∴lg 203010(1)010 x ?.+==.060 2. ∴00602110x .+=.又∵lg11.49=1.060 2, ∴11.10602 006024910 1010..==?. ∴00602 101.=.149. 因此1+x =1.149,x =0.149=14.9%. 题组三 分段函数模型的应用 7.已知A 、B 两地相距150千米,某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地,在B 地停留1小时后再以50千米/小时的速度返回A 地,把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t(小时)的函数表达式是( ) A.6050(06x t t t =+≤≤.5) B.x =600251502535150503565t t t t t ,≤≤.?? ,.<≤.??-,.<≤.? C.x =600251505035t t t t ,≤≤.??-,>.? D.x =60025150253515050(35)3565t t t t t ,≤≤.? ? ,.<≤.??--.,.<≤.? 答案:D 解析:依题意,函数为分段函数,求出每一段上的解析式即可. 8.设函数f (x )=2460 60x x x x x ?-+,≥?+, 则不等式f (x )>f (1)的解集是 . 答案:(31)(3)-,?,+∞ 解析:由已知,函数先增后减再增. 当0x ≥时2()46f x x x ,=-+,且f (1)=3. 令f (x )=3,解得x =1,x =3. 所以f (x )>f (1)的解为[01)(3),?,+∞. 当x <0时,令x +6=3,得x =-3. 所以f (x )>f (1)的解为(-3,0). 故f (x )>f (1)的解为-3 9.将边长为1 m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块,其中一块是梯形,记 2()s =,梯形的周长梯形的面积则s 的最小值是 . 答案 解析:如图,设BD=x (0 梯形DECB 的周长为2+x , 2)x x -. ∴2 s .设22 (2)2x y x x +==,- ∴y ′22222 2(344)2(2)(32)(2)(2)x x x x x x x x +-+-== --. 令y ′=0,解得23 x =. ∴当23x =时,y 取极小值,同时也是最小值,min 8y =.∴min s = 10.如图,动点P 在正方体ABCD —1111ABC D 的对角线1BD 上.过点P 作垂直于平面11BB D D 的直 线,与正方体表面相交于M,N.设 BP=x ,MN= y ,则函数y =f (x )的图象大致是( ) 答案:B 解析:过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线,当点P 运动时,线与正方体表面相交于M,N 两点形成的轨迹为平行四边形,可以看出x 与y 的变化趋势是先递增再递减,并且在x 取中间值时y 最大. 11.某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图). (1)分别写出两种产品的收益与投资的函数关系. (2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元? 解:(1)设 1()()f x k x g x k =,= 所以121 1(1)(1)82 f k g k ==,==, 即1()(0)()0)8f x x x g x x =≥,= ≥. (2)设投资债券类产品x 万元,则股票类投资为(20-x )万元. 依题意得y =f (x )+g (20)8x x -= +(020)x ≤≤. 令t t =≤≤, 则2 2 2011(2)3828 t y t t -=+=--+. 所以当t=2,即x =16万元时,收益最大,max 3y =万元. 12.某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时,轮船位于港口O 北偏西30 且与该港口相距20海里的A 处,并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶,经过t 小时与轮船相遇. (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小,则小艇航行速度的大小应为多少? (2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时,试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小),使得小艇能以最短时间与轮船相遇,并说明理由. 解法一:(1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里,则 S 故当13t =时min S ,=此时1 3 v = = 即小艇以/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)设小艇与轮船在B 处相遇,则 22240090022030v t t t =+-???cos(9030- ), 故2 2 600400900v t t =-+. ∵030v <≤,∴2 600400900900t t -+≤, 即2320t t -≤,解得23t ≥. 又23 t =时,v =30. 故v =30时,t 取得最小值,且最小值等于23. 此时,在△OAB 中,有OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30 ,航行速度为30海里/时,小艇能以最短时间与轮船相遇. 解法二:(1)若相遇时小艇的航行距离最小,又轮船沿正东方向匀速行驶,则小艇航行方向为正北方向. 设小艇与轮船在C 处相遇. 在Rt △OAC 中,OC=20cos30 20AC ==sin30 =10. 又AC=30t,OC=v t. 此时,轮船航行时间10 13031 3 t v ==,= 即小艇以/小时的速度航行,相遇时小艇的航行距离最小. (2)猜想v =30时,小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇,此时AD=DO=30t. 又60OAD ∠= ,所以AD=DO=OA=20,解得t 23 =. 据此可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30 ,航行速度的大小为30海里/小时.这样,小艇能以最短时间与轮船相遇. 证明如下: 如图,由(1)得10OC AC ==, 故OC>AC,且对于线段AC 上任意点P, 有OP OC AC ≥>.而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时, 故小艇与轮船不可能在A ()C C .、之间包括的任意位置相遇 设(0 COD θ∠= 90θ<< ),则在Rt △COD 中CD ,=tan OD θ,=. 由于从出发到相遇,轮船与小艇所需要的时间分别为 10103tan t θ+=和103t θ=, 所以10103tan 103θθ +, =. 由此可得153v ,= . 又30v ≤,故sin (30θ+ 3)2 ≥ . 从而,30 90θ≤< . 由于30θ = 时,tan θ取得最小值,且最小值为33 . 于是,当30θ= 时10103tan 30 t θ+,= 取得最小值,且最小值为23. 解法三:(1)同解法一或解法二. (2)设小艇与轮船在B 处相遇,依据题意得: 22240090022030v t t t =+-???cos(9030- ), 22(900)6004000v t t -+-=. (ⅰ)若0 360?= 000+1 2600(900)1v -= 2600(675)0v -≥, 得153v ≥ 从而2 30020675[15330)v t v -±-,∈,. ①当2 30020675v t ---, 令2675x v -,则2 30020204[015)153225 x x t x x ---∈,,==≥,-- 当且仅当x =0即153v =. ②当2 30020675v t -+-时,同理可得23 由①②得,当[15330)v ∈,时23 t ,>. (ⅱ)若v =30,则23 t =; 综合(ⅰ)(ⅱ)可知,当v =30时,t 取最小值,且最小值等于23 . 此时,在△OAB 中,OA=OB=AB=20,故可设计航行方案如下: 航行方向为北偏东30 ,航行速度为30海里/小时,小艇能以最短时间与轮船相遇.
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