轴对称
【知识脉络】
【基础知识】
知识点一：轴对称图形及对称轴
1、轴对称图形：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴
2、要点：前提是一个图形，且这个图形满足两个条件：①存在直线（对称轴）；②沿着这条直线折叠，折痕两旁的部分能重合．
3、注意：一个轴对称图形的对称轴是直线且不一定只有一条，可能有两条或多条．如图所示：
知识点二：轴对称及对称点
1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点也叫做对称点
2、要点：①前提是两个图形；②存在一条直线；③两个图形沿着这条直线对折能够完全重合．
3、注意：①成轴对称的两个图形一定全等；②它与轴对称图形的区别主要是：它是指两个图形，而轴
对称图形前提是一个图形；③成轴对称的两个图形除了全等外还有特定的位置关系．如图所示：
知识点三：轴对称与轴对称图形
1、相互转化：轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称
2、轴对称、轴对称图形的性质
（1）性质1：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
注：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．
性质1的证明如下：如图所示，△ABC与△关于l对称，其中点A、是对称点，设交对称轴于点P．将△ABC和△沿l折叠后，点A与重合，则有，∠1=∠2=90°，即对称轴把垂直平分，同样也能把、都垂直平分，于是得出性质1．
（2）性质2：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．证明类似性质1．
（3）小结：不论性质1，还是性质2所指的都是只要两个点关于某直线对称，那么这条直线（对称轴）就是这两个点连线的垂直平分线．也就是说这两条性质所体现的是对称点与对称轴的关系．也揭示了轴对称（轴对称图形）的实质．
知识点四：线段的垂直平分线
1、性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；证法一：如图所示，l是线段AB的垂直平分线，P为l上任意一点．如果把AB沿着l对折，A点和B点一定重合，同时PA、PB也应该重合，如果在l上再取一点，连、，则、也应该重合，即它们分别对应相等，由此得出性质1．
证法二：另外，我们还可以从全等的角度得出性质1，过程如下：如上图，
∵l垂直平分AB，∴ AO=BO，∠1=∠2．又∵ PO=PO（公共边），∴ Rt△PAO≌Rt△PBO（SAS）∴ PA=PB．即性质1成立．2、性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．
性质2的探究如下：如图所示，作直线PC⊥AB于C，则在Rt△PAC和Rt△PBC中，
PA=PB，PC=PC，
∴ Rt△PAC≌Rt△PBC，
∴ AC=BC．
即PC垂直平分AB，所以点P在线段AB垂直平分线上．
3、小结：（1）从以上的两个结论可以看出，在线段AB垂直平分线上的点与A、B两点的距离相等；反过来与点A、
B距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上．综合以上两点可以得出：线段的垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合．（2）线段垂直平分线的两个性质具有不同的作用，性质l是线段的垂直、平分线的性质，可用它来证明线段相等的问题；而性质2实质是线段垂直平分线的判定．
知识点五：对称轴的作法
1、若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴
作法相同．
2、例如：A、B两点关于某直线对称，连接AB，作线段AB的垂直平分线就是A、B两点的对称轴，作法如下：
（1）分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧（若两弧半径小于或等于AB，则两弧没有交点或切于一点），两弧交于C、D两点；
（2）连CD，得直线CD，直线CD即为所求．如图所示：
3、说明：作对称轴的方法也就是作线段垂直平分线的方法．用此方法可确定线段的中点，即把线段平分．
知识点六：轴对称变换
1、由一个平面图形得到它关于某直线的对称图形，这一过程叫轴对称变换
2、注意：（1）将一个图形进行轴对称变换（作一个图形关于某直线的对称图形）．关键是作某些点（关键点）关于这条直线的对称点．
①如：作点A关于直线l的对称点．先作AO⊥l于O；再延长AO至使，则
就是A关于l的对称点，如下图所示：
②主要有两步：第一步，过已知点作对称轴的垂线，得到一个垂线段；第二步，将这个垂线
段延长一倍所到达的点就是已知点关于这条直线（对称轴）的对称点．
（2）成轴对称的两个图形中的任何一个都可以看作是另一个图形经过轴对称变换得到的．同样，一个轴对称图形也可以看作是以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的．
（3）经过轴对称变换并结合平移变换我们可得到一些美丽的图案，如图所示：
知识点七：用坐标表示轴对称
1、关于x轴对称的两个点的横（纵）坐标的关系
已知P点坐标，则它关于x轴的对称点的坐标为，如下图所示：
即关于x轴的对称的两点，坐标的关系是：横坐标相同，纵坐标互为相反数．
2、关于y轴对称的两个点横（纵）坐标的关系已知P点坐标为，则它关于y轴对称点的坐标为，如上图所示．
即关于y轴对称的两点坐标关系是：纵坐标相同，横坐标互为相反数．
注意：由此我们可以在平面直角坐标系中作出与一个已知图形关于x轴或y轴对称的图形．3、关于与x轴（y轴）平行的直线对称的两个点横（纵）坐标的关系（1）P点坐标关于直线的对称点的坐标为．证明：如下图所示，令坐标为，由题意可知，即，故．所以．
同样可以推导出下面的结论．（2）P点关于直线的对称点的坐标为，如下图所示．
三、规律方法指导
1．由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．?成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着
由另一个图形经过轴对称变换后得到．
2．轴对称变换的性质：（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点．（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
3．作一个图形关于某条直线的轴对称图形的步骤：（1）作出一些关键点或特殊点的对称点．（2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原图形的轴对称图形．
4．点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（-x，-y）．
5．点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m-x，y）；点P（x，y）关于直线y=n 对称的点的坐标是（x，2n-y）。
【典例解析】
例题1：如图，在Rt△ABC中，AC=BC，点D是△ABC内一点，若AC=AD，∠CAD=30°，连接BD，则∠ADB的度数为（）
A．120°B．135°C．150°D．165°
【考点】等腰直角三角形．
【分析】先根据△ABC是等腰直角三角形得：∠CAB=∠ABC=45°，作辅助线，构建全等三角形，证明△CDB≌△AED，则∠ADE=∠CBD，ED=BD，设∠CBD=x，则∠ADE=x，∠DEB=∠DBE=15+x，根据∠ABC=45°列方程可求x的值，根据三角形内角和得∠BDC=150°，最后由周角得出结论．
【解答】解：∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∵AC=AD，
∴AD=BC，
∵∠CAD=30°，
∴∠ACD=∠ADC=75°，
∠DAB=45°﹣30°=15°，
∴∠DCB=90°﹣75°=15°，
∴∠EAD=∠DCB，
在AB上取一点E，使AE=CD，连接DE，
在△CDB和△AED中，
∵，
∴△CDB≌△AED（SAS），
∴∠ADE=∠CBD，ED=BD，
∴∠DEB=∠DBE，
设∠CBD=x，则∠ADE=x，∠DEB=∠DBE=15+x，
∵∠ABC=45°，
∴x+15+x=45，
x=15°，
∴∠DCB=∠DBC=15°，
∴∠BDC=180°﹣15°﹣15°=150°，
∴∠ADB=360°﹣75°﹣150°=135°；
故选B．
例题2：如图，在等腰三角形△ABC中，AC=BC，D、E分别为AB、BC上一点，∠CDE=∠A．（1）如图①，若BC=BD，求证：CD=DE；
（2）如图②，过点C作CH⊥DE，垂足为H，若CD=BD，EH=1，求DE﹣BE的值．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）先根据条件得出∠ACD=∠BDE，BD=AC，再根据ASA判定△ADC≌△BED，即可得到CD=DE；
（2）先根据条件得出∠DCB=∠CDE，进而得到CE=DE，再在DE上取点F，使得FD=BE，进而判定△CDF≌△DBE（SAS），得出CF=DE=CE，再根据CH⊥EF，运用三线合一即可得到FH=HE，最后得出DE﹣BE=DE﹣DF=EF=2HE=2．
【解答】解：（1）∵AC=BC，∠CDE=∠A，
∴∠A=∠B=∠CDE，
∴∠ACD=∠BDE，
又∵BC=BD，
∴BD=AC，
在△ADC和△BED中，
，
∴△ADC≌△BED（ASA），
∴CD=DE；
（2）∵CD=BD，
∴∠B=∠DCB，
又∵∠CDE=∠B，
∴∠DCB=∠CDE，
∴CE=DE，
如图，在DE上取点F，使得FD=BE，
在△CDF和△DBE中，
，
∴△CDF≌△DBE（SAS），
∴CF=DE=CE，
又∵CH⊥EF，
∴FH=HE，
∴DE﹣BE=DE﹣DF=EF=2HE=2．
例题3：阅读下面材料：
小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图1，在△ABC中，∠A=2∠B，CD平分∠ACB，AD=2.2，AC=3.6
求BC的长．
小聪思考：因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC=AC，连接DE．这样很容易得到△DEC≌△DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）．
请回答：（1）△BDE是等腰三角形．
（2）BC的长为 5.8 ．
参考小聪思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知△ABC中，AB=AC，∠A=20°，BD平分∠ABC，BD=2.3，BC=2．求AD的长．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．
【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD=DE，∠A=∠DEC，由于∠A=2∠B，推出∠DEC=2∠B，等量代换得到∠B=∠EDB，得到△BDE是等腰三角形；（2）在BA边上取点E，使BE=BC=2，连接DE，得到△DEB≌△DBC，在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论．
【解答】解：（1）△BDE是等腰三角形，
在△ACD与△ECD中，，
∴△ACD≌△ECD，
∴AD=DE，∠A=∠DEC，
∵∠A=2∠B，
∴∠DEC=2∠B，
∴∠B=∠EDB，
∴△BDE是等腰三角形；
（2）BC的长为5.8，
∵△ABC中，AB=AC，∠A=20°，
∴∠ABC=∠C=80°，
∵BD平分∠B，
∴∠1=∠2=40°∠BDC=60°，
在BA边上取点E，使BE=BC=2，连接DE，
则△DEB≌△DBC，∴∠BED=∠C=80°，
∴∠4=60°，
∴∠3=60°，
在DA边上取点F，使DF=DB，连接FE，
则△BDE≌△FDE，
∴∠5=∠1=40°，BE=EF=2，
∵∠A=20°，
∴∠6=20°，
∴AF=EF=2，
∵BD=DF=2.3，
∴AD=BD+BC=4.3．
例题4：（1）如图1，图2，图3，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形，正四边形，正五边形，BE，CD相交于点O．
①如图1，试说明：△ABE≌△ADC；
②探究：如图1，∠BOC= 120 ；如图2，∠BOC= 90°；如图3，∠BOC= 72°；（2）如图4，AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边，BE，CD的延长相交于点O，试猜想：图4中∠BOC= ．（用含n的式子表示）
【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；多边形内角与外角；正方形的性质．【分析】根据等边三角形的性质可以得出△DAC≌△BAE，再根据三角形的外角与内角的关系就可以求出∠BOC的值，在图2中，连结BD，然后用同样的方法证明△DAC≌△BAE，根据三角形外角与内角之间的关系就可以求出∠BOC的值，依此类推就可以得出当作n边形的时候就可以求出图4∠BOC的值．
【解答】①证明：如图1，
∵△ABD和△AEC是等边三角，
∴AD=AB，AE=AC，∠DAB=∠EAC=∠ABD=∠ADB=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
即∠DAC=∠BAE．
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS）．
②解：∵△DAC≌△BAE，
∴∠CDA=∠EBA．
∵∠BOC=∠BDO+∠OBD，
∴∠BOC=∠BDA+∠ABE+∠OBD，
∴∠BOC=∠BDA+∠ADC+∠OBA，
∴∠BOC=∠BDA+∠OBD=60°+60°=120°=．
如图2，连结BD，
∵四边形ABFD和四边形ACGE是正方形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=90°，∠BDA=∠DBA=45°，∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，
即∠BAE=∠CAD．
在△DAC和△BAE中，
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴∠CDA=∠EBA．
∵∠BOC=∠BDO+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠ADO+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠ABE+∠DBO，
∴∠BOC=∠BDA+∠DBA=45°+45°=90°=；
如图3，连结BD，
，
∵五边形ABHFD和五边形ACIGO是正五边形，
∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠EAC=108°，
∴∠BAD+∠DAE=∠EAC+∠DAE，∠ABD=∠ADB=36°
∴∠BAE=∠DAC
在△BAE和△DAC中，
，
∴△BAE≌△DAC（SAS），
∴∠ABE=∠ADC．
∵∠BOC=∠OBD+∠BDO，
∴∠BOC=∠ADB+∠ADC+∠OBD，
∴∠BOC=∠ADB+∠ABE+∠OBD，
∴∠BOC=∠ADB+∠ABD=72°=．
（2）以此类推，当作正n边形时，∠BOC=．
故答案为：120°，90°，72°，．
【跟踪训练】
1.如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，EF是对称轴．∠A=90°，∠AED=130°，∠C=45°，则∠BFC的度数为140°．
2.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
3.（2016秋?监利县校级期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D 是AC的中点，以AD为斜边在△ABC外作等腰直角三角形AED，连结BE、EC．试猜想线段BE 和EC有何关系，并证明你的猜想．
4.（2016秋?监利县校级期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．
5. 如图，在△ABC中，AB=AC，BE⊥AC于点E，BE=AE，AD是∠BAC的角平分线，和BE相交
于点P，和BC边交于点D，点F是AB边的中点，连结EF，交AD于点Q，连结BQ．
（1）求证：△BCE≌△APE；
（2）求证：BD=AP；
（3）判断△BDQ的形状，并证明你的结论．
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知A（7a，0），B（0，﹣7a），点C为x轴负半轴上一点，AD⊥AB，∠1=∠2．
（1）求∠ABC+∠D的度数；
（2）如图①，若点C的坐标为（﹣3a，0），求点D的坐标（结果用含a的式子表示）；（3）如图②，在（2）的条件下，若a=1，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，点M 为线段DF上一点，若第一象限内存在点N（n，2n﹣3），使△EMN为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的N点坐标，并选取一种情况计算说明．
参考答案：
1.如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，EF是对称轴．∠A=90°，∠AED=130°，∠C=45°，则∠BFC的度数为140°．
【考点】轴对称图形．
【分析】利用轴对称图形的性质结合四边形内角和定理得出答案．
【解答】解：∵一个风筝的图案，它是轴对称图形，EF是对称轴．∠A=90°，∠AED=130°，∠C=45°，
∴∠D=90°，∠MED=65°，
∴∠DEF=115°，
∴∠CFN=360°﹣115°﹣90°﹣45°=110°
∴∠BFC的度数为：2（180°﹣110°）=140°．
故答案为：140°．
【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质以及四边形内角和定理，熟练应用轴对称图形的性质是解题关键．
2.如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：
（1）△AEF≌△CEB；
（2）AF=2CD．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．
【分析】（1）由AD⊥BC，CE⊥AB，易得∠AFE=∠B，利用全等三角形的判定得△AEF≌△CEB；（2）由全等三角形的性质得AF=BC，由等腰三角形的性质“三线合一”得BC=2CD，等量代换得出结论．
【解答】证明：（1）∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠BCE+∠CFD=90°，∠BCE+∠B=90°，
∴∠CFD=∠B，
∵∠CFD=∠AFE，
∴∠AFE=∠B
在△AEF与△CEB中，
，
∴△AEF≌△CEB（AAS）；
（2）∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BC=2CD，
∵△AEF≌△CEB，
∴AF=BC，
∴AF=2CD．
3.（2016秋?监利县校级期中）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D 是AC的中点，以AD为斜边在△ABC外作等腰直角三角形AED，连结BE、EC．试猜想线段BE 和EC有何关系，并证明你的猜想．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】由条件可求得AB=CD、DE=AE，且∠BAE=∠EDC=135°，可证明△ABE≌△DCE，再利用∠AEB=∠DEC，可证得BE⊥CE．
【解答】解：
猜想：BE=CE，BE⊥CE．
证明如下：
∵AC=2AB，D是AC的中点，
∴CD=AB，
∵△AED为等腰直角三角形，
∴AE=DE，且∠EAD=∠EDA=45°，
∴∠BAE=∠CDE=135°，
在△ABE和△DCE中
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，∠AEB=∠DEC，
∴∠BED+∠DEC=∠AEB+∠BED=∠AED=90°，
∴BE⊥CE，
即BE和CE的关系为相等且垂直．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质及等腰直角三角形的判定和性质，由条件证得△ABE≌△DCE是解题的关键，注意利用等腰直角三角形的性质．
4.（2016秋?监利县校级期中）在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD ⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：DE=AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证
明；若不成立，请写出新的结论并说明理由．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【分析】（1）首先证明∠DAC=∠BCE，进而利用AAS定理证明△DAC≌△ECB，问题即可解决．（2）首先证明∠DAC=∠BCE，进而利用HL定理证明△ACD≌△CBE，问题即可解决．
【解答】解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠DAC+∠DCA=∠BCE+∠DCA，
∴∠DAC=∠BCE；
在△DAC与△ECB中，
∵，
∴△DAC≌△ECB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=AD+BE．
（2）如图2，（1）中的结论不成立；
新的结论为：DE=AC﹣BE；
∵∠ACB=90°，AD⊥MN，
∴∠DAC+∠ACD=∠ACD+∠BCE，
∴∠DAC=∠BCE；