2013硕士研究生入学考试数学三真题
1. 当x →0时，用“o （x ）”表示比x 高阶的无穷小，则下列式子中错误的是 A. x ·o （x 2）=o(x 3) B.o(x )·o(x 2)=o(x 3) C.o(x 2)+o(x 2)= o(x 2) D.o(x )+ o(x 2)= o(x 2)
2. 函数f (x )=1
(1)ln x
x x x x
-+的可去间断点的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
3. 设D k 是圆域D ={(x ,y )|x 2+y 2≤1}位于第k 象限的部分，记I k =
()k
D y x dxdy -??（k =1,2,3,4）
，则
A.I 1>0,
B. I 2>0,
C. I 3>0, B. I 4>0 4. 设｛a n ｝为正项数列，下列选项正确的是 A. 若a n > a n+1, 则
1
1
(1)
n n n a ∞
-=-∑收敛
B. 若
1
1(1)
n n n a ∞
-=-∑收敛，则a n >a n+1
C. 若
1
n
n a
∞
=∑收敛，则存在常数p >1，使lim n →∞
n p
a n 存在
D. 若存在常数p >1，使lim n →∞
n p
a n 存在,则
1
n
n a
∞
=∑收敛
5. 设A,B,C 均为n 阶短阵，若AB=C,且B 可逆，则 A. 矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 B. 矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 C. 矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 D. 矩阵C 的列向量组与矩阵B 的列向量组等价
6. 矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与20000000b ?? ?
? ???
相似的充分必要条件为（ ）
A. a =0,b =2
B. a =0,b 为任意常数
C. a =2,b =0
D. a =2,b 为任意常数
7. 设x 1, x 2, x 3是随机变量，且x 1~N (0,1),x 2~N (0,22),x 3~N (5,32),P j =P {-2≤x j ≤2}(j =1,2,3),则A.P 1>P 2>P 3 B.P 2>P 1>P 3 C.P 3>P 1>P 2 D.P 1>P 3>P 2 8. 设随机变量X 和Y 相互独立，且X 和Y 的概率分布分别为
X 0
1 2 3
则P {X+Y =2}= A.
112
B.
18
C.
16
D.
12
9. 设曲线y=f(x )与y=x 2
-x 在点（1，0）处有公共切线，则lim n →∞
nf 2n n ??
?+??
= . 10. 设函数z=z(x,y)由方程（z+y ）x
=xy 确定，则
(1,2)
z
x ??= . 11.
2
1
ln (1)
x
dx x +∞
+?
= . 12. 微分方程1
04
y y y '''-+
=的通解为y= . 13. 设A =(a ij )是3阶非零矩阵，｜A ｜为A 的行列式，A ij 为a ij 的代数余子式，若a ij + A ij =0(i ，j=1,2,3)，则｜A ｜= .
14. 设随机变量X 服从标准正态分布N （0，1），则E (2X
Xe ) = .
三、解答题
15.当0x →时，1cos ,cos 2,cos3x x x -与n
ax 为等价无穷小，求n 与a 的值。
16.设D 是由曲线1
3
y x =，直线(0)x a a =>及x 轴所围成的平面图形，,x y V V 分别是D 绕x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若10y x V V =，求a 的值。 17.设平面区域D 由直线3,3x y y x ==及8x y +=围成，计算
2
D
x dxdy ??。 18.设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为601000
Q
P =-,(P 是单价，单位：元，Q 是销量，单位：件)，已知产销平衡，求： （1）该商品的边际利润；
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义； （3）使得利润最大的定价P 。
19.设函数f(x)在[0,)+∞上可导，(0)0f =，且lim ()2x f x →∞
=，证明
（1）存在0a >，使得()1f a =；
（2）对（1）中的a ，存在(0,)a ξ∈，使得1()f a
ξ'=
。
20. 设101,101a A B b ????
== ? ?????
，当a,b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B,并求所有矩
阵C 。
21. 设二次型22123112233112233(,,)2()()f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记123a a a α??
?
= ? ???，
123b b b β?? ?
= ? ???
。
（1） 证明二次型f 对应的矩阵为2T T ααββ+；
（2） 若,αβ正交且均为单位向量，证明f 在正交变换下的标准形为22
12
2y y +。 22.设（X,Y ）是二维随机变量，X 的边缘概率密度为33,01,()0,X x x f x ?<<=??其他在给定
(01)X x x =<<的条件下，Y 的条件概率密度为2
33,01,()0,Y X y x f y x x ?<
=???
其他
（1）求(,)X Y 的概率密度(,)f x y ； （2）求Y 的边缘概率密度()Y f y 。 （3）求{2}P X Y >.
23. 设总体X 的概率密度为23,0,
(;)0,x e x f x x θ
θθ-?>?=???
其他其中θ为未知参数且大于零，
12,,n X X X ，为来自总体X 的简单随机样本。
（1） 求θ的矩估计量；
（2） 求θ的最大似然估计量。