多 项 式
例1 设)(x f 和)()()(1x g x p x g m =都是数域P 上的多项式，其中1≥m 且)(x p 不整除)(x f ，1))(),((1=x g x p ，则有数域P 上多项式)(1x f 和)(x r ，使)()()()()(11x r x g x p x f x f +=，其中))(())((x p x r ?
证明由1))(),((1=x g x p 知有数域P 上的多项式)(),(x v x u 使1)()()()(1=+x g x v x p x u 。
由带余除法定理有)()()()(01x r x p x q x f +=，而)(x p 不整除)(x f ，所以有))(())((0x p x r ?
)()()()()()()()()(1001x g x v x r x p x u x r x p x q x f ++=。
再由带余除法定理有)()()()()(2x r x p x q x v x r +=，同样由)(x p 不整除)(x f 及上式有))(())((x p x r ?
)()()())()()()()(()(12101x g x r x p x q x g x u x r x q x f +++=，
令)()()()()()(21011x q x g x u x r x q x f ++=，则结论成立。
例2 设d n m ,,是正整数，证明 (1) n d x x n d ?--11，
(2) d n m x x x d n m =?-=--),(1)1,1(．
证明 (1) 充分性 由n d 设dq n =，∈q Z ，则
)1)(1(1)(11)1(+++-=-=-=--d q d d q d dq n x x x x x x ， 所以11--n
d x x ．
必要性 设r dq n +=，0≤d r <，则
)1()1(1111-+-=-+-=-=-=-+r dq r r r dq r dq r dq n x x x x x x x x x x ， 由充分性的证明知11--dq d x x ，于是由11--n d x x 及整除的组合性质有11--r
d x x ，进而由
0≤d r <得0=r ，所以n d ．
(2) 必要性 由条件知11--m d x x 且11--n d x x ，从而由(1)有m d 且n d ． 若m h 且n h ，由(1)有11--m h x x 且11--n h x x ，从而由条件有11--d h x x ，再由 (1)得d h ．
综上得d n m =),(．
充分性
证法一 由d n m =),(及(1)知 11--m d x x 且11--n d x x ．设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ． 若n m 或m n ，则结论显然成立．
否则有非零整数v u ,使d vn um =+，且v u ,的正负性相反，不妨设0,0<>v u ，则n v d um )(-+=，从而
1)1(111)()()(-+-=-+-=-=----d n v d d d n v d n v d um x x x x x x x x x x ， 于是由1)(-m x x h ，1)(-n x x h 及(1)可得1)(-d x x h ．
综上有 1)1,1(-=--d n m x x x ．
证法二 由d n m =),( 及(1)有11--m d x x 且11--n d x x ，设1)(-m x x h 且1)(-n x x h ． 若0))((=?x h ，则1)(-d x x h ，否则由1-m x 无重根知)(x h 也无重根，设
)())(()(21k x x x x h ααα---= ，
其中k ααα,,,21 是互不相同的复数，则由1)(-m x x h 且1)(-n x x h 知k ααα,,,21 是1-m x 和1-n x 的公共根，即1=m i α，1=n i α．而由d n m =),(有d vn um =+，所以1==vn i um i d i ααα，因此i α是1-d x 的根，故1--d i x x α，k i ,,2,1 =．而k x x x ααα---,,,21 两两互素，所以有1)(-d x x h ．
综上有1)1,1(-=--d n m x x x ．
例3 设n k n k n k x x x x x x f )1()2()1(2)1()(1++++++=-++ ，证明
11)1()()1(+++++-n k k x x f x x
证明 由于
n k k k x x x x x x f )1]()2()1(2)1[()(1++++++=- )1(21+-=-x x x
所以
1)1()()1(++++-n k x x f x
11)1()1]()2()1(2)1)][(1(2[++-+++++++++-=n k n k k k x x x x x x x x
111)1()1]()1()2[(++++++++-=n k n k k x x x x
n k k x x )1(211+=++， 故11)1()()1(+++++-n k k x x f x x 。
例4 设)()(x f x g m m ，m ≥2，证明)()(x f x g ．
证明(用标准分解式) 若0)(=x f ，则结论成立．若0)(≠x f ，则0)(≠x g ．设
)()()()(211x p x p x ap x f s k k s k k =，)()()()(211x p x p x bp x g s k l s l l =，
其中)(,),(),(21x p x p x p s 是两两互素的首一不可约多项式，i i l k ,),,2,1(s i =是自然数，则
)()()()(211x p x p x ap x f s k mk s mk mk m =，)()()()(211x p x p x bp x g s k ml s ml ml m =， 由)()(x f x g m m 得i mk ≤i ml ，故i k ≤i l ，s i ,,2,1 =，所以)()(x f x g ．
例5 设)(x f 是数域P 上的不可约多项式，且1))((>?x f ，若)(x f 的某个根α的倒数也是)(x f 的根，证明)(x f 每个根的倒数都是)(x f 的根．
证明 设∑==n i i i x a x f 0
)(，则由)(x f 不可约知00≠a ．
令∑=-=n i i
n i x a x g 0)(，由α1是)(x f 的根有010=∑=n i i i a α，即00=∑=-n i i n i a α，故α也是)(x g 的
根，从而)(),(x g x f 不互素，再由)(x f 不可约有)()(x g x f ．
设β是)(x f 的任意一个根，则0≠β，则由)()(x g x f 知β也是)(x g 的根，于是由上面的证明知β
1是)(x f 的根． 例6设)1()(11>+++=-n a x a x x f n n n 是整系数多项式，n b b b ,,,21 是互不相同的整数且),,2,1(1)(n i b f i =-=，证明)(x f 在有理数域上不可约．
证明 若)(x f 在有理数域上可约，则)(x f 可表成两个较低次的整系数多项式的乘积
)()()(x h x g x f =，
于是由1)(-=i b f 有1)()(-=i i b h b g ．
而)(i b g 和)(i b h 都是整数，故有-=)(i b g )(i b h ),,2,1(n i =，从而由n b b b ,,,21 互不相同及)(),(x h x g 的次数都小于n 有)()(x h x g -=，从而)()(2x g x f -=，这与)(x f 是首一多项式相矛盾，故)(x f 在有理数域上不可约．
例7 设)(x f 是次数大于零的整系数多项式，且有整数a 使3)2()1()(=+=+=a f a f a f ， 证明对于任意整数b ，都有5)(≠b f ．
证明 由3)2()1()(=+=+=a f a f a f 知2,1,++a a a 都是多项式3)(-x f 的根，又多项式2,1,-----a x a x a x 两两互素，故有
)()2)(1)((3)(x q a x a x a x x f -----=-，
而)2)(1)((-----a x a x a x 是本原多项式，3)(-x f 是整系数多项式，所以)(x q 是整系数多项式．
若有整数c ，使5)(=c f ，则由上式有
=-=3)(2c f )()2)(1)((c q a c a c a c -----，
由于)(c q 是整数，故2有三个连续的整数因子2,1,-----a c a c a c ，这不可能，所以对于任
意整数b ，都有5)(≠b f ．
二次型
例1 设AX X X f '=)(是n 元二次型，若f 是半正定二次型，则))(()(2AY Y AX X AY X ''≤'。若f 是正定二次型，则))(()(12Y A Y AX X Y X -''≤'。
证明若f 是半正定的，则有矩阵C 使C C A '=，于是
222),()()(CY CX CY C X AY X =''='
))(()((),)(,(AY Y AX X CY C Y CX C X CY CY CX CX ''=''''=≤。
若f 是正定的，则有可逆矩阵D 使D D A '=，于是
21212))(,())(()(Y D DX Y D D X Y X --'='''='
))(())(,))((,(111Y A Y AX X Y D Y D DX DX ---''=''≤。
例2 A 设是n 级正定矩阵，B 是m n ?实矩阵，证明)()(B R AB B R ='。 证明由A 设是正定矩阵知有n 级实可逆矩阵C 使C C A '=，于是由CB 是实矩阵以及C 可逆得
)()())()(()()(B R CB R CB CB R CB C B R AB B R =='=''='。
例3 设B A ,为n 级正定矩阵，则
(1) 存在n 级正定矩阵C 使m C A =．
(2) AB 正定的充要条件是BA AB =．
(3) 多项式B A -λ的根n λλλ,,,21 全大于零，且n λλλ,,,21 都等于1的充分必要条件是B A =。
(4) m A 的顺序主子式全大于零。
证明(1) 由A 正定知存在实正交矩阵T 使
T diag T A n ),,,(21λλλ '=，
其中n λλλ,,,21 全大于零，令T diag T C m n m m ),,,(21λλλ '=，则C 是正定矩阵，且m C A =．
(2) 必要性 由AB B A ,,正定知AB B A ,,都是对称矩阵，于是
BA A B AB AB =''='=)(．
充分性 由BA AB =及B A ,对称可证AB BA A B AB ==''=')(，即AB 是实对称矩阵。又由A 正定知A 与单位矩阵E 合同，即有实可逆矩阵C 使E C CA ='，于是
11111)()(-----'=''=BC C BC C C CA CABC ，
由B 正定知11)(--'BC C 正定，从而11)(--'BC C 的特征值全大于零，而AB 与11)(--'BC C 相似，所以AB 的特征值全大于零．从而AB 是正定矩阵．
(3) 由正定知有实可逆矩阵C 使E AC C ='，而由B 正定知BC C '也正定，于是多项式BC C E '-λ的根全大于零，从而由
B A
C BC C AC C BC C E -='-'='-λλλ2 (1) 可知B A -λ的根全大于零。 若B A -λ的根全为1，由(1)式知BC C '的特征值全为1，于是有正交矩阵U 使E BCU C U =''，由此可得AC C BC C '='，所以B A =。
若B A =，则n A B A )1(-=-λλ，由此可知B A -λ的根全为1。
(4) 由A 正定有A A ='。
当k m 2=为偶数时，由A 正定知k A 是实可逆矩阵，于是由
)()(k k k k m A A A A A '==
知m A 是正定矩阵。
当12+=k m 时，同理由
)()(k k k k m A A A AA A A '==
知m A 是正定矩阵。
由m A 是正定矩阵可以证明它的主子式全大于零。
例4 设AX X f '=和BX X g '=都是n 元实二次型，其中至少有一个是正定的，证明：在n R 中，曲面1=f 和1=g 没有公共点的一个充分必要条件是二次型g f h -=是正定的或者是负
定的。
证明不妨设f 是正定的。
充分性 若曲面1=f 和1=g 有公共点0X ，即1)(0=X f ，1)(0=X g ，于是0)()()(000=-=X g X f X h ，由于h 是正定的或者是负定的，所以有00=X ，从而0)(0=X f ，得到矛盾，所以曲面1=f 和1=g 没有公共点。
必要性 若h 既不是正定的也不是负定的，则可以证明n R X ∈?1，且01≠X ，使0)(1=X h ，从而由f 是正定有0)()(11>==d X g X f ，令121X d X =
，则有 ='='==1111121)1
()1
()1
()(AX X d X d A X d X d f X f 11=d d
， 同样有1)(2=X g ，即2X 是曲面1=f 和1=g 有公共点，这与条件相矛盾，所以h 是正定的或者是负定的。
例5设n 级实对称矩阵B A ,的特征值分别为
c ＜1λ≤2λ≤┅≤n λ＜a ，
d ＜1μ≤2μ≤┅≤n μ＜b ，
证明B A +的特征值在),(b a d c ++中．
证明 由A 实对称知有正交矩阵T 使
),,,(21n d i a g
AT T λλλ ='， 于是
],,,[)(21n a a a diag T A aE T λλλ---=-' ，
由1λ≤2λ≤┅≤n λ＜a 知),,2,1(0n i a i =>-λ，所以A aE -是正定矩阵．
同理可证B bE -，cE A -，dE B -也是正定矩阵，而
)()()()(B bE A aE B A E b a -+-=+-+，
+-=+-+)()()(cE A E d c B A )(dE B -，
所以)()(B A E b a +-+，E d c B A )()(+-+也是正定矩阵，从而其特征值全大于零．
设0λ是矩阵B A +的任一特征值，则0)(λ-+b a ，
)(0d c +-λ分别是矩)()(B A E b a +-+和
E d c B A )()(+-+的特征值，因此0)(λ-+b a ，)(0d c +-λ全大于零，即),(0b a d c ++∈λ． 例6 设A 是n 级实反对称矩阵，B 是n 级正定矩阵，证明0>+B A 。
证明 构作区间]1,0[上的连续实函数D xA x f +=)(。
)1,0(∈?t ，设α是线性方程组0)(=+X B tA 的任意一个解，有0)(=+αB tA ，从而有0)(=+'ααB tA ，即0)(='+'ααααB tA 。由A 是反对称矩阵可知tA 也是反对称矩阵，由此容易证明0)(='ααtA ，从而有0='ααB ，而B 是正定矩阵，所以0=α，即方程组0)(=+X B tA 仅有零解，所以0)(≠+=B tA t f ，)1,0(∈t 。
由于B 是正定矩阵，所以0)0(>=B f 。若0)1(<+=B A f ，则)1,0(0∈?t 使0)(0=t f ，得到矛盾，所以0>+B A 。
2.1.1 整式（单项式和多项式）练习题 一、选择题、填空题（每空2分，共20分） 1.单项式－23 3 2yxz 的系数是（ ） A. －2 B.2 C. －92 D. 92 2.对于单项式－23x 2y 2z 的系数和次数，下列说法正确的是（ ） A.系数为－2，次数为8 B.系数为－8，次数为5 C. 系数为－2，次数为4 D. 系数为－2，次数为7 3.下列多项式的次数为3的是（ ） A.－3x 2+2x+1 B.лx 2+x+1 C.ab 2+ab+b 2 D.x 2y 2–2xy+1 4.多项式1–x 3–x 2是（ ） A.二次三项式 B.三次三项式 C.三次二项式 D.五次三项式 5.多项式7 x 4y+2xy 2–x 3y 3 -7的最高次项是（ ） A. 7 x 4y B. x 3y 3 C. －x 3y D. 2 xy 2 1.近似数3.05万精确到 位，有 个有效数字，它们是 ； 2.若三角形的高是底的2 1，底为xcm ，则这个三角形的面积是 cm 2； 3.如果单项式－xy m z n 与5a 4b n 都是五次单项式，那么的m 值为 ，m 值为 ； 4.多项式4 132 x 的常数项是 ； 5.如果多项式中x 4-(a –1)x 3+5x 2+(b+3)x-1不含x 3项和x 项，则 a + b = 。 三、解答题（每小题5分，共15分） 1.找出下列代数式中的单项式、多项式和整式： 单项式： 多项式： 整式： 2.若－3axy m 是关于x 、y 的单项式，且系数为－6，次数为3，求a ，m 的值？ 3.若多项式6x n+2 - x 2-n + 2是三次三项式，求代数式n 2 – 2n + 1的值？
线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ?
3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+