复数
复数基础知识
一、复数的基本概念
（1）形如a + b i 的数叫做复数（其中）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当时的复数a + b i 为虚数；
纯虚数：当a = 0且时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义：
（3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-；
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫复平面；z a bi =+，对应点坐标为(),p a b
（5）复数的模：对于复数z a bi =+
，把z =叫做复数z 的模； 二、复数的基本运算 设111z a b i =+，222z a b i =+
（1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-；
（3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。
（4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =6
1i =-??????
三、复数的化简
c di
z a bi
+=
+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22
ac bd ad bc i
c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ R b a ∈，1i 2-=0≠b 0≠b 00==?=+∈==?+=+b a bi a R
d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且
对于()0c di z a b a bi +=
?≠+，当c d
a b =时z 为实数；当z 为纯虚数是z 可设为c di z xi a bi
+==+进一步建立方程求解
一、知识梳理
1、复数的有关概念
（1）复数的概念：形如(,)a bi a b R +∈的数叫做复数，其中,a b 分别是它的 。若 ，则a bi +为实数，若 ，则a bi +为虚数，若 ，则a bi +为纯虚数。
（2）复数相等：a bi c di +=+? (,,,)a b c d R ∈。 （3）共轭复数：a bi +与c di +共轭? (,,,)a b c d R ∈。
（4）复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面，x 轴叫做 ，y 轴叫做 。实轴上的点都表示 ；除原点外，虚轴上的点都表示 ；各象限内的点都表示 。
（5）复数的模：向量OZ uuu r
的模r 叫做复数z a bi =+的模，记作： ，即
z a bi =+= 。
2、复数的几何意义
（1）复数z a bi =+ 复平面上的点(,)(,)Z a b a b R ∈。
（2）复数z a bi =+ 复平面上的向量OZ uuu r
。
3、复数的运算 （1）复数的四则运算
设1z a bi =+，2z c di =+(,,,)a b c d R ∈，则 ①加法：12z z += ； ②减法：12z z -= ；
③乘法：12z z ?= = ；
一一对应 一一对应
④除法：
1
2
z z = = = （0c di +≠）。 （注：分母实数化） （2）复数的运算定律：
12z z += ；123z z z ++= ； 12z z ?= ；123()z z z += ；
m n z z ?= ；()n
m z = ；()12n
z z ?= 。
4、几个重要的结论
（1）)|||(|2||||2221221221z z z z z z +=-++； （2）22||||z z z z ==?；
（3）若z 为虚数，则22||z z ≠。
复数最重要的一点就是：记住
例1：已知()14z a b i =++-，求 （1） 当,a b 为何值时z 为实数 （2） 当,a b 为何值时z 为纯虚数 （3） 当,a b 为何值时z 为虚数
（4） 当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。 例2：已知134z i =+；()()234z a b i =-+-，求当,a b 为何值时12=z z
例3：已知1z i =-，求z ，z z ?；
1i 2-=
变式：1是虚数单位,等于 ( ) A ．i
B ．-i
C ．1
D ．-1
变式2：已知i 是虚数单位，3
2i 1i
=- （ ） Ａ1i + Ｂ1i -+ Ｃ1i - Ｄ．1i --
变式3：已知i 是虚数单位，复数131i
i
--= （ ）
A 2i +
B 2i -
C 12i -+
D 12i --
变式4：已知i 是虚数单位，复数1312i
i
-+=+（ ）
(A)1＋i (B)5＋5i (C)-5-5i (D)-1－i
变式5：已知i 是虚数单位，则
()=-+1
13i i i （ ） (A)1- (B)1 (C)i - (D)i 变式6：已知
=2+i,则复数z=（）（A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+i (D)3-i
变式7：i 是虚数单位，若
，则乘积的值是 （A ）－15 （B ）－3 （C ）3 （D ）15真题实战：
1．（2005）若i b i i a -=-)2(，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则22b a +=（ ）
A ．0
B ．2
C ．
2
5
D ．5
2．（2005）已知向量,//),6,(),3,2(x 且==则x = . 3.（2007）若复数(1+bi)(2+i)是纯虚数(i 是虚数单位，b 是实数)，则b= A ．-2 B ．12-
C. 1
2
D ．2 4．（2008）已知02a <<，复数z a i =+（i 是虚数单位），则||z 的取值范围是（ ）
A ．(1
5)，
B ．(13)， C
．(1
D ．
5.（2009）下列n 的取值中，使n
i =1(i 是虚数单位）的是
A. n=2
B. n=3
C. n=4
D. n=5
i 4
1i ()1-i
+1i
Z
＋17(,)2i
a bi a
b R i
+=+∈-ab
6．（2011）设复数z 满足iz=1，其中i 为虚数单位，则
A ．-i
B ．i
C ．-1
D ．1
7.（2012）设i 为虚数单位，则复数=（ ） A.3 B.1 C.-5 D.-6
8．（2013）若()34i x yi i +=+，,x y R ∈，则复数x yi +的模是 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
二、例题分析
类型一：复数的有关概念及复数的几何意义
【例1】当实数m 为何值时，2
2
lg(22)(32)z m m m m i =--+++ （1）为纯虚数；（2）为实数；（3）对应的点在复平面内的第二象限内。
类型二：复数相等
【例2】已知集合{}
2(3)(1),8M a b i =++-，集合{}
23,(1)(2)N i a b i =-++同时满足
,M N M M N ?≠ΦI I ，求整数,a b 的值。
【例3】已知,x y 为共轭复数，且2
()346x y xyi i +-=-，求,x y 。
43i
i
+
练习：已知复数z 的共轭复数为z ，且满足292z z iz i ?+=+，求z 。
类型三：复数的代数运算
【例4】计算：（1）4
5(13)i -； （2）2012
2321123i i i ??-++ ? ?-+??
； （3）6
123132i i i i ++??
+ ?
--??
；
（4）220121i i i ++++L 。
类型四：复数加减法的几何意义
【例5】如图，平行四边形OABC ，顶点,,O A C 分别表示0,32,24i i +-+，试求：
（1）AO u u u r 、BC uuu r 表示的复数；（2）对角线CA u u u r
所表示的复数。
练习：若z 为复数，且1z =，求z i -的最大值。