2015年江苏省盐城市、南京市高考数学二模试卷
一、填空题
1．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是．
2．已知复数z=（2﹣i）（1+3i），其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第象限．
3．如图是一个算法流程图，如果输入x的值是，则输出S的值是．
4．某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104]上的产品件数是．
5．袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率
是．
6．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若
（λ，μ∈R），则λ+μ= ．
7．已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：
①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β，②若α∥β，m∥α，n∥β，则m||n，③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．
其中是真命题的是．（填写所有真命题的序号）．
8．如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B=60°，AD=2，AC=，DC=，则
AB= ．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，定点A（2，0），若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN= ．
10．记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且数列{}也为等差数列，则
a13= ．
11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是．
12．在平面直角坐标系xOy中已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M．若OA=OM，则直线AB的斜率为．
13．已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则tanα的最大值是
14．已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为．
二、解答题
15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC=．
（1）若?=，求△ABC的面积；
（2）设向量=（2sin，），=（cosB，cos），且∥，求 sin（B﹣A）的值．
16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=CD=AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．
17．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；
（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？
18．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=2，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，
BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．
（1）求a，b的值；
（2）求证：直线MN的斜率为定值．
19．已知函数f（x）=1+lnx﹣，其中k为常数．
（1）若k=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
（2）若k=5，求证：f（x）有且仅有两个零点；
（3）若k为整数，且当x＞2时，f（x）＞0恒成立，求k的最大值．
20．给定一个数列{a n}，在这个数列里，任取m（m≥3，m∈N*）项，并且不改变它们在数列{a n}中的先后次序，得到的数列{a n}的一个m阶子数列．
已知数列{a n}的通项公式为a n=（n∈N*，a为常数），等差数列a2，a3，a6是数列{a n}的
一个3子阶数列．
（1）求a的值；
（2）等差数列b1，b2，…，b m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，且b1=（k为常
数，k∈N*，k≥2），求证：m≤k+1
（3）等比数列c1，c2，…，c m是{a n}的一个m（m≥3，m∈N*）阶子数列，求证：c1+c1+…+c m ≤2﹣．
三、选修4-1；几何证明选讲
21．如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB、AC分别交于点E、F．已知AD为∠BAC的平分线，求证：EF∥BC．
四、选修4-2：矩阵与变换
22．已知矩阵A=，A的逆矩阵A﹣1=
（1）求a，b的值；
（2）求A的特征值．
五、选修4-4：坐标系与参数方程
23．在平面直角坐标系xoy中，已知曲线C：（s为参数），直线l：（t
为参数）．设曲线C与直线l交于A，B两点，求线段AB的长度．
六、选修4-5：不行等式选讲
24．已知x，y，z都是正数且xyz=1，求证：（1+x）（1+y）（1+z）≥8．
25．甲乙两支排球队进行比赛，先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．设各局比赛结果相互独立．
（1）分别求甲队3：0，3：1，3：2胜利的概率；
（2）若比赛结果3：0或3：1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3：2，则胜利方得2分，对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望．
26．已知m，n∈N*，定义f n（m）=
（1）记 a m=f6（m），求a1+a2+…+a12的值；
（2）记 b m=（﹣1）m mf n（m），求b1+b2+…+b2n所有可能值的集合．
2015年江苏省盐城市、南京市高考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．函数f（x）=sinxcosx的最小正周期是π．
考点：二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．
专题：计算题；三角函数的图像与性质．
分析：根据二倍角的正弦公式，化简可得f（x）=sin2x，再由三角函数的周期公式即可
算出函数f（x）的最小正周期．
解答：解：∵sin2x=2sinxcosx
∴f（x）=sinxcosx=sin2x，
因此，函数f（x）的最小正周期T==π
故答案为：π
点评：本题给出三角函数式，求函数的周期，着重考查了二倍角的三角函数公式、三角函数的图象与性质和三角函数周期的求法等知识，属于基础题．
2．已知复数z=（2﹣i）（1+3i），其中i是虚数单位，则复数z在复平面上对应的点位于第一象限．
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则、几何意义即可得出．
解答：解：复数z=（2﹣i）（1+3i）=5+5i，
复数z在复平面上对应的点（5，5）位于第一象限．
故答案为：一．
点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．
3．如图是一个算法流程图，如果输入x的值是，则输出S的值是﹣2 ．
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．
解答：解：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用条件结构计算并输出
S=的值，
当x=时，
S==﹣2，
故答案为：﹣2
点评：本题考查的知识点是程序框图，其中分析出程序的功能是解答的关键．
4．某工厂为了了解一批产品的净重（单位：克）情况，从中随机抽测了100件产品的净重，所得数据均在区间[96，106]中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100件产品中，净重在区间[100，104]上的产品件数是55 ．
考点：频率分布直方图．
专题：概率与统计．
分析：根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系，求出对应的频数即可．解答：解：根据频率分布直方图，得；
净重在区间[100，104]上的产品频率是
（0.150+0.125）×2=0.55，
∴对应的产品件数是
100×0.55=55．
故答案为：55．
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率=的应用问题，是基础题目．
5．袋中有大小、质地相同的红、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球
若摸出红球，得2分，摸出黑球，得1分，则3次摸球所得总分至少是4分的概率是．
考点：古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：一共有8种不同的结果，“3次摸球所得总分为低于4分”为事件A，事件A包含的基本事件为：（黑、黑、黑），由此利用对立事件概率计算公式能求出3次摸球所得总分至少是4分的概率．
解答：解：一共有8种不同的结果，列举如下：
（红、红、红、）、（红、红、黑）、（红、黑、红）、（红、黑、黑）、（黑、红、红）、（黑、红、黑）、（黑、黑、红）、（黑、黑、黑）
“3次摸球所得总分为低于4分”为事件A
事件A包含的基本事件为：（黑、黑、黑），
∴3次摸球所得总分至少是4分的概率：
p=1﹣p（A）=1﹣=．
故答案为：．
点评：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数事件概率计算公式的合理运用．
6．如图，在平面四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点，若
（λ，μ∈R），则λ+μ= ．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：，，可得．由E为线段AO的中点，可得，再利用平面向量基本定理即可得出．
解答：解：∵，，
∴，
∵E为线段AO的中点，
∴，
∴，2μ=，
解得μ=，
∴λ+μ=．
故答案为：．
点评：本题考查了平面向量基本定理、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
7．已知平面α，β，直线m，n，给出下列命题：
①若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β，②若α∥β，m∥α，n∥β，则m||n，③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n．
其中是真命题的是③④．（填写所有真命题的序号）．
考点：空间中直线与平面之间的位置关系．
专题：空间位置关系与距离．
分析：利用线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理对四个命题分别分析解答．
解答：解：对于①，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β可能平行，故①错误；
对于②，若α∥β，m∥α，n∥β，则m与n的位置关系有：平行、相交或者异面，故②错误；
对于③，若m⊥α，n⊥β，m⊥n，利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可以判断α⊥β，故③正确；
对于④，若α⊥β，m⊥α，n⊥β，利用面面垂直、线面垂直的性质定理可以得到m⊥n；故④正确；
故答案为：③④
点评：本题考查了线面平行、面面平行、面面垂直的性质定理和判定定理的运用；关键是熟练掌握定理．
8．如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B=60°，AD=2，AC=，DC=，则AB=
．
考点：解三角形的实际应用．
专题：综合题；解三角形．
分析：利用余弦定理求出∠ADB=45°，再利用正弦定理，即可求出AB．
解答：解：由题意，cos∠ADC==﹣，
∴∠ADC=135°，
∴∠ADB=45°，
∵∠B=60°，AD=2，
∴，
∴AB=，
故答案为：．
点评：本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，定点A（2，0），若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FM：MN= 1：3 ．
考点：抛物线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出抛物线C的焦点F的坐标，从而得到AF的斜率k=﹣，过M作MP⊥l于P，
根据抛物线物定义得FM=PM．Rt△MPN中，根据tan∠MNP=，从而得到PN=2PM，进而
算出MN=3PM，由此即可得到FM：MN的值．
解答：解：∵抛物线C：x2=4y的焦点为F（0，1），点A坐标为（2，0），
∴抛物线的准线方程为l：y=﹣1，直线AF的斜率为k==﹣，
过M作MP⊥l于P，根据抛物线物定义得FM=PM，
∵Rt△MPN中，tan∠MNP=﹣k=，
∴=，可得PN=2PM，
得MN=3PM
因此可得FM：MN=PM：MN=1：3．
故答案为：1：3．
点评：本题给出抛物线方程和射线FA，求线段的比值．着重考查了直线的斜率、抛物线的定义、标准方程和简单几何性质等知识，属于中档题．
10．（5分）记等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=2，且数列{}也为等差数列，则a13= 50 ．
考点：等差数列的前n项和．
专题：等差数列与等比数列．
分析：由题意可得，，的值，由数列{}也为等差数列可得
2=+，解方程可得d值，由等差数列的通项公式可得．
解答：解：设等差数列{a n}的公差为d，
∵a 1=2，∴=，
∴=，=，
∵数列{}也为等差数列，
∴2=+，
解得d=4，
∴a13=2+12×4=50，
故答案为：50．
点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．
11．已知知函数f（x）=，x∈R，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集是（1，2）．
考点：其他不等式的解法．
专题：函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析：讨论x的符号，去绝对值，作出函数的图象，由图象可得原不等式即为
或，
分别解出它们，再求并集即可．
解答：解：当x≥0时，f（x）==1，
当x＜0时，f（x）==﹣1﹣，
作出f（x）的图象，可得f（x）在（﹣∞，0）上递增，
不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）即为
或，
即有或，
解得≤x＜2或1＜x＜，
即有1＜x＜2．
则解集为（1，2）．
故答案为：（1，2）．
点评：本题考查函数的单调性的运用：解不等式，主要考查二次不等式的解法，属于中档题和易错题．
12．在平面直角坐标系xOy中已知圆C：x2+（y﹣1）2=5，A为圆C与x轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AB，记线段AB的中点为M．若OA=OM，则直线AB的斜率为 2 ．
考点：直线与圆的位置关系．
专题：综合题；直线与圆．
分析：因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，显然CM⊥AB，求出圆的直径，在三角形OCM中，利用正弦定理求出sin∠OCM，利用∠OCM与∠OAM互补，即可得出结论．解答：解：因为圆的半径为，所以A（﹣2，0），连接CM，显然CM⊥AB，
因此，四点C，M，A，O共圆，且AC就是该圆的直径，2R=AC=，
在三角形OCM中，利用正弦定理得2R=，
根据题意，OA=OM=2，
所以，=，
所以sin∠OCM=，tan∠OCM=﹣2（∠OCM为钝角），
而∠OCM与∠OAM互补，
所以tan∠OAM=2，即直线AB的斜率为2．
故答案为：2．
点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查正弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．
13．已知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，则tanα的最大值是．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．
分析：直接对三角函数关系式中的角进行恒等变换，再利用弦化切建立一元二次不等式，最后求出结果．
解答：解：知α，β均为锐角，且cos（α+β）=，
则cos（α+β）sinβ=sinα=sin[（α+β）﹣β]，
化简为：cos（α+β）sinβ=sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ，
转化为：tan（α+β）=2tanβ，
即，
则：2tanαtan2β﹣tanβ+tanα=0，
所以：△≥0，
即：1﹣8tan2α≥0，
解得：．
由于：α为锐角，
所以：，
则tanα的最大值为．
故答案为：
点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式中角的恒等变换，弦化切在做题中得应用，一元二次不等式有解得情况讨论．
14．已知函数f（x）=，当x∈[0，100]时，关于x的方程f（x）=x﹣的所有解的和为10000 ．
考点：根的存在性及根的个数判断．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据函数的解析式分别求出各段上方程的根的和，找出规律作和即可．
解答：解：x∈[0，1）时，f（x）=（x﹣1）2+2（x﹣1）+1=x2，
令f（x）=x﹣，得：x2﹣x+=0，∴x1+x2=1；
x∈[1，2）时，f（x）=（x﹣1）2+1，
令f（x）=x﹣，得：x3+x4=3，
x∈[3，4）时，f（x）=（x﹣2）2+2，
令f（x）=x﹣，得：x5+x6=5，
…，
x∈[n，n+1）时，f（x）=（x﹣n）2+n，
令f（x）=x﹣，得：x2n+1+x2n+2=2n+1，
x∈[99，100]时，f（x）=（x﹣99）2+99，
令f（x）=x﹣，得：x199+x200=199，
∴1+3+5+…+199=10000，
故答案为：10000．
点评：本题考查了分段函数问题，考查了分类讨论以及二次函数的性质，是一道基础题．二、解答题
15．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知cosC=．
（1）若?=，求△ABC的面积；
（2）设向量=（2sin，），=（cosB，cos），且∥，求 sin（B﹣A）的值．
考点：两角和与差的正弦函数；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．
专题：三角函数的求值；平面向量及应用．
分析：（1）利用?=，求出ab的值，然后求解△ABC的面积．
（2）通过∥，求出tanB的值，推出B，转化sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣），利用两角和与差的三角函数求解即可．
解答：解：（1）由?=，得abcosC=．
又因为cosC=，所以ab==．…（2分）
又C为△ABC的内角，所以sinC=．…（4分）
所以△ABC的面积S=absinC=3．…（6分）
（2）因为∥，所以2sin cos=cosB，即sinB=cosB．…（8分）
因为cosB≠0，所以tanB=．
因为B为三角形的内角，所以B=．…（10分）
所以A+C=，所以A=﹣C．
所以sin（B﹣A）=sin（﹣A）=sin（C﹣）
=sinC﹣cosC=×﹣×
=．…（14分）
点评：本题考查两角和与差的三角函数，向量共线的充要条件的应用，考查三角形的解法．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD=CD=AB，AB∥DC，AD⊥CD，PC⊥平面ABCD．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若M为线段PA的中点，且过C，D，M三点的平面与PB交于点N，求PN：PB的值．
考点：直线与平面垂直的判定；余弦定理．
专题：综合题；空间位置关系与距离．
分析：（1）连结AC，证明BC⊥AC，BC⊥PC，利用线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面PAC；（2）证明AB∥MN，利用M为线段PA的中点，可得N为线段PB的中点，即可得出结论．
解答：（1）证明：连结AC．不妨设AD=1．
因为AD=CD=AB，所以CD=1，AB=2．
因为∠ADC=90°，所以AC=，∠CAB=45°．
在△ABC中，由余弦定理得BC=，所以AC2+BC2=AB2．
所以BC⊥AC．…（3分）
因为PC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，所以BC⊥PC．…（5分）
因为PC?平面PAC，AC?平面PAC，PC∩AC=C，
所以BC⊥平面PAC．…（7分）
（2）解：如图，因为AB∥DC，CD?平面CDMN，AB?平面CDMN，
所以AB∥平面CDMN．…（9分）
因为AB?平面PAB，
平面PAB∩平面CDMN=MN，
所以AB∥MN．…（12分）
在△PAB中，因为M为线段PA的中点，
所以N为线段PB的中点，
即PN：PB的值为．…（14分）
点评：本题考查线面平行、垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用线面平行、垂直的判定定理是关键．
17．如图为某仓库一侧墙面的示意图，其下部是矩形ABCD，上部是圆AB，该圆弧所在的圆心为O，为了调节仓库内的湿度和温度，现要在墙面上开一个矩形的通风窗EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）．过O作OP⊥AB，交AB 于M，交EF于N，交圆弧AB于P，已知OP=10，MP=6.5（单位：m），记通风窗EFGH的面积为S（单位：m2）
（1）按下列要求建立函数关系式：
（i）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数；
（ii）设MN=x（m），将S表示成x的函数；
（2）试问通风窗的高度MN为多少时？通风窗EFGH的面积S最大？
考点：函数模型的选择与应用．
专题：计算题；应用题；函数的性质及应用；导数的综合应用．
分析：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，OM=3.5．
（i）在Rt△ONF中与矩形EFGH中表示出边长，从而由S=EF×FG写出面积公式S=10sinθ（20cosθ﹣7），注意角θ的取值范围；
（ii）在Rt△ONF中与矩形EFGH中利用勾股定理等表示出边长，从而写出S=EF×
FG=x，注意x的取值范围；
（2）方法一：选择（i）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点，再代入求NM的长度即可；
方法二：选择（ii）中的函数模型，利用导数确定函数的单调性，从而示函数的最大值及最大值点即可．
解答：解：（1）由题意知，OF=OP=10，MP=6.5，故OM=3.5．
（i）在Rt△ONF中，NF=OFsinθ=10sinθ，ON=OFcosθ=10cosθ．
在矩形EFGH中，EF=2MF=20sinθ，FG=ON﹣OM=10cosθ﹣3.5，
故S=EF×FG=20sinθ（10cosθ﹣3.5）=10sinθ（20cosθ﹣7）．
即所求函数关系是S=10sinθ（20cosθ﹣7），0＜θ＜θ0，其中cosθ0=．
（ii）因为MN=x，OM=3.5，所以ON=x+3.5．
在Rt△ONF中，NF===．
在矩形EFGH中，EF=2NF=，FG=MN=x，
故S=EF×FG=x．
即所求函数关系是S=x，（0＜x＜6.5）．
（2）方法一：选择（i）中的函数模型：
令f（θ）=sinθ（20cosθ﹣7），
则f′（θ）=cosθ（20cosθ﹣7）+sinθ（﹣20sinθ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20．
由f′（θ）=40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=，或cosθ=﹣．
因为0＜θ＜θ0，所以cosθ＞cosθ0，所以cosθ=．
设cosα=，且α为锐角，
则当θ∈（0，α）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数；当θ∈（α，θ0）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，
所以当θ=α，即cosθ=时，f（θ）取到最大值，此时S有最大值．
即MN=10cosθ﹣3.5=4.5m时，通风窗的面积最大．
方法二：选择（ii）中的函数模型：
因为S=，
令f（x）=x2（351﹣28x﹣4x2），
则f′（x）=﹣2x（2x﹣9）（4x+39），
因为当0＜x＜时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以当x=时，f（x）取到最大值，此时S有最大值．
即MN=x=4.5m时，通风窗的面积最大．
点评：本题考查了导数在实际问题中的应用及三角函数的应用，属于中档题．
18．如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x与椭圆E相交于A，B两点，AB=2，C，D是椭圆E上异于A，B两点，且直线AC，
BD相交于点M，直线AD，BC相交于点N．
（1）求a，b的值；
（2）求证：直线MN的斜率为定值．
考点：椭圆的简单性质．
专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（1）根据椭圆的几何性质，利用离心率e以及AB的长，求出a、b的值；
（2）方法一：结合椭圆E的方程，求出A、B的坐标，讨论：
①CA，CB，DA，DB斜率都存在时，利用斜率的关系，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出M、N的坐标，计算k MN的值；
②CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，求出M、N的坐标，计算k MN的值；从而得出正确的结论．
方法二：利用椭圆E的方程，求出A、B的坐标，讨论：
①CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设出直线的斜率，由直线与椭圆联立，求出M、N点的坐标，计算k MN的值；
②CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，求出M、N点的坐标，计算k MN的值，即可得出正确的结论．
解答：解：（1）因为e==，所以c2=a2，即a2﹣b2=a2，所以a2=2b2；…（2分）
故椭圆方程为+=1；
由题意，不妨设点A在第一象限，点B在第三象限，
由解得A（b，b）；
又AB=2，所以OA=，即b2+b2=5，解得b2=3；
故a=，b=；…（5分）
（2）方法一：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2，C（x0，y0），
显然k1≠k2；
从而k1?k CB=?====﹣，
所以k CB=﹣；…（8分）
同理k DB=﹣，
于是直线AD的方程为y﹣1=k2（x﹣2），直线BC的方程为y+1=﹣（x+2）；
由解得；
从而点N的坐标为（，）；
用k2代k1，k1代k2得点M的坐标为（，）；…（11分）
所以k MN===﹣1；
即直线MN的斜率为定值﹣1；…（14分）
②当CA，CB，DA，DB中，有直线的斜率不存在时，
根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，
故不妨设直线CA的斜率不存在，从而C（2，﹣1）；
仍然设DA的斜率为k2，由①知k DB=﹣；
此时CA：x=2，DB：y+1=﹣（x+2），它们交点M（2，﹣1﹣）；
BC：y=﹣1，AD：y﹣1=k2（x﹣2），它们交点N（2﹣，﹣1），
从而k MN=﹣1也成立；
由①②可知，直线MN的斜率为定值﹣1；…（16分）
方法二：由（1）知，椭圆E的方程为+=1，从而A（2，1），B（﹣2，﹣1）；
①当CA，CB，DA，DB斜率都存在时，设直线CA，DA的斜率分别为k1，k2；
显然k1≠k2；
直线AC的方程y﹣1=k1（x﹣2），即y=k1x+（1﹣2k1）；
由得（1+2k12）x2+4k1（1﹣2k1）x+2（4k12﹣4k1﹣2）=0；
设点C的坐标为（x1，y1），则2?x1=，从而x1=；所以C（，）；
又B（﹣2，﹣1），