???
??
一、中考导航图
1.二次函数的意义;
2.二次函数的图象;
3.二次函数的性质??
?????
顶点对称轴
开口方向增减性
顶点式：y=a(x-h)2
+k(a ≠0)
4.二次函数 待定系数法确定函数解析式 一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 两根式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)
5.二次函数与一元二次方程的关系。
6.抛物线y=ax 2
+bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系。 二、中考课标要求
┌───┬───────────┬────────────┐ │ │ │ 知识与技能目标 │ │ 考点 │ 考纲要求 ├──┬──┬──┬───┤ │ │ │了解│理解│掌握│灵活应用 ├───┼───────────┼──┼──┼──┼───┤ │ │理解二次函数的意义 │ │ ∨ │ │ │ │ ├───────────┼──┼──┼──┼───┤ │ │会用描点法画出二次函数│ │ │ │ │ │ │的图象 │ │ │ ∨ │ │ │ 二 ├───────────┼──┼──┼──┼───┤ │ │会确定抛物线开口方向、│ │ │ ∨ │ │ │ 次 │顶点坐标和对称轴 │ │ │ │ │ │ ├───────────┼──┼──┼──┼───┤ │ 函 │通过对实际问题的分析确│ │ │ │ │ │ │定二次函数表达式 │ │ ∨ │ ∨ │ │ │ 数 ├───────────┼──┼──┼──┼───┤ │ │理解二次函数与一元二次│ │ │ │ │ │ │方程的关系 │ │ ∨ │ │ │ │ ├───────────┼──┼──┼──┼───┤
│ │会根据抛物线y=ax 2
+bx+c │ │ │ │ │ │ │(a ≠0)的图象来确定a 、 │ │ │ ∨ │ │ │ │b 、c 的符号 │ │ │ │ │ └───┴───────────┴──┴──┴──┴───┘ 三、中考知识梳理 1.二次函数的图象
在画二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+)2
+ 的形式,先确定顶点(-,),然后对称找点列表并画图,或直接代用顶点公式来求得顶点坐标. 2.理解二次函数的性质
抛物线的开口方向由a 的符号来确定,当a>0时,在对称轴左侧y 随x 的增大而减小;在对称轴的右侧,y 随x 的增大而增大;简记左减右增,这时当x=-时,y 最小值=;反之当a
3.待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法
一般地,在所给的三个条件是任意三点(或任意三对x,y?的值)?可设解析式为y=ax 2
+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解;在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时,可设解析式
为y=a(x-h)2
+k;在所给条件中已知抛物线与x?轴两交点坐标或已知抛物线与x 轴一交点坐标和对称轴,则可设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2)来求解. 4.二次函数与一元二次方程的关系
抛物线y=ax 2+bx+c 当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax 2
+bx+c=0,即抛物线与x 轴有
两个交点时,方程ax 2+bx+c=0有两个不相等实根;当抛物线y=ax 2
+bx+c 与x 轴有一个交点,方程ax 2+bx+c=0有两个相等实根;当抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴无交点,?方程ax 2
+bx+c=0无实根.
5.抛物线y=ax 2
+bx+c 中a 、b 、c 符号的确定
a 的符号由抛物线开口方向决定,当a>0时,抛物线开口向上;当a<0时,?抛物线开口向下;c 的符号由抛物线与y 轴交点的纵坐标决定.当c>0时,抛物线交y 轴于正半轴;当c<0时,抛物线交y 轴于负半轴;
b 的符号由对称轴来决定.当对称轴在y?轴左侧时,b 的符号与a 的符号相同;当对称轴在y 轴右侧时,b 的符号与a 的符号相反;?简记左同右异.
6.会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题,?应用数形结合思想来解决有关的综合性问题.
四、中考题型例析
1. 二次函数解析式的确定
例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);
(2)图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8;
(3)图象顶点坐标是(-1,9),与x 轴两交点间的距离是6.
分析:此题主要考查用待定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式,列出方程或方程组来求解.
(1)解:设解析式为y=ax 2
+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得
3,3,642.a b c a b c a b c =-+??=++??=++? 解得1,0,2.a b c =??
=??=?
∴解析式为y=x 2
+2.
(2)解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1,所以顶点为(1,-8).?
设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1)2
-8.
把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2
-8,∴a=2.
即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x 2
-4x-6.
解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上, 把x=1,y=-8?代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,
∴解析式为y=2x 2
-4x-6.
解法3:∵图象过A(-1,0),B(3,0)两点,可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax 2
-2ax-3a. ∵函数有最小值-8. ∴=-8.
又∵a ≠0,∴a=2.
∴解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x 2
-4x-6.
(3)解:由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1, 又∵图象与x 轴两交点的距离为6,即AB=6.
由抛物线的对称性可得A 、B 两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0), 设出两根式y=a(x-x 1)·(x-x 2),
将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x 2
-2x+8.
x
y O
点评:一般地,已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y 的值)可设表达式为
y=ax 2
+bx+c,组成三元一次方程组来求解;?如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值,可
选用y=a(x-h)2
+k 来求解;若三个条件中已知抛物线与x 轴两交点坐标,则一般设解析式为y=a(x-x 1)(x-x 2).
2. 二次函数的图象
例2 (xx ·孝感)y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的图象如图所示,则点M(a,bc)在( ? ).
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限 分析:由图可知:
抛物线开口向上a>0.
002y c b x y b a ?<=-?
?
??
?
抛物线与轴负半轴相交对称轴在轴右侧bc<0.
∴点M(a,bc)在第一象限.
答案:A.
点评:本题主要考查由抛物线图象会确定a 、b 、c 的符号.
例3 (xx ·岳阳)已知一次函数y=ax+c 二次函数y=ax 2
+bx+c(a ≠0),
它们在同一坐标系中的大致图象是
( ).
分析:一次函数y=ax+c,当a>0时,图象过一、三象限;当a<0时,图象过二、?四象限;c>0时,
直线交y 轴于正半轴;当c<0时,直线交y 轴于负半轴;?对于二次函数y=?ax 2
+bx+c(a ≠0)来讲:
????
?????开口上下决定a的正负
左同右异(即对称轴在y轴左侧,b的符号与a的符号相同;)来判别b的符号抛物线与y轴的正半轴或负半轴相交确定c 的正负
解:可用排除法,设当a>0时,二次函数y=ax 2
+bx+c 的开口向上,而一次函数y=?ax+c 应过一、三象限,故排除C;当a<0时,用同样方法可排除A;c 决定直线与y 轴交点;也在抛物线中决定抛物线与y 轴交点,本题中c 相同则两函数图象在y 轴上有相同的交点,故排除B. 答案:D.
3. 二次函数的性质
例4 (xx ·杭州)对于反比例函数y=-与二次函数y=-x 2
+3,?请说出他们的两个相同点:①_________,?②_________;?再说出它们的两个不同点:??①________,??②_________.
分析:本小题是个开放性题目,可以从以下几点性质来考虑①增减性②图象的形状③最值④自变量取值范围⑤交点等.
解:相同点:①图象都是曲线,②都经过(-1,2)或都经过(2,-1);
不同点:①图象形状不同,②自变量取值范围不同,③一个有最大值,一个没有最大值.
点评:本题主要考查二次函数和反比例函数的性质,有关函数开放性题目是近几年命题的热点.
4. 二次函数的应用
例5 (xx·厦门)已知抛物线y=x2+(2k+1)x-k2+k,
(1)求证:此抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)设x1、x2是此抛物线与x轴两个交点的横坐标,且满足x12+x22=-2k2+2k+1.
①求抛物线的解析式.
②设点P(m1,n1)、Q(m2,n2)是抛物线上两个不同的点,?且关于此抛物线的对称轴对称.
求m+m的值.
分析:(1)欲证抛物线与x轴有两个不同交点,可将问题转化为证一元二次方程有两个不相等实数根,故令y=0,证△>0即可.
(2)①根据二次函数的图象与x轴交点的横坐标即是一元二次方程的根.由根与系数的关系,求出k的值,可确定抛物线解析式;?②由P、Q关于此抛物线的对称轴对称得n1=n2,由n1=m12+m1,n2=m22+m2得m12+m1=m22+m2,即(m1-m2)(m1+m2+1)=0可求得m1+m2=-1.
解:(1)证明:△=(2k+1)2-4(-k2+k)
=4k2+4k+1+4k2-4k=8k2+1.
∵8k2+1>0,
即△>0,∴抛物线与x轴总有两个不同的交点.
(2)①由题意得x1+x2=-(2k+1), x1· x2=-k2+k.
∵x12+x22=-2k2+2k+1,
∴(x1+x2)2-2x1x2=-2k2+2k+1,
即(2k+1)2-2(-k2+k)=-2k2+k+1,
4k2+4k+1+2k2-2k=-2k2+2k+1.
∴8k2=0,∴k=0,
∴抛物线的解析式是y=x2+x.
②∵点P、Q关于此抛物线的对称轴对称,
∴n1=n2.
又n1=m12+m1,n2=m22+m2.
∴m12+m1=m22+m2,
即(m1-m2)(m1+m2+1)=0.
∵P、Q是抛物上不同的点,
∴m1≠m2,即m1-m2≠0.
∴m1+m2+1=0
即m1+m2=-1.
点评:本题考查二次函数的图象(即抛物线)与x轴交点的坐标与一元二次方程根与系数的关系.二次函数经常与一元二次方程相联系并联合命题是中考的热点.
基础达标验收卷
一、选择题:
1.(xx·大连)抛物线y=(x-2)2+3的对称轴是( ).
A.直线x=-3
B.直线x=3
C.直线x=-2
D.直线x=2
2.(xx·重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则点M(b,)在( ).
A.第一象限;
B.第二象限;
C.第三象限;
D.第四象限
3.(xx·天津)已知二次函数y=ax2+bx+c,且a<0,a-b+c>0,则一定有( ).
A.b2-4ac>0
B.b2-4ac=0
C.b2-4ac<0
D.b2-4ac≤0
4.(xx·杭州)把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象
的解析式是y=x2-3x+5,则有( ).
A.b=3,c=7
B.b=-9,c=-15
C.b=3,c=3
D.b=-9,c=21
5.(xx·河北)在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为( ).
6.(xx·昆明)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的顶点P的横坐标是4,?图
象交x轴于点A(m,0)和点B,且m>4,那么AB的长是( ).
A.4+m
B.m
C.2m-8
D.8-2m
二、填空题
1.(xx·河北)若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式,则 y=_______.
2.(xx·新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质_______.
3.(xx·天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2,且经过点(1,4)和点(5,0),
则该抛物线的解析式为_________.
4.(xx·武汉)已知二次函数的图象开口向下,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件
的二次函数的解析式:_________.
5.(xx·黑龙江)已知抛物线y=ax2+x+c与x轴交点的横坐标为-1,则a+c=_____.
6.(xx·北京东城)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点:
甲:对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.
请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:
三、解答题
1.(xx·安徽)已知函数y=x2+bx-1的图象经过点(3,2).
(1)求这个函数的解析式;
(2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;
(3)当x>0时,求使y≥2的x取值范围.
2.(xx·济南)已知抛物线y=- x2+(6- )x+m-3与x轴有A、B两个交点,且A、B两点关于y轴对
称.
(1)求m的值;
(2)写出抛物线解析式及顶点坐标;
(3)根据二次函数与一元二次方程的关系将此题的条件换一种说法写出来.
3.(xx·南昌)在平面直角坐标系中,给定以下五点A(-2,0),B(1,0),C(4,0),D(-2, ),E(0,-6),从这五点中选取三点,使经过这三点的抛物线满足以平行于y?轴的直线为对称轴.我们约定:把经过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB(如图所示).
(1)问符号条件的抛物线还有哪几条?不求解析式,?请用约定的方法一一表示出来;
(2)在(1)中是否存在这样的一条抛物线,它与余下的两点所确定的直线不相交?如果存在,
试求出解析式及直线的解析式;如果不存在,请说明理由.
能力提高练习
一、学科内综合题
1.(xx·新疆)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,?与y轴交于A点.
(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;
(2)如果点A的坐标为(0,-3),∠ABC=45°,∠ACB=60°,?求这个二次函数的解析式.
二、实际应用题
2.(xx·河南)?某市近年来经济发展速度很快,?根据统计:?该市国内生产总值1990年为8.6亿
元人民币,1995年为10.4亿元人民币,xx年为12.9亿元人民币.
经论证,上述数据适合一个二次函数关系,请你根据这个函数关系,预测xx?年该市国内生产总值将达到多少?
3.(xx·辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,?公司经历了从亏损到盈利的过程.下面的二次函数图象(部分)?刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
根据图象(图)提供的信息,解答下列问题:
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月末公司累积利润可达到30万元;
(3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
4.(xx·吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB?的宽为20m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是10m.
(1)建立如图所示的直角坐标系,求此抛物线的解析式;
(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地,已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计).货车正以每小时40km的速度开往乙地,当行驶1小时时,?忽然接到紧急通知:前方连降暴雨,造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD 处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行),试问:如果货车按原来速度行驶,能否完全通过此桥?若能,请说明理由;若不能,?要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
三、开放探索题
5.(xx·济南)?某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重
要的结论.一是发现抛物线y=ax2+2x+3(a≠0),当实数a变化时,它的顶点都在某条直线上;二是发现当实数a变化时,若把抛物线y=ax2+2x+3的顶点的横坐标减少,纵坐标增加,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标增加,纵坐标增加,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在抛物线y=ax2+2x+3上.
(1)请你协助探求出当实数a变化时,抛物线y=ax2+2x+3的顶点所在直线的解析式;
(2)问题(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?并说明理由;
(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般──特殊──一般”的思想,?你还能发现什么?你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?你的猜想能成立吗?若能成立,请说明理由.
6.(xx·重庆)如图,在直角坐标系中,正方形ABCD的边长为a,O为原点,?点B在x轴的负半轴上,点D在y轴的正半轴上.直线OE的解析式为y=2x,直线CF过x轴上一点C(-a,0)且与OE平行.
现正方形以每秒的速度匀速沿x轴正方向平行移动,?设运动时间为t秒,正方形被夹在直线OE 和CF间的部分的面积为S.
(1)当0≤t<4时,写出S与t的函数关系;
(2)当4≤t≤5时,写出S与t的函数关系,在这个范围内S有无最大值?若有,?请求出最大值;若没有,请说明理由.
[参考答案]
https://www.doczj.com/doc/3818477796.html,
基础达标验收卷
一、1.D 2.D 3.A 4.A 5.B 6.C
二、1.(x-1)2+2 2.图象都是抛物线或开口向上或都具有最低点(最小值) 3.y=-x 2
+2x+ 4.
如y=-x 2
+1 5.1
6.y=x 2-x+3或y=-x 2+x-3或y=-x 2-x+1或y=-x 2
+x-1 三、
1.解:(1)∵函数y=x 2
+bx-1的图象经过点(3,2), ∴9+3b-1=2,解得b=-2.
∴函数解析式为y=x 2
-2x-1.
(2)y=x 2-2x-1=(x-1)2
-2. 图象略.
图象的顶点坐标为(1,-2).
(3)当x=3时,y=2,根据图象知,当x ≥3时,y ≥2. ∴当x>0时,使y ≥2的x 的取值范围是x ≥3. 2.(1)设A(x 1,0) B(x 2,0). ∵A 、B 两点关于y 轴对称. ∴ ∴ 解得m=6.
(2)求得y=-x 2
+3.顶点坐标是(0,3)
(3)方程-x 2
+(6-)x+m-3=0的两根互为相反数(或两根之和为零等). 3.解:(1)符合条件的抛物线还有5条,分别如下:
①抛物线AEC; ②抛物线CBE; ③抛物线DEB; ④抛物线DEC; ⑤抛物线DBC. (2)在(1)中存在抛物线DBC,它与直线AE 不相交.
设抛物线DBC 的解析式为y=ax 2
+bx+c.
将D(-2, ),B(1,0),C(4,0)三点坐标分别代入,得942,20,164.a b c a b c a b c ?
-+=??
++=??++=??
解这个方程组,得a=,b=- ,c=1.
∴抛物线DBC 的解析式为y=x 2
-x+1.
【另法:设抛物线为y=a(x-1)(x-4),代入D(-2, ),得a=也可.】 又将直线AE 的解析式为y=mx+n.
将A(-2,0),E(0,-6)两点坐标分别代入,得 解这个方程组,得m=-3,n=-6. ∴直线AE 的解析式为y=-3x-6. 能力提高练习 一、
1.解:(1)∵抛物线开口向上,∴a>0.
又∵对称轴在y 轴的左侧, ∴-<0,∴b>0.
又∵抛物线交于y 轴的负半轴. ∴c<0.
(2)如图,连结AB 、AC.
∵在Rt △AOB 中,∠ABO=45°,
∴∠OAB=45°.∴OB=OA.∴B(-3,0). 又∵在Rt △ACO 中,∠ACO=60°, ∴OC=OA ·cot60°= ,∴C(,0). 设二次函数的解析式为
y=ax 2
+bx+c(a ≠0).
由题意930,30,3.
a b c a c c -+=??++=??=-
?31,3.a b c ?=???
?=??=-?
??
∴所求二次函数的解析式为y=x 2
+ (-1)x-3.
2.依题意,可以把三组数据看成三个点:
A(0,8.6),B(5,10.4),C(10,12.9)
设y=ax 2
+bx+c.
把A 、B 、C 三点坐标代入上式,得
8.6,25510.4,1001012.9.c a b c a b c =??
++=??++=?
解得a=0.014,b=0.29,c=8.6. 即所求二次函数为
y=0.014x 2
+0.29x+8.6.
令x=15,代入二次函数,得y=16.1.
所以,xx 年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.
3.解:(1)设s与t的函数关系式为s=at2+bt+c
由题意得
1.5,
422,
255 2.5;
a b c
a b c
a b c
++=-
?
?
++=-
?
?++=
?
或
1.5,
422,
0.
a b c
a b c
c
++=-
?
?
++=-
?
?=
?
解得
1
,
2
2,
0.
a
b
c
?
=
?
?
=-
?
?=
?
?
∴s=t2-2t.
(2)把s=30代入s=t2-2t, 得30=t2-2t.
解得t1=0,t2=-6(舍).
答:截止到10月末公司累积利润可达到30万元.
(3)把t=7代入,得s=×72-2×7==10.5;
把t=8代入,得s=×82-2×8=16.
16-10.5=5.5.
答:第8个月公司获利润5.5万元.
4.解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2,桥拱最高点O到水面CD的距离为hm,
则D(5,-h),B(10,-h-3).
∴解得
1
,
25
1.
a
h
?
=-
?
?
?=
?
抛物线的解析式为y=-x2.
(2)水位由CD处涨到点O的时间为:1÷0.25=4(小时).
货车按原来速度行驶的路程为:40×1+40×4=200<280,
∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车速度提高到xkm/h.
当4x+40×1=280时,x=60.
∴要使货车完全通过此桥,货车的速度应超过60km/h.
5.略
6.解:(1)当0≤t<4时,
如图1,由图可知OM=t,设经过t秒后,正方形移动到ABMN, ∵当t=4时,BB1=OM=×4=a,
∴点B1在C点左侧.
∴夹在两平行线间的部分是多边形COQNG,
其面积为:
平行四边形COPG-△NPQ的面积.
∵CO= a,OD=a,
∴四边形COPQ 面积=a 2
.
又∵点P 的纵坐标为a,代入y=2x 得P(,a),∴DP=. ∴NP=-t.
由y=2x 知,NQ=2NP,∴△NPQ 面积=
∴S=a 2-(t)2= a 2-(5-t)2=[60-(5-t)2
].
(2)当4≤t ≤5时,
如图,这时正方形移动到ABMN,
∵当4≤t ≤5时, a ≤BB 1≤ ,当B 在C 、O 点之间.
∴夹在两平行线间的部分是B 1OQNGR,即平行四边形COPG?被切掉了两个小三角形△NPQ 和△CB 1R,其面积为:平行四边形COPG-△NPQ 的面积-△CB 1R 的面积.
与(1)同理,OM=t,NP= t,S △NPQ =(t)2
,
∵CO=a,CM=a+t,B i M=a, ∴CB 1=CM-B 1M=a+t-a=t-a.
∴S △CB1R =CB 1·B 1R=(CB 1)2=(t-a)2
.
∴S=a 2-(-t)2 -(t-a)2
=a 2-[(5-t)2+(t-4)2] =a 2-(2t 2
-18t+41) =a 2-[2·(t-)2
+].
∴当t=时,S 有最大值,S 最大=a-·=a 2
.
2019-2020年中考数学总复习教案 华东师大版(III)
一、知识点:
1.一次函数意义(正比例函数意义);
2.一次函数图象;
3.一次函数性质;
4.一次函数应用:待定系数法,两直线的位置关系.
三、中考知识梳理
1.正比例函数与一次函数的关系
正比例函数是当y=kx+b中b=0时特殊的一次函数.
2.待定系数法确定正比例函数、一次函数的解析式
通常已知一点便可用待定系数法确定出正比例函数的解析式, 已知两点便可确定一次函数解析式.
3.一次函数的图象
正比例函数y=kx(k≠0)是过(0,0),(1,k)两点的一条直线;一次函数y=kx+b(k≠0)是过(0,b),( ,0)两点的一条直线.
4.直线y=kx+b(k≠0)的位置与k、b符号的关系
当k>0是直线y=kx+b过第一、三象限,当k<0时直线过第二、四象限;b 决定直线与y轴交点的位置,b>0直线交y轴于正半轴,b<0直线交y轴于负半轴.
5.直线L1与L2的位置关系由k、b来确定
当直线L1∥L2时k相同b不同;当直线L1与L2重合时k、b都相同;当直线L1与L2相交于y轴同一点时,k不同b相同.
6.一次函数经常与一次方程、一次不等式相联系
四、中考题型例析
1.一次函数的图象
例1 (xx·福州)如果直线y=ax+b经过第一、二、三象限,那么ab____0( 填“>”、“<”、“=”).
分析:已知直线y=ax+b经过第一、二、三象限,可先画出草图,由图可知a>0, b>0或根据直线y=kx+b中当k>0直线过第一、三象限,b>0时交y轴于正半轴来判断.
解:由题意可画出草图,由图可知a>0,b>0,∴ab>0,故答案为>.
答案:>.
点评:解决此题的关键是明确一次函数y=kx+b中k、b 的符号与直线的位置之间的关系,并学会应用数形结合的数学思想方法.
例2 (xx·青州)下列图形中,表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m、 n是常数且mn≠0)图象是( )
O x y
A
O x
y
B
O x
y
C
O
x
y
D
解析:对于两不同函数图象共存同一坐标系问题,常假设某一图象正确而后根据字母系数所表示的实际意义来判定另一图象是否正确来解决问题.例如, 假设选项B中的直线y=mx+n正确则m<0,n>0,mn<0则正比例函数y=mnx则应过第二、四象限,而实际图象则过第一、三象限,∴选项B错误.同理可得A正确.
答案:A.
2.一次函数的性质
例3 (xx·甘肃)一次函数的图象过点(1,2),且y随x的增大而增大, 则这个函数解析式
是________.
分析:由一次函数图象过点(1,2),可先设出解析式为y=kx+b(或y=kx)将点(1,2)代入其解
析式.但函数y随自变量x的增大而增大,这一条件不能丢.
解:(1)设一次函数解析式为y=kx+b(或y=kx)(k≠0)y随自变量x的增大而增大, 则k>0,
将(1,2)代入y=kx+b,得2=k+b,即k=2-b.
不妨取k=1,得b=1.
∴解析式为y=x+1;
取k=2,得b=0,∴解析式为y=2x;
取k=3,得b=-1,∴解析式为y=3x-1;
…
∴满足条件的解析式有无数个,故答案为:y=x+1或y=2x或y=3x-1等等.
点评:本题中是确定解析式的开放性的题目,解决此类题目的关键是抓准已知条件中函数的
性质来思考.
3. 一次函数的应用
例4 (xx·哈尔滨)如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从Array甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象( 分别是正比例函
数图象和一次函数图象).根据图象解答下列问题:
(1)请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式(不要求写出
自变量的取值范围;
(2)轮船和快艇在途中(不包括起点和终点)行驶的速度分别是多少?
(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?
分析:由已知条件可设两条直线分别为y=k1x(k1≠0)或y=k2x+b(k2
≠0),然后根据图象给出的点的坐标,利用“待定系数法”可确定(1)中的两条直线;(2)由图可得
轮船8h行160km,快艇4h行160km,分别求其速度;(3)根据追及问题中“快者路程- 相距路程=
慢者路程”可求解.
解:(1)设表示轮船行驶过程的函数解析式为y=kx,由图象知:当x=8时,y=160.
∴8k=160,解得k=20.
∴表示轮船行驶过程的函数解析式为 y=20x.
设表示快艇行驶过程的函数解析式为y=ax+b.
由图象知:当x=2时,y=0;当x=6时,y=160.
∴解得
∴表示快艇行驶过程的函数解析式为 y=40x-80.
(2)由图象可知,轮船在8h内行驶了160km,快艇在4h内行驶了160km,故轮船在途中的行驶
速度为=20(km/h),快艇在途中行驶速度为=40(km/h).
(3)设轮船出发xh快艇赶上轮船.
20x=40x-80,x=4, ∴x-2=4-2=2.
答:快艇出发2h赶上轮船.
点评:本题主要通过一次函数图象与坐标轴的交点的意义来解决实际问题,因此弄清交点的
意义是关键,然后用待定系数法求函数解析式.
基础达标验收卷
一、选择题
1.(xx·杭州)一次函数y=x-1的图象不经过( )
A.第一象限
B.第二象限;
C.第三象限
D.第四象限
2.(xx·福州)已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象过第二、四象限,则( )
A.y随x的增大而减小;
B.y随x的增大而增大
C.当x<0时,y随x的增大而增大;当x>0时,y随x的增大而减小
D.不论x如何变化,y不变
3.(xx·哈尔滨)若正比例函数y=(1-2m)x的图象经过点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当x1
A.m<0
B.m>0
C.m<
4.(xx·甘肃)结合正比例函数y=4x的图象回答:当x>1时,y的取值范围是( )
A.y=1
B.1≤y<4
C.y=4
D.y>4
5.(xx·哈尔滨)直线y=x-1与坐标轴交于A、B两点,点C在坐标轴上,△ABC为等腰三角形,则
满足条件的点C最多有( )
A.4个
B.5个
C.7个
D.8个
6.(xx·青海)拖拉机开始工作时,油箱中有油40L,如果每小时耗油5L, 那么工作时,油箱中的余
油量Q(L)与工作时间t(h)的函数关系用图象可表示为( )
40
8 O t
Q
A
40
8
O
t Q
D
二、填空题
1.(xx·广州)如果正比例函数的图象经过点(2, 1) , 那么这个函数解析式是_________.
2.(xx·潍坊)若一次函数的图象经过第一、第三、第四象限,则一次函数的解析式为________(填
一个即可).
3.(xx·四川)在平面直角坐标系中,直线y=kx+b(k、b为常数,k≠0,b>0) 可以看成是将直线y=kx
沿y轴向上平行移动b个单位而得的,那么将直线y=kx沿x轴向右平行移动m个单位(m>0)得到的直线的方程是________.
4.(xx·天津)已知正方形ABCD的边长是1,E为CD边的点,P为正方形ABCD边上的一个动点,动
点P从A点出发,沿A→B→C→E运动,到达点E.若点P经过的路程为自变量x,△APE的面积为函数y,则当y=时,x的值等于________.
三、解答题
1.(xx.镇江)已知y与x+2成正比例,且x=1时y=-6.(1)求y与x 之间的函数关系式;(2)若点
(a,2)在函数图象上,求a的值.
2.(xx.吉林)如图,大拇指与小姆指尽量张开时, 两指尖的距离称为指距.某项研究表明,一般情
况下人的身高h
:
(1)求出h与d之间的函数关系式(不要求写出自变量d的取值范围).
(2)某人身高为196cm,一般情况下他的指距应是多少?
t
学校所添置的一批课桌、凳进行观察研究,发现它们可以根据人的身长调节高度.于是,他测量
(1)小明经过对数据探究,发现:桌高y是凳高x的一次函数,请你求出这个一次函数的
关系式(不要求写出x的取值范围);
(2)小明回家后,测量了家里的写字台和凳子,写字台的高度为77cm,凳子的高度为
43.5cm,请你判断它们是否配套,说明理由.
4.(xx.辽宁)某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果游客过多, 对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时考虑到文物的修缮和保存等费用问题,还要保证一定的门票收入.因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数. 在该方法实施过程中发现:每周参观人数与票价之间存在着如图1-13-9 所示的一次函数关系.在这样的情况下,如果确保每周4万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?
能力提高练习
一、跨学科应用题
1.(xx.恩施自治州)在某一段电路中,保持电压不变,则电流强度I与电阻R 之间的函数关系的
图象大致是( )
R
2.(xx.杭州)转炉炼钢产生的棕红色烟尘会污染大气,某装置可通过回收棕红色烟尘中的氧化铁
从而降低污染,该装置的氧化铁回收率与其通过的电流有关,现经过试验得到下列数据:
.
(1)将试验所得数据在如图所给的直角坐标系中用点表示;(注: 该图中坐标轴的交点代表点(1,70).
(2)用线段将题(1)所画的点从左到右顺次连接, 若用此图象来模拟氧化铁回收率y关于通过电流x的函数关系,试写出该函数在1.7≤x≤2.4时的表达式;
(3)利用题(2)所得函数关系,求氧化铁回收率大于85%时, 该装置通过的电流应该控制的范围(精确到0.1A).
R
I
O
D
二、实际应用题
3.(xx.福州)如图,L1、L2分别表示一种白炽灯和一种节能灯的费用y(费用=灯的售价+电费,单位:元)与照明时间x(h)的函数图象,假设两种灯的使用寿命都是2 000h,照明效果一样.
(1)根据图象分别求出L1、L2的函数关系式;
(2)当照明时间为多少时,两种灯的费用相等?
(3)小亮房间计划照明2 500h,他买了一个白炽灯和一个节能灯, 请你帮他设计最省钱的用灯方法(直接给出答案,不必写出解答过程).
4.(xx.沈阳)某市的A县和B县春季育苗,急需化肥分别为90吨和60吨, 该市的C县和D县分
别储存化肥100吨和50吨,全部调配给A县和B县.已知C、D 两县运化肥到A、B两县的运费(元/吨)如下表所示.
(1)设C县运到A县的化肥为x吨,求总费W(元)与x(吨)的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(2)求最低总运费,并说明总运费最低时的运送方案.
四、开放探索题
5.(xx·吉林)如图(1),在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm,点P从A出发, 沿A→B→C→D路线运
动,到D停止;点Q从D出发,沿D→C→B→A路线运动,到A停止. 若点P、点Q同时出发,点P 的速度为1cm/s,点Q的速度为2cm/s,as时点P、点Q 同时改变速度,点P的速度变为bcm/s,点Q的速度变为dcm/s .图(2)是点P出发x秒后△APD的面积S1(cm2)与x(s)的函数关系图象;图(3)是点Q出发x秒后△AQD的面积S2(cm2)与x(s)的函数关系图象.
(1)参照图(2),求a、b及图(2)中c的值;
(2)求d的值;
(3)设点P离开点A的路程为y1(cm),点Q到A还需走的路程为y2(cm), 请分别写出动点P、Q 改变速度后y1、y2与出发后的运动时间x(s)的函数关系式,并求出P、Q 相遇时x的值;
(4)当点Q出发_______s时,点P、点Q在运动路线上相距的路程为25cm.
(1)
x(秒)
(2)
20
8
40c
a
O
S 1(cm 2)
x(秒)
(3)
22
40
O
S 2(cm 2)
四、创新题
6.(xx ·河北)甲乙两辆汽车在一条公路上匀速行驶,为了确定汽车的位置, 我们用数轴Ox 表示这条公路,原点O 为零千米路标(如图),并作如下约定:
O
①速度v>0,表示汽车向数轴正方向行驶;速度c<0,表示汽车向数轴负方向行驶;速度v=0,表示汽车静止.
②汽车位置在数轴上的坐标s>0,表示汽车位于零千米路标的右侧;汽车位置在数轴上的坐标s<0,表示汽车位于零千米路的左侧;汽车位置在数轴上的坐标s=0,表示汽车恰好位于零千米路标处.
遵照上述约定,将这两辆汽车在公路上匀速行驶的情况,以一次函数图象的形式画在了同一直角坐标系中,如图.
请解答下列问题:
(1) 就这两个一次函数图象所反映的两汽车在这条公路上行驶的状况填写如下的表格.
(2)甲乙两车能否相遇?如能相遇,求相遇时的时刻及在公路上的位置;如不能相遇,请说明理由.
甲车:s=-40t+190 (t ≥0)
(t ≥0)
乙车:s=50t-80
t(h)
s(km)
O
[参考答案]