杨辉三角
教学设计思想：
这节课是高三数学（选修II ）的研究性课题，是在高二学过的“二项式定理”的基础上，进一步探讨和研究杨辉三角的性质，实质上就是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。
（1）让学生在教师设计的问题情境中，自己根据已经学过的知识去发现问题→提出问题→解决问题，即观察、猜想、归纳杨辉三角横行、竖向、斜向的数字各数之间的大小关系、组合关系及各数字之间的联系等规律。
（2）在学生自主探究知识的发生发展过程中从中体会到数学世界的神奇和有趣，激发他们对数学的热爱之情。培养他们的交流与协作的能力。
（3）通过向他们介绍杨辉三角的有关历史，让他们了解中国古代数学的伟大成就，增强他们的民族自豪感。
教学 目标：
1 使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质，并能认识到中国古代的数学的辉煌成就。
2 让学生在老师的启发下自己去探讨杨辉三角中行、列的数字的特点， 发现杨辉三角的有关的性质，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3通过讨论，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。在交流中培养学生的协作能力，形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神，为进一步学习作好准备。
教学过程：
一 引入
今天我们在高二学过的杨辉三角的基础上，进一步探索杨辉三角数字中横 向、竖向、斜向…中蕴含的有趣的数量关系。（幻灯片：出示杨辉三角的前3行，余下的让学生补充完整）
二 杨辉简介
杨辉，中国南宋时期杰出的数学家
和数学教育家。在13世纪中叶活动于
苏杭一带，其著作甚多。其中《详解九章算术》
中的“开方作法本源图”,曾被称为“杨辉三角”，
杨辉指明次系贾宪(约11世纪)所用.
三 探讨杨辉三角的性质 ?
??++++++=++++++=+++++=++++=+++=++=+=+6
43223245665
432234554
3223443
22332
221061520156)(510105)(464)(33)(2)()(1)(b ab b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b a a b a b ab a b a b
a b a b a
提问：刚才我们是怎样将杨辉三角补充完整的？是根据什么样的规律？ （见课件）
让学生归纳规律：
1杨辉三角的基本性质
杨辉三角形的两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上
的两个数字相加. 即r n r n r n
C C C 111---+=
2 杨辉三角的对称性
杨辉三角形的每一行中的数字左右对称.即r n n r n C C -= 观察杨辉三角形各行的每一个数字，与二项式展开式相比，有什么
特点？观察各行数字的和，有什么规律？
（学生经过思考、讨论，归纳结论）
(a +b )n =1 a n +1n C a n-1b+2n C a n-2b+……+r n C a n-r b r +……+1-n n C ab n-1+1 b n
3 杨辉三角第n 行各数的特点
（1）杨辉三角的第n 行中的数对应于二项式(a +b )n 展开式的二项式系数
（2）杨辉三角的第n 行数字的和等于2n 。
提问：是用什么方法得到的？（观察→归纳→猜想）
杨辉三角中各数字的特点，如果我们从斜向观察会发现更加奇妙的数字特点。下面大家观察下图中个各斜线中数字的和，算出前面的几个，归纳一般结论。
即各斜线中数字的和为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,……
4 如图斜线中各数字的和，从第3条斜线中数字起，其后各斜线中的和 是前两条斜线中数字之和。
指出：（1）构成一个从第三项起，每项是前两项之和的数列。即 )2(12≥=+--n a a a n n n
第6行 1 6 15 20 15 6 1 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1 第0行 1
第2行 1 2 1 第3行
1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1 … … …… … … …… ……
这是著名斐波那契数列。
斐波那契及斐波那契数列。斐波那契（1175年～1259年）出生在意大利 ,是中世纪第一位伟大的
数学家.“斐波那契兔子问题”见他所著的《算盘书》。
斐波那契兔子问题
“有个人想知道，一年之内一对兔子能繁殖多少对？于是就筑了一道围墙把一对兔子关在里面。已知一对兔子每个月可以生一对小兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子。假如一年内没有发生死亡现象，那么，一对兔子一年内能繁殖成多少对？”
（学生先计算出前1个月、2个月、3个月、4个月、5个月各有多少只兔子，依次写出，从而算出第12个月共有多少只兔子）
斐波那契数列）（3）斐波那契数列的有趣性
斐波那契数列有许多有趣的性质，在大自然中，在我们的实际生活中有着非常广泛和实际的应用。
1963年美国创季刊《Fibonaui`s季刊》，专门用斐波那契数列研究探讨自然、社会生活中的现象。
2002年的“非典”重新唤起人们对数学的热爱。受过数学训练的人，都很容易回忆起多数数学建模教科书里都有的“传染病模型”一章 ,非典正是按照斐波那契数来传染的。
植物中的斐波那契数列，如图可以看见那上面有许多螺
旋。很容易想像，如果从上面俯视下去的话，这些螺旋
从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时
针方向的。可以数一下，顺时针旋转的螺旋一共有13
条，而逆时针旋转的则有21条。它们也并不随机，它
们是斐波那契数列中的相邻数字。还有如向日葵的花盘
中籽的排列、卷心菜的叶的排列、树枝在生长过程中的
增长数……大自然在应用着斐波那契数列！都是为了获
取更多的生长空间，实现生长的最优化！
杨辉三角奥秘无穷，只要大家从不同角度运用合情推理及逻辑推理的方法，一定会发现更多的规律。大家经常研究其他数学或生活实际问题，创造能力必将大大提高。有兴趣了解更多杨辉三角的内容的同学，可以课下参照课本继续研究杨辉三角的有关知识，还可以上网浏览杨辉三角其它的有趣介绍、斐波那契数列的神奇性。
四课堂回顾
1杨辉三角的有关性质（1）两条斜边都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加（2）每一行中的数字左右对称（3）杨辉三角的第n行中的
数对应于二项式(a+b)n展开式的系数
（4）杨辉三角的第n行数字的和等于2n。中国古代数学的辉煌成就杨辉三
角蕴含的有趣的数量关系和神奇的斐波那契数列
参照课本继续研究杨辉三角的性质
②上网或看书，查阅杨辉三角其它的有趣介绍、斐波那契数列的神奇性。
杨辉三角的规律以及定理 李博洋 摘要杨辉三角中的一些规律 关键词杨辉三角幂二项式 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所着的《详解九章算法》一书 中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现 在简称为“杨辉三角”，它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角”的 规律进行探讨和研究。 内容 1二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为：121 则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数 为：1331但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。 展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为： 14641似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1(110) 11(111) 121(112) 1331(113)
14641(114) 15101051(115) 1615201561(116) 因此可得出二项式定理的公式为： (a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此，二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇，它把带进了。求二项式展开式系数的问题，实际上是一种组合数的计算问题。用系数来计算，称为“式算”；用杨辉三角形来计算，称作“图算”。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1(1) 11(1+1=2) 121(1+2+1=4) 1331(1+3+3+1=8) 14641(1+4+6+4+1=16) 15101051(1+5+10+10+5+1=32) 1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64) …… 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…次幂，即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂 3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 (1) 1(2)n=1 11(3)n=2 121(4)n=3 1331(5)n=4
浅谈数学史在初中数学教育的体现 长期以来，数学学科在教学过程中的“缺人”现象一直存在.所谓的“缺人”现象就是对人文素养的缺失与忽视.而实际上，教学过程中适当的融入数学史的做法便是很好的人文渗透.以人文渗透的方式丰富数学学习的内容与形式，可以让学生喜欢数学、会学数学、进而学好数学.从数学史的内容分布来看，在数学教育中渗透数学史的元素可以从以下几个方面人手. 一、数学史之数学概念的发生、发展过程 数学概念是数学中最基本的元素之一，对数学概念的历史挖掘可以更好的让学生对概念的本质产生直观印象，从源头帮助学生学好知识，学透知识. 正数与负数的历史发展 正数与负数的产生是人类思维进化的大飞跃.在原始时期，人们没有数的概念，在计数的时候往往使用手指计数，当手指数量不够用
的时候，人们就会借助结绳、棍棒、石子的方式计数.随着社会的发展，尤其是经济的发展.对计数的要求就逐渐变高，于是就有了自然数的概念，分数的产生.而在生活中则有了比0度还低的温度……这些情景的出现就要求人类开始考虑数字的正反，多少两个层面的含义，于是就诞生了负数的概念.这种正负数产生的过程就可以让学生真切的感知负数诞生的历史背景和社会生态，有利于学生将正负数的知识迁移运用到生活当中. 二、数学史之定理的发现与证明过程 传统课堂中对定理的证明和介绍往往是将证明过程进行展示，学生对定理的来历和证明过程的原始记载并无掌握，不能很好的形成对所学知识的深刻印象.将定理证明的来源及其在不同国家的历史发展介绍给学生将有助于深化对定理的理解，学习伟大数学家对待证明的方法，并感悟数学思想的魅力. 勾股定理的证明
在中国，勾股定理的证明最早可以追溯到4000年前.在《周髀算经》的开头就有关于勾股定理的相关内容；而在西方有文字记载的最早给出勾股定理证明的则是毕达哥拉斯.相传是毕达哥拉斯在朋友家做客时，无意中看到朋友家地板的形状，于是便在大脑中出现了一系列的假设和猜想，并随后给予了论证.当毕达哥拉斯证明了勾股定理以后，欣喜若狂，于是杀牛百头以示祝贺.现在，数学家已经从不同的角度对勾股定理进行了证明，证明方法多达几十种. 三、数学史之数学历史中较为有名的难题解析 在数学的发展史中，有一些流传下来的被后人津津乐道的数学难题，这些题目的解答中往往蕴含着丰富的数学解题思想和独特的思维方式，同时也可以让学生感受到数学问题的奥秘并从中获得启示. 哥尼斯堡七桥问题
杨辉三角形规律 每行数字两边对称每行数字左右对称，由1开始逐渐变大，然后变小，回到1。 第n行的数字个数为n个。 第n行数字和为2^(n－1)。（2的（n-1）次方） 每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质写出整个帕斯卡三角形。 将第2n+1行第1个数，跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线，这些数的和是第2n个斐波那契数。将第2n行第2个数，跟第2n+1行第4个数、第2n+2行第6个数……这些数之和是第2n-1个斐波那契数。 第n行的第1个数为1，第二个数为1×(n-1)，第三个数为1×(n-1)×（n-2）/2，第四个数为1×(n-1)×（n-2）/2×（n-3）/3…依此类推。 两个未知数和的n次方运算后的各项系数依次为杨辉三角的第(n+1)行
杨辉三角在弹球游戏中的应用 如图1的弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（。 图1 我们来分析一下为什么小球落到不同区域奖品会有如此大的差别？A 区的奖品价值高于D 区，说明小球落入A 区的可能性要比落入D 区的可能性小，转化为数学问题就是小球落入A 区和D 区的概率。小球要落入D 区的情况有两种，有概率知识得： D 1 D 2 就是说，小球落入D 区的概率是等于它肩上两区域概率之和的 2 1，据此小球落入各区的概率为可以按以上方法类推，如下： 2121 1 8381 3213232323232 1 64646641564206415646641 A B C D E F G 图2
高中数学论文 让学生个性在数学课堂中张扬 ——浅谈高中数学个性化课堂教学尝试 【内容提要】学习是学生的个性化行为，作为教师，应当在课堂教学环境中创设一个有利于张扬学生个性的场所，因此高中数学要求学生积极、主动、健康地学习，充分发展其个性特长。这就需要我们教师在课堂教学中更加关注和努力尝试个性化教学，然而如何在课堂教学中实施有效的个性化教学就成了关键问题。本文以杨辉三角型数列问题为例，谈谈如何在日常教学中实施个性化课堂教学的问题。 【关键词】个性化课堂教学 数学学习是学生学习的个性化行为，在这个个性化过程中，让学生在数学课堂教学中展示个性化学习，让学生的个性得到充分的发展，做到教师个性化的教和学生个性化的学的统一。数学课程理念倡导：日常教学要使学生积极、主动、健康地学习，充分发展其个性特长。为了实现这一目标，教师在课堂教学时，要凭借良好的教学素质，创造性地处理教材，合理的创设课堂氛围，最优化地组合课堂结构，最大程度的发挥学生的主体作用，让课堂真正成为学生自己的舞台。充分发掘学生的聪明才智，调动学生的学习积极性，使课堂教学适应个体个性化的自然需要，从而有效的提高课堂效率。而以往受应试教育和教学设施的影响，高中实施个性化教育还只停留在“空想”阶段，随着新课程改革的不断深入和现代教育技术的应用，使得个性化课堂教学成为一种可能，更是一种必然.而教学实践中,教师对如何开展个性化课堂教学比较陌生，不知道如何有效地对学生进行个性化教学。这一问题成为了日常教学的焦点，也是一个难点。下面就结合《杨辉三角型数列问题》教学案例谈谈笔者在实施个性化课堂教学中的尝试。 高一学生在学习完数列内容后，开展了有关杨辉三角问题的研究性学习，初步熟悉了杨辉三角的概念及基本性质.为了进一步培养学生的能力，真正达到研究性学习的目的，借用学生熟悉的杨辉三角模型，设计了有关杨辉三角型数列问题的延续课。 一、知识积累阶段 例1 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1
浅谈数学教学中的德育教育 发表时间：2011-10-27T09:05:41.360Z 来源：《学习方法报●语数教研周刊》2011年第5期供稿作者：薛在敏 [导读] 德育在现代人素质结构中占居着核心地位，德育是素质教育的根本. 山东海阳市留格庄镇第二初级中学薛在敏 别林斯基说过：“有许多种教育与发展，而且每一种都具有自己的重要性，不过德育在它们中应该首屈一指”.德育在现代人素质结构中占居着核心地位，德育是素质教育的根本.寓德育教育于中学数学教学中，是素质教育、义务教育数学教学大纲的重要组成部分，数学教育要实施素质教育就应该在学科教学中有机地渗透德育，引导学生在学习数学的同时提高自身素质，完善自我. 一、立足教材，挖掘德育内容 德育渗透在数学中的内容是多方面的.大纲要求：“根据数学学科特点，对学生进行学习目的的教育，爱祖国、爱社会主义、爱科学教育，辩证唯物主义观点的启蒙教育——”.其中爱国主义教育是德育教育的灵魂和核心，缺乏或忽视它都是不健全、不完善的教育.在教材中有许多反映我国国情建设、科技资源、环境保护等内容，有意识、有计划地加以发挥是渗透德育的基本途径. 如教学“科学记数法”时，向学生讲解“我国的领土有960万平方公里，我国的第一大岛台湾的面积是135700平方米——”.通过讲解这些知识进行国情教育，使学生了解祖国的大好河山，心中有祖国，做爱国的中国人；同时明确认识到台湾是中国的一部分，香港、澳门的回归已成现实，我们盼望着祖国的完全统一. “近几年我国国内生产总值连续增长，2001年达到95933万亿元，2002年102398万亿元，2003年116694万亿元”.每一年的增长率是多少？通过完成这道应用题，学生们了解到了祖国在改革开放中各个方面取得的成就，瞩目祖国的不断强大，从而进一步激发学生们热爱祖国，拥护改革开放政策，为他们将来的学习和发展奠定坚实的思想基础. 中国上下五千年中，数学方面的发明创造是数学发展史中的光辉篇章.在进行圆周长、圆面积、扇形面积、圆柱（锥）体积等教学时，所用的圆周率，都不忘介绍祖冲之、刘徽为研究圆周率所作的巨大努力和杰出的贡献，用以激发学生们的民族自豪感，坚定学好数学的决心. 在教学完全平方公式时，也不失时机地讲解“杨辉三角”的辉煌业绩以及在高数中的重要地位，激发学生的求知欲望，为将来的发展而奋斗. 二、结合实际，丰富德育内涵 数学属于理科类，其思想往往是内隐和深藏的，有时就需要教师创造渗透德育教育的条件，如自编习题，这也是扩大教育的一种好方法. 现代的学生大部分是独生子女，在长辈们无微不至的关怀下，往往养成了以自我为中心不良习性，不懂得关心别人和尊敬长辈.有些家长向我反映，他们的孩子在家好吃好穿，不考虑别人，更有甚者，穿衣服要穿名牌，很少顾及到家长辛勤劳作的艰辛.于是我在教学时，经常自编了一些暗示题 编题时，我还结合学校“向灾区人民献爱心”活动，培养学生的社会责任感；结合植树节，渗透绿化环境、美化家园、爱我海阳核电的教育；结合“两弹一星”的丰功伟绩，激发学生爱科学、学科学、报效祖国的远大理想；还结合诸如节约用煤、粮食增产、降低利息、缴纳税款等资料，使学生在解题中受到全方位的思想教育，达到全面提高学生素质. 三、摆正态度，倡导德育评价 数学是一门基础性极强的学科，部分学生由于某一阶段或某一时期的学习态度、方法等因素导致了当前学习上的障碍和暂时落后，从而引起了同班同学的冷眼，致使他们有一种抬不起头的感觉，学习上很大程度上会出现畏难怕学的情绪，在这种情况下，我的态度十分鲜明，就是帮助他们，我尽可能地让他们感到班级、同学的温暖，给他们最好的位置， 四、改进教法，提高德育实效 随着现代社会的飞速发展，建设成就、科技发明可以说无一不是群体的力量.在实践中、竞争中团结合作，是每一个公民必须具备的素质，培养学生这些思想品质，也是实施德育教育的一项内容，数学学科十分有利于培养学生的这些意识.在教学过程中改变传统的“我讲你听”的方式，充分让学生主动的参与教学，设计“一帮一”、“一对红”，自由讨论、邻桌小议、分组讨论等形式，达到协作互助、共同进步.如教学“解直角三角形”知识后，课后让学生分小组结合，自由选择课题，设计问题，运用解直角三角形知识解决生活中的实际问题.于是有的小组测量旗杆高度、有的测量河宽，——学生们有的准备工具、有的测量数据、解答计算，最后带到课内评比交流，师生共同评价.这种方法使学生互相取长补短，学生间合作，小组间竞争，从中学做人，提高德育的实效性，把个人融于团队之中. 数学教学中对学生进行的德育渗透，可能只是点点滴滴，但只要长期坚持，学生定会耳濡目染，潜移默化，集腋成裘，学生的品德素质将随着数学学习同步提高，从而实现真正意义上的素质教育.
杨辉三角 教学设计思想： 这节课是高三数学（选修II ）的研究性课题，是在高二学过的“二项式定理”的基础上，进一步探讨和研究杨辉三角的性质，实质上就是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。 （1）让学生在教师设计的问题情境中，自己根据已经学过的知识去发现问题→提出问题→解决问题，即观察、猜想、归纳杨辉三角横行、竖向、斜向的数字各数之间的大小关系、组合关系及各数字之间的联系等规律。 （2）在学生自主探究知识的发生发展过程中从中体会到数学世界的神奇和有趣，激发他们对数学的热爱之情。培养他们的交流与协作的能力。 （3）通过向他们介绍杨辉三角的有关历史，让他们了解中国古代数学的伟大成就，增强他们的民族自豪感。 教学 目标： 1 使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质，并能认识到中国古代的数学的辉煌成就。 2 让学生在老师的启发下自己去探讨杨辉三角中行、列的数字的特点， 发现杨辉三角的有关的性质，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3通过讨论，培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。在交流中培养学生的协作能力，形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神，为进一步学习作好准备。 教学过程： 一 引入 今天我们在高二学过的杨辉三角的基础上，进一步探索杨辉三角数字中横 向、竖向、斜向…中蕴含的有趣的数量关系。（幻灯片：出示杨辉三角的前3行，余下的让学生补充完整） 二 杨辉简介 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家 和数学教育家。在13世纪中叶活动于 苏杭一带，其著作甚多。其中《详解九章算术》 中的“开方作法本源图”,曾被称为“杨辉三角”， 杨辉指明次系贾宪(约11世纪)所用. 三 探讨杨辉三角的性质 ? ??++++++=++++++=+++++=++++=+++=++=+=+6 43223245665 432234554 3223443 22332 221061520156)(510105)(464)(33)(2)()(1)(b ab b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b a a b a b ab a b a b a b a b a
Xxxxxxxxxxx大学 课程论文（2013-2014学年春季学期） 论文题目： 课程名称： 任课教师： 班级： 学号： 姓名：
浅谈斐波那契数列 摘要： 斐波那契数列，又称作黄金分割数列，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的发明者，是意大利数学家列昂纳多?斐波那契（Leonardo Fibonacci）。本文主要就斐波那契数列的提出与特征进行简要分析，通过举例重点说明斐波那契数列在实际生活当中的表现与应用，进而得到启示。 关键词： 斐波那契数列; 特征; 应用 Research on Fibonacci sequence (Institute of Technology, China Agricultural University, FENG-Wei) Abstract: Fibonacci sequence, also known as the golden series, referring to such a sequence: 1,1,2,3,5,8,13,21…… this sequence beginning from the third term, each of which equal to the sum of the first two terms. The inventor of Fibonacci series was an Italian mathematician——Leonardo Fibonacci. This tractate focuses on the characteristics of Fibonacci sequence and has a brief analysis, as well as giving examples to analyze the performance and application of Fibonacci sequence in real life, and then get inspirations. Key words: Fibonacci sequence; Characteristics; Application
精心整理 杨辉三角的规律以及定理 二项式定理与杨辉三角1与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律，即二项式定理。 2的展开式来探讨。杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)222此代数式的系数为：121 由上式得出：(a+b)+2ab+b＝由此可发现，此代数式的系+3+b+3ab(a+b 的展开式是什么呢？答案为(a+b的展开式。为133但似乎没有什么规律，所以让我们再来看b2+4a展开式为由此又可发现，代数式的系数为+4+b+6464似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列：1 ) 1(1)11(112) 121(113) 1331(114) 14641(115) 15101051(116) 1615201561(11）1,4,6,4,1,（,1,2,1）（1,3,3,1）1,杨辉三角形的系数分别为：（1,1）,（：所以（）,1,7,21,35,35,21,7,1） （1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,17642547765233 (a+b)=ab+7ab+21a+bb+35a+7abb+35a。b+21a n的次数依次上b-n，n-n 等于a的次数依次下降、n-1、2...n由上式可以看出，(a+b) (2) 方。系数是杨辉三角里的系数。、、升，01 杨辉三角的幂的关系2 精心整理．
精心整理 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1(1) 11(1+1=2) 121(1+2+1=4) 1331(1+3+3+1=8) 14641(1+4+6+4+1=16) 15101051(1+5+10+10+5+1=32) 1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64) … 相加得到的数136…刚好，6，…次幂，即杨辉三角行个数之和等n-次 杨辉三角中斜行和水平行之间的关 (1) 1(2)n=1 11(3)n=2 121(4)n=3 1331(5)n=4 14641(6)n=5 15101051n=6 1615201561 把斜行(1)中第7行之前的数字相加得1+1+1+1+1+1+1=6
/* Name: 杨辉三角算法集锦 Copyright: 始发于goal00001111的专栏；允许自由转载，但必须注明作者和出处Author: goal00001111 Date: 27-11-08 19:04 Description: 分别使用了二维数组，一维数组，队列，二项式公式，组合公式推论和递归方法等9种算法 算法思路详见代码注释——注释很详细，呵呵 */ #include
cout << endl; Fun_6(row); cout << endl; Fun_7(row); cout << endl; Fun_8(row); cout << endl; Fun_9(row); system("pause"); return 0; } //输出n个空格 void PrintBlank(int n) { for (int i=0; i 浅谈数学课堂教学中的数学文化的渗透 随着新课程改革的实施，数学教学的文化价值在课堂教学中显得越来越重要。本文先谈如何认识数学是一种文化，及其文化资源的内涵，然后试从数学知识发生发展的过程、联系数学史实、联系生活实际以及欣赏数学美四个方面论述了如何在数学课堂教学中渗透数学的文化价值，使学生从中受到潜移默化的教育。与此相应的要求教师自身的数学文化素养有所提高。 一、数学本身就是一种文化 文化的含义很复杂，如今关于文化的定义有几百种，难怪有人说，“文化是个框，什么都能装”。那数学文化究竟是什么，目前还没有统一的定义。而全日制义务教育数学课程标准指出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分”。普通高中数学课程标准（实验）解读中提到：“一般说来，数学文化表现为在数学的起源、发展、完善和应用的过程中体现出的对于人类发展具有重大影响的方面。它既包括对于人的观念、思想和思维方式的一种潜移默化的作用，对于人的思维的训练功能和发展人的创造性思维的功能，也包括在人类认识和发展数学的过程中体现出来的探索和进取的精神和所能达到的崇高境界等”。可见数学文化对数学教育的影响。新时代的教师应思考如何将数学文化融入数学课堂，渗入到实际的教学活动中，使学生在学习数学的过程中得到数学文化的熏陶。 二、数学文化资源的内涵 人文精神的内涵是很丰富的，包括对高尚的道德、信念、人格的追求；对自由、平等、正义的渴望；对幸福、信仰、人生价值问题的反思；对知识、科学、真理的求索；对客观现实、自然规律的遵循。概括地说要养成健康的人格，形成人与人、人与社会、人与自然和谐、默契的关系。数学学科的内涵十分丰富，功能极其全面。大数学家克莱因认为：“数学是人类最高的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，可是数学能给予以上的一切”。 杨辉三角及其空间拓展 株洲市二中G0216 刘子儒郭时伟 摘要 本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索，发现了其奇偶排列的等边三角形现象。然后，在研究中，我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步——由平面杨辉三角走向三维杨辉三角。我们在研究过程中推导出了三维杨辉三角数坐标公式，并总结出其与三项式系数的关系。在三维杨辉三角模型的基础上我们又续而导出四维杨辉三角和N维杨辉三角。经过努力的研究，最后归纳出了四维及N维杨辉三角数坐标公式。由此得出了N 项式展开项系数定理。在研究过程中我们还有机地结合现代计算机技术协助公式的推导，并将其付之实用，进一步完善了课题的研究。对此,还有几名著名的数学教授提出了宝贵的意见。 这些都是前人从未涉足过的领域，而这篇论文把这次研究的新颖性给淋漓尽致地体现出来了。 关键词：杨辉三角空间公式系数 杨辉三角，作为中国古代数学中的奇迹。在数学计算中，日常生活中，无时不刻地展示着自己的魅力。从古至今，从中国到外国，有无数的学者为之着迷。 但是，以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角。如果考虑到空间上的拓展，那在学术上是突破性的。所以我们决定对杨辉三角进行全面、深刻地分析，将其拓展到三维、四维乃至N维。 研究杨辉三角，是在偶然中想到的。对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角”，不对其有些想法才是奇怪了。而恰好我的母亲又叫“杨辉”。所以，小时候第一次在《十万个为什么》中看到时就留下了深刻的印象。再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇”，愈发觉得亲切。 一．杨辉三角的相关信息 看似简单的一个数字列表，却蕴藏着很深的奥秘。这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶，也集中地体现了数学的奥妙无穷。有了它，我们可以轻易地计算两个数的和的几次方，甚至用来开一个数的几次方。 杨辉（约十三世纪）字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是我国南宋时的数学家，杨辉的数学著作有《讲解九章算法》十二卷，流传至今的只是其中的一部分，其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形，后人称为杨辉三角形，此外，他还著有《日用算法》二卷，《乘除通变算宝》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等。 有趣的杨辉三角形 【教学目的】 1．初步探索杨辉三角的基本性质及数字排列规律； 2．培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力，重点培养创新能力； 3．了解我国古今数学的伟大成就，增强爱国情感． 【教学手段】 课堂教学，以学生自学为主，教师引导探索。 【教学思路】 →学生自学教材，然后思考几个问题。 →分组探讨杨辉三角的性质。 →展示学生探究成果 →教学小结 【自学教材】； 1．什么是杨辉三角？ 二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3．．．时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角．（表1） 例如，它的兩項的係數是1和1； ，它的三項係數依次是1、2、1； ，它的四項係數依次1、3、3、1。 2．杨辉——古代数学家的杰出代表 杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷．其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。 “杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和．杨辉指出这个方法出于《释锁》 算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明 我国发现这个表不晚于11世纪． 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的 （Blaise Pascal,1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就 浅谈栈与队列的应用 摘要：数据结构是计算机中一个非常重要的分支，它是现实世界数据与计算机世界数据连接的关键，它主要涵盖两方面的内容：逻辑层面的数据结构和计算机存储数据物理层的数据结构。关于数据结构中的线性表、栈、队列，将上述两方面的内容进行介绍，进行横向的比较，从而更清楚地看到它们之间的联系与区别，并分析它们在现实计算中的应用。 关键词：线性表；堆栈；队列；应用开发 Discussion on the Application of Stack and Queue Abstract: Data structure is a very important branch of a computer,it is the key of the connection of real world data and computer world data,it mainly covers the following two contents:logic level data structure and computer data storage physical layer data structure.About the data structure of the linear list,stack,queue,it introduces the content of the above-mentioned two aspects,carries on the horizontal comparison,thus more clearly see the relationship and difference between them.And analyzes them in real in the calculation of the application. Key words: Linear List; Stack;Queue;Application Development 0 引言 栈和队列可以看作线性表的特例,它们都具有和线性表相同的存储方式,顺序存储和链式存储,栈有顺序栈和链式栈,队列有顺序队列和链式队列。但从数据类型角度看,它们是和线性表大不相同的两类重要的抽象数据类型。由于它们被广泛应用在各种软件系统中,因此在面向对象的程序设计中,它们是多型数据类型[1~2]。 1 基本概念 1.1 线性表的概念和特性 线性表是有限元素（a1,a2,a3…，an）有序序列的集合，a1,a2…，an都是完全相同结构的数据类型，同时它们之间的排列严格有序，其中任何元素都对应唯一的前驱以及唯一的后继。这样一个序列可以有查询、删除、插入队列任何位置的数据操作[3]。 1.2 栈的概念和特性 栈作为一种限定性线性表，它限定插入和删除操作都在表的同一端进行。允许插入和删除元素的一端称为栈顶，另一端为栈底；栈底固定，栈顶浮动。栈的插入操作被形象地称为进栈或入栈，删除操作称为出栈或退栈。我们只能从一端取出放入数据，即压入栈和弹出栈，所以它的顺序是“后进先出”，如图1。 作者简介：刘碧霞(1993年－)，女，本科，1063384634@https://www.doczj.com/doc/3817731733.html,。 1.3 队列的概念和特性 队列与栈类似，是另一种限定性的线性表，它只允许在表的一端插入元素，而在另一端删除元素。允许插入元素的一端称为队尾，允许删除元素的一端称为队头。它的操作不同的地方是两端存、取数据，且仅仅是一端取（队头）一端存（队尾），所以它的顺序是“先进 研究性课题：杨辉三角 ●教学目标 (一)教学知识点 1.理解杨辉三角的性质 2.掌握有关杨辉三角的基本性质1 1 1C C C ,C C +++-=+=r n r n r n r n n r n . (二)能力训练要求 会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标 1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力，让学生在探索过程体验数学活动，数学发现的成功的愉悦. 2.培养学生实际动手操作实践创新的能力，培养学生的创新精神，探索精神和应用能力，鼓励学生大胆猜想，相信科学. ●教学重点 杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系，研究和探索杨辉三角的一些性质，对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的. ●教学难点 杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。 ●教学方法 由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的，而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味，学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制，所以学生主动探索，发现和证明(失败时总结经验，另寻他路，重新启动，走向成功)的全程的尝试是最为主要的，这样不是被动的接受，而是主动的建构，学生的认知结构得到了较好的发展和培养，他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难，走向成功的高峰的非智力因素的调节作用，要求同学们不仅是个体参与，而且是集体参与，智力参与. ●教具准备 实物投影仪(多媒体课件) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质，杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一，它的发现远早于法国数学家帕斯卡，它和勾股定理，圆周率的计算等其他中国古代数学成就，显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质. Ⅱ.讲授新课 一般的杨辉三角如下表. 摘要：学生数学教学作为基础教育的重要组成部分，着力培养学生分析、论证和解决问题的能力。针对现在数学教学中忽视对数学史的教育的这一现象，本文结合相关资料谈一谈数学史在数学教学中的作用。 关键字：数学史、学生数学教育、作用 Abstract：Mathematics education in schools of basic education as an important component of the analysis focus on cultivating students, demonstration and problem-solving abilities. For now ignore the teaching of mathematics in schools of mathematics education in the history of this phenomenon, combined with relevant information in this article to talk about the history of mathematics in school mathematics education. Keywords：History of mathematics、 Secondary School Mathematics Education 、Role 引言 数学，作为人类智慧的一种表达形式，它的源泉是人类社会实践和数学的内部矛盾，它的基础是逻辑和直觉，分析和推理，共性和个性。学生数学教育是基础教育的重要组成部分，对于培养中学生分析、论证和解决问题的能力，独立思考能力、推理能力、空间想象能力等都是非常重要的，是“素质教育”的内涵之一。要正确地树立数学的观念，培养一个民族的数学文化，我们就不能不追问这个民族数学的发展历程，以及整个数学学科发展的历史。但是长期以来，数学史在中学数学教学中没有得到应有的重视，教材本身反映的比较少，供教师参考的关于渗透数学史教育的文献也比较少，大多数数学教师把相关的数学史知识一带而过，或干脆不讲，这就大大忽略了数学史对学生数学教育的促进作用。如果不把数学史融入到数学教学当中，那么数学的教育价值就难以体现，所以我们要认识到数学史对数学教育的重大意义。 1杨辉三角概述 1.1 杨辉三角的产生 唐代以来一些数学著作的失传，大概是五代十国分裂战乱所造成的文化后果。到了宋代，雕版印数的发达特别是活字印刷的发明，则给数学著作的保存与流传带来了福音。事实上，整个宋元时期（公元960—1368），重新统一了的中国封建社会发生了一系列有利于数学发展的变化。商业的繁荣、手工业的兴盛以及由此引起的技术进步（四大发明中有三项——指南针、火药和活字印刷是在宋代完成并获得广泛应用），给数学的发展带来新的活力。这一时期涌现的优秀数学家中最卓越的代表，如通常称“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰等，在世界数学史上占有光辉的地位；而这一时期印刷出版、记载着中国古典数学最高成就的宋元算书，也是世界文化的重要遗产。 北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，他的主要贡献是创造了'贾宪三角'和增乘开方法，增乘开方法即求高次幂的正根法。南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1261年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”（如下图）。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 杨辉，字谦光，北宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。 同时，这也是多项式(a+b)n打开括号后的各个项的二次项系数的规律。因此，杨辉三角第x层第y项直接就是（y nCr x）。我们也不难得到，第x层的所有项的总和为2x-1 (即(a+b)x中a,b都为1的时候) 。上述(a nCr b) 指组合数。 而这样一个三角在我们的奥数竞赛中也是经常用到，最简单的就是要找规律。 简单的说，就是两个未知数和的幂次方运算后的系数问题，比如（x+y）的平方=x的平方+2xy+y的平方，这样系数就是1,2,1这就是杨辉三角的其中一行，立方，四次方，运算的结果看看各项的系数，你就明白其中的道理了。 这就是杨辉三角，也叫贾宪三角，在外国被称为帕斯卡三角。 杨辉三角于我们现在的学习联系最紧密的是2项式乘方展开式的系数规律。如图，在贾宪三角中，第3行的第三个数恰好对应着两数和的平方公式（在此就不做说明了）依次下去。 杨辉三角里面数字排列的规则里面数字排列的规则如下： 杨辉三角的规律以及定理 1二项式定理与杨辉三角 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 由上式得出：(a+b)2＝a2+2ab+b2此代数式的系数为： 1 2 1 则(a+b)3的展开式是什么呢？答案为：a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现，此代数式的系数为： 1 3 3 1 但似乎没有什么规律，所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。 展开式为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现，代数式的系数为： 1 4 6 4 1 似乎发现了一些规律，就可以发现以下呈三角形的数列： 1 (110) 1 1 (111) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) 杨辉三角形的系数分别为：1,（1,1）,（1,2,1）,（1,3,3,1）,（1,4,6,4,1）（1,5,10,10,5,1）,（1,6,15,20,15,6,1）,（1,7,21,35,35,21,7,1）所以：(a+b)7=a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7。 由上式可以看出，(a+b)n等于a的次数依次下降n、n-1、n-2…n-n，b的次数依次上升，0、1、2…n次方。系数是杨辉三角里的系数。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5，6，…n次幂，即杨辉三角第n 行中n个数之和等于2的n-1次幂 3 杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 浅谈杨辉三角的奥秘及应用 摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。 关键词杨辉三角，最短路径，错位，幂 0 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡，新课程标准的颁布，生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系，那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢？这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。 1 杨辉三角与数字11的幂的关系 我们知道初中时老师要求我们背11的幂，11的1次幂、2次幂、3次幂还好背，后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发，并且查看了这方面有关资料，发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。 假设y=11n 当n=0时： y=1； 当n=1时： y=11； 当n=2时：y=121； 当n=3时：y=1331； 当n=4时：y=14641； 以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致，接下来我们再来看一下当n≥5时的情况，如下： 当n=5时： 1 4 6 4 1 ? 1 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 当n=6时： 1 5 10 10 5 1 ? 1 1 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 …… 由上可知：11的n 次幂的各位数字（不含进位）与杨辉三角中的各数字完全相等（证 明还有待证明）即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图 形。如下图： 1 (110 ) 1 1 (111 ) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) …… 其实这个关系我们早就学习过了，只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教 我们记11的幂时，有一句口诀：头尾不变(即为1)，左右相加放中间。其实是错位相加，而 扬辉三角中头尾为1，中间的数是其肩上的两数之和，也是错位相加得到的。 2 杨辉三角与2的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加，如下： 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 我们知道相加得到的数是1，2，4，8，16，32，64，…刚好是2的0，1，2，3，4，5， 6，…次幂，即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。 刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合，归纳如下： 1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列 }{R N C 。 2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边上的“高”，即 r n n r n c C -=。浅谈数学课堂教学中的数学文化的渗透
杨辉三角及其空间拓展
杨辉三角形
浅谈栈和队列的应用
杨辉三角
浅谈数学史对学生数学教学的作用
杨辉三角应用
杨辉三角的规律以及推导公式
浅谈杨辉三角的奥秘及应用
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