直线的一般式方程及综合
【学习目标】
1．掌握直线的一般式方程；
2．能将直线的点斜式、两点式等方程化为直线的一般式方程，并理解这些直线的不同形式的方程在表示直线时的异同之处；
3．能利用直线的一般式方程解决有关问题. 【要点梳理】
要点一：直线方程的一般式
关于 x 和 y 的一次方程都表示一条直线．
我们把方程写为 Ax+By+C=0 ，这个方程 (其中 A 、B 不全为零 )
叫做直线方程的一般式．
要点诠释：
1．A 、 B 不全为零才能表示一条直线，若 A 、 B 全为零则不能表示一条直线 .
当 B ≠0时，方程可变形为
y
A x C ，它表示过点 0, C
，斜率为 A
的直线．
B B B
B
当 B=0 ， A ≠0时，方程可变形
为
Ax+C=0 ，即 x
C ，它表示一条与 x 轴垂直的直线．
A
由上可知，关于 x 、 y 的二元一次方程，它都表示一条直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于
x 、y 的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可
以对应着无数个关于 x 、y 的一次方程 （如斜率为 2，在 y 轴上的截距为 1 的直线，其方程可以是 2x ―y+1=0 ， 也可以是 x
1 y 1 0 ，还可以是 4x ― 2y+2=0 等．）
2 2
要点二：直线方程的不同形式间的关系 直线方程的五种形式的比较如下表：
名称
方程的形式 常数的几何意义
适用范围
点斜式
y ―y =k(x ―x
（ x 1 ， y ）是直线上一定点， k 是斜率 不垂直于 x 轴
1 1
1)
斜截式
y=kx+b
k 是斜率， b 是直线在 y 轴上的截距
不垂直于 x 轴 两点式
y y 1
x x 1 （ x 1， y 1），（x 2，y 2）是直线上两定点
不垂直于 x 轴和 y 轴
y 2 y 1
x 2
x 1
截距式
x y
a 是直线在 x 轴上的非零截距，
b 是直
不垂直于 x 轴和 y 轴，
a
1
线在 y 轴上的非零截距
b
且不过原点 一般式
Ax+By+C=0
（ A 2+B 2≠0） A 、B 、 C 为系数
任何位置的直线
要点诠释：
在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要
求 直 线 存 在 斜 率 ， 两 点 式 是 点 斜 式 的 特 例 ， 其 限 制 条 件 更 多 （ x 1≠x 2， y 1 ≠y 2）， 应 用 时 若 采 用 (y 2―y 1)(x ―x 1) ― (x 2―x 1)(y ―y 1)=0 的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，
首先要判断是否满足 “直线在两坐标轴上的截距存在且不为零 ”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的
所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的 方程也不同．
要点三：直线方程的综合应用
1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．
2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．
对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．
（ 1）从斜截式考虑
已知直线 l 1 : y k 1 x b 1 , l 2: y k 2 x b 2 ,
l 1 // l 2 1 2
k 1 k 2 (b 1 b 2 ) ；
l 1
l 2
tan
cot
1 k 1k 2
1
1
2
1
2
k 1
2
k 2
于是与直线 y kx b 平行的直线可以设为 y
kx b 1 ；垂直的直线可以设为
y
1 x b
2 ．
（ 2）从一般式考虑：
k
l 1 : A 1x B 1 y C 1 0, l 2 : A 2 x B 2 y C 2 0
l 1
l 2
A 1 A 2
B 1 B 20
l 1 / / l 2 A 1 B 2 A 2 B 1 0且 A 1C
2 A 2C 1 0 或 B 1C 2 B 2C 1 0 ，记忆式（ A 1 B 1
C
1 ）
A 2
B 2
C 2
l 1 与 l 2 重合， A 1B 2 A 2 B 1 0 ， A 1C 2 A 2C 1 0 ， B 1C 2 B 2C 1 0
于 是 与 直 线 Ax By C 0 平 行 的 直 线 可 以 设 为 Ax
By D 0 ； 垂 直 的 直 线 可 以 设 为
Bx Ay D
0 .
【典型例题】
类型一：直线的一般式方程
例 1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．
1 （1）斜率是
，经过点 A （ 8， ―2）；
2
（2）经过点 B （ 4， 2），平行于 x 轴；
（3）在 x 轴和 y 轴上的截距分别是
3
，
―3；
2
（4）经过两点 P 1（ 3，―2）， P 2（ 5， ―4）．
【答案】（ 1） x+2y ―4=0 （ 2） y ―2=0 （ 3） 2x ―y ―3=0 （ 4） x y 1 0
【解析】
（ 1）由点斜式方程得 y
( 2)
1
( x 8) ，化成一般式得 x+2y ― 4=0．
2
（2）由斜截式得 y=2，化为一般式得 y ―2=0 ． （3）由截距式得
x y
2x ―y ―3=0 ．
3
1 ，化成一般式得
3
2
（4）由两点式得
y 2
x
3
，化成一般式方程为
x y 1 0 ．
4 ( 2)
5 3
【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线
方程的一般式，一般作如下约定： x 的系数为正， x ，y 的系数及常数项一般不出现分数，一般按含 x 项、 y 项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．
举一反三：
【变式 1】已知直线 l 经过点 B(3, 1) ，且倾斜角是 30 ，求直线的点斜式方程和一般式方程.
【答案】 y 1
3
(x
3) 3x 3y
3 3 3 0
3
【解析】因为直线倾斜角是
30 ，所以直线的斜率 k
tan
tan 30
3 ，所以直线的点斜式方程
3
为： y 1
3
(x 3) ，化成一般式方程为：
3x 3 y 3 3 3
0 .
3
例 2． ABC 的一个顶点为 A( 1, 4) ， B 、 C 的平分线在直线
y 1 0
和 x y 1
0 上，求直线 BC 的方程 .
【答案】 x 2 y
3 0
【解析】由角平分线的性质知，角平分线上的任意一点到角两边的距离相等
，所以可得 A 点关于
B 的平分线的对称点 A ' 在 B
C 上， B 点关于
C 的平分线
的对称点 B ' 也在 BC 上．写出直线 A ' B ' 的方程，即为直线 BC 的方程 .
例 3．求与直线 3x+4y+1=0 平行且过点（ 1， 2）的直线 l 的方
程．【答案】 3x+4y ―11=0 【解析】
解法一：设直线
l 的斜率为 k ，∵ l 与直线 3x+4y+1=0 平行，∴ k
3 ．
4
又∵ l 经过点（ 1， 2），可得所求直线方程为 y 2
3
(x 1) ，即 3x+4y ― 11=0．
4
解法二：设与直线 3x+4y+1=0 平行的直线 l 的方程为 3x+4y+m=0 ，
∵ l 经过点（ 1， 2），∴ 3×1+4×2+m=0 ，解得 m=―11 ．∴所求直线方程为 3x+4y ―11=0 ．
【总结升华】（ 1）一般地， 直线 Ax+By+C=0 中系数 A 、B 确定直线的斜率， 因此，与直线 Ax+By+C=0
平行的直线可设为 Ax+By+m=0 ，这是常采用的解题技巧．我们称 Ax+By+m=0 是与直线 Ax+By+C=0 平行
的直线系方程．参数
m 可以取 m ≠C 的任意实数，这样就得到无数条与直线Ax+By+C=0
平行的直线．当
m=C 时， Ax+By+m=0 与 Ax+By+C=0 重合．
（2）一般地，经过点 A （x 0 ，y 0），且与直线 Ax+By+C=0 平行的直线方程为 A(x ―x 0)+B(y ―y 0)=0 ．
（3）类似地有：与直线 Ax+By+C=0 垂直的直线系方程为
Bx ―Ay+m=0 （ A ， B 不同时为零） ．
举一反三：
【变式 1】已知直线 l 1 ： 3mx+8y+3m-10=0 和 l 2 ：x+6my-4=0 . 问 m 为何值时 :
（1） l 1 与 l 2 平行（ 2） l 1 与 l 2 垂直 . 【答案】（ 1） m
2 （ 2） m 0
3
【解析】当 m
0 时， l 1 ： 8y-10=0 ； l 2 ： x-4=0 ， l 1 l 2
当 m 0 时， l 1 ： y
3m 10 3m
： y 1
x
4
x 8 ； l 2 6m
8
6m
由 3m
1 ，得 m
2 ，由 10 3m 4 得 m 2 或 8
8
6m
3
8 6m 3 3 而 (
3m ) ( 1 ) 1无解
8 6m
2
综上所述（ 1） m
， l 1 与 l 2 平行．（ 2） m 0 ， l 1 与 l 2 垂直．
3
【变式 2】 求经过点 A （ 2， 1），且与直线 2x+y ―10=0 垂直的直线 l 的方程． 【答案】 x － 2y=0
【解析】因为直线 l 与直线 2x+y ―10=0 垂直，可设直线 l 的方程为 x 2y m 0 ，把点 A （2，1）代
入直线 l 的方程得： m
0 ，所以直线 l 的方程为： x －2y=0 ．
类型二：直线与坐标轴形成三角形问题
例 4．已知直线 l 的倾斜角的正弦值为
3
，且它与坐标轴围成的三角形的面积为
6，求直线 l 的方程．
5
【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数
—— 直线在 y 轴上的截距 b ，再根据直
线与坐标轴围成的三角形的面积为 6，便可求出 b ．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为
6，设
截距式直线方程，从而得出
1
| ab | 6 ，再根据它的斜率已知，从而得到关于
a ，
b 的方程组，解之即可．
3 x
2
3 x
【答案】 y
3 或 y 3
4
4
【解析】
解法一：设 l 的倾斜角为
，由 sin
3
3
，得 tan
．
3
5
4
4
设 l 的方程为
y
x b ，令 y=0，得 x
4 b ．
3
∴直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为
4
b,0 ，（ 0，b ）．
3
∴ S
1 4 b | b |
2 b 2 6 ，即 b 2=9，∴ b=±3．
2 3 3
故所求的直线方程分别为
y 3 x 3 或 y
3 x 3 ．
4
4
解法二：设直线
l 的方程为
x
y 1，倾斜角为
，由 sin
3 ，得 tan
3 ．
a b
5
4
1
| a | | b |
6
a 4
∴
2
b
3 ，解得
．
b 3
a
4
故所求的直线方程为
x y 1或 x
y 1．
4 3 4 3
【总结升华】（ 1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面
积（与截距有关） ，因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有
“题目决定解法 ”之说．
（2）在求直线方程时，要恰当地选择方程的形式，每种形式都具有特定的结论，所以根据已知条件恰 当地选择方程的类型往往有助于问题的解决．例如：已知一点的坐标，求过这点的直线方程，通常选用点 斜式，再由其他条件确定该直线在
y 轴上的截距；已知截距或两点，选择截距式或两点式．在求直线方程
的过程中，确定的类型后，一般采用待定系数法求解，但要注意对特殊情况的讨论，以免遗漏．
举一反三：
【变式 1】（ 2015 春 启东市期中）已知直线
m ： 2x ― y ―3=0 ， n ：x+y ―3=0 ．
（ 1）求过两直线 m ，n 交点且与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程； （2）求过两直线 m ， n 交点且与两坐标轴围成面积为
4 的直线方程．
【思路点拨】（ 1）求过两直线 m ， n 交点坐标，结合直线平行的斜率关系即可求与直线
l ： x+2y ―1=0
平行的直线方程；
（ 2）设出直线方程，求出直线和坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式进行求解即可．【答案】（ 1） x+2y ―4=0 ；（ 2）
2x y 3 0 x 2 【解析】（ 1）由
y
3 ，解得
y
，
x 0
1
即两直线 m ， n 交点坐标为（ 2， 1），
设与直线 l ： x+2y ―1=0 平行的直线方程为 x+2y+c=0 ，
则 2+2×1+c=0，解得 c=―4， 则对应的直线方程为 x+2y ―4=0 ；
（2）设过（ 2， 1）的直线斜率为 k ，
（ k ≠0），则对应的直线方程为 y ―1= k(x ―2) ，
令 x=0， y=1―2k ，即与 y 轴的交点坐标为 A （ 0， 1―2k ） 令 y=0，则 x
2 1 2k 1 ，即与 x 轴的交点坐标为 B(
2k 1
,0) ，
k k
k 则△AOB 的面积 S
1 | 2k 1
||1 2k | 4 ，
2 k
即 (2k 1)2 8 k ，
即 4k 2
4k 8 k
1 0 ，
若 k ＞ 0，则方程等价为 4k 2
12k
1 0 ，
解得 k
3 2 2
或 k 3 2 2 ，
2
2
若 k ＜ 0，则方程等价为 4k 2
4k
1 0 ，
解得 k
1 ．
2
综上直线的方程为
y 1
1
( x 2) ，或 y 1
3 2 2 ( x 2) ，或 y 1
3 2 2
( x 2)
2
2
2
即 y
1 x
2 ，或 y
3 2 2 x 2 2 2 ，或 y
3 2 2
x 2 2 2
2
2
2
类型三：直线方程的实际应用
例 6．（ 2015 春 湖北期末）光线从点 A （ 2，3）射出，若镜面的位置在直线 l ： x+y+1=0 上，反射光线
经过 B （ 1， 1），求入射光线和反射光线所在直线的方程，并求光线从
A 到
B 所走过的路线长．
【思路点拨】求出点 A 关于 l 的对称点，就可以求出反射光线的方程，进一步求得入射点的坐标，从
而可求入射光线方程，可求光线从
A 到
B 所走过的路线长．
【答案】 41
【解析】设点 A 关于 l 的对称点 A ＇（ x 0， y 0），
x 0 2 y 0
3 1 0
x 0
4 ∵AA ＇被 l 垂直平分，∴ 2
2
y 0 3
，解得
y 0
3
x 0 1
2
∵点 A ＇（―4， ―3）， B （1， 1）在反射光线所在直线上， ∴反射光线的方程为
y 3 x
4
，即 4x ―5y+1=0，
1 3 1 4
4x 5y 1 0
( 2 , 1) ．
解方程组
y 1
得入射点的坐标为
x
3 3
y 1 x 2
由入射点及点 A 的坐标得入射光线方程为
3 3
，即 5x ―4y+2=0 ，
3
1 2 2
3
3
光线从 A 到 B 所走过的路线长为 | A' B |
( 4 1)2 ( 3 1)2
41 ．
【总结升华】本题重点考查点关于直线的对称问题，考查入射光线和反射光线，解题的关键是利用对称点的连结被对称轴垂直平分．
线 举一反三：
【变式 1】（ 2016 春 福建厦门期中）一条光线从点 A （－ 4，－ 2）射出，到直线
y=x 反射到 y 轴上的 C 点，又被 y 轴反射，这时反射光线恰好过点 D （－ 1，6）．求 【答案】 10x － 3y+8=0
【解析】如图， A （－ 4，－ 2）， D （－ 1，6），
y=x 上的 B 点后被直
BC 所在直线的方程．
由对称性求得 A （－ 4，－ 2）关于直线 y=x 的对称点 A ＇（－ 2，－ 4）， D 关于 y 轴的对称点 D ＇（ 1， 6），
则由入射光线和反射光线的性质可得：过 A ＇ D ＇的直线方程即为 BC 所在直线的方程．
由直线方程的两点式得： y 4 x 2 ． 整理得： 10x － 3y+8=0 ．
6
4 1 2
例 7．如图，某房地产公司要在荒地
ABCDE 上划出一块长方形土地（不改变方向）建造一幢
8 层的公
寓，如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积．
（精确到 1 m 2）
【答案】 6017
【解析】
建立坐标系，则 B （ 30， 0）， A （ 0， 20）．
∴由直线的截距方程得到线段
AB 的方程为
x y 1 （0≤ x ≤ ）30．
30 20
2
x ． 设点 P 的坐标为（ x ， y ），则有 y
20
3
∴公寓的占地面积为
S (100 x) (80
y) (100 x) (80 20 2
x)
2 x 2 20 x 6000 （0≤ x ≤ ）30．
3 3 3 ∴当 x=5 ， y
50 时， S 取最大值，最大值为 S
2 52 20 5 6000 6017(m 2 ) ．
3
3
3
即当点 P 的坐标为 (5,
50
) 时，公寓占地面积最大，最大面积为
6017 m 2．
3
P 的位置由两个条件确定，一是 A 、 P 、 B 三点共线，
【总结升华】本题是用坐标法解决生活问题，点 二是矩形的面积最大．借三点共线寻求 x 与 y 的关系，利用二次函数知识探求最大值是处理这类问题常用
的方法．
但具体落到实处应该是一种尊重，一种接人待物的方式方法。和文化知识有关，但不是必然，主要来自家庭的影响和后天的修为。
赫本被誉为女神，不仅仅因其貌美，貌美的很多，并不能被全世界的人记住；也不是因为学历，比她学历高的比比皆是。
但她用她的一生诠释了修养这个概念，她在遗言里这样说“若要优美的嘴唇，就要讲亲切的话。
手不仅能解决自身问题还能帮助别人；脑不仅能原谅别人还可以让自身不断进步。
我们身上每个零件都有用处，那些喜欢到处释放物质垃圾和精神垃圾的人都是不健全的。
看过很多父母抱怨自己的孩子不如旁人，那就看看自己是不是样样都行，孩子其实就是站在你面前的镜子。在发成绩单时，在开家长会时，你恼怒了，你大打出手了，这恰恰暴露你精神世界的粗鄙。
我倒是很感动一句话”不需要你养老，只感谢让我参与你的成长。“
若要可爱的眼睛，就要看到别人的好处；若要苗条的身材，就要把你的食物分享给饥饿的人。
若要美丽的秀发，在于每天有孩子的手指穿过它；若要优雅的姿态，走路时要记住行人不只你一个。
人之所以为人，是必须充满精力，自我悔改，自我反省，自我成长；
并非向人抱怨；当你需要帮助的时候，你可以求助于自己的双手；
在年老之后，你会发现自己的双手能解决很多难题，一只手用来帮助自己，另一只用来帮助别人。
这就是对修养最好的解读，也是做人的最高境界，更是心灵之美与外在之美完美的结合。
并且修养之美无处不在渗透影响着你的外在之美。
如果大家都能做到，那么我们都是天使。她告诉我们手是用来劳动而不是索取的，脑是用来忏悔而不是偏执的。
手不仅能解决自身问题还能帮助别人；脑不仅能原谅别人还可以让自身不断进步。