线面垂直的证明中的找线技巧
◆
通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直
１ 如图1，在正方体1111ABCD A B C D -
中，M 为1CC 的中点，AC 交BD 于点O ，求证：1A O ⊥平面M ＢＤ．
证明:连结MO ,1A M
，∵DB ⊥
1A A ，ＤB ⊥AC ，1A A
AC A =,
∴DB ⊥平面
11A ACC ，而1
AO ?平面11A ACC ∴ＤB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =，2
234MO a =.
在Ｒt △11A C M 中，2
21
94
A M a =．∵22211A O MO A M +=,∴1
AO OM ⊥． ∵OM ∩DB =Ｏ，∴ 1A O ⊥平面MBD ． 评注:在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明．
◆
利用面面垂直寻求线面垂直
2 如图2,P 是△ABC 所在平面外的一点，且PA ⊥平面ABC ，平面PAC ⊥平面PBC .求证:ＢC ⊥平面PAC .
证明:在平面ＰAC 内作AD ⊥ＰＣ交ＰC 于Ｄ.
因为平面ＰＡC ⊥平面PB Ｃ，且两平面交于P Ｃ,
AD ?平面P ＡC ,且AD ⊥PC , 由面面垂直的性质，得AD ⊥平面PB Ｃ. 又∵
BC ?平面ＰBC ，∴AD ⊥B Ｃ.
∵PA ⊥平面AB Ｃ，BC ?平面AB Ｃ,∴P Ａ⊥ＢC .
∵AD ∩PA =A ,∴BC ⊥平面ＰA Ｃ.
(另外还可证BC 分别与相交直线AD ，AC 垂直，从而得到BC ⊥平面PA Ｃ）．
评注：已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一
条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到，面面垂直?线面垂直?线线垂直．
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直???→←???判定性质
线面垂直???→←???
判定
性质
面面垂直．这三者之间的关系非常密切,可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当
学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明．
3 如图1所示，ABCD 为正方形，SA ⊥平面AB ＣD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ，，于E F G ，，.
求证:AE SB ⊥，AG SD ⊥.
证明：∵SA ⊥平面A ＢC Ｄ， ∴SA BC ⊥.∵AB BC ⊥，∴BC
⊥平面ＳＡB .又∵AE ?平面S ＡB ,∴
BC AE ⊥．∵SC ⊥平面ＡＥFG ，∴SC AE ⊥．∴AE ⊥平面SB Ｃ.∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥.
评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化．
4 如图２,在三棱锥Ａ－ＢＣD 中,BC ＝AC ,AD =ＢD ,作B Ｅ⊥CD ,E 为垂足,作A Ｈ⊥BE 于H .求证:A Ｈ⊥平面B ＣD ．
证明:取A Ｂ的中点F ，连结CF ,DF . ∵AC
BC =，∴CF AB ⊥.
∵AD BD =,∴DF AB ⊥.
又CF DF F =,∴AB ⊥平面CD Ｆ. ∵CD ?平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B =， ∴CD ⊥平面ＡBE ，CD AH ⊥.
∵AH CD ⊥,AH BE ⊥，CD BE E =，
∴ AH ⊥平面ＢC Ｄ.
评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复,直到证得结论．
５ 如图３，AB 是圆O 的直径,C 是圆周上一点,PA ⊥平面ＡB Ｃ．若AE ⊥PC ，Ｅ为垂足，F 是PB 上任意一点, 求证:平面AEF ⊥平面PBC ．
证明:∵ＡB 是圆Ｏ的直径,∴AC BC ⊥．
∵PA ⊥平面ABC ，BC
?平面ＡB Ｃ，
∴PA BC ⊥．∴BC ⊥平面ＡP Ｃ. ∵BC ?平面PBC ,
∴平面APC ⊥平面PBC ．
∵A Ｅ⊥P Ｃ，平面APC ∩平面P ＢＣ=P Ｃ, ∴AE ⊥平面P ＢC ．
∵AE ?平面A ＥF ，∴平面AEF ⊥平面PB Ｃ. 评注：证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出
发寻找线线垂直的关系．
6. 空间四边形AB ＣD 中,若AB ⊥CD,B Ｃ⊥A Ｄ，求证：A Ｃ⊥B Ｄ
A
D B O C
证明：过A 作AO ⊥平面BCD 于O 。
AB CD CD BO ⊥∴⊥， 同理BC ⊥DO ∴O 为△A ＢＣ的垂心
7. 证明：在正方体AB ＣD －Ａ1Ｂ１C 1D １中,A １C ⊥平面BC 1Ｄ
A
C
证明：连结AC
BD AC ⊥
AC 为Ａ1C 在平面A Ｃ上的射影
∴⊥⊥?
???⊥BD A C
A C BC A C BC D
11111同理可证平面
8． 如图,PA ⊥平面ABCD ，AB ＣＤ是矩形,M 、N 分别是ＡＢ、PC 的中点,求证：MN AB ⊥
C
.
证：取PD 中点E,则
EN DC //
12
C
?EN AM //
∴AE MN //
又平面平面平面 CD AD PA AC CD PAD AE PAD ⊥⊥?
???⊥??
?
?
?⊥?
??
???⊥CD AE CD AB AE MN MN AB ////
9如图在ΔＡBC 中， AD ⊥ＢＣ， ED ＝2AE, 过E 作FG ∥BC ， 且将ΔＡＦＧ沿FG 折起，使∠A ＇ED=60°，求证:A 'Ｅ⊥平面A 'BC
分析:弄清折叠前后,图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解:
∵FG ∥BC,AD ⊥BC ∴A 'E ⊥FG
∴A 'Ｅ⊥BC
设A 'E=a ，则ED ＝２a 由余弦定理得: A 'D ２＝A 'E ２+E Ｄ2-2?A ＇E ?EDc ｏs ６0°=3ａ2
∴ED 2=A 'D ２+A ＇E 2
∴A 'Ｄ⊥A 'E
∴A ＇E ⊥平面A 'BC
10如图, 在空间四边形SABC 中, SA ⊥平面A ＢC , ∠ABC = 90?, AN ⊥SB 于N ， A Ｍ⊥ＳC 于M 。求证： ①AN ⊥B Ｃ； ②SC ⊥平面ＡNM 分析:
①要证ＡN ⊥B Ｃ, 转证, BC ⊥平面ＳAB 。
②要证SC ⊥平面A ＮＭ, 转证, SC 垂直于平面ＡＮＭ内的两条相交直线, 即证ＳC ⊥AM , SC ⊥AN 。要证S Ｃ⊥AN , 转证AN ⊥平面SBC , 就可以了。 证明:
①∵ＳA ⊥平面ABC
?? ∴SA ⊥B Ｃ ?又∵BC ⊥A Ｂ, 且AB ＳA = Ａ ? ∴B Ｃ⊥平面SAB ?∵AN ?平面SAB ??∴AN ⊥BC ②∵AN ⊥BC , AN ⊥SB , 且SB BC = B ∴A Ｎ⊥平面SB Ｃ ? ∵ＳC Ｃ平面S ＢＣ ? ∴AN ⊥ＳC ? 又∵ＡM ⊥S Ｃ, 且AM ＡＮ = A ∴ＳC ⊥平面A ＮM
11已知如图，Ｐ?平面AB Ｃ，ＰA ＝PB ＝PC,∠A ＰＢ=∠ＡPC ＝６0°,∠BPC ＝90 °求证：平面ＡB Ｃ⊥平面PBC
分析：要证明面面垂直,只要在其呈平面内找一条线,然后证明直线与另一平面垂直即可。显然BC 中点Ｄ，证明ＡD 垂直平ＰB Ｃ即可
证明:取BC 中点D 连结AD 、ＰＤ ∵PA ＝PB;∠A ＰB ＝６0° ∴ΔPAB 为正三角形?
同理ΔＰＡC 为正三角形 设PA=a 在RT ΔＢPC 中，P Ｂ=PC=a
B Ｃ=
2a
∴ＰD ＝
2
2a 在ΔABC 中 A Ｄ＝
2
2BD AB -
=
2
2ａ∵AD 2
＋PD
２
=2
2
22
22???
?
??+???? ??a a =ａ２=AP 2
∴ΔAPD 为直角三角形即ＡＤ⊥D Ｐ又∵AD ⊥BC
∴AD ⊥平面P ＢC
∴平面AB Ｃ⊥平面ＰＢC 1２． 如图,直角BAC 在α外，
α//AB ,C AC =?α,求证:BAC ∠在α内射影B A C ''∠为直角。
A B
C
D
F E
G A'
C A A AB A A AB B A A A B A AB AB AB '⊥????
??'⊥???
?
?
?
?'
'⊥''?????=?面////αββα?１３Ａ.平面ABD ⊥平面ＡＤC B.平面ABD ⊥平面ABC C ．平面ADC ⊥平面ＢCD D.平面ＡBC ⊥平面BCD
【解析】由AD ⊥BC ，B Ｄ⊥AD ?AD ⊥平面BCD ，面AD ?平面ADC ∴平面ADC ⊥平面BCD ．【答案】C 2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠AC Ｂ=90°,A Ｃ=AA 1=a,则点A 到平面A 1BC 的距离是（ )
A ．ａ ???Ｂ．2a ??C ．2
2
a Ｄ.3a
【解析】取A 1C 的中点Ｏ，连结A Ｏ,∵AC ＝ＡA 1，∴AO ⊥Ａ1Ｃ，又该三棱柱是直三棱柱．∴平面A １C ⊥平面ABC ．又
2
3．三个平面两两垂直，它们的三条交线交于一点Ｏ，P 到三个面的距离分别是3，4，5，则ＯP 的长为（ ） A ．53 ??Ｂ．52 ? C.35 ? D ．２5
【解析】构造一个长方体,OP 为对角线.【答案】Ｂ
4.在两个互相垂直的平面的交线上，有两点A 、B,AC 和BD 分别是这两个平面内垂直于AB 的线段,ＡC ＝6,ＡB=8，ＢＤ＝２4,则C 、Ｄ间距离为_＿＿＿_.
【解析】如图,CD=2
2
AD CA +=2
2
2
BD AB CA ++＝2
2
2
2486++=676=26
5．设两个平面α、β，直线l ，下列三个条件:①l ⊥α，②l ∥β,③ α⊥β.若以其中两个作为前提，另一个作为结论,则可构成三个命题，这三个命题中正确的命题个数为（ ）
A ．３ B.２ ? Ｃ．1 D ．0
【解析】①②?③,其余都错【答案】C 【典型例题精讲】
［例１] 如图9—39,过Ｓ引三条长度相等但不共面的线段ＳA 、SB 、S Ｃ，且∠ASB=∠ＡSC=6０°,∠B ＳC=９0°，求证：平面A ＢＣ⊥平面BSC.
图９—39
【证明】∵SB=SA=ＳＣ,∠ＡＳB=∠ASC=60°∴ＡB=SA=AC 取ＢＣ的中点O,连ＡO 、SO ，则AO ⊥B Ｃ,ＳO ⊥BC,
∴∠AOS 为二面角的平面角,设ＳA ＝SB=S Ｃ=a,又∠B ＳＣ=9０°，∴BC=
2a,ＳＯ=
2
2a,
AO 2=AC 2－OC ２
=a 2-21a 2=21
a 2,∴S Ａ2=AO
２
+O Ｓ2，∴∠AO Ｓ＝90°,从而平面ABC ⊥平面BS Ｃ． 【评述】要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角．这也是证两平面垂直的常用方法． ［例2]如图９—4０,在三棱锥Ｓ—ABC 中,ＳA ⊥平面ABC ，平面SA Ｂ⊥平面SBC.
图9—４0
（１)求证:AB ⊥BC;（2）若设二面角Ｓ—BC —A 为45°，ＳＡ＝BC ，求二面角Ａ—S Ｃ—B 的大小．
（1）【证明】作ＡH ⊥S Ｂ于Ｈ，∵平面ＳＡB ⊥平面SB Ｃ．平面S ＡB ∩平面SBC=SB,∴A Ｈ⊥平面S ＢC, 又ＳA ⊥平面ＡBC,∴ＳA ⊥ＢＣ,而SA 在平面SBC 上的射影为S Ｂ,∴ＢC ⊥SB,又S Ａ∩SB=S, ∴BC ⊥平面S ＡB ．∴BC ⊥ＡB. (2）【解】∵ＳA ⊥平面ABC,∴平面S ＡＢ⊥平面ABC,又平面ＳA Ｂ⊥平面SBC,∴∠SBA 为二面角S —BC —Ａ的平面角，
∴∠SBA ＝４5°.设SA=ＡB=B Ｃ=a ，
作A Ｅ⊥SC 于E ，连EH,则EH ⊥S Ｃ,∴∠ＡEH 为二面角A —S Ｃ—B 的平面角，而ＡＨ=
2
2a ，AC=
2a ，SC=3
ａ,AE=
3
6a
∴ｓｉn ∠A ＥＨ=
23
，二面角Ａ—S Ｃ—B 为6０°.
【注】三垂线法是作二面角的平面角的常用方法．
[例3］如图9—41,PA ⊥平面ABCD,四边形ＡBC Ｄ是矩形,P Ａ=A Ｄ=a,M 、N 分别是ＡB 、PC 的中点.
（1)求平面ＰCD 与平面ＡBCD 所成的二面角的大小；（2)求证:平面MN Ｄ⊥平面P ＣD
（1）【解】ＰA ⊥平面ABCD,CD ⊥AD ，
∴PD ⊥C Ｄ，故∠P ＤA 为平面ＡＢＣD 与平面PCD 所成二面角的平面角，在Rt △P ＡD 中,P Ａ=A Ｄ, ∴∠PDA=４5°
(２)【证明】取P Ｄ中点E ，连结EN ，ＥA ，则E Ｎ 2
1CD AM,∴四边形EN ＭA 是平行四边形,∴E Ａ∥M Ｎ． ∵AE ⊥PD ，AE ⊥CD,∴A Ｅ⊥平面P ＣD ，从而ＭN ⊥平面PC Ｄ,∵MN 平面M ＮＤ，∴平面MND ⊥平面P ＣD. 【注】 证明面面垂直通常是先证明线面垂直,本题中要证MN ⊥平面P ＣD 较困难,转化为证明A Ｅ⊥平面ＰＣD 就较简单了.另外，在本题中，当AB 的长度变化时，可求异面直线PC 与ＡD 所成角的范围.
［例4]如图9—4２,正方体A ＢＣD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、Ｍ、Ｎ分别是A 1B 1、ＢC 、C 1Ｄ１、B 1C 1的中点．
图9—４2
（1)求证：平面M ＮF ⊥平面ＥＮF.（2）求二面角M —E Ｆ—Ｎ的平面角的正切值．
(1)【证明】∵Ｍ、N 、E 是中点，∴M C NC N B EB 1111===∴?=∠=∠45MNC ENB 11
∴?=∠90MNE 即M Ｎ⊥ＥＮ,又NF ⊥平面A 1Ｃ１，11C A MN 平面?∴M Ｎ⊥N Ｆ，从而ＭＮ⊥平面ENF ．∵ＭＮ ?平面MN Ｆ,
∴平面MN Ｆ⊥平面ＥNF.
（２)【解】过N 作ＮH ⊥EF 于H ，连结MH.∵MN ⊥平面ENF,N Ｈ为MH 在平面ENF 内的射影，
∴由三垂线定理得MH ⊥E Ｆ,∴∠MH Ｎ是二面角Ｍ—EF —N 的平面角．在R ｔ△ＭNH 中,求得ＭN ＝2
2a,ＮH=
3
3ａ,
∴ｔan ∠MHN=26
=NH
MN ，即二面角M —E Ｆ—N 的平面角的正切值为26．
[例5］在长方体ABC Ｄ—A 1B １C 1D 1中,底面ABC Ｄ是边长为2的正方形,侧棱长为3,E 、Ｆ分别是AB
１
、C Ｂ1的中
点，求证：平面Ｄ1EF ⊥平面ＡＢ1C ．
【证明】如图9—4３，∵Ｅ、F 分别是AB 1、ＣB 1的中点，
图9—４3∴ＥF ∥ＡC ．∵ＡB 1=C Ｂ１，O 为A Ｃ的中点.∴B 1O ⊥AC ．故B 1O ⊥EF.在Rt △B 1B Ｏ中,∵BB １=
3,BO=1.
∴∠ＢＢ1O=30°,从而∠OB 1D 1=60°，又Ｂ１Ｄ1=2,B 1Ｏ1=2
1
ＯB 1=1(O １为BO 与ＥF 的交点）
∴△Ｄ1B 1Ｏ1是直角三角形,即B 1O ⊥D 1O 1,∴B 1O ⊥平面D 1EF.又B 1O ?平面AB 1C,∴平面D 1E Ｆ⊥平面A Ｂ1C.
１.棱长都是2的直平行六面体AB ＣD —A 1B 1C 1D 1中，∠B ＡD=6０°，则对角线A １Ｃ与侧面DCC 1D 1所成角的正弦值为＿___＿.
【解】过A １作A 1Ｇ⊥C 1Ｄ1于Ｇ,由于该平行六面体是直平行六面体,∴A １G ⊥平面D １C ，连结C Ｇ，∠A 1ＣG 即为A 1C 与侧面DCC 1D 1所成的角．
∵A 1Ｇ＝ A 1 D 1 ·sin ∠Ａ1 D 1 G ＝2sin6０°＝2·
23
=3而
AC=???-+120cos 222BC AB BC AB =
3
2)21
(2222222=-???-+∴A 1Ｃ
=
4124221=+=+AC A A ，
∴sin ∠Ａ1CG=
4311=C A G A ．【答案】43
2.Ｅ、F 分别是正方形ＡBC Ｄ的边AB 和CD 的中点,EF 、BD 相交于Ｏ,以EF 为棱将正方形折成直二面角,则∠BOD=_____．
【解析】设正方形的边长为2a.
则D Ｏ２＝a 2+ａ2=2a 2OB 2=ａ2＋a 2=２a 2DB 2=DF ２+FB 2=ａ2+4ａ２+ａ２
=6ａ2
∴cos ∠DO Ｂ=21
222622222-
=??-+a
a a a a ，∴∠ＤOB ＝120°
３.如图9—4４，已知斜三棱柱ABC —Ａ1B １
C 1的各棱长均为2,侧棱与底面成3π
的角,侧面ABB
１
A １垂直于底面,
图９—4４
（１）证明：B 1C ⊥Ｃ1Ａ.（2）求四棱锥B —ACC 1A １的体积．
（1)【证明】过B １作B 1O ⊥ＡB 于O,∵面ABB 1A 1⊥底面ABC,面AB ABC A ABB 11=面 ∴B １Ｏ⊥面AB Ｃ，∴
∠Ｂ１
BA 是侧棱与底面所成角,∴∠Ｂ1BA=3π
,又各棱长均为2,∴O 为AB 的中点,连ＣO,则ＣＯ⊥AB,而OB 1∩CO=O,
∴AB ⊥平面Ｂ1O Ｃ,又B １Ｃ?平面OB 1Ｃ,∴B 1C ⊥A Ｂ,连ＢC １,∵ＢCC 1B 1为边长为２的菱形，∴B １C ⊥BC 1,而ＡB ∩ＢC 1=B ，
∴B 1C ⊥面ＡBC 1∵A １C ?面AB Ｃ１∴B 1C ⊥A Ｃ1
(２）【解】在Rt △B Ｂ１O 中，BB 1=2，ＢＯ=１，B 1Ｏ=
3，V
柱
=Sh=
43·4·3=３，∴111C B A B V -=31V
柱
=1,
C
C AA B V 11-=Ｖ柱-111C B A B V
-=3-1＝2
４．如图9—45,四棱锥P —ＡＢCD 的底面是边长为a 的正方形，P Ａ⊥底面AB ＣD,E 为AB 的中点，且ＰA=ＡB ．
图9—45
（1)求证:平面PＣE⊥平面ＰCD;（2）求点A到平面PCＥ的距离.
(１）【证明】PＡ⊥平面ＡBＣＤ，ＡD是PD在底面上的射影,
又∵四边形ABCD为矩形,∴CD⊥ＡD,∴CD⊥PＤ，∵ＡD∩PD=D∴CＤ⊥面PAD,∴∠ＰDＡ为二面角Ｐ—ＣD—B的平面角,∵PA=PB＝ＡD,ＰA⊥AD∴∠PＤＡ=45°，取Rt△PＡD斜边PＤ的中点F，则AF⊥PD,∵AF?面PＡD∴
ＣD⊥AF,又PD∩CD=D∴ＡF⊥平面ＰCD,取ＰＣ的中点Ｇ,连GF、AG、EG,则GF 2
1
CD又AE 2
1
CD，
∴GF ＡＥ∴四边形AGEＦ为平行四边形∴AF∥EG，∴EG⊥平面PＤC又ＥG ?平面PEC,∴平面PＥC⊥平面PCD．
（２）【解】由(1)知AＦ∥平面PEC，平面ＰCD⊥平面PEC,过F作FH⊥PC于H,则FＨ⊥平面PEＣ
∴FH为F到平面ＰEＣ的距离，即为A到平面ＰEC的距离．在△PFH与△PCD中，∠Ｐ为公共角，
而∠ＦHＰ=∠CDP=90°,∴△ＰＦH∽△PＣＤ．∴
PC
PF
CD
FH
=
,设AD=2，∴PF=
2，
PC=
3
2
4
8
2
2=
+
=
+CD
PD,∴FH＝3
6
2
3
2
2
=
?
∴A到平面PEC的距离为
3
6
.
5.已知直四棱柱AＢCＤ—A1B１C1Ｄ１的底面是菱形,对角线AC=２，ＢD=2
3,E、F分别为棱ＣC
1、ＢB1上的点，且
满足ＥC=BC＝２FB．
图９—46
（1)求证：平面AEF⊥平面A1ＡCC1；(2）求异面直线EF、Ａ１C1所成角的余弦值．
（1）【证明】∵菱形对角线AC=2,BD=2
3∴BＣ＝2,ＥC=2,FB=1,取AＥ中点M,连结MF,设ＢD与ＡC交于点O，Ｍ
Ｏ2
1
EC FB
?
(2）在AＡ1上取点N,使ＡN=2，连结NＥ,则ＮE AＣA１C１
故∠NEF为异面直线A１C１与ＥF所成的角,连结NF，在直角梯形NABF中易求得ＮＦ=
5，同理求得EＦ=5．
在△ENＦ中,cos∠NＥF=
5
5
5
2
2
5
4
3
=
?
?
-
+
，即EＦ与A１Ｃ1所成角的余弦值为
5
5
．
【解题指导】在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线；若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决,而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加.在有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直.解决这类问题的关键是熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件和转化应用．
【拓展练习】
一、备选题
1.如图,AB是圆O的直径，C是圆周上一点,PＡ⊥平面ABC.
（１)求证：平面PAC⊥平面ＰBＣ；
（2）若D也是圆周上一点,且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面．
(1)【证明】∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，ＡB是圆O的直径
∴ＢC⊥AC;
又ＰA⊥平面ＡBC，BC?平面ABＣ，
∴BC⊥PＡ,从而BC⊥平面PAＣ.
∵BC ?平面PBC，
∴平面PAC⊥平面PBC.
（2）【解】平面PAC⊥平面AＢCＤ;平面ＰAC⊥平面PBC；平面PAＤ⊥平面PBD;平面PＡB⊥平面AＢCＤ;平面PA Ｄ⊥平面AＢCD．
２.ＡBC—A′B′C′是正三棱柱,底面边长为a，D,E分别是BB′，CC′上的一点，BD=2
1
a，EＣ=a.
（1)求证：平面AＤE⊥平面ＡCC′A′; (２)求截面△AＤE的面积．
（1)【证明】分别取Ａ′C ′、AC 的中点M 、N,连结MN ， 则MN ∥A ′A ∥B ′B ，
∴B ′、M 、N 、B 共面,∵Ｍ为A ′C ′中点，B ′Ｃ′=B ′A ′,∴B ′M ⊥A ′C ′,又B ′M ⊥ＡＡ′且AA ′∩A ′C ′=A ′
∴Ｂ′Ｍ⊥平面Ａ′ＡC Ｃ′. 设ＭN 交ＡE 于P,
∵CE=ＡＣ,∴PN ＝NA ＝2a
.
又DB=21
a ，∴PN=ＢＤ.
∵ＰＮ∥ＢD ， ∴PNBD 是矩形,于是PD ∥B Ｎ,ＢN ∥Ｂ′M ， ∴PD ∥Ｂ′M ．
∵B ′M ⊥平面ACC ′A ′，
∴PD ⊥平面A ＣC ′Ａ′，而PD ?平面AD Ｅ, ∴平面A ＤE ⊥平面A ＣＣ′A ′. (２)【解】∵PD ⊥平面ＡCC ′Ａ′,
∴PD ⊥ＡE,而PD=B ′Ｍ=2
3a ，
AE=
2a.
∴S △
ADE ＝21
×A Ｅ×PD
=21
×246232a
a a =?．