第十五章含参变量的积分
教学目的与要求
1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；
2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.
3 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义；
4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；
5 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等；
6 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系；
7 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。
教学重点
1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；
2 求含参变量的常义积分的极限、导数、积分；
3 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；
4 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；
5 利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等
6 Beta函数和Gamma函数的性质。
教学难点
1 应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题；
2 含参变量的反常积分的一致收敛的定义；
3 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质；
§1 含参变量的常义积分
教学目的
1 掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；
2 能应用含参变量的常义积分的分析性质证明某些理论问题.
教学过程
1 含参变量的常义积分的定义
（P373）
2 含参变量的常义积分的分析性质
连续性定理P374
Theorem 1 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续 , 则函
数?
=
d
c
dy y x f x I ),()(在] , [b a 上连续 .
Theorem 2 若函数),(y x f 在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函数)(1x y 和
)(2x y 在] , [b a 上连续 , 则函数?
=)()
(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上连续.
例 1 求下列极限 (1)dx y x y ?
-→+1
1
220lim
(2) dx n
x
n
n ?
++∞→1
)1(11lim
积分次序交换定理P375 例2 见教材P375.
积分号下求导定理P375—376
Theorem 3 若函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 则函数?
=d
c
dy y x f x I ),()(在] , [b a 上可导 , 且
??=d
c d c x dy y x f dy y x f dx
d ),(),(. ( 即积分和求导次序可换 ) .
Theorem 4设函数),(y x f 及其偏导数x f 都在矩形域] , [ ] , [d c b a D ?=上连续, 函
数)(1x y 和)(2x y 定义在] , [b a , 值域在] , [d c 上, 且可微 , 则含参积分
?
=)
()
(21),()(x y x y dy y x f x G 在] , [b a 上可微 , 且
()())()(,)()(,),()(112
2)
()
(21x y x y x f x y x y x f dy y x f x G x y x y x '-'+=
'?
. 例2 求下列函数的导数 (1) ?
>+=
1
2
2
)0()ln()(y dx y x y F (2) ?-=2
2
)(x x
xy dx e y F
例3 计算积分 dx x x I ?++=
1
021)
1ln(.
例 4 设函数)(x f 在点0=x 的某邻域内连续 . 验证当||x 充分小时 , 函数 ?---=
x n dt t f t x n x 01)()()!1(1)(φ
的1-n 阶导数存在 , 且 )()()
(x f x n =φ.
(P376定理15.1.4) 例4 求?++=
y
b y a dx x yx
y F sin )(的导数
例5 研究函数 ?+=
1
0 22)
()(dx y x x yf y F 的连续性，
其中)(x f 是]1,0[上连续且为正的函数。 解 令2
2)
(),(y
x x yf y x g +=
，则),(y x g 在],[]1,0[d c ?连续，其中],[0d c ?。从而)(y F 在0≠y 连续。当0=y 时，0)0(=F
当0>y 时，记 0)(min ]
1,0[>=∈x f m x ，则
?
+=1
0 22)()(dx y x x yf y F ?+≥1 0 22dx y x y m y m 1
arctan = 若)(lim 0
y F y +→存在，则 ≥+→)(lim 0
y F y y m y 1arctan
lim 0
+→)0(02
F m =>=π
故)(y F 在0=y 不连续。
或用定积分中值定理，当0>y 时， ]1,0[∈?ξ，使 ?
+=1
0 22)()(dx y x x yf y F ?+=1 0 22)(dx y x y
f ξ y
f y
x
f 1
arctan )(arctan
)(1
ξξ==
若)(lim 0
y F y +→存在，则
=+→)(lim 0
y F y y f y 1arctan
)(lim 0
ξ+→02
>≥m π
故)(y F 在0=y 不连续。
问题1 上面最后一个式子能否写为
y f y 1arctan
)(lim 0
ξ→0)(2
>=ξπ
f 。 事实上，ξ是依赖于y 的，极限的存在性还难以确定。 例6 设)(x f 在],[b a 连续，求证
?-=x
c
dt t x k t f k x y )(sin )(1)( （其中 ],[,b a c a ∈）
满足微分方程 )(2
x f y k y =+''。 证 令)(sin )(),(t x k t f t x g -=，则
)(cos )(),(t x k t kf t x g x -=， )(sin )(),(2t x k t f k t x g xx --=
它们都在],[],[b a b a ?上连续，则
?
-=
'x
c
dt t x k t f x y )(cos )()(
)()(sin )()( x f dt t x k t f k x y x c
+--=''?
y k y 2+'')()(sin )( x f dt t x k t f k x c +?--=?-+x c dt t x k t f k )(sin )()(x f =
例7 设)(x f 为连续函数，
ξηηξd d x f x F h
h ])([)(0
0?
?++=
求)(x F ''。
解 令u x =++ηξ，则
ξηηξd d x f x F h
h ])([)(00??++=??+++
=h
x x h
du u f d ξξξ
)(0
])()([)(0
??+-++='h
h
d x f d h x f x F ξξξξ
在第一项中令u h x =++ξ，在第二项中令u x =+ξ，则
])()([
)(2??+++-='h
x x
h
x h
x du u f du u f x F
)]()(2)2([)(x f h x f h x f x F ++-+=''
问题2 是否有
ξηηξd d x f x x F h h ])([)(00??++??='ξηηξd d x f x h
h ])([0
0??++??
=
例8 利用积分号下求导法求积分
dx x
x a a I ?
=
2
/0
tan )
tan arctan()(π， 1|| 解 令 x x a a x f tan ) tan arctan(),(= 2 , 0π =x 时，f 无定义，但a a x f x =+→),(lim 0 ，0),(lim 2 =-→ a x f x π ，故补充定义 a a f =),0(， 0),2 ( =a f π 则f 在],[]2,0[b b -?π连续（10< ??? ? ??? <=<∈+=1|| ,2,0 ,01|| ),2,0( ,tan 11),(22a x a x x a a x f a ππ 显然)0,(x f a 在2 π =x 点不连续，但),(a x f a 分别在)0,1(]2,0[-?π和)1,0(]2,0[?π连续， 故有 ? ='2 /0 ),()(πdx a x f a I a ? += 2 /0 2 2tan 11 πdx x a ， )0,1(-∈a 或)1,0(∈a 令t x =tan ?+∞++='0 222)1)(1(1)(dt t a t a I ?+∞ ++--+-=0 2222 22222 )1)(1(111 dt t a t a t a t a a ?+∞ +-+-= 022222 ])1() 1(1[11dt t a a t a |)|1(2a +=π ， )0,1(-∈a 或)1,0(∈a 积分之 1)1ln(2 )(C a a I ++= π ， )1,0(∈a 2)1ln(2 )(C a a I +-- =π ， )0,1(-∈a 因为)(a I 在)1,1(-连续，故 0)(lim )0(0 ==+→a I I a )(lim 0 a I a -→= 得021==C C ，从而得 |)|1ln(sgn 2 )(a a a I +=π ， 1|| 作业：P378----379 2、3、5、6、8（2）（3）、11 §2 含参变量的反常积分 教学目的 1 理解含参变量的反常积分的一致收敛的定义； 2 掌握含参变量的反常积分的一致收敛性的判别法及分析性质； 3 能利用参变量的反常积分的分析性质求函数的导数、积分等； 教学过程 1 含参变量的反常积分的一致收敛 含参变量的反常积分有两种: 无穷区间上的含参变量的反常积分和无界函数的含参变量的反常积分. 定义P379---381 无穷积分 ? +∞ a dx y x f ),(在区间],[d c : 一致收敛: ],[,,0,000d c y A A A ∈?>?>?>?ε有 ε +∞ A dx y x f ),(; 非一致收敛: ],[,,0,0000d c y A A A ∈?>?>?>?ε有00 ),(ε≥? +∞A dx y x f . 2 一致收敛性的判别法 (Cauchy 收敛原理) P381 (s Weierstras 判别法)P382 例1 证明:无穷积分 ? +∞ +1 2 2cos dx y x xy 在R 一致收敛. (Abel 判别法和Dirichlet 判别法) P382----385 (Dini 定理)P385 3 一致收敛积分的分析性质 连续性定理 积分次序交换定理 积分号下求导定理 例 2 利用积分号下求导求积分 ?+∞ ++= 012) ()(n n a x dx a I ， （n 为正整数，0>a ） 解 因为 1 0212) (1 )(1+++≤+n n a x a x ， 00>≥a a 而 ?+∞ ++01 02) (n a x dx 收敛，故 ?+∞ ++=012) ()(n n a x dx a I 在00>≥a a 一致收敛。 因为 a a x a a x dx 2arctan 1|0 02π ==+∞++∞ ? 故 =+?+∞ 02a x dx da d ?+∞ +-0 22)(a x dx 2 /3)21(2--=a π =+?+∞ 022 2 a x dx da d ?+∞ +032) (2a x dx 2 /5)23)(21(2---=a π 由数学归纳法易证 =+?+∞ 02a x dx da d n n ?+∞ ++-012) (!)1(n n a x dx n 2 1 22 !)!12()1(2+- --=n n n a n π 于是 ?+∞ ++=01 2) ()(n n a x dx a I 2 1 2!)!2(!)!12(2+- -=n a n n π 例3 证明（1）? +∞ -1 sin 2 ydx e yx 关于),0[+∞∈y 一致收敛； （2）? +∞ -1 sin 2 ydy e yx 关于),0[+∞∈x 不一致收敛。 证 （1）用分段处理的方法。 1>?A ，0>y ， 令 t x y = 得 |sin |2 ?+∞ -A yx ydx e |sin | 2 ?+∞ -=A y t dt e y y ?+∞ -≤0 2 |sin | dt e y y t |sin | 2y y π= 因为 0sin lim 0 =+ →y y y ，则 0>?ε，0>?δ，当δ< |sin |2 ?+∞ -A yx ydx e επ<≤ |sin | 2y y （1） 又 2 2 |sin |x yx e y e δ--≤， δ≥y 而 ?+∞ -1 2 dx e x δ收敛，由M 判别法，?+∞ -1 sin 2 ydx e yx 在),[+∞∈δy 一致收敛，即0>?ε， 10>?A ，0A A >?，有 ε -|sin |2 A yx ydx e ，δ≥?y （2） 上式对0=y 显然成立，结合（1）（2）式，有 ε -|sin | 2 A yx ydx e ， ),0[+∞∈y 即? +∞ -1 sin 2 ydx e yx 关于),0[+∞∈y 一致收敛。 （2）因为0=x 时，? +∞1 sin ydy 发散，因此? +∞ -1 sin 2 ydy e yx 关于),0[+∞∈x 不可能一致 收敛。 例4 计算积分 ? +∞ + -0 ) (2 22dx e x a x 。 解 ? +∞ + -0 ) (2 22dx e x a x ?+∞ ---=0 2)(2dx e a x a x ?+∞ ---=0 )(22 dx e e x a x a 令 t x a x =- ?+∞ ∞ --dt e t 2 ?+∞ --+=0 2)()1(2 dx x a e x a x ?+∞ --=0)(2dx e x a x ?+∞ ---0 )(2x a d e x a x 在第二项积分中令 y x a =- ，得 ?+∞ ---0)(2 x a d e x a x ?+∞ --=0 )(2 dy e y a y 故 ? +∞ + -0 ) (2 22dx e x a x ?+∞ ---=0 )(22 dx e e x a x a a e 22 -= π 作业：P392—393 2、4（1）（2）、5、8、10、12、15 §3 Euler积分 教学目的 1 掌握Beta函数和Gamma函数的定义及其相互关系； 2 掌握Beta函数和Gamma函数的性质。 教学过程 1 Beta函数(第一类Euler积分) 定义确定定义域 Beta函数的性质 P394 2 Gamma函数(第二类Euler积分) 定义 (确定定义域) Gamma函数的性质 P395 3 Beta函数和Gamma函数的关系 P397 例1 求 ? ∞ ++->>+0 1 )0,0()1(q p dx x x q p p ； 例2 证明： （1） ?+∞ ∞ --Γ= )4 1(214 dx e x （2）?+∞-->>+Γ=0)1,0)(1(1m n n m n dx e x n x m 作业： P404—405 1（1）（3）（7）（8）、3、7、9、10
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