2020年中考数学（3月份）模拟试卷
一、选择题
1．下列四个实数中，最小的是（）
A．﹣B．﹣5C．1D．4
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≤﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x＞﹣3
3．下列说法正确的是（）
A．为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用普查方式
B．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为
C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
D．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定
4．下列四个图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
5．如图，在下列四个几何体中，它的三视图（主视图、左视图、俯视图）完全相同的是（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚
白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（）
A．
B．
C．
D．
7．从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y＝图象的概率是（）
A．B．C．D．
8．正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．一直变大D．保持不变
9．反比例函数与一次函数y＝k（x+1）（其中x为自变量，k为常数）在同一坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C．D．
10．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）
A．﹣7.5B．7.5C．5.5D．﹣5.5
二、多项选择题（共6小题）
11．计算：﹣的结果是（）
A．B．2C．D．2
12．计算：﹣＝（）
A．1B．2C．D．
13．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特征值．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则等腰△ABC的特征值k＝．（多选）
A.
B.
C.
D.4
14．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上，AH⊥BC，垂足为H，AH交DG于点P，已知BC＝6，AH＝4．当矩形DEFG面积最大时，HP的长是（）
A．1B．2C．3D．4
15．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）
A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6
16．如图，A，B，C，D为一直线上4个点，BC＝3，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关系式是（）
A．y＝B．y＝x C．y＝3x+3D．y＝
三、解答题（共8趣，共72分）
17．计算x?x3+（2x2）2﹣2x5÷x
18．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，∠B ＝∠D，AD∥BC．求证：AD＝BC．
19．某同学进行社会调查，随机抽查了某个小区的200户家庭的年收入，并绘制成统计图（如图）．请你根据统计图给出的信息回答：
（1）样本数据的中位数是，众数是；
（2）这200户家庭的平均年收入为万元；
（3）在平均数、中位数两数中，更能反映这个小区家庭的年收入水平．
（4）如果该小区有1200户住户，请你根据抽样调查的结果估计该小区有户家庭的年收入低于1.3万元？
20．如图，在下列18×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（﹣8，0）、B（﹣4.3）都是格点．
（1）直接写出△ABO的形状：
（2）要求在图中仅用无刻的直尺画图：将△ABO绕点O顺时针旋转得△DEO，且点B 的对应点E落在x轴正半轴上．
操作如下：
第一步：在x正半轴上找一个格点E，使OE＝OB；
第二步：找一个格点F，使∠EOF＝∠AOB；
第三步：找一个格点M，作直线AM交直线OF于D，连DE，则△DEO即为所作出的图形．请你按以上操作完成画图．并直接写出点E，F，M三点的坐标．
21．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，∠CAF＝2∠B．（1）求证：AE＝AC；
（2）若⊙O的半径为4，E是OB的中点，求EF的长．
22．公司以10元/千克的价格收购一批产品进行销售，经过市场调查获悉，日销售量y（千克）是销售价格x（元/千克）的一次函数，部分数据如表：
销售价格x（元/千克）1015202530
日销售量y（千克）300225150750（1）直接写出y与之间的函数表达式；
（2）求日销售利润为150元时的销售价格；
（3）若公司每销售1千克产品需另行支出a元（0＜a＜10）的费用，当20≤x≤25时，公司的日获利润的最大值为1215元，求a的值．
23．如图1，AB⊥BC，分别过点A，C作BM的垂线，垂足分别为M，N．（1）求证：BM?BC＝AB?CN；
（2）若AC＝BC．
①如图2，若BM＝MN，过点A作AD∥BC交CM的延长线于点D，求DN：CN的值；
②如图3，若BM＞MN，延长BN至点E，使BM＝ME，过点A作AF∥BC交CE的
延长线于点F，若E是CF的中点，且CN＝1，直接写出线段AF的长．
24．抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（点A在B左边），与y轴交于点C．（1）如图1，已知A（﹣1，0），B（3，0）．
①直接写出抛物线的解析式；
②点H在x轴上，D（1，0），连接AC，DC，HC，若CD平分∠ACH，求点H的坐
标；
（2）如图2，直线y＝﹣1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于点D，点E，D关于x轴对称．
①若点D在抛物线对称轴的右侧，求证：DB⊥AE；
②若点D在抛物线对称轴的左侧，请直接判断，BD是否垂直AE？
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列四个实数中，最小的是（）
A．﹣B．﹣5C．1D．4
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
解：根据实数大小比较的方法，可得
﹣5＜﹣＜1＜4，
所以四个实数中，最小的数是﹣5．
故选：B．
2．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
A．x≤﹣3B．x≥﹣3C．x＜﹣3D．x＞﹣3
【分析】根据二次根式的被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．
解：根据题意得，x+3≥0，
解得x≥﹣3．
故选：B．
3．下列说法正确的是（）
A．为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用普查方式
B．掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币都是正面朝上这一事件发生的概率为
C．掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是必然事件
D．甲乙两人在相同条件下各射击10次，他们成绩的平均数相同，方差分别是S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，则甲的射击成绩较稳定
【分析】根据全面调查与抽样调查的特点对A进行判断；利用画树状图求概率可对B进行判断；根据必然事件和随机事件的定义对C进行判断；根据方差的意义对D进行判断．解：A、为了解一批灯泡的使用寿命，宜采用抽样调查的方式，所以A选项错误；
B、利用树状图得到共有正正、正反、反正、反反四种可能的结果数，所以两枚硬币都
是正面朝上这一事件发生的概率为，所以B选项错误；
C、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子停止转动后，5点朝上是随机事件，所以C选项
错误；
D、因为S甲2＝0.4，S乙2＝0.6，所以甲的方差小于乙的方差，所以甲的射击成绩较稳定，
所以D选项正确．
故选：D．
4．下列四个图案中，是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，故本选项错误；
C、是中心对称图形，故本选项正确；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：C．
5．如图，在下列四个几何体中，它的三视图（主视图、左视图、俯视图）完全相同的是（）
A．①②B．②③C．①④D．②④
【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左面看得到的图形是左视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：①正方体的三视图都是正方形，④球的三视图都是圆；
②圆柱的主视图、左视图都是长方形，俯视图是圆形；
③锥的主视图是三角形、左视图是三角形，俯视图是圆形．
故选：C．
6．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：今有甲种袋子中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙种袋子中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲种袋子比乙种袋子轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，则可建立方程为（）
A．
B．
C．
D．
【分析】设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据“黄金9枚和白银11枚的重量相等，黄金8枚和白银1枚的重量比黄金1枚白银10枚轻13两”，即可得出关于x，y的二元一次方程，此题得解．
解：设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，
依题意，得：．
故选：C．
7．从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点（m，n）在函数y＝图象的概率是（）
A．B．C．D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn＝6，列表找出所有mn的值，根据表格中mn＝6所占比例即可得出结论．
解：∵点（m，n）在函数y＝的图象上，
∴mn＝6．
列表如下：
m﹣1﹣1﹣1222333﹣6﹣6﹣6
n23﹣6﹣13﹣6﹣12﹣6﹣123
mn﹣2﹣36﹣26﹣12﹣36﹣186﹣12﹣18
mn的值为6的概率是＝．
故选：B．
8．正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积（）
A．先变大后变小B．先变小后变大
C．一直变大D．保持不变
【分析】连接DE，△CDE的面积是矩形CFGE的一半，也是正方形ABCD的一半，则矩形与正方形面积相等．
解：连接DE，
∵，
，
∴矩形ECFG与正方形ABCD的面积相等．
故选：D．
9．反比例函数与一次函数y＝k（x+1）（其中x为自变量，k为常数）在同一坐标系中的图象可能是（）
A．B．
C．D．
【分析】分别根据反比例函数与一次函数的性质对各选项进行逐一分析即可．
解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，由一次函数的图象可知k＜0，由一次函数在y轴上的截距可知k＜0，两结论矛盾，故本选项错误；
B、由反比例函数的图象可知，k＞1，由一次函数的图象可知0＜k＜1，两结论矛盾，故
本选项错误；
C、由反比例函数的图象可知k﹣1＜0，即k＜1，由一次函数的图象可知k＞0，当x＝
﹣1时，y＝0，故0＜k＜1，两结论一致，故本选项正确确；
D、由反比例函数的图象可知，k＜0，由一次函数的图象可知k＜0，由一次函数在y轴
上的截距可知k＞0，两结论矛盾，故本选项错误．
故选：C．
10．已知有理数a≠1，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数是＝﹣1，﹣1的差倒数是＝．如果a1＝﹣2，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数……依此类推，那么a1+a2+…+a100的值是（）
A．﹣7.5B．7.5C．5.5D．﹣5.5
【分析】求出数列的前4个数，从而得出这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，再求出这100个数中有多少个周期，从而得出答案．
解：∵a1＝﹣2，
∴a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝﹣2，……
∴这个数列以﹣2，，依次循环，且﹣2++＝﹣，
∵100÷3＝33…1，
∴a1+a2+…+a100＝33×（﹣）﹣2＝﹣＝﹣7.5，
故选：A．
二、多项选择题（共6小题，每小题3分，共18分）说明：下列各题的结果有一个或者多个，请把所有可能的结果选出来，漏选、错选、不选都得0分.
11．计算：﹣的结果是（）
A．B．2C．D．2
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，合并同类二次根式得到答案．解：﹣
＝4﹣3
＝
故选：A．
12．计算：﹣＝（）
A．1B．2C．D．
【分析】根据同分母分式加减法法则计算，得到答案．
解：﹣
＝
＝
＝2，
故选：B．
13．定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的特征值．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则等腰△ABC的特征值k＝A、C．（多选）
A.
B.
C.
D.4
【分析】可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解．
解：①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：＝50°
∴特征值k＝＝
②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°
∴特征值k＝＝，
综上所述，特征值k为或，
故答案为：A、C．
14．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D，G分别在边AB，AC上，AH⊥BC，垂足为H，AH交DG于点P，已知BC＝6，AH＝4．当矩形DEFG面积最大时，HP的长是（）
A．1B．2C．3D．4
【分析】设HP＝x，则DE＝GF＝x，根据矩形的性质得出DG＝EF，DE＝GF＝HP＝x，DG∥EF，求出△ADG∽△ABC，根据相似求出DG＝6﹣x，再根据面积公式得出二次函数的解析式，最后求出最值即可．
解：设HP＝x，则DE＝GF＝x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴DG＝EF，DE＝GF＝HP＝x，DG∥EF，
∵AH⊥BC，
∴AH⊥DG，
∵DG∥EF，
∴△ADG∽△ABC，
∴＝，
∴＝，
解得：DG＝6﹣x，
∴矩形DEFG的面积S＝DG×DE＝（6﹣x）x＝﹣（x﹣2）2+6，
∵﹣＜0，
∴S有最大值，当x＝2时，S的最大值是6，
即当HP＝2时，矩形DEFG的面积最大，
故选：B．
15．抛物线y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0（t 为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（）
A．2≤t＜11B．t≥2C．6＜t＜11D．2≤t＜6
【分析】根据给出的对称轴求出函数解析式为y＝x2﹣2x+3，将一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，再由﹣1＜x＜4的范围确定y 的取值范围即可求解；
解：∵y＝x2+bx+3的对称轴为直线x＝1，
∴b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x+3，
∴一元二次方程x2+bx+3﹣t＝0的实数根可以看做y＝x2﹣2x+3与函数y＝t的有交点，∵方程在﹣1＜x＜4的范围内有实数根，
当x＝﹣1时，y＝6；
当x＝4时，y＝11；
函数y＝x2﹣2x+3在x＝1时有最小值2；
∴2≤t＜11；
故选：A．
16．如图，A，B，C，D为一直线上4个点，BC＝3，△BCE为等边三角形，⊙O过A，D，E三点，且∠AOD＝120°，设AB＝x，CD＝y，则y与x的函数关系式是（）
A．y＝B．y＝x C．y＝3x+3D．y＝
【分析】连接AE，DE，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求得∠AED＝120°，
然后求得△ABE∽△ECD．根据相似三角形的对应边对应成比例即可表示出x与y的关系，从而不难求解．
解：连接AE，DE，
∵∠AOD＝120°，
∴为240°，
∴∠AED＝120°，
∵△BCE为等边三角形，
∴∠BEC＝60°；
∴∠AEB+∠CED＝60°；
又∵∠EAB+∠AEB＝∠EBC＝60°，
∴∠EAB＝∠CED，
∵∠ABE＝∠ECD＝120°；
∴△ABE∽△ECD，
∴＝，
即＝，
∴y＝（0＜x＜6）．
故选：D．
三、解答题（共8趣，共72分）
17．计算x?x3+（2x2）2﹣2x5÷x
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
解：原式＝x4+4x4﹣2x4
＝3x4．
18．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE＝CF，∠B ＝∠D，AD∥BC．求证：AD＝BC．
【分析】根据平行线求出∠A＝∠C，求出AF＝CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．
【解答】证明：∵AD∥BC，
∴∠A＝∠C，
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵在△ADF和△CBE中
，
∴△ADF≌△CBE（AAS），
∴AD＝BC．
19．某同学进行社会调查，随机抽查了某个小区的200户家庭的年收入，并绘制成统计图（如图）．请你根据统计图给出的信息回答：
（1）样本数据的中位数是 1.2，众数是 1.3；
（2）这200户家庭的平均年收入为 1.6万元；
（3）在平均数、中位数两数中，中位数更能反映这个小区家庭的年收入水平．（4）如果该小区有1200户住户，请你根据抽样调查的结果估计该小区有660户家庭的年收入低于1.3万元？
【分析】（1）根据众数和中位数的定义分别进行解答即可；
（2）根据加权平均数的计算公式分别进行计算即可；
（3）根据平均数，中位数两数的意义分别进行分析，即可得出答案；
（4）用总户数乘以200户中家庭的年收入低于1.3万元所占的百分比即可求得答案．解：（1）因为共有20个数，数据中的第10和11个数据的平均数是中位数，所以中位数是1.2（万元）；
（2）根据图示可知：平均收入为（20×0.05×0.6+20×0.05×0.9+20×0.1×1.0+20×0.15×1.1+20×0.2×1.2+20×0.25×1.3+20×0.15×1.4+20×0.05×9.7）÷20＝32÷20＝1.6（万元）；
因为众数是一组数据中出现次数最多的数，所以众数是1.3（万元）；
（3）在平均数，中位数两数中平均数受到极端值的影响较大，所以中位数更能反映这个地区家庭的年收入水平；
（4）1200×（5%+5%+10%+15%+20%）＝660户．
故答案为：1.2，1.3；1.6；中位数，660．
20．如图，在下列18×7的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，例如A（﹣8，0）、B（﹣4.3）都是格点．
（1）直接写出△ABO的形状：
（2）要求在图中仅用无刻的直尺画图：将△ABO绕点O顺时针旋转得△DEO，且点B 的对应点E落在x轴正半轴上．
操作如下：
第一步：在x正半轴上找一个格点E，使OE＝OB；
第二步：找一个格点F，使∠EOF＝∠AOB；
第三步：找一个格点M，作直线AM交直线OF于D，连DE，则△DEO即为所作出的图形．请你按以上操作完成画图．并直接写出点E，F，M三点的坐标．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，OB即可判断．
（2）根据要求作出点E（5，0），点F（4，3），取格点M（1，3），使得AM平分∠BAO，直线AM交OF于D，连接DE，△ODE即为所求．
解：（1）∵AB＝OB＝＝5，
∴△ABO是等腰三角形．
（2）如图，△ODE即为所求．E（5，0），F（4，3），M（1，3）．
21．如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，弦AF交BC于点E，∠CAF＝2∠B．（1）求证：AE＝AC；
（2）若⊙O的半径为4，E是OB的中点，求EF的长．
【分析】（1）过A作AH⊥CE于H，根据圆周角定理得到∠CAB＝∠AHC＝∠AHE＝90°，求得∠EAH＝∠CAH，根据全等三角形的性质得到AC＝AE；
（2）根据已知条件得到BE＝OE＝2，求得CE＝6，得到CH＝CE＝3，根据射影定理得到AE＝AC＝2，连接BF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：过A作AH⊥CE于H，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝∠AHC＝∠AHE＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝∠ACH+∠CAH＝90°，