函数的奇偶性1
【学习目标】
掌握函数的奇偶性的定义和判断方法，利用奇偶性解决实际问题
【课堂导学】
一、预习作业
1、函数的奇偶性定义
⑴偶函数：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有__________，那么称函数()y f x =是_______．
注意：（１） “任意”、“都有”等关键词；
（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立；
⑵奇函数：如果对于函数()y f x =的定义域内的任意一个x ，都有_________，那么称函数()y f x =是_________.
1、 具有奇偶性的函数的图像的特征：
①偶函数的图像关于y 轴对称； ②偶函数在关于原点的对称区间上单调性相反； ③奇函数的图像关于原点对称； ④奇函数在关于原点的对称区间上单调性一致。
2、 奇偶性的判断方法和步骤：
(1)____________________________________________________________________________
(2)_______________________________________ _____________________________________
二、典型例题
例1、 判断下列函数是否是奇函数或偶函数：
()()()()221 () 1 2 ()23()|2| 4 ()(x-1)
f x x f x x f x x f x =-===
例2、判断函数3()5f x x x =+是否具有奇偶性；
练习：判断函数的奇偶性
（1）2(1)1;(2)11y x y x x =
-=+-
例4、已知：函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当x>0时， 2()1f x x x =+-,求（1）0x <时函数()f x 的表达式 （2）()f x 在定义在R 上的表达式
练习：已知：函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，()1f x x =
,求函数()f x 的表达式。
★例5、已知奇函数()f x 在区间∞[0,+)上单调增加，则1(21)()3f x f -<的x 取值范围．
练习：已知偶函数()f x 在区间∞[0,+)上单调增加，则1(21)()3
f x f -<的x 取值范围．
三、板书设计
【巩固反馈】
一、填空题
1、函数f(x)=2
2x x +的图像对称轴为___________，奇偶性为___________。
2、已知函数f(x)=21x bx ++是偶函数，则实数b 的值为__________
3、已知函数f(x)=2ax x +为奇函数，则实数a 的值为__________
4、【2012高考重庆文12】函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a =
二、解答题
5、判断下列函数的奇偶性
①f(x)= ②f(x)=1x x + ③f(x)=421x x - ④f(x)=5x-3 ⑤
f(x)=22||1x x -- ⑥1x
6、已知函数y= f(x)是R 上的奇函数，且x>0时，f(x)=2
2x x -，试求函数y= f(x) 在R 上的表达式。
7、若(),()f x g x 是定义在R 上的函数，()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且21()()1
f x
g x x x +=
-+，求()f x 的表达式．
高中函数大题专练 ２、对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为G 函数。 ① 对任意的[0,1]x ∈，总有()0f x ≥； ② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立。 已知函数2()g x x =与()21x h x a =?-是定义在[0,1]上的函数。 （1）试问函数()g x 是否为G 函数？并说明理由； （2）若函数()h x 是G 函数，求实数a 的值； （3）在（2）的条件下，讨论方程(21)()x g h x m -+=()m R ∈解的个数情况。 3.已知函数| |212)(x x x f - =. （1）若2)(=x f ，求x 的值； （2）若0)()2(2≥+t mf t f t 对于[2,3]t ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 4.设函数)(x f 是定义在R 上的偶函数.若当0x ≥时，11,()0,f x x ?-?=??? 0;0.x x >= （1）求)(x f 在(,0)-∞上的解析式. （2）请你作出函数)(x f 的大致图像. （3）当0a b <<时，若()()f a f b =，求ab 的取值范围. （4）若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解，求,b c 满足的条件. 5．已知函数()(0)|| b f x a x x =-≠。 （1）若函数()f x 是(0,)+∞上的增函数，求实数b 的取值范围； （2）当2b =时，若不等式()f x x <在区间(1,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）对于函数()g x 若存在区间[,]()m n m n <，使[,]x m n ∈时，函数()g x 的值域也是 [,]m n ，则称()g x 是[,]m n 上的闭函数。若函数()f x 是某区间上的闭函数，试探求,a b 应满足的条件。 6、设bx ax x f += 2)(，求满足下列条件的实数a 的值：至少有一个正实数b ，使函数)(x f 的定义域和值域相同。 7．对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点00(,)x x 为函数的不动点。
高中数学集合检测题 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{}{}1,1,2,2,|,M N y y x x M =--==∈,则M N ?是 Ａ M Ｂ {}1,4 Ｃ {}1 Ｄ Φ 2. 设全集U =R ，集合2{|1}A x x =≠，则U C A = A. 1 B. －1，1 C. {1} D. {1,1}- 3. 已知集合U ={|0}x x >，{|02}U C A x x =<<，那么集合A = A. {|02}x x x ≤≥或 B. {|02}x x x <>或 C. {|2}x x ≥ D. {|2}x x > 4. 设全集{}0,1,2,3,4I =----,集合{}0,1,2M =--,{}0,3,4N =--，则()I M N =I e A ．｛０｝ B ．{}3,4-- C ．{}1,2-- D ．? 5．已知集合M={x N|4-x N}∈∈，则集合M 中元素个数是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 6. 已知集合{}1,0,1-=A ，则如下关系式正确的是 A A A ∈ B 0A C A ∈}0{ D ?A 7.集合}22{<<-=x x A ，}31{<≤-=x x B ,那么=?B A A.}32{<<-x x B.}21{<≤x x C.}12{≤<-x x D.}32{<
高中数学必修1复习测试题（难题版） 1.设5log 3 1=a ，5 13=b ，3 .051??? ??=c ，则有（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 2.已知定义域为R 的函数)(x f 在),4(∞+上为减函数，且函数()y f x =的对称轴为4x =，则（ ） A ．)3()2(f f > B ．)5()2(f f > C ．)5()3(f f > D ．)6()3(f f > 3.函数lg y x = 的图象是（ ）
4.下列等式能够成立的是（ ） A ．ππ-=-3)3(66 B = C =34 ()x y =+ 5.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)1()2 3 ()2(-<- 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 A ． ()(2)f x x x =-+ B ．()||(2)f x x x =- C ．()(||2)f x x x =- D. ()||(||2)f x x x =- 7.已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(2,)+∞ 解三角形的方法 1．解三角形：一般地，把三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求 其他元素的过程叫作解三角形。 以下若无特殊说明，均设ABC ?的三个内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、，则有以下关系成立： （1）边的关系：c b a >+，b c a >+，a c b >+（或满足：两条较短的边长之和大于较长边） （2）角的关系：π=++C B A ，π< 总结：若已知三角形的两边和其中一边所对的角，解这类三角形时，要注意有两解、一解和无解的可能 如图，在ABC ?中，已知a 、b 、A （1）若A 为钝角或直角，则当b a >时，ABC ?有唯一解；否则无解。 （2）若A 为锐角，则当A b a sin <时，三角形无解； 当A b a sin =时，三角形有唯一解； 当b a A b < 师：什么是函数的奇偶性呢？ 生：回答 师：我们在函数奇偶性的知识点上重点考察的题型有哪些呢？ 生：回答 师：我们通过今天的学习一起来回顾一下函数奇偶性的重点题目。 一、函数奇偶性定义 1、图形描述： 函数()f x 的图像关于y 轴对称?()f x 为偶函数； 函数()f x 的图像关于原点轴对称?()f x 为奇函数 定量描述 一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，则称()f x 为偶函数；如果都有()()--f x f x =，则称()f x 为奇函数；如果()()f x f x -= 与 函数的奇偶性 ()()--f x f x =同时成立，那么函数()f x 既是奇函数又是偶函数；如果()()f x f x -=与()()--f x f x =都不能成立，那么函数()f x 既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函 数。 如果函数()f x 是奇函数或偶函数，则称函数()y f x =具有奇偶性。 特别提醒： 1、函数具有奇偶性的必要条件是：函数的定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称。换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具备奇偶性。2、用函数奇偶性的定义判断函数是否具有奇偶性的一般步骤：（1）考察函数的定义域是否关于原点对称。若不对称，可直接判定该函数不具有奇偶性；若对称，则进入第二步；（2）判断 ()()f x f x -=与()()f x f x -=-这两个等式的成立情况，根据定义来判定该函数的奇偶 性。 二、函数具有奇偶性的几个结论 1、()y f x =是偶函数?()y f x =的图像关于y 轴对称；()y f x =是奇函数? ()y f x =的图像关于原点对称。 2、奇函数()f x 在0x =有定义，必有()00f =。 3、偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同。 4、()(),f x g x 是定义域为12,D D 且1 2D D 要关于原点对称，那么就有以下结论： 奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇?奇=偶 偶?偶=偶 奇?偶=奇 5、复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”。 6、多项整式函数1 10()n n n n P x a x a x a --=++ +的奇偶性 多项式函数()P x 是奇函数?()P x 的偶次项的系数和常数项全为零； 多项式函数()P x 是偶函数?()P x 的奇次项的系数全为零。 （20-40分钟） 类型一 函数奇偶性的判断 例1：判断下列函数是否具有奇偶性： (1)f (x )＝2x 4＋3x 2 ； (2)f (x )＝1x ＋x ； 练习1：判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 2 ＋1； 考点 高一数学下必修四第一章三角函数第一讲：三角函数（1） ? ? ? ? ? 正角:按逆时针方向旋转形成的角 1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角 零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090, k k k αα ?< 三、解答题 1. 判断一次函数,b kx y +=反比例函数x k y =，二次函数c bx ax y ++=2 的 单调性. 2. 已知函数()f x 的定义域为()1,1-，且同时满足下列条件：（1）()f x 是奇函数； （2）()f x 在定义域上单调递减；（3）2 (1)(1)0,f a f a -+-<求a 的取值范围. 3. 利用函数的单调性求函数x x y 21++=的值域； 4. 已知函数[]2 ()22,5,5f x x ax x =++∈-. ① 当1a =-时，求函数的最大值和最小值； ② 求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]5,5-上是单调函数. 1. 解：当0k >，y kx b =+在R 是增函数，当0k <，y kx b =+在R 是减函数； 当0k >，k y x = 在(,0),(0,)-∞+∞是减函数， 当0k <，k y x =在(,0),(0,)-∞+∞是增函数； 当0a >，2 y ax bx c =++在(,]2b a -∞-是减函数，在[,)2b a -+∞是增函数， 当0a <，2 y ax bx c =++在(,]2b a -∞-是增函数，在[,)2b a -+∞是减函数. 2. 解：22(1)(1)(1)f a f a f a -<--=-，则2 211111111a a a a -<--? , 3. 解：1210,2x x +≥≥-，显然y 是x 的增函数，12x =-，min 1 ,2 y =- 4. 解：2 (1)1,()22,a f x x x =-=-+对称轴 ∴max m ()37,()1in f x f x == （2）对称轴,x a =-当5a -≤-或5a -≥时，()f x 在[]5,5-上单调 ∴5a ≥或5a ≤-. 17. 已知函数f(x)=x 2 +2ax+2, x []5,5-∈. (1)当a=-1时，求函数的最大值和最小值； (2) 若y=f(x)在区间[]5,5- 上是单调 函数，求实数 a 的取值范围。 高中数学解三角形最值 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 2 三角形中的最值（或范围）问题 解三角形问题，可以较好地考察三角函数的诱导公式，恒等变换，边角转化，正弦余弦定理等知识点，是三角，函数，解析几何和不等式的知识的交汇点，在高考中容易出综合题，其中，三角形中的最值问题又是一个重点。其实，这一部分的最值问题解决的方法一般有两种：一是建立目标函数后，利用三角函数的有界性来解决，二是也可以利用重要不等式来解决。 类型一：建立目标函数后，利用三角函数有界性来解决 例1．在△ABC 中， ,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，且2asinA =（2b+c ）sinB+（2c+b ）sinC. (1) 求角A 的大小；（2）求sin sin B C +的最大值. 变式1：已知向量(,)m a c b =+，(,)n a c b a =--，且0m n ?=，其中,,A B C 是△ABC 的内角，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边. (1) 求角C 的大小；（2）求sin sin A B +的最大值. 解：由m n ?=()a c +()()0a c b b a -+-=，得a 2+b 2—c 2=ab=2abcosC 所以cosC=21 ，从而C=60 故sin sin sin sin(120)O A B A A +=+-=3sin(60 +A) 所以当A=30 时，sin sin A B +的最大值是3 变式2．已知半径为R 的圆O 的内接⊿ABC 中，若有2R （sin 2A —sin 2C ）=（2a —b ）sinB 成立，试求⊿ABC 的面积S 的最大值。 解：根据题意得： 高一数学函数奇偶性练习题及答案解析 数学函数奇偶性练习题及答案解析 1.下列命题中，真命题是() A.函数y=1x是奇函数，且在定义域内为减函数 B.函数y=x3(x-1)0是奇函数，且在定义域内为增函数 C.函数y=x2是偶函数，且在(-3,0)上为减函数 D.函数y=ax2+c(ac≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数 解析：选C.选项A中，y=1x在定义域内不具有单调性;B中，函数的定义域不关于原点对称;D中，当a<0时，y=ax2+c(ac≠0)在(0,2)上为减函数，故选C. 2.奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为-1，则2f(-6)+f(-3)的值为() A.10 B.-10 C.-15 D.15 解析：选C.f(x)在[3,6]上为增函数，f(x)max=f(6)=8， f(x)min=f(3)=-1.∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15. 3.f(x)=x3+1x的图象关于() A.原点对称 B.y轴对称 C.y=x对称 D.y=-x对称 解析：选A.x≠0，f(-x)=(-x)3+1-x=-f(x)，f(x)为奇函数，关于原点对称. 4.如果定义在区间[3-a,5]上的函数f(x)为奇函数，那么 a=________. 解析：∵f(x)是[3-a,5]上的奇函数， ∴区间[3-a,5]关于原点对称， ∴3-a=-5，a=8. 答案：8 1.函数f(x)=x的奇偶性为() A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 解析：选D.定义域为{x|x≥0}，不关于原点对称. 2.下列函数为偶函数的是() A.f(x)=|x|+x B.f(x)=x2+1x C.f(x)=x2+x D.f(x)=|x|x2 解析：选D.只有D符合偶函数定义. 3.设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是() A.f(x)f(-x)是奇函数 B.f(x)|f(-x)|是奇函数 C.f(x)-f(-x)是偶函数 D.f(x)+f(-x)是偶函数 解析：选D.设F(x)=f(x)f(-x) 则F(-x)=F(x)为偶函数. 设G(x)=f(x)|f(-x)|， 则G(-x)=f(-x)|f(x)|. ∴G(x)与G(-x)关系不定. 设M(x)=f(x)-f(-x)， 专题24 解三角形中的最值、范围问题 解三角形问题是高考高频考点，命题大多放在解答题的第一题，主要利用三角形的内角和定理，正、余弦定理、三角形面积公式等知识解题，解题时要灵活利用三角形的边角关系进行“边转角”“角转边”，另外要注意22,,a c ac a c ++三者的关系. 高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主要是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 1、正弦定理： 2sin sin sin a b c R A B C ===，其中R 为ABC 外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化.其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征.如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 学/科-+网 例如：（1）2 2 2 2 2 2 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到b c +和bc 的 最值 4、三角形中的不等关系 （1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可.由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 （2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系： sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?< 其中由cos cos A B A B >?<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >?>仅在一个三角形内有效. 5、解三角形中处理不等关系的几种方法 （1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值） （2）利用均值不等式求得最值 【经典例题】 例1.【2018届百校联盟TOP20高三四月联考全国一卷】已知四边形 中， ， 一、柱、台、锥、球的结构特征 二、柱体、锥体、台体、球体的表面积、体积 1、面积公式 2、体积公式 球体的表面积与体积 4πR2 4/3πR3 习题： 1．一个棱柱是正四棱柱的条件是（）. A.底面是正方形，有两个侧面是矩形 B.底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C.底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D.每个侧面都是全等矩形的四棱柱 2．下列说法中正确的是（）. A. 以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台 C. 圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D. 圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半3．下列说法错误的是（）. A. 若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面的面积相等 B. 九棱柱有9 条侧棱，9 个侧面，侧面为平行四边形 C. 六角螺帽、三棱镜都是棱柱 D. 三棱柱的侧面为三角形 4．下列说法正确的是（） A. 平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形 B. 平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形 C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形 D. 过圆台上底面中心的截面是等腰梯形 5.如果一个几何体的正视图是矩形，则这个几何体不可能是（）. A. 棱柱 B. 棱台 C. 圆柱 D. 圆锥 6.下图所示为一简单组合体的三视图，它的左部和右部分别是（） A. 圆锥，圆柱 B. 圆柱，圆锥 C. 圆柱，圆柱 D. 圆锥，圆锥 7.下图是某个圆锥的三视图，请根据正视图中所标尺寸，则俯视图中圆的面积为，圆锥母线长为. 8.下列说法正确的是（）. A.相等的线段在直观图中仍然相等 B.若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 C.两个全等三角形的直观图一定也全等 D.两个图形的直观图是全等三角形，则这两个图形一定是全等三角形 9.如图所示的直观图，其平面图形的面积为（）. A. 3 B. 6 C. D. 10.用长为4，宽为2 的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（）. 11.已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1 和V2 ，则V1 : V2 =（）. A. 1: 3 B. 1:1 C. 2 :1 D. 3 :1 12.如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2 的正三 角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（）. 13.已知棱长为，各面均为等边三角形的四面体，求 人教版高中数学必修一 ————各章节知识点与重难点 第一章集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1集合的含义与表示 【知识要点】 1、集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合。 2、集合的中元素的三个特性 （1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性 2、“属于”的概念 我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ……表示集合，用小写拉丁字母a,b,c, ……表示元素 如：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A，如果a不属于集合A 记作a A 3、常用数集及其记法 非负整数集（即自然数集）记作：N；正整数集记作：N*或N+ ；整数集记作：Z；有理数集记作：Q；实数集记作：R 4、集合的表示法 （1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 （2）描述法：用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。 ①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2} （3）图示法（Venn图） 【重点】集合的基本概念和表示方法 【难点】运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合 【知识要点】 1、“包含”关系——子集 一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B 2、“相等”关系 如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 3、真子集 如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) 4、空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集. 【重点】子集与空集的概念；用Venn图表达集合间的关系 【难点】弄清元素与子集、属于与包含之间的区别 解三角形练习 题一：在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC＝(). A．43B．2 3 C. 3 D. 3 2 题二：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝23，c＝22，1＋tan A tan B＝ 2c b，则C ＝(). A．30°B．45° C．45°或135°D．60° 题三：在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c.若b＝2a sin B，则角A的大小为________． 题四：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－a cos C＝0.求角A的大小. 题五：在△ABC中，内角A，B，C依次成等差数列，AB＝8，BC＝5，则△ABC外接圆的面积为________． 题六：在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin B(tan A＋tan C)＝tan A tan C. 求证：a，b，c成等比数列. 题七：某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港 口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇． (1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？ (2)为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值． 题八：如图，在△ABC中，已知B＝π 3，AC＝43，D为BC边上一点．若AB＝AD，则△ADC的 周长的最大值为________． 题九：如图，在△ABC中，点D在BC边上，AD＝33，sin∠BAD＝5 13，cos∠ADC＝ 3 5. (1)求sin∠ABD的值； (2)求BD的长． 题十：如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)(). A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 题十一：在△ABC中，若sin2A＋sin2B < sin2C，则△ABC的形状是(). A．锐角三角形B．直角三角形 高一数学（必修1）专题复习一 函数的单调性和奇偶性 一．基础知识复习 1．函数单调性的定义： 如果函数)(x f 对定义域内的区间I 内的任意21,x x ，当21x x <时都有 ()()21x f x f <，则()x f 在I 内是增函数；当21x x <时都有()()21x f x f >，则()x f 在I 内时减函数． 2．单调性的定义①的等价形式：设[]b a x x ,,21∈，那么()()()x f x x x f x f ?>--02 121在 [],a b 是增函数； ()()()x f x x x f x f ?<--02 121在[],a b 是减函数；()()()12120x x f x f x --(1x ，I x ∈2)． ① 比较函数值的大小； ② 可用来解不等式； ③ 求函数的值域或最值等． 4．证明或判断函数单调性的方法：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究 函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是定义域的子集． （1）用定义． （2）用已知函数的单调性． （3）图象法． （4）如果()f x 在区间I 上是增（减）函数，那么()f x 在I 的任一非空子区间上也是增（减）函数 （5）复合函数的单调性结论：“同增异减” ． （6）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性． （7）在公共定义域内，增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数；增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数． （8）函数)0,0(>>+ =b a x b ax y 在,??-∞+∞ ? ??? 或上单调递增；在 0???? ?? ??? 或上是单调递减． 5．函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数． 6．奇偶函数的性质： （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）()f x 是偶函数?()f x 的图象关于y 轴对称；()f x 是奇函数?()f x 的图象关于原点对称．（3）()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ?=-=． （4）若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =． 一、知识结构 本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示方法，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子． 二、重点难点分析 这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断能力，加深理解集合的概念和表示方法．1．关于牵头图和引言分析 章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它数学化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是高中数学重要的基础． 2．关于集合的概念分析 点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念． 初中代数中曾经了解“正数的集合”、“不等式解的集合”；初中几何中也知道中垂线是“到两定点距离相等的点的集合”等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的“一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．”这句话，只是对集合概念的描述性说明．我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界． 3．关于自然数集的分析 教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意． 新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，…，9｝中最小的数，有了0，减法运算 仍属于自然数，其中．因此要注意几下几点： （1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然 数集包含0； 三角形最值问题 课前强化 1．在△ABC 中，已知0 45,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x 的取值范围是 ( ) Ａ.222 ＜x＜ Ｂ．222≤＜x Ｃ．2x ＞ Ｄ．2x ＜ 2．△ABC 中，若sinA ：sinB ：sinC=m ：(m+1)：2m, 则m 的取值范围是（ ） Ａ．（０，＋∞） Ｂ．（ 2 1，＋∞） Ｃ．（１，＋∞） Ｄ．（２，＋∞） 3．在△ABC 中，A 为锐角，lg b +lg(c 1)=lgsin A =－lg 2, 则△ABC 为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） Ａ．0 075,45,10===C A b Ｂ．080,5,7===A b a Ｃ．060,48,60===C b a Ｄ．045,16,14===A b a 5．△ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,) p a c b =+ (,)q b a c a =-- ,若//p q ,则角C 的大小为 (A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23 π 6．如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为 ( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．由增加的长度决定 最值范围问题： 7、在ABC ?中，角所对的边分别为且满足（I ）求角的大小；（II ）求)cos(sin 3C B A +-的最大值，并求取得最大值时角的大小． ,,A B C ,,a b c sin cos .c A a C =C ,A B 当前形势 函数概念与指数函数、对数函数、幂函数在近五年北京卷(理)中考查5～15分 高考 要求 内容 要求层次 具体要求 A B C 奇偶性 √ 结合具体函数，了解奇偶性的含义． 北京 高考 解读 2008年 2009年 2010年（新课标） 2011年（新课标） 2012年(新课标) 第2题 5分 第13题 5分 第3题5分 第13题5分 第6题 5分 第14题 5分 第6题 5分 第8题 5分 第13题 5分 第14题5分 今天我们再学一个新的函数性质——奇偶性，我们按照从直观到数学表达的顺序进行讲解．因为奇偶性的判定比较容易，所以常见函数的奇偶性以及复合函数的奇偶性都直接结合例题适当拓展总结即可，不再单独作为考点给出． 奇偶性的引入（直观） 直观：特殊的对称性．初中学过中心对称和轴对称，奇偶性正是反映这两个对称的问题的． 有些函数关于y 轴对称： ①2y x = ②y x =- ③21 y x = O x y x y O y O x 像这样的关于y 轴对称的函数叫做偶函数． 4.1函数奇偶性的定义与判别 新课标剖析 函数的奇偶性 还有一类函数呈现标准的中心对称，即关于原点的中心对称： ①y x =：② 1 y x =③3 y x = ④y 象这样的关于原点中心对称的函数叫做奇函数． 例：根据图象判断以下函数的奇偶性： ①②③④⑤ 注意③不是偶函数，偶函数中y轴相当于一个镜子．对着镜子照，发现你有钮扣，镜子里没有；或者你带着手表，一照镜子，镜子里没有，像这种情况只有在《大家来找茬》里才有． 下面我们要从直观中寻找数学表达，先通过一些例子来总结总结规律． 例：直观判断下列函数的奇偶性（可以利用图象，或取值代入等方式） ⑴()4 f x x =；⑵()1 f x x =；⑶( )3 f x=；⑷()0 f x=；⑸() f x=⑹()2 f x x =-． 答案：⑴偶；⑵偶；⑶偶；⑷既奇又偶；⑸非奇非偶；⑹奇． 先看偶函数的数学表达： 总结：可以用数字验证，取一对相反数，若它们的值总是一样的，大概猜它是一个偶函数，这就是我们总结出来的规律．那么怎么判断一个函数是偶函数呢？换言之，我们看什么情况下这个函数是偶函数？ 任取x，在它对称的地方取x -，看它们函数值是否相等，若相等就是偶函数， 从而得到偶函数的数学表达：() y f x =定义域为D， ①D关于原点对称（?任意x D ∈，有x D -∈）；（如上面的图形③对应的函数就不可能是偶函数）②任意x D ∈，()() f x f x =-，称() f x为偶函数． 再看奇函数的数学表达： 任取一点x，存在另x -，使() f x与() f x -互为相反数．（这就是关于原点中心对称） ∴对于奇函数有()() f x f x -=-． 如果()() f x f x ≠-，()() f x f x -≠-，则是非奇非偶函数． 第一章集合与函数概念 〖 1.1〗集合 【 1.1.1】集合的含义与表示 (1集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性 . (2常用数集及其记法 N 表示自然数集, N *或 N +表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集 . (3集合与元素间的关系 对象 a 与集合 M 的关系是 a M ∈,或者 a M ?,两者必居其一 . (4集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合 . ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合 . ③描述法:{x |x 具有的性质 },其中 x 为集合的代表元素 . ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合 . (5集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集 . ②含有无限个元素的集合叫做无限集 . ③不含有任何元素的集合叫做空集 (?. 【 1.1.2】集合间的基本关系 (6子集、真子集、集合相等 (7已知集合 A 有(1 n n ≥个元素,则它有 2n 个子集,它有 21n -个真子集,它有 21n -个非空子集, 它有 2 2n -非空真子集 . (8交集、并集、补集 【 1.1.3】集合的基本运算 (1含绝对值的不等式的解法 (2一元二次不等式的解法 〖 1.2〗函数及其表示【 1.2.1】函数的概念 (1函数的概念 ①设 A 、 B 是两个非空的数集, 如果按照某种对应法则 f , 对于集合 A 中任何一个数 x , 在集合 B 中都有唯一确定的数 ( f x 和它对应, 那么这样的对应 (包括集合 A , B 以及 A 到 B 的对应法则 f 叫做集合 A 到 B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素 :定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2区间的概念及表示法 ①设 , a b 是两个实数,且 a b <,满足a x b ≤≤的实数 x 的集合叫做闭区间,记做 [, ]a b ;满足 a x b <<的实数 x 的集合叫做开区间,记做 (, a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做 [, a b , (, ]a b ;满足, , , x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集 合分别记做 [, ,(, ,(, ],(, a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合 {|}x a x b < <与区间 (, a b ,前者 a 可以大于或等于 b ,而后者必须 a b <. (3求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ① ( f x 是整式时,定义域是全体实数. ② ( f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ ( f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1. ⑤ tan y x =中, ( 2 x k k Z π π≠+ ∈. ⑥零(负指数幂的底数不能为零. ⑦若 ( f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数 的定义域的交集.高中数学解三角形方法大全
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