二次函数综合训练
1、如图，抛物线
c bx x y ++-=2与x 轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y 轴与C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在 点Q ，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请 说明理由.
2、（2009年兰州）如图17，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM 为12米. 现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系.
(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求这条抛物线的解析式；
(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB ， 使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上， 则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
A
B
C
3、如图，直线
364y x =-
+分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，直线
54y x =与AB 交于点C ，与过点A 且平行于y 轴的直线交于点D ．点E 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿X 轴向左运动．过点E 作x 轴的垂线，分别交直线AB 、OD 于P 、Q 两点，以PQ 为边向右作正方形PQMN ，设正方形PQMN 与△ACD 重叠部分（阴影部分）的面积为S （平方单位）．点E 的运动时间为t （秒）． （1）求点C 的坐标．（1分）
（2）当0 【参考公式：二次函数2 y ax bx c =++图象的顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．】 4、如图11，已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M （－2，－1），且P （－1，－2）为双曲线上的一点，Q 为坐标平面上一动点，PA 垂直于x 轴，QB 垂直于y 轴，垂足分别是A 、B ． （1）写出正比例函数和反比例函数的关系式； （2）当点Q 在直线MO 上运动时，直线MO 上是否存在这样的点Q ，使得△OBQ 与△OAP 面积相等？如果存在， 请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）如图12，当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值． 5、如图，抛物线2 4y ax bx a =+-经过(1 0)A -，、(04)C ，两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求抛物线的解析式；（2）已知点(1)D m m +，在第一象限的抛物线上，求点D 关于直线BC 对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接BD ，点P 为抛物线上一点，且45DBP ∠=°，求点P 的坐标． ． 6、（2009江西）如图，抛物线 223 y x x =-++与 x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴相交于点 C ，顶点为 D . （1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF DE ∥交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ； ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系式. 详细解答： 1.【关键词】与二次函数有关的面积问题 【答案】解：（1）将A （1，0）B （-3，0）代入 2y x bx c =-++中得10930b c b c -++=??--+=?，∴2 3b c =-??=? ∴抛物线解析式为： 223y x x =--+ （2）存在 理由如下：由题意知A 、B 两点关于抛物线的对称轴1x =-对称，∴直线BC 与1x =-的交点即为Q 点，此 时△AQC 周长最小，∵ 223y x x =--+，∴C 的坐标为：（0，3），直线BC 解析式为3y x =+ Q 点坐标即为13x y x =-??=+?的解，∴1 2x y =-??=? ，∴Q （-1，2） 2.【关键词】二次函数的图像和性质以及应用 【答案】解：(1) M(12，0)，P(6，6). (2) 设抛物线解析式为：6)6(2 +-=x a y . ∵抛物线6)6(2 +-=x a y 经过点(0，0)， ∴6)60(02 +-=a ，即 61 -=a ∴抛物线解析式为： x x y x y 261,6)6(612 2+-=+-- =即 . (3) 设 A(m ，0)，则 B(12-m ，0)， )261,12(2m m m C +- -，)261 ,(2m m m D +-. ∴“支撑架”总长AD+DC+CB = )261 ()212()261(22m m m m m +-+-++- = 15)3(31 1223122+--=++- m m m . ∵ 此二次函数的图象开口向下.∴ 当m = 3米时，AD+DC+CB 有最 大值为15米. 3.【关键词】平面内点的坐标的意义，二元一次方程组的应用，不等式的简单应用二次函数与一元二次方程根之间的内在联系 【答案】 解：（1）由题意，得?????? ? =+-=.45,643x y x y 解得?? ???==.415,3y x ∴C （3,4 15 ）. （2）根据题意，得AE=t ，OE=8-t. ∴点Q 的纵坐标为 4 5(8-t)，点P 的纵坐标为 4 3t ， ∴PQ=4 5 (8-t)- 4 3t=10-2t. 当MN 在AD 上时，10-2t=t ，∴t= 3 10 .
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