[推荐学习]2018-2019学年数学高考一轮复习训练：滚动测试卷1

滚动测试卷一

(时间:120分钟 满分:150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.(2017辽宁沈阳一模)若P={x|x<4},Q={x|x 2

<4},则( )

A.P ?Q

B.Q ?P

C.P ??R Q

D.Q ??R P

2.不等式-x 2

+|x|+2<0的解集是( ) A.{x|-2

B.{x|x<-2,或x>2}

C.{x|-1

D.{x|x<-2,或x>1}

3.若幂函数的图象经过点(3,√33

),则该函数的解析式为( ) A .y=x 3

B .y=x 1

3

C .y=1x

3

D .y=x -1

4.下列判断错误的是( )

A.命题“若am 2

≤bm 2

,则a ≤b ”是假命题

B.命题“?x ∈R,x 3

-x 2

-1≤0”的否定是“?x 0∈R,x 03?x 02

-1>0”

C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题

D.命题“p ∨q 为真命题”是命题“p ∧q 为真命题”的充分不必要条件 5.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)内单调递增的是( ) A .y=sin x

B .y=-x 2

+1

x

C .y=x 3

+3x

D .y=e |x|

6.若函数y=x 2

-3x-4的定义域为[0,m ],值域为[-25

4

,-4],则m 的取值范围是( )

A .(0,4]

B .[3

2

,4]

C .[32

,3]

D .[32

,+∞)

7.设函数f (x )={5x -m ,x <1,2x ,x ≥1,若f (f (4

5))=8,则m=( )

A.2

B.1

C.2或1

D.12

8.(2017福建宁德一模)已知函数f (x )=e x

+e -x

,则y=f'(x )的图象大致为( )

9.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且最小正周期为2,当0≤x ≤1时,f (x )=x ,则f (-1)+f (-2 017)=( ) A.0

B.1

2

C.1

D.2

10.(2017辽宁鞍山一模)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x+1)+f (1-x )=2.当x>1时,f (x )=1x -1

,则关于x 的方程f (x )+2a=0没有负实根时实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,-1]∪[-1

2,+∞) B .(0,1)

C .(-1,-1

2)∪(-12,+∞)

D .(-2,-1

2)∪(-1

2,0)

11.已知函数y=f (x )是定义在R 上的偶函数,且当x>0时,不等式f (x )+x ·f'(x )<0成立,若

a=30.2·f (30.2),b=(log π2)·f (log π2),c=(log 214)·f (log 21

4),则a ,b ,c 的大小关系为( )

A .c>b>a

B .c>a>b

C .b>a>c

D .a>c>b

12.已知函数f (x )=x

x -1

+sin πx 在[0,1)内的最大值为m ,在(1,2]上的最小值为n ,则m+n=( )

A.-2

B.-1

C.1

D.2

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)

13.已知曲线f (x )=ln x 在点(x 0,f (x 0))处的切线经过点(0,1),则x 0的值为 . 14.(2017江苏,11)已知函数f (x )=x 3

-2x+e x

-1

e x ,其中e 是自然对数的底数.若

f (a-1)+f (2a 2

)≤0,则实数a 的取值范围是 .

15.已知函数f (x )={log 2(1-x )+1,-1≤x <0,

x 3-3x +2,0≤x ≤a 的值域是[0,2],则实数a 的取值范围

是 .

16.已知函数f (x )=x 2

+2

x ,g (x )=(12)x

-m.若?x 1∈[1,2],?x 2∈[-1,1],使f (x 1)≥g (x 2),则实数m 的取值范围是 .

三、解答题(本大题共6小题,共70分) 17.(10分)已知a ∈R,函数f (x )=log 2(1x

+a). (1)当a=5时,解不等式f (x )>0;

(2)若关于x 的方程f (x )-log 2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a 的取值范围; (3)设a>0,若对任意t ∈[1

2,1],函数f (x )在区间[t ,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a 的取值范围.

18.(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.

(1)求证:f(x)是周期函数;

(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;

(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.

19.

(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B 在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.

(1)写出体积V关于x的函数解析式;

(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?

20.(12分)(2017安徽合肥一模)已知函数f(x)=2a-x 2

e x

(a∈R).

(1)求函数f(x)的单调区间;

(2)若?x∈[1,+∞),不等式f(x)>-1恒成立,求实数a的取值范围.

21.(12分)已知函数f(x)=e x

ax2+x+1

,其中a∈R.

(1)若a=0,求函数f(x)的定义域和极值.

(2)当a=1时,试确定函数g(x)=f(x)-1的零点个数,并证明.

22.(12分)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).

(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在[1

e

,e]上有解,求实数m的取值范围;

(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且0

2

)<0(其中f'(x)是f(x)的导函数).

参考答案

滚动测试卷一(第一~三章)

1.B 解析由P={x|x<4},Q={x|x 2

<4}={x|-2

+|x|+2<0,得x 2-|x|-2>0,

即(|x|+1)(|x|-2)>0, 故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.

3.B 解析设幂函数解析式为y=x α

,则√33

=3α

,

故α=13

,即y=x 1

3.故选B .

4.D 解析A 中,当m=0时,满足am 2

≤bm 2

,但a 可以大于b ,故命题是假命题,故正确;

B 显然正确;

C 中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;

D 中,p ∨q 为真命题,可知p ,q 至少有一个为真,但推不出p ∧q 为真命题,故错误.故选D . 5.C 解析选项A,C 中函数为奇函数,又函数y=sin x 在(0,+∞)内不是单调函数,故选C .

6.C 解析y=x 2

-3x-4=(x -32

)2?

254

.当x=0或x=3时,y=-4,故3

2≤m ≤3.

7.B 解析∵f (f (45

))=8,

∴f (4-m )=8.

若4-m<1,即3

=8,解得m=1.故选B .

8.D 解析函数f (x )=e x

+e -x

,则y=f'(x )=e x

-e -x

,因为y=e x

是增函数,y=-1e

x 是增函数,所以导函数是增函数.故选D .

9.D 解析∵函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且最小正周期为2,

当0≤x ≤1时,f (x )=x ,

∴f (-1)=f (1)=1,

f (-2017)=f (2017)=f (1)=1, ∴f (-1)+f (-2017)=1+1=2.

10.A 解析∵f (x )满足f (x+1)+f (1-x )=2,∴f (x )的图象关于点(1,1)中心对称,作出其图象如图.

∵f (x )+2a=0没有负实根,

∴-2a ≤1或-2a ≥2,解得a ≥-1

2或a ≤-1.故选A .

11.A 解析设F (x )=xf (x ),当x>0时,F'(x )=[xf (x )]'=f (x )+xf'(x )<0,即函数F (x )在(0,+∞)内单调递减,又y=f (x )在R 上是偶函数,则F (x )在R 上是奇函数,从而F (x )在R 上单调递减,又30.2

>1,0

>log π2>log 214,所以F (30.2

)

),即a

12.D 解析可知f (x )=

x x -1+sinπx=1+1x -1

+sinπx. 记g (x )=

1

x -1

+sinπx ,则当x ∈[0,1)时,g (2-x )=12-x -1+sinπ(2-x )=11-x -sinπx=-(1

x -1+sinπx)=-

g (x ),

即在区间[0,1)∪(1,2]上,函数f (x )关于点(1,1)中心对称,故m+n=2. 13.e 2

解析因为函数f (x )的导数为f'(x )=1x

,

所以切线斜率k=f'(x 0)=1x 0

,

所以切线方程为y-ln x 0=1x 0

(x-x 0).

因为切线过点(0,1),所以代入切线方程得ln x 0=2,解得x 0=e 2

.

14.[-1,12

] 解析因为f (-x )=(-x )3

-2(-x )+e -x

-1e

-x =-f (x ),所以f (x )为奇函数.因为f'(x )=3x 2

-2+e x

+e -x

≥3x 2

-2+2√e x ·e -x ≥0(当且仅当x=0时等号成立),所以f (x )在R 上单调递增.因为f (a-1)+f (2a 2)≤0可化为f (2a 2)≤-f (a-1),即f (2a 2)≤f (1-a ),所以2a 2≤1-a ,2a 2

+a-1≤0,解得-1≤a ≤12,故实数a 的取值范围是[-1,12

].

15.[1,√3] 解析先作出函数f (x )=log 2(1-x )+1,-1≤x<0的图象,再研究f (x )=x 3

-3x+2,0≤x ≤a 的图象.

由f (x )=x 3

-3x+2(0≤x ≤a )可知f'(x )=3x 2

-3=0,得x=1(x=-1舍去).

由f'(x )>0,得x>1;由f'(x )<0,得0

16.[-52

,+∞) 解析?x 1∈[1,2],?x 2∈[-1,1],使f (x 1)≥g (x 2),只需f (x )=x 2

+2x

在[1,2]上的最小值大于等于

g (x )=(12)x

-m

在[-1,1]上的最小值.

因为f'(x )=2x-2

2

=2(x 3-1)

2

≥0在[1,2]上恒成立,且f'(1)=0,所以f (x )=x 2

+2在[1,2]上单调递

增,

所以f (x )min =f (1)=12

+21

=3.

因为g (x )=(12

)x -m 在[-1,1]上单调递减, 所以g (x )min =g (1)=12-m ,所以12-m ≤3,即m ≥-52

. 17.解(1)由log 2(1x +5)>0,得1x

+5>1,

解得x ∈(-∞,-14

)∪(0,+∞).

(2)1x

+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x 2

+(a-5)x-1=0, 当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.

当a=3时,x 1=x 2=-1,经检验,满足题意. 当a ≠3且a ≠4时,x 1=

1

a -4

,x 2=-1,x 1≠x 2. x 1是原方程的解当且仅当1

x 1

+a>0,即a>2;

x 2是原方程的解当且仅当1

x 2

+a>0,即a>1.

于是满足题意的a ∈(1,2].

综上,a 的取值范围为(1,2]∪{3,4}. (3)当0

+a>1x 2

+a , log 2(

1x 1

+a)>log 2(1

x 2

+a),

所以f (x )在(0,+∞)内单调递减.

函数f (x )在区间[t ,t+1]上的最大值与最小值分别为f (t ),f (t+1).

f (t )-f (t+1)=lo

g 2(1t +a)-log 2(1t+1+a)≤1即at 2+(a+1)t-1≥0,对任意t ∈[1

2,1]成立.

因为a>0,所以函数y=at 2

+(a+1)t-1在区间[12,1]上单调递增,当t=12时,y 有最小值34a-12

, 由34a-12≥0,得a ≥23

. 故a 的取值范围为[23

,+∞). 18.(1)证明因为f (x+2)=-f (x ),

所以f (x+4)=-f (x+2)=f (x ). 所以f (x )是周期为4的周期函数. (2)解当x ∈[-2,0]时,-x ∈[0,2].

由已知得f (-x )=2(-x )-(-x )2

=-2x-x 2

, 又f (x )是奇函数, 所以f (-x )=-f (x )=-2x-x 2

, 所以f (x )=x 2

+2x.

又当x ∈[2,4]时,x-4∈[-2,0], 所以f (x-4)=(x-4)2

+2(x-4). 又f (x )是周期为4的周期函数,

所以f (x )=f (x-4)=(x-4)2

+2(x-4)=x 2

-6x+8.从而求得当x ∈[2,4]时,f (x )=x 2

-6x+8. (3)解f (0)=0,f (2)=0,f (1)=1,f (3)=-1.

又f (x )是周期为4的周期函数, 所以f (0)+f (1)+f (2)+f (3)

=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…

=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)

=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0.

所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2015)=0. 19.

解(1)连接OB,因为AB=x cm,

所以OA=2cm.

设圆柱的底面半径为r cm,

则22πr,

即4π2r2=900-x2,

所以V=πr2x=π·900-x 2

4π2·x=900x-x

3

4π

,其中0

(2)由(1)知V=900x-x 3

4π

(0

则V'=900-3x 2

4π

.

由V'=900-3x 2

=0,得x=10√3,

可知V=900x-x 3

在(0,10√3)内是增函数,在(10√3,30)内是减函数.所以当x=10√3时,V有最大

值.

20.解(1)f'(x)=x 2-2x-2a

x

,当Δ=4+8a≤0,即a≤-1时,x2-2x-2a≥0,f'(x)≥0,∴函数f(x)在(-

∞,+∞)上单调递增.

当a>-1

2

时,令x2-2x-2a=0,

解得x1=1-√2a+1,x2=1+√2a+1.

∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞,1-√2a+1)和(1+√2a+1,+∞),单调递减区间为(1-√2a+1,1+√2a+1).

(2)∵f(x)>-1?2a-x 2

x

>-1?2a>x2-e x,

∴由条件知,2a>x2-e x对?x≥1成立.

令g(x)=x2-e x,h(x)=g'(x)=2x-e x,∴h'(x)=2-e x.当x∈[1,+∞)时,h'(x)=2-e x≤2-e<0,

∴h (x )=g'(x )=2x-e x 在[1,+∞)上单调递减, ∴h (x )=2x-e x ≤2-e <0,即g'(x )<0, ∴g (x )=x 2-e x 在[1,+∞)上单调递减, ∴g (x )=x 2-e x ≤g (1)=1-e,

故f (x )>-1在[1,+∞)上恒成立,只需2a>g (x )max =1-e,∴a>

1-e

2

,即实数a 的取值范围是

(

1-e

2

,+∞). 21.解(1)当a=0时,函数f (x )=

e x

x+1

的定义域为{x|x ∈R,且x ≠-1},f'(x )=

xe x (x+1)2

.

令f'(x )=0,得x=0.

当x 变化时,f'(x )和f (x )的变化情况如下:

所以f (x )的单调递减区间为(-∞,-1),(-1,0);单调递增区间为(0,+∞).故当x=0时,函数f (x )有极小值f (0)=1.

函数f (x )无极大值.

(2)函数g (x )存在两个零点.证明过程如下: 由题意,函数

g (x )=e x

x 2+x+1-1. 因为x 2

+x+1=(x +1)2+3>0,所以函数g (x )的定义域为R .

求导,得g'(x )=

e x (x 2+x+1)-e x (2x+1)

(x 2+x+1)2

=

e x x (x -1)(x 2+x+1)2

,

令g'(x )=0,得x 1=0,x 2=1,当x 变化时,g (x )和g'(x )的变化情况如下:

故函数g (x )的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞).

当x=0时,函数g (x )有极大值g (0)=0; 当x=1时,函数g (x )有极小值g (1)=e 3

-1.

因为函数g (x )在(-∞,0)内单调递增,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(-∞,0),g (x )≠0. 因为函数g (x )在(0,1)内单调递减,且g (0)=0,所以对于任意x ∈(0,1),g (x )≠0. 因为函数g (x )在(1,+∞)内单调递增,且

g (1)=e 3-1<0,g (2)=e 2

7-1>0,

所以函数g (x )在(1,+∞)内有且仅有一个x 0,使得g (x 0)=0, 故函数g (x )存在两个零点(即0和x 0).

22.(1)解由f'(x )=2x

-2x+a ,可知切线的斜率k=f'(2)=a-3=-1,故a=2.

因此f (x )=2ln x-x 2

+2x. 由f (x )≥2x+m ,得m ≤2ln x-x 2

.

∵不等式f (x )≥2x+m 在[1

e ,e]上有解, ∴m ≤(2ln x-x 2)max .

令g (x )=2ln x-x 2

, 则g'(x )=2x

-2x=

-2(x+1)(x -1)

x

. ∵x ∈[1

e ,e],∴当g'(x )=0时,x=1.

当1e

0;当1

故g (x )在x=1处取得最大值g (1)=-1,因此m ≤-1,即m 的取值范围为(-∞,-1). (2)证明∵f (x )的图象与x 轴交于两个不同的点A (x 1,0),B (x 2,0),

∴方程2ln x-x 2+ax=0的两个根为x 1,x 2,

∴{2lnx 1-x 12

+ax 1=0,2lnx 2-x 22

+ax 2=0,

∴a=(x 1+x 2)-2(lnx 1-lnx 2)

x 1-x 2

.

又f'(x )=2

x

-2x+a ,

∴f'(x 1+x 2

2

)=4

x

1+x 2

-(x 1+x 2)+a =4x

1+x 2

?

2(lnx 1-lnx 2)

x 1-x 2

.

下证4x 1+x 2

?

2(lnx 1-lnx 2)

x 1-x 2

<0,

即证

2(x 2-x 1)x 1+x 2+ln x

1x 2<0. 设t=x 1x 2

,∵0

即证μ(t )=2(1-t )

t+1

+ln t<0在t ∈(0,1)内恒成立,

∵μ'(t )=1t ?

4

(t+1)2

=

(t -1)2t (t+1)2

,

又00,

∴μ(t )在(0,1)内是增函数,∴μ(t )<μ(1)=0,

从而知2(x 2-x 1)x 1+x 2+ln x

1x 2

<0, 故

4x 1+x 2

?

2(lnx 1-lnx 2)

x 1-x 2

<0,

即f'(

x 1+x 2

2

)<0成立.