M
N
A
O
A
B
C 1996年全国初中数学联赛试题
第一试
一、选择题
1. 实数a 、b满足ab =1,记M =\f(1,1+a )+错误!,N=错误!+错误!,则的关系为 [ ]
A .M >N ?
B .M =N C.M 2. 设正整数a、m 、n 则这样的a 、m 、n 的取值[ ] A.有一组 B .有二组 C .多于二组? D .不存在 3.如图,A是半径为1的圆O 外的一点,O A=2,AB 是圆O 的切线,B 是切点,弦B C∥OA ,连结A C,则阴影部分的面积等于?[ ] (A ) 2 9π ???(B )6 π ( C)6 8 π +? ? (D) 4 8 π - 4.设x ?、x?是二次方程x 2+x-3=0的两个根,那么x?3-4x?2+19的值等于 [ ] A.-4 B .8 C .6? D .0 5.如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分,那么该直线必通过这个三角形的[ ] A .内心 B.外心? C.重心 ?D .垂心 6.如果20个点将某圆周20等分,那么顶点只能在这20个点中选取的正多边形的个数有[ ] A .4个? B .8个 C .12个 D .24个 二、填空题 1. 已知实数x ?、y ?是方程组1||1 y x y x ?= ???=+? 的解,则x ?+y?=______. 2.如图,在△AB C中,AB =AC ,∠ABN =∠MBC ,BM =NM , BN =a ,则N 点到边BC 的距离等于______. A B C D D ′ B ′ C O M P A B C D E F 3.设1995x 3 =1996y 3 =1997z 3, xy z>0,且 =,则1 x +错误!+错误!=______. 4.如图,将边长为1的正方形ABCD 绕A 点按逆时针方向旋转60°至A B ′C ′D′的位置,则这两个正方形重叠部分的面积是______. 第二试 1. 某校在向“希望工程”捐款活动中,甲班的m 个男生和11个女生的捐款总数与乙班的9个男人和n个女生的捐款总数相等,都是(m ·n +9m +11n +145)元,已知每人的捐款数相同,且都是整数元,求每人的捐款数. 2.设凸四边形ABC D的对角线AC 、B D的交点为M ,过点M作A D的平行线分别交A B、CD于点E、F ,交B C的延长线于点O,P 是以O 为圆心OM为半径的圆上一点(位置如图所示),求证:∠OP F=∠OEP . 3. 已知a 、b 、c 都是正整数,且抛物线y=ax2+bx +c 与x 轴有两个不同的交点A 、B,若A 、B到原点的距离都小于1,求a +b +c 的最小值. G O P M A B C D E F 1996年全国初中数学联赛参考答案 第一试 一、选择题 1.B 2.A ? 3.B 4.D ? 5.A 6.C 二、填空题 1 2. 2 3. 1 4. 2 第二试 1. 据题意m+11=n+9,且整除mn +9m +11n +145, 而mn +9m +11n+145=(m+11)(n +9)+46,故m +11,n+9都整除46,由此得 1214m n =??=? ① 或 35 37 m n =?? =? ② 在①时,得每人捐款25元;在②时,每人捐款47元 综上可知,每人捐款数为25元或47元. 2. 作AD 、BO 的延长线相交于G ,∵OE ∥GA, ∴在△CGA 中有 错误!=错误! , 且在△BGA 中 错误!=错误! ,由此可得 错误!=错误! , 而OM 是⊙O 的半径,等于OP ,∴ OFOP =OP O E ,∴ △P OF ∽△PO E , ∴∠OPF =∠OEP 3. 据题意,方程a x3+bx +c =0有两个相异根,都在(-1,0)中,故 a-b+c>0, 错误!<1,且b2-4ac>0 ①,可见a-b+c≥1 ②,且a>c ③ 所以a+c≥b1,可得2>1, ∴a>4 ,又b 4 现分别取a、b、c的最小整数5,5,1 经检验,符合题意,∴a+b+c=11最小.