广西梧州市2015届高考数学三模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}
2．（5分）已知复数z满足方程z+i=zi（i为虚数单位），则复数对应点在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1?a20=100，那么a3+a18的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在
4．（5分）已知向量=（﹣1，﹣2），=（m2，4），那么“∥”是“m=”（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）如图所示，当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于111的概率是（）
A．B．C．D．
6．（5分）正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
7．（5分）在△ABC中，A=60°，若a，b，c成等比数列，则=（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．（5分）已知函数f （x ）=则f （x ）dx=（）
A ． ﹣
B ． +
C ． +
D ．﹣
9．（5分）设函数f （x ）=cos （ωx+?）对任意的x ∈R ，都有f （﹣x ）=f （+x ），若函
数g （x ）=3sin （ωx+?）﹣2，则g （）的值是（）
A ． 1
B ． ﹣5或3
C ． ﹣2
D ．
10．（5分）点M （x ，y ）在直线x+y ﹣10=0上，且x ，y 满足﹣5≤x ﹣y ≤5，则的取
值范围是（） A ． [0，]
B ． [0，5
]
C ． [5
，
]
D ．[5，
]
11．（5分）过双曲线
=1（a ＞0，b ＞0）的左焦点F （﹣c ，0）（c ＞0），作圆x 2+y 2
=
的切线，切点为E ，延长FE 交双曲线右支于点P ，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
12．（5分）直线y=m 分别与曲线y=2x+3，y=x+lnx 交于A 、B ，则|AB|的最小值为（）
A ．
B ．
C ． 2
D ．3
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）在△ABC 中，若AB=1，AC=3，?
=，则S △ABC =．
14．（5分）若球的半径为a ，球的最大截面面积为4π，则二项式（a ﹣
）4
的展开式中
的常数项为．
15．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则?的范围是．
16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：
①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．
则其中正确的命题为．
三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=17，S10=100．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（II）若数列{b n}满足b n=a n cos（nπ）+2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．
18．（12分）我市某大型企业2008年至2014年销售额y（单位：亿元）的数据如下表所示：年份2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
代号t 1 2 3 4 5 6 7
销售额y 27 31 35 41 49 56 62
（1）在下表中，画出年份代号与销售额的散点图；
（2）求y关于t的线性回归方程，相关数据保留两位小数；
（3）利用所求回归方程，说出2008年至2014年该大型企业销售额的变化情况，并预测该企业的销售额，相关数据保留两位小数．
附：回归直线的斜率的最小二乘法估计公式：
b==．
19．（12分）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形，已知D是棱A1C1的中点．
（1）求证：BC1∥平面AB1D
（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．
20．（12分）已知A、B分别为曲线C：+y2=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l 过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连结AP与曲线C交于点M．
（1）若曲线C为圆，且|BP|=，求弦AM的长；
（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：a=0或＜a＜；
（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0时，h（x）≥1，求实数a的取值范围．
请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1．（1）求证相交弦定理：AP?PB=PD?PC；
（2）求圆心O到弦CD的距离．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．若点P（x，y）在曲线C的参数方程（θ为参数，θ∈R）上，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求的范围．
（2）若射线θ=（ρ≥0）与曲线C相交于A，B两点，求|OA|+|OB|的值．
【选修4-5：不等式选讲】
24．（1）设函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣3|，求不等式f（x）＜2的解集；
（2）若a，b，c都为正实数，且满足a+b+c=2，证明：++≥．
广西梧州市2015届高考数学三模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）设全集U=R，A={x∈N|y=ln（2﹣x）}，B={x|2x（x﹣2）≤1}，A∩B=（）
A．{x|x≥1} B．{x|1≤x＜2} C．{1} D．{0，1}
考点：交集及其运算．
专题：集合．
分析：求出A与B中x的范围，确定出A与B，找出两集合的交集即可．
解答：解：由A中x∈N，y=ln（2﹣x），得到2﹣x＞0，即x＜2，
∴A={0，1}，
由B中不等式变形得：2x（x﹣2）≤1=20，
即x（x﹣2）≤0，
解得：0≤x≤2，即B=[0，2]，
则A∩B={0，1}．
故选：D．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．（5分）已知复数z满足方程z+i=zi（i为虚数单位），则复数对应点在第几象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：复数代数形式的混合运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：通过化简，计算即可．
解答：解：∵z+i=zi，
∴z=====﹣i，
∴=+i，
故选：A．
点评：本题考查复数的几何意义，注意解题方法的积累，属于基础题．
3．（5分）已知正数组成的等比数列{a n}，若a1?a20=100，那么a3+a18的最小值为（）A．20 B．25 C．50 D．不存在
考点：等比数列的通项公式．
专题：等差数列与等比数列．
分析：利用等比中项的性质、基本不等式计算即得结论．
解答：解：由题可知：a3?a18=a1?a20=100，
∴a 3+a18≥2=2×10=20，
故选：A．
点评：本题考查等比中项的性质、基本不等式等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．
4．（5分）已知向量=（﹣1，﹣2），=（m2，4），那么“∥”是“m=”（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：根据充分条件和必要条件的定义结合向量共线的等价条件进行判断即可．
解答：解：若∥，则，即m2=2，
则m=±，
故“∥”是“m=”的充分不必要条件，
故选：A
点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据向量平行的等价条件是解决本题的关键．
5．（5分）如图所示，当输入的实数x∈[2，30]时，执行如图所示的程序框图，则输出的x不小于111的概率是（）
A．B．C．D．
考点：程序框图．
专题：概率与统计；算法和程序框图．
分析：由程序框图的流程，写出前三次循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于111得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于111的概率．
解答：解：设实数x∈[2，30]，
经过第一次循环得到x=2x+1，n=2，
经过第二循环得到x=2（2x+1）+1，n=3，
经过第三循环得到x=2[2（2x+1）+1]+1，n=4，
此时输出x，
输出的值为8x+7，
令8x+7≥111得x≥13，
由几何概型得到输出的x不小于111的概率为P==，
故选：B
点评：解决程序框图中的循环结构时，一般采用先根据框图的流程写出前几次循环的结果，根据结果找规律，属于基础题．
6．（5分）正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，则直线DE与平面BCF所成角的正弦值为（）
A．B．C．D．
考点：直线与平面所成的角．
专题：计算题．
分析：连接EF，由BF=CF，我们易得∠FED是线面所成角，设棱长为a，求出三角形FED 的各边长，代入余弦定理，求出∠FED的余弦后，再根据同角三角函数关系，即可得到直线DE与平面BCF所成角的正弦值．
解答：解：连接EF，由BF=CF，BD=CD
可得FE ⊥BC ，DE ⊥BC ∴∠FED 是线面所成角
设棱长a ，CD=a ，ED=BF=CF=
a
三角形BCF 是等腰三角形，则EF= a
由余弦定理，cos ∠FED=
则SIN ∠FED=
故选B
点评： 本题考查的知识点是直线与平面所成的角，解答的关键是根据已知条件，求出∠FED 即为直线DE 与平面BCF 所成角的平面角．
7．（5分）在△ABC 中，A=60°，若a ，b ，c 成等比数列，则=（）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点： 等比数列的性质．
专题： 等差数列与等比数列；解三角形． 分析： 由等比中项的性质列出式子，结合条件和正弦定理求出a 的表达式，代入式子化简即
可求出的值．
解答： 解：∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2
=ac ，① 又A=60°，则由正弦定理得：=
， 即a=，代入①得，，则
，
所以
=sinA=sin60°=
，
故选：B ．
点评： 本题考查了正弦定理，以及等比中项的性质的应用，属于基础题．
8．（5分）已知函数f （x ）=
则
f （x ）dx=（）
A ． ﹣
B ． +
C ． +
D ．﹣
考点： 定积分．
专题： 导数的概念及应用．
分析：由f（x）dx=dx+x2dx，分别根据定积分的几何意义和定积分的计算法则计算计算即可．
解答：解：∵函数f（x）=，
∴f（x）dx=dx+x2dx，
∵dx表示以原点为圆心，以为半径的圆的面积的四分之一，
∴dx=π?2=，
∴f（x）dx=dx+x2dx=+x3|=+，
故选：B．
点评：本题考查了定积分的计算和定积分的几何意义，属于中档题．
9．（5分）设函数f（x）=cos（ωx+?）对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x），若函数g（x）=3sin（ωx+?）﹣2，则g（）的值是（）
A．1B．﹣5或3 C．﹣2 D．
考点：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据f（﹣x）=f（+x），得x=是函数f（x）的对称轴，结合正弦函数与余弦函数的关系进行求解即可．
解答：解：∵对任意的x∈R，都有f（﹣x）=f（+x），
∴x=是函数f（x）的对称轴，
此时f（x）=cos（ωx+?）取得最值，
而y=sin（ωx+?）=0，
故g（）=0﹣2=﹣2，
故选：C
点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据正弦函数和余弦函数的关系是解决本题的关键．
10．（5分）点M（x，y）在直线x+y﹣10=0上，且x，y满足﹣5≤x﹣y≤5，则的取值范围是（）
A．[0，]B．[0，5]C．[5，]D．[5，]
考点：两点间距离公式的应用．
专题：计算题；直线与圆．
分析：求出直线x+y﹣10=0与x﹣y+5=0、x﹣y﹣5=0的交点坐标，可得，再求出原点到直线x+y﹣10=0的距离，即可求出的取值范围．
解答：解：直线x+y﹣10=0与x﹣y+5=0联立可得交点坐标为（，），此时
==；
直线x+y﹣10=0与x﹣y﹣5=0联立可得交点坐标为（，），此时
==；
原点到直线x+y﹣10=0的距离为=5，
∴的取值范围是[5，]．
故选：C．
点评：本题考查直线与直线的位置关系，考查距离公式的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
11．（5分）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），作圆x2+y2=
的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若=2﹣，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：设右焦点为F′，由=2﹣，可得E是PF的中点，利用O为FF'的中点，可得
OE为△PFF'的中位线，从而可求PF′、PF，再由勾股定理得出关于a，c的关系式，最后即可求得离心率．
解答：解：设右焦点为F′，则
∵=2﹣，
∴+=2，
∴E是PF的中点，
∴PF′=2OE=a，
∴PF=3a，
∵OE⊥PF，
∴PF′⊥PF，
∴（3a）2+a2=4c2，
∴e==，
故选：C．
点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查抛物线的定义，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
12．（5分）直线y=m分别与曲线y=2x+3，y=x+lnx交于A、B，则|AB|的最小值为（）
A．B．C．2D．3
考点：两点间距离公式的应用．
专题：计算题；导数的概念及应用．
分析：设A（x1，a），B（x2，a），则2x1+3=x2+lnx2，表示出x1，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．
解答：解：设A（x1，a），B（x2，a），则2x1+3=x2+lnx2，
∴x1=（x2+lnx2）﹣，
∴|AB|=x2﹣x1=（x2﹣lnx2）+，
令y=（x﹣lnx）+，则y′=（1﹣），
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，函数的最小值为2，
故选：C．
点评：本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．（5分）在△ABC中，若AB=1，AC=3，?=，则S△ABC=．
考点：平面向量数量积的运算；正弦定理．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：利用向量的数量积求出两个向量的夹角，然后通过三角形的面积公式求解即可．
解答：解：在△ABC中，AB=1，AC=3，
所以=1×3×cosA=
∴cosA=，
∴sinA=
则S△ABC=sinA==
故答案为：
点评：本题考查三角形的面积的求法，向量的数量积的应用，考查计算能力．
14．（5分）若球的半径为a，球的最大截面面积为4π，则二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为24．
考点：二项式系数的性质．
专题：二项式定理．
分析：由球的最大截面面积求出a值，然后写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r 值，则答案可求．
解答：解：由题意可知πa2=4π，即a=2．
∴（a﹣）4 =（2﹣）4 ，
由=．
令2﹣r=0，得r=2．
∴二项式（a﹣）4的展开式中的常数项为．
故答案为：24．
点评：本题考查圆的面积公式，考查了二项式系数的性质，是基础题．
15．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，P是正方形ABCD的外接圆上的动点，则?的
范围是[﹣2+2，2+2]．
考点：向量在几何中的应用．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：如图所示，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．设P（cosθ，sinθ），可得?=（2，
0）?（cosθ+1，sinθ+1）=2cosθ+2，利用余弦函数的单调性即可得出．
解答：解：如图所示，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1）．
设P（cosθ，sinθ）．
∴?=（2，0）?（cosθ+1，sinθ+1）
=2cosθ+2，
∵﹣1≤cosθ≤1，
∴?的范围是[﹣2+2，2+2]，
故答案为：[﹣2+2，2+2]．
点评：本题考查了向量的坐标运算、数量积运算、余弦函数的单调性，属于基础题．
16．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+4）=﹣f（x），且x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1），给出下列结论：
①f（3）=1；②函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是增函数；③函数f（x）的图象关于直线x=1对称；④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，16]上的所有根之和为12．
则其中正确的命题为①④．
考点：抽象函数及其应用；函数的周期性．
专题：函数的性质及应用．
分析：对于①，利用赋值法，取x=1，得f（3）=﹣f（1）=1即可判断；
对于③由f（x﹣4）=f（﹣x）得f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），即f（x）关于直线x=﹣2对称，
对于②结合奇函数在对称区间上单调性相同，可得f（x）在[﹣2，2]上为增函数，利用函数f （x）关于直线x=﹣2对称，可得函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数；
对于④若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，故可得结论．
解答：解：取x=1，得f（1﹣4）=﹣f（1）=﹣log2（1+1）=﹣1，所以f（3）=﹣f（1）=1，故①的结论正确；
∵f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x+4）=﹣f（x），即f（x﹣4）=f（x+4）
定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），则f（x﹣4）=f（﹣x），
∴f（x﹣2）=f（﹣x﹣2），
∴函数f（x）关于直线x=﹣2对称，故③的结论不正确；
又∵奇函数f（x），x∈[0，2]时，f（x）=log2（x+1）为增函数，
∴x∈[﹣2，2]时，函数为单调增函数，
∵函数f（x）关于直线x=﹣2对称，
∴函数f（x）在[﹣6，﹣2]上是减函数，故②的结论不正确；
若m∈（0，1），则关于x的方程f（x）﹣m=0在[﹣8，8]上有4个根，其中两根的和为﹣6×2=﹣12，另两根的和为2×2=4，所以所有根之和为﹣8．故④正确
故答案为：①④．
点评：本题考查函数的性质，考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、对称性等基础知识，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
三、解答题：解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=17，S10=100．
（I）求数列{a n}的通项公式；
（II）若数列{b n}满足b n=a n cos（nπ）+2n（n∈N*），求数列{b n}的前n项和．
考点：数列的求和；等差数列的通项公式．
专题：计算题．
分析：（I）由题意等差数列{a n}中a2=17，S10=100，利用通项公式及前n项和公式建立首项与公差的方程求出即可得到数列{a n}的通项公式a n；
（II）首先利用诱导公式以及（I）求出数列{b n}的通项公式，然后当n为奇数时
T n=b1+b2++b n=，当n为奇数时，
T n=b1+b2+…+b n==2n+1+n﹣22，即可
求出结果．
解答：解：（I）设a n首项为a1，公差为d，
则解得（5分）∴a n=19+（n﹣1）×（﹣2）=21﹣2n（7分）
（II）∵b n=a n cos（nπ）+2n=（﹣1）n a n+2n
当n为偶数时，T n=b1+b2++b n=（﹣a1+2）+（a2+22）+（﹣a3+23）+…+（a n+2n）
=（10分）
当n为奇数时，T n=b1+b2++b n=（﹣a1+2）+（a2+22）+（﹣a3+23）+…+（﹣a n+2n）
=
==2n+1+n﹣22（13分）
∴（14分）
点评：本题考查了等差数列的通项公式、数列求和以及三角函数的诱导公式，（II）问要注意对n的奇偶性进行讨论，属于中档题．
18．（12分）我市某大型企业2008年至2014年销售额y（单位：亿元）的数据如下表所示：
年份2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014
代号t 1 2 3 4 5 6 7
销售额y 27 31 35 41 49 56 62
（1）在下表中，画出年份代号与销售额的散点图；
（2）求y关于t的线性回归方程，相关数据保留两位小数；
（3）利用所求回归方程，说出2008年至2014年该大型企业销售额的变化情况，并预测该企业的销售额，相关数据保留两位小数．
附：回归直线的斜率的最小二乘法估计公式：
b==．
考点：线性回归方程．
专题：概率与统计．
分析：（1）有给定的坐标系中描出各组数据对应的点，可得年份代号与销售额的散点图；（2）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．
（3）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区的销售额．
解答：解：（1）年份代号与销售额的散点图如下所示：
（2）由已知中的数据可得：
=（1+2+3+4+5+6+7）=4，
=（27+31+35+41+49+56+62）=43，
=1373，=140，
故===≈6.04，
则=﹣6.04=18.84，
故y关于t的线性回归方程=6.04x+18.84，
（3）的年份代号为8，
当t=8时，=6.04×8+18.84=67.16，
故预测该企业的销售额约为67.16亿元
点评：本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．
19．（12分）已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形，已知D是棱A1C1的中点．
（1）求证：BC1∥平面AB1D
（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．
分析：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高为h=3．
（1）利用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理即可证明；
（2）通过建立空间直角坐标系，利用两平面的法向量的夹角即可得到两平面所成的锐二面角的余弦值．
解答：（1）证明：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高为h=3．
连接A1B交AB1于点E，连接DE，由矩形ABB1A1，可得A1E=EB．
又∵D是这个几何体的棱A1 C1的中点，∴ED是三角形A1BC1的中位线，∴ED∥BC1
∵BC1?平面AB1D，OD?平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．
（2）解：在平面ABC内作AN⊥AB，分别以AB，AN，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．
则A（0，0，0），B1（2，0，3），D（，，3），B（2，0，0）．
∴=（2，0，3），=（，，3），．
设平面AB1D的法向量为=（a，b，c），
则，令a=1，得=（1，，﹣）．
同理平面ABD的法向量=（0，﹣6，）．
∴cos＜，＞=．
点评：由三视图可得出该几何体是一个正三棱柱，熟练掌握三角形的中位线定理和线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系并利用两平面的法向量的夹角求得两平面所成的锐二面角的余弦值是解题的关键．
20．（12分）已知A、B分别为曲线C：+y2=1（a＞0）与x轴的左、右两个交点，直线l 过点B且与x轴垂直，P为l上异于点B的点，连结AP与曲线C交于点M．
（1）若曲线C为圆，且|BP|=，求弦AM的长；
（2）设N是以BP为直径的圆与线段BM的交点，若O、N、P三点共线，求曲线C的方程．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题．
专题：向量与圆锥曲线．
分析：（1）先求出A、B、P的坐标，从而求出直线AP的方程，进而求出弦AM的长；（2）设出直线AP的方程，联立方程组，求出M点的坐标，结合BM⊥OP，求出a的值，从而求出曲线C的方程．
解答：解：（1）∵曲线C为圆，则曲线C为x2+y2=1，
∴A（﹣1，0），B（1，0），P（1，±），
∴直线AP的方程为：y=±（x+1），
∴圆心到直线AP的距离为d=，
∴弦AM=2=2=；
（2）由已知得A（﹣a，0），B（a，0），
由于点N在以BP为直径的圆上，且O、N、P三点中线，故BM⊥OP，
显然，直线AP的斜率k存在且k≠0，可设直线AP的方程为y=k（x+a），
由得：（1+a2k2）x2+2a3k2x+a4k2﹣a2=0，
设点M（x M，y M），∴x M?（﹣a）=，
故x M=，从而y M=k（x M+a）=，
∴M（，），
∵B（a，0），∴=（，），
由BM⊥OP，可得?==0，
即﹣2a4k2+4a2k2=0，
∵k≠0，a＞0，∴a=，
经检验，当a=时，O、N、P三点共线，
∴曲线C的方程是：+y2=1．
点评：本题考察了直线和圆锥曲线的问题，第一问中求出AP的方程是解题的关键，第二问中求出M点的坐标，利用向量垂直的性质是解题的关键，本题是一道难题．
21．（12分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1、l2，已知两切线的斜率互为倒数，证
明：a=0或＜a＜；
（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0时，h（x）≥1，求实数a的取值范围．
考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；
（2）背景为指数函数y=e x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；
（3）利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．
解答：（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得f′（x）=
﹣a=．
①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
②若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，f'（x）＜0．
所以函数f（x）的单调递增区间是（0，），单调递减区间是（，+∞）．
（2）解：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则y2=，k2=g′（x2）=e x2=，
所以x2=1，y2=e，则k2=e x2=e．
由题意知，切线l1的斜率为k1==，l1的方程为y=k1x=x．
设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则k1=f′（x1）=﹣a==，
所以y1==1﹣ax1，a=﹣．
又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得lnx1﹣1+﹣=0．
令m（x）=lnx﹣1+﹣=0，则m′（x）=﹣=，
m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．
若x1∈（0，1），因为m（）=﹣2+e﹣＞0，m（1）=﹣＜0，所以x1∈（，1），
而a=﹣在x1∈（，1）上单调递减，所以＜a＜．
若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，
所以a=﹣=0（舍去）．
综上可知，＜a＜
（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+e x，h′（x）=ex+﹣a．
①当a≤2时，因为e x≥x+1，所以h′（x）=ex+﹣a≥x+1+﹣a≥2﹣a≥0，
h（x）在[0，+∞）上递增，h（x）≥h（0）=1恒成立，符合题意．
②当a＞2时，因为h″（x）=ex﹣=≥0，
所以h′（x）在[0，+∞）上递增，且h′（0）=2﹣a＜0，则存在x0∈（0，+∞），使得h′（0）=0．所以h（x）在（0，x0）上递减，在（x0，+∞）上递增，
又h（x0）＜h（0）=1，所以h（x）≥1不恒成立，不合题意．
综合①②可知，所求实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
点评：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题．
请考生在第22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）如图，在半径为的⊙O中，弦AB、CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1．（1）求证相交弦定理：AP?PB=PD?PC；
（2）求圆心O到弦CD的距离．
考点：与圆有关的比例线段．
专题：计算题；推理和证明．
分析：（1）证明△APC∽△DPB，可得AP?PB=PD?PC；
（2）利用垂径定理、勾股定理，即可求圆心O到弦CD的距离．
解答：（1）证明：连接AC，DB，则有∠ACP=∠ABD，∠APC=∠DPB，
∴△APC∽△DPB，
∴，
∴AP?PB=PD?PC；
（2）解：由（1）知，AP?PB=PD?PC，可得2×2=1×PC，
∴PC=4，
过O作OM⊥CD于点M，由圆的性质可知CM=2.5，
在△OMC中，d==．
黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A. {|0}A B x x =< B. A B =R C. {|1}A B x x => D. A B =? 2.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A. 14 B. π8 C. 12 D. π4 3.设有下面四个命题 1:p 若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ； 2:p 若复数z 满足2z ∈R ，则z ∈R ； 3:p 若复数12,z z 满足12z z ∈R ，则12z z =； 4:p 若复数z ∈R ，则z ∈R . 其中的真命题为
A.13,p p B.14,p p C.23,p p D.24,p p 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，48S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 5．函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 6.621(1)(1)x x ++展开式中2x 的系数为 A.15 B.20 C.30 D.35 7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.16 8.右面程序框图是为了求出满足3n -2n >1000的最小偶数n ，那么在 和两个空白框中，可以分别 填入
2020年广西桂林市、崇左市、贺州市高考数学模拟试卷（文科） （3月份） 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1.i是虚数单位，复数z=1?i在复平面上对应的点位于() A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2.等差数列{a n}中，已知a1+a9=10，则a3+a4+a5+a6+a7=() A. 5 B. 10 C. 15 D. 25 3.已知集合A={x|x<1}，B={x|e x<1}，则() A. A∩B={x|x<1} B. A∪B={x|x 2020年高考数学模拟试卷汇编 专题4 立体几何（含答案解析） 1．（2020·河南省实验中学高三二测（理））现有一副斜边长相等的直角三角板.若将它们的斜边AB 重合，其中一个三角板沿斜边折起形成三棱锥A BCD -，如图所示，已知,64DAB BAC ππ∠= ∠=，三棱锥的外接球的表面积为4π，该三棱锥的体积的最大值为 （ ） A 3 B ．36 C 3 D 3 2．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”，刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π：4.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为( ) A ．16 B ．163 C ．163 D ．1283 3．（2020·湖南省长沙市明达中学高三二模（理）关于三个不同平面,,αβγ与直线l ，下列命题中的假命题是（ ） A ．若αβ⊥，则α内一定存在直线平行于β B ．若α与β不垂直，则α内一定不存在直线垂直于β C ．若αγ⊥，βγ⊥，l αβ=I ，则l γ⊥ D ．若αβ⊥，则α内所有直线垂直于β 4．（2020·江西省南昌市第十中学校高三模拟（理））榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明， 它是在两个构件上采用凹凸部位相结合的一种连接方式。广泛用于建筑，同时也广泛用于家具。我国的北京紫禁城，山西悬空寺，福建宁德的廊桥等建筑都用到了榫卯结构，榫卯结构 中凸出部分叫榫（或叫榫头），已知某“榫头”的三视图如图所示，则该“榫头”的体积是（ ） A ．36 B ．45 C ．54 D ．63 5．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．83π3 B ．4π1633 C 16343π+ D ．43π1636．（2020·江西省名高三第二次大联考（理））在平面五边形ABCD E 中，60A ∠=?，63AB AE ==BC CD ⊥，DE CD ⊥，且6BC DE ==.将五边形ABCDE 沿对角线BE 折起，使平面ABE 与平面BCDE 所成的二面角为120?，则沿对角线BE 折起后所得几何体的外接球的表面积为（ ） A ．63π B ．84π C ．252π D ．126π 7．（2020·陕西省西安中学高三三模（理））某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） 高三上期第二次周练 数学（理科） 第Ⅰ卷（选择题，共60分） 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．设集合{}=0123A ，，，， {}=21B x x a a A =-∈，，则=( )A B ? A. {}12， B. {}13， C. {}01 ， D. {}13-， 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足()12i z i +=，则z 的虚部是（ ） A. i - B. i C. 1- D. 1 3．在等比数列{}n a 中， 13521a a a ++=， 24642a a a ++=， 则数列{}n a 的前9项的和9S =（ ） A. 255 B. 256 C. 511 D. 512 4．如图所示的阴影部分是由x 轴，直线1x =以及曲线1x y e =-围成， 现向矩形区域OABC 内随机投掷一点，则该点落在阴影区域的概率是（ ） A. 1e B. 21 e e -- C. 11e - D. 11e - 5．在 52)(y x x ++ 的展开式中，含 2 5y x 的项的系数是（ ） A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 6．已知一个简单几何体的三视图如右图所示，则该几何体的 体积为 ( ) A. 36π+ B. 66π+ C. 312π+ D. 12 7．已知函数 ())2log(x a x f -= 在 )1,(-∞上单调递减，则a 的取值范围是( ) A. 11<< 2019年江苏省高考数学试卷 一、填空题 1.已知集合123A ，，，245B ，，，则集合A B U 中元素的个数为_______. 2.已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为 ________. 3.设复数z 满足234z i （i 是虚数单位），则z 的模为_______. 4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为________. 5.袋中有形状、大小都相同的 4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________. 6.已知向量21a r ，，2a r 1，，若98ma nb mn R r r ，，则m-n 的值为______. 7.不等式 224x x 的解集为________. 8.已知tan 2，1 tan 7，则tan 的值为_______. 9.现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个。若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 。10.在平面直角坐标系 xOy 中，以点)0,1(为圆心且与直线)(012R m m y mx 相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 。11.数列}{n a 满足 11a ，且11n a a n n （*N n ），则数列}1{n a 的前10项和 为。12.在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线122y x 右支上的一个动点。若点P 到直线01y x 的距离对c 恒成立，则是实数c 的最大值为 。13.已知函数 |ln |)(x x f ，1,2|4|10,0)(2x x x x g ，则方程1|)()(|x g x f 实根的 个数为。14.设向量)12,,2,1,0)(6cos 6sin ,6(cos k k k k a k ，则1201)(k k k a a 的值 为。 第 1 页 共 13 页 2021年广西高考数学模拟试卷 （满分：150分，考试时间：120分钟。请将答案填写在答题卡上） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}，集合B 为整数集，则A ∩B ＝ ( ) A ．{－1,0} B ．{0,1} C ．{－2，－1,0,1} D ．{－1,0,1,2} 2．已知非零向量a ，b 满足 a =2 b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 3．若0tan >α，则 （ ） A ．0sin >α B ．0cos >α C ．02sin >α D ．02cos >α 4. 设复数z 满足(2)(2)5z i i --=，则z = （ ） A ．23i + B ．23i - C ．32i + D ．32i - 5．设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 6．命题“*x n ?∈?∈R N ，，使得2 n x ≥”的否定形式是 （ ）. A.*x n ?∈?∈R N ，，使得2n x < B.*x n ?∈?∈R N ，，使得2n x < C.*x n ?∈?∈R N ，，使得2n x < D.*x n ?∈?∈R N ，，使得2n x < 7．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点O 为底面ABCD 的中心，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为( ) A.π12 B ．1－π12 C.π6 D ．1－π6 8．设a >0为常数，动点M (x ，y )(y ≠0)分别与两定点F 1(－a,0)，F 2(a,0)的连线的斜率之积为定值λ，若点M 的轨迹是离心率为3的双曲线，则λ的值为( ) 2020全国各地模拟分类汇编（文）：集合 【辽宁抚顺二中2020届高三第一次月考文】1．“lg lg x y >”是“1010x y >”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【辽宁省瓦房店市高级中学2020届高三10月月考】已知集合}1|1||{<-=x x M ， )}32(log |{22++==x x y y N 则=N M I （ ） A ．}21||{<≤x x B ．}20||{< 2019年高考数学试卷及答案 一、选择题 1．()22 x x e e f x x x --=+-的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ） C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg 3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+ 4．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( ) A ． B ． C ． D ． 6．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 7．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆 229x y +=内的概率为（ ） A ． 536 B ． 29 C ． 16 D ． 19 8．在ABC ?中，60A =?，45B =?，32BC =，则AC =（ ） A ． 3 B ．3 C ．23 D ．43 9．在如图的平面图形中，已知1,2,120OM ON MON ==∠=,2,2,BM MA CN NA ==则·BC OM 的值为 A ．15- B ．9- C ．6- D ．0 10．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 11．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 第 1 页 共 26 页 2021年高考数学模拟试卷汇编：立体几何 1．（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）如图，在平面四边形ABCD 中，满足,AB BC CD AD ==，且10,8AB AD BD +==，沿着BD 把ABD 折起，使点A 到达点P 的位置，且使2PC =，则三棱锥P BCD -体积的最大值为（ ） A ．12 B ．2 C ．23 D ．163 2．（2020届河南省六市高三第一次模拟）已知圆锥的高为33，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( ) A ． 53 B ．329 C ．43 D ．259 3．已知三棱锥P ABC -中，O 为AB 的中点，PO ⊥平面ABC ，90APB ∠=?，2PA PB ==，则有下列四个结论：①若O 为ABC V 的外心，则2PC =；②ABC V 若为等边三角形，则⊥AP BC ；③当90ACB ∠=?时，PC 与平面PAB 所成的角的范围为0,4π?? ??? ；④当4PC =时，M 为平面PBC 内一动点，若OM ∥平面PAC ，则M 在PBC V 内轨迹的长度为2．其中正确的个数是（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．（2020届河南省濮阳市高三模拟）在四面体P ABC -中，ABC V 为正三角形，边长为6，6PA =，8PB =，10PC =，则四面体P ABC -的体积为（ ） A ．811B ．10C ．24 D ．1635．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三二联）已知三棱锥D ABC -的外接球半径为2，且球心为线段BC 的中点，则三棱锥D ABC -的体积的最大值为（ ） A ．23 B ．43 C ．83 D ．163 6．（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）已知四棱锥S ABCD -的底面为矩形， 2018年高考数学(理科)模拟试卷(二) (本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分150分，考试时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题满分60分) 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．(2016年北京)已知集合A＝{x||x|<2}，B＝{－1,0,1,2,3}，则A∩B＝() A．{0,1} B．{0,1,2} C．{－1,0,1} D．{－1,0,1,2} 2．已知z为纯虚数，且z(2＋i)＝1＋a i3(i为虚数单位)，则复数a＋z在复平面内对应的点所在的象限为() A．第一象限B．第二象限 C．第三象限D．第四象限 3．(2016年新课标Ⅲ)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图M2-1.图中A点表示十月的平均最高气温约为15 ℃，B 点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是() A．各月的平均最低气温都在0 ℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均气温高于20 ℃的月份有5个 图M2-1 图M2-2 4．已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，k )，若a 与b 共线，则||3a ＋b ＝( ) A ．3 B ．4 C.5 D ．5 5．函数y ＝1 2x 2－ln x 的单调递减区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞) 6．阅读如图M2-2所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( ) A ．2 B ．1 C ．0 D ．－1 7．(2014年新课标Ⅱ)如图M2-3，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ) 图M2-3 A.1727 B.59 C.1027 D.13 8．已知F 1，F 2分别为双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，离心率为5 3，过原点的直线l 交双曲线左、右两支分别于A ，B ，若|BF 1|－|AF 1|＝6，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 29－y 216＝1 B.x 218－y 2 32＝1 C.x 29－y 225＝1 D.x 236－y 2 64＝1 9．若函数f (x )＝???? ? x －a 2x ≤0，x ＋1x ＋a x >0的最小值为f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,2] B ．[－1,0] C ．[1,2] D ．[0,2] 2020年广西高考数学试卷（文科）（新课标Ⅲ） 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、已知集合A＝{1，2，3，5，7，11}，B＝{x|3＜x＜15}，则A∩B中元素的个数为（） A．2B．3C．4D．5 2、若（1+i）＝1﹣i，则z＝（） A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．i 3、设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（） A．0.01B．0.1C．1D．10 4、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎 累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型：I（t）＝，其中K为最大确诊 病例数．当I（t*）＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为（）（ln19≈3） A．60B．63C．66D．69 5、已知sinθ+sin（θ+）＝1，则sin（θ+）＝（） A．B．C．D． 6、在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若?＝1，则点C的轨迹为（） A．圆B．椭圆C．抛物线D．直线 7、设O为坐标原点，直线x＝2与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则C的焦点 坐标为（） A．（，0）B．（，0）C．（1，0）D．（2，0） 8、点（0，﹣1）到直线y＝k（x+1）距离的最大值为（） A．1B．C．D．2 9、如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是（） A．6+4B．4+4C．6+2D．4+2 10、设a＝log32，b＝log53，c＝，则（） A．a＜c＜b B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 11、在△ABC中，cos C＝，AC＝4，BC＝3，则tan B＝（） A．B．2C．4D．8 12、已知函数f（x）＝sin x+，则（） A．f（x）的最小值为2 B．f（x）的图象关于y轴对称 C．f（x）的图象关于直线x＝π对称 D．f（x）的图象关于直线x＝对称 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、若x，y满足约束条件则z＝3x+2y的最大值为． 14、设双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为y＝x，则C的离心率为． 15、设函数f（x）＝，若f′（1）＝，则a＝． 16、已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的表面积为． 高考数学高三模拟考试试卷压轴题分项汇编专题03 导数（含解析）理 1. 【高考北京理第7题】直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于( )． A．4 3 B ．2 C． 8 3 D． 162 3 【答案】C 考点：定积分. 2. 【高考北京理第12题】过原点作曲线x e y=的切线，则切点的坐标为，切线的斜率为. 【答案】(1,)e e 考点：导数的几何意义。 3. 【高考北京理第12题】如图，函数() f x的图象是折线段ABC， 其中A B C ，，的坐标分别为(04)(20)(64) ，，，，，，则((0)) f f=； 2 B C A y x 1 O 3 4 5 6 1 2 3 4 (1)(1) lim x f x f x ?→+?-=? ．（用数字作答） 【答案】 2 2 考点：函数的图像，导数的几何意义。 4. 【高考北京理第13题】已知函数2 ()cos f x x x =-，对于ππ22??-???? ，上的任意12x x ，，有如下条件： ①12x x >； ②22 12x x >； ③12x x >． 其中能使12()()f x f x >恒成立的条件序号是 ． 【答案】② 考点：导数，函数的图像，奇偶性。 5. 【高考北京理第11题】设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线的斜率为1，则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜率为_________. 【答案】1- 考点：导数的几何意义。 6. 【高考北京理第15题】（本小题共13分） 已知函数.93)(2 3 a x x x x f +++-= （Ⅰ）求)(x f 的单调减区间； （Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【答案】 高考理科数学模拟试卷（含答案） 本试卷分选择题和非选择题两部分. 第Ⅰ卷(选择题)1至2页,第Ⅱ卷 (非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效. 5.考试结束后,只将答题卡交回. 第Ⅰ卷 (选择题,共60分) 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合2 {1,0,1,2,3,4},{|,}A B y y x x A =-==∈,则A B =I (A){0,1,2} (B){0,1,4} (C){1,0,1,2}- (D){1,0,1,4}- 2. 已知复数1 1i z = +,则||z = (A) 2 (B)1 (D)2 3. 设函数()f x 为奇函数,当0x >时,2 ()2,f x x =-则((1))f f = (A)1- (B)2- (C)1 (D)2 4. 已知单位向量12,e e 的夹角为 2π 3 ,则122e e -= (A)3 (B)7 5. 已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为3y x =±,则双曲线的离心率是 (B) 3 (C)10 (D)10 9 6. 在等比数列{}n a 中,10,a >则“41a a <”是“53a a <”的 新高考数学试卷及答案 一、选择题 1．通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由2 222 ()110(40302030),7.8()()()()60506050 n ad bc K K a b c d a c b d -??-?= =≈++++???算得 附表： 2()P K k ≥ 0．050 0．010 0．001 k 3．841 6．635 10．828 参照附表，得到的正确结论是（ ） A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” C ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关” D ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 2．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算3x =时的值时，3v 的值为( ) A ．27 B ．11 C ．109 D ．36 3．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ） A ．3+3i B ．-1+3i C ．3+i D ．-1+i 4．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B) P 等于（ ） A ． 49 B ． 29 C ． 12 D ． 13 5．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．22y x =± C ．3y x =± D ．2y x =± 6．下列各组函数是同一函数的是（ ） ①()32f x x = -与()2f x x x =-；()3f x 2x y x 2x 与=-=-②()f x x =与 ()2g x x =； ③()0 f x x =与()0 1g x x = ；④()221f x x x =--与()2 21g t t t =--． A ．① ② B ．① ③ C ．③ ④ D ．① ④ 7．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线3 x π =对称的函数是（ ） A ．2sin 23y x π?? =+ ?? ? B ．2sin 26y x π?? =- ?? ? C ．2sin 23x y π?? =+ ?? ? D ．2sin 23y x π? ? =- ?? ? 8．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－2π<φ<2 π )的部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是( ) A ．2，－ 3 π B ．2，－ 6 π 全国百套高考数学模拟试题分类汇编 08圆锥曲线 二、填空题 1、(启东中学高三综合测试二)已知抛物线ｙ2＝a(x+1)的准线方程是x= 3,那么抛物线的焦点坐标是______. 答案：(1，0) 2、(启东中学高三综合测试三)已知动圆P 与定圆C ：(x+2)2+y2=1相外切，又与定直线L ：x=1相切，那么动圆的圆心P 的轨迹方程是：。答案：y2=－8x 3、(皖南八校高三第一次联考)已知P 为双曲线19 162 2=-y x 的右支上一点，P 到左焦点距离为12，则P 到右准线距离为______；答案： 5 16 4、(北京市东城区高三综合练习一）已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，若在 双曲线的右支上存在一点P ，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e 的取值范围为. 答案：1＜e≤2 5、(北京市东城区高三综合练习二)已知椭圆122 22=+b y a x 的左、右焦点分别为F1，F2，点P 为椭圆上一点，且 ∠PF1F2=30°，∠PF2F1=60°，则椭圆的离心率e=. 答案：3－1 6、(北京市丰台区4月高三统一练习一)过双曲线M ：2 2 21y x b -=的左顶点A 作斜率为1的直线l,若l 与双曲 线M 的两条渐近线相交于B 、C 两点 , 且AB BC =, 则双曲线M 的离心率为_____________. 答案：10 7、(北京市海淀区高三统一练习一)若双曲线192 22=-y a x ()0a >的一条渐近线方程为023=-y x ，则a=__________. 答案：2 8、(北京市十一学校高三数学练习题)已知双曲线]2,2[),(12222∈∈=-+ e R b a b y a x 的离心率，则一条渐近线 与实轴所构成的角的取值范围是_________． 答案：[π4,π 3 ]. 解析：依题意有2c a ≤≤，∴2224c a ≤≤，即22224a b a -≤≤，∴22 13b a ≤≤，得1b a ≤≤，∴ 4 3 π π θ≤≤ 9、(北京市西城区4月高三抽样测试)已知两点(1 0)A ，，(0)B b ，，若抛物线2 4y x =上存在点C 使ABC ?为等边三角形，则b ＝_________ . 绝密★启用前 试题类型： 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. （1）设集合{}{} (x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T=（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则 41 i zz =-（ ） (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量1(2BA =uu v ,1),2BC =uu u v 则∠ABC=（ ） (A)300 (B) 450 (C) 600 (D)1200 （4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是（ ） (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均最高气温高于200 C 的月份有5个 （5）若3 tan 4 α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A) 6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625 （6）已知4 3 2a =，25 4b =，13 25c =，则（ ） （A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（ ） （A ）3 【好题】高考数学试题及答案 一、选择题 1．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ． 31 44 +AB AC D ． 13 44 +AB AC 2．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．2y x =± C ．3y x = D ．2y x =± 3．在二项式4 2n x x 的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ． 1 6 B ． 14 C ． 512 D ． 13 4．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种 B ．30种 C ．40种 D ．60种 5．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 6．下列四个命题中，正确命题的个数为( ) ①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线一定可以确定一个平面； ③若M α∈，M β∈，l α β= ，则M l ∈； ④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．若,αβ是一组基底,向量γ=x α+y β (x,y ∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标, 绝密★启用前 2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,u U A A ===集合则 （A ）{}1,2 （B ）{}3,4,5 （C ）{}1,2,3,4,5 （D ）? （2）已知a 是第二象限角，5 sin ,cos 13 a a = =则 （A ）1213- （B ）513- （C ）513 （D ）12 13 （3）已知向量()()()()1,1,2,2,,=m n m n m n λλλ=+=++⊥-若则 （A ）4- （B ）3- （C ）-2 （D ）-1 （4）不等式222x -<的解集是 （A ）()-1,1 （B ）()-2,2 （C ）() ()-1,00,1 （D ）()()-2,00,2 （5）()8 62x x +的展开式中的系数是 （A ）28 （B ）56 （C ）112 （D ）224 （6）函数()()()-1 21log 10=f x x f x x ??=+ > ??? 的反函数 （A ） ()1021x x >- （B ）()1021 x x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x -> （7）已知数列{}n a 满足{}124 30,,103 n n n a a a a ++==- 则的前项和等于 （A ）() -10-61-3 （B ） ()-101 1-39 （C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 （8）已知()()1221,0,1,0,F F C F x -是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于 A B 、两点， 且3AB =，则C 的方程为 （A ）22 12x y += （B ）22132x y += （C ）22143x y += （D ）22154 x y += （9）若函数()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编 函数 一、填空题 1、（崇明县2015届高三上期末）函数23()lg(31)1x f x x x = ++-的定义域是 2、（奉贤区2015届高三上期末）定义函数34812 2 ()1()2 22 x x f x x f x ?--≤≤??=? ?>??，则函数()()6 g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 3、（黄浦区2015届高三上期末）函数22log (1)()1x f x x +=-的定义域是 4、（黄浦区2015届高三上期末）若函数2 13()2x ax a f x ++-=是定义域为R 的偶函数，则函数()f x 的 单调递减区间是 5、（嘉定区2015届高三上期末）函数x x y -+ -=21 )1lg(的定义域是____________ 6、（嘉定区2015届高三上期末）已知24=a ，a x =lg ，则=x ___________ 7、（静安区2015届高三上期末）已知11)(+-=x x x f ，4 5 )2(=x f (其中)0>x ，则=x 8、（浦东区2015届高三上期末）已知1 ()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=， 则实数a = 9、（浦东区2015届高三上期末）定义在R 上的偶函数()y f x =，在),0[+∞上单调递增，则不等式)3()12(f x f <-的解是 10、（普陀区2015届高三上期末）方程1)7lg(lg =-+x x 的解集为 11、（普陀区2015届高三上期末）函数22)(2+-=x x x f （0≤x ）的反函数是 12、（青浦区2015届高三上期末）数()y f x =的反函数为()1 y f x -=，如果函数()y f x =的图 像过点()2,2-，那么函数()1 21y f x -=-+的图像一定过点 . 13、（青浦区2015届高三上期末）已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时， 2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ．2020年高考数学模拟试卷汇编：专题4 立体几何(含答案解析)
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