2019—2020学年度第二学期高三年级三模考试
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷
一、选择题
1. 设集合{}
3A x x =<，{}
2,B x x k k ==∈Z ，则A B =（ ）
A. {}0,2
B. {}2,2-
C.
2,0,2
D. {}2,1,0,1,2--
2. 若复数z 满足1z i i ?=-+，则z 的共轭复数z -
在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 设实数x ，y 满足条件202300x y x y x y +-≤??
-+>??-≤?
则1x y ++的最大值为（ ）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4. 平面向量a 与b 的夹角为60?，()2,0,1a b ==，则2a b
+等于( ) A.
B.
C. 12
D.
5. 如图，是函数()f x 的部分图象，则()f x 的解析式可能是（ ）
A. ()|sin cos |f x x x =+
B. 22
()sin cos f x x x =+
C. ()|sin ||cos |f x x x =+
D. ()sin ||cos ||f x x x =+
6. 已知二项式12
1(2)n x x
+的展开式中，二项式系数之和等于64，则展开式中常数项等于（ ） A. 240
B. 120
C. 48
D. 36
7. 祖冲之是中国南北朝时期的数学家和天文学家，他在数学方面的突出贡献是将圆周率的精确度计算到小数点后第7位，也就是3.1415926
和3.1415927之间，这一成就比欧洲早了1000多年，我校“爱数学”社团
的同学，在祖冲之研究圆周率的方法启发下，自制了一套计算圆周率的数学实验模型.该模型三视图如图所示，模型内置一个与其各个面都相切的球，该模型及其内球在同一方向有开口装置.实验的时候，同学们随机往模型中投掷大小相等，形状相同的玻璃球，通过计算落在球内的玻璃球数量，来估算圆周率的近似值.已知某次实验中，某同学一次投掷了1000个玻璃球，请你根据祖冲之的圆周率精确度（取小数点后三位）估算落在球内的玻璃球数量（ ）
A. 297
B. 302
C. 307
D. 312
8. 设函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R ，其中0>ω，||?π<.若5()28f π=，()08
f 11π=，且()f x 的最小正周期大于2π，则 A.
2
3
ω=，12
π
?=
B.
23ω=，12?11π=-
C. 13ω=，24
?11π
=- D. 13ω=
，724
π
?= 9. 甲、乙、丙、丁四人参加冬季滑雪比赛，有两人获奖．在比赛结果揭晓之前，四人猜测如下表，其中“√”
表示猜测某人获奖，“×”表示猜测某人未获奖，而“〇”则表示对某人是否获奖未发表意见．已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两名获奖者是（ ）
的
A. 乙丁
B. 乙丙
C. 丙丁
D. 甲丁
10. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ．2F 也是抛物线()
2
:20E y px p =>的焦点，点A 为C 与E 的一个交点，且直线1AF 的倾斜角为45?，则C 的离心率为（ ）
A.
12
1
C. 3
1
11. 已知0a <，不等式1ln 0a x x e a x +?+≥对任意实数1x >都成立，则实数a 的最小值为（ ）
A. 2e -
B. e -
C. e
2
-
D. 1e
-
12. 已知正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为27π，1A DB △与11A DC △的重心分别为E ，F ，球O 与该正方体的各条棱都相切，则球O 被EF 所在直线截的弦长为（ ）
A.
2
B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题
13. 已知双曲线的一个焦点与抛物线28y x =的焦点F 重合，抛物线的准线与双曲线交于A ，B 两点，且OAB 的面积为6（O 为原点）
，则双曲线的标准方程为______． 14. 2020年初，我国突发新冠肺炎疫情.面对“突发灾难”，举国上下心，继解放军医疗队于除夕夜飞抵武
汉，各省医疗队也陆续增援，纷纷投身疫情防控与病人救治之中.为分担“逆行者”的后顾之忧，某大学学生志愿者团队开展“爱心辅学”活动，为抗疫前线工作者子女在线辅导功课.现随机安排甲、乙、丙3名志
愿者为某学生辅导数学、物理、化学、生物4门学科，每名志愿者至少辅导1门学科，每门学科由1名志愿者辅导，则数学学科恰好由甲辅导的概率为______. 15. 海洋蓝洞是地球罕见
自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有
世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A ，B 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点
C ，
D ，测得80CD =，135ADB ∠=?，15BDC DCA ∠∠==?，120ACB ∠=?，则A ，B 两点
的距离为________．
的
16. 已知圆22:4O x y +=点()2,2A ，直线l 与圆O 交于P Q ，两点，点E 在直线l 上且满足2PQ QE →→
=.若22248AE AP +=，则弦PQ 中点M 的横坐标的取值范围为_____________.
三、解答题
17. 已知等差数列{}n a 的公差为d ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，等比数列{}n b 的公比为()1q q ≠，n T 是数列{}n b 的前n 项和，330a b +=，11b =，33T =，d q =-． （1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）是否存在正整数λ，使得关于k 的不等式()3010k S λ+≤有解？若λ存在，求出λ的值；若λ不存在，说明理由．
18. 如图，在多面体ABCDP 中，ABC 是边长为4的等边三角形，PA AC =，BD CD ==
PC PB ==，点E 为BC 的中点，平面BDC ⊥平面ABC ．
（1）求证：//DE 平面PAC
（2）线段BC 上是否存在一点T ，使得二面角T DA B --为直二面角？若存在，试指出点T 的位置；若
不存在，请说明理由．
19. 如图在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b
+=>>，短轴长为4．
（I ）求椭圆C 的方程；
（2）若与原点距离为1的直线1:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线2l 与1l 平行，且与椭圆C 相切于点M （O ，M 位于直线1l 的两侧）．记MAB △，OAB 的面积分别为1S ，2S 若12S S λ=，求实数λ的取值范围．
20. 2019年由“杂交水稻之父”袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3千克．第三代杂交水稻的综合优势，可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展．某企业引进一条先进的年产量为100万件的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工．已知该生产线生产的产品的质量以某项指标值[]()
70,100k k ∈为衡量标准，其产品等级划分如下表．为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，并从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到如下的产品质量指标值的频率分布直方图．
（1）若从质量指标值不小于85的产品中，采用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件，求产品的质量指标值[)90,95k ∈的件数X 的分布列及数学期望；
（2）将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出的产品中至少有1件是合格及以上等级”为事件A ．求事件A 发生的概率；
（3）若每件产品的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示；（14t <<）
试确定t 的值，使得该生产线的年盈利取得最大值，并求出最大值（参考数值：ln 20.7≈，ln3 1.1≈，
ln5 1.6≈）
21. 已知函数()l e n x m f x x x
x =+-()m ∈R ．
（1）当1
e
m =
时，求函数()f x 的最小值； （2）若2
e 2m ≥，()2
2e x m x g x x
-=，求证：()()f x g x <．
选考题
选修4-4：坐标系与参数方程
22. 在直角坐标系xOy 中．直线l
参数方程为00cos sin x x t y y t ?
?=+??=+?
（t 为参数，[)0,?π∈）．以坐标原点为
极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为8cos 3πρθ??=- ???
． （1）化圆C 的极坐标方程为直角坐标标准方程；
（2）设点()00,P x y ，圆心()002,2C x y ，若直线l 与圆C 交于M 、N 两点，求PM PN
PN PM +的最大值． 选修4-5：不等式选讲
23. 已知函数()3f x ax =-，不等式()2
f x ≤解集为{}
15x x ≤≤．
的
（1）解不等式()()211f x f x <+-；
（2）若3m ≥，3n ≥，()()3f m f n +=，求证：14
1m n
+≥．